Proprietatea unui logaritm cu exponent fracționar. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Cum se rezolvă, cu exemple

Expresii logaritmice, exemple de rezolvare. În acest articol ne vom uita la problemele legate de rezolvarea logaritmilor. Sarcinile pun întrebarea de a găsi sensul unei expresii. Trebuie remarcat faptul că conceptul de logaritm este folosit în multe sarcini și înțelegerea sensului său este extrem de importantă. În ceea ce privește examenul de stat unificat, logaritmul este utilizat la rezolvarea ecuațiilor, în probleme aplicate, de asemenea în sarcini legate de studiul funcţiilor.

Să dăm exemple pentru a înțelege însuși sensul logaritmului:

Identitatea logaritmică de bază:

Proprietăți ale logaritmilor care trebuie reținut întotdeauna:

*Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

* * *

*Logaritmul unui cot (fracție) este egal cu diferența dintre logaritmii factorilor.

* * *

*Logaritmul unui exponent este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei sale.

* * *

*Tranziția la o nouă fundație

* * *

Mai multe proprietăți:

* * *

Calculul logaritmilor este strâns legat de utilizarea proprietăților exponenților.

Să enumerăm câteva dintre ele:

Esența acestei proprietăți este că atunci când numărătorul este transferat la numitor și invers, semnul exponentului se schimbă în opus. De exemplu:

Un corolar al acestei proprietăți:

* * *

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți.

* * *

După cum ați văzut, conceptul de logaritm în sine este simplu. Principalul lucru este ceea ce este necesar bună practică, care conferă o anumită îndemânare. Desigur, sunt necesare cunoștințe de formule. Dacă abilitatea de a converti logaritmi elementari nu a fost dezvoltată, atunci când rezolvați sarcini simple puteți face cu ușurință o greșeală.

Exersează, rezolvă mai întâi cele mai simple exemple de la cursul de matematică, apoi treci la altele mai complexe. În viitor, voi arăta cu siguranță cât de „urât” sunt rezolvați logaritmii, acestea nu vor apărea la examenul de stat unificat, dar sunt de interes, nu le ratați!

Asta e tot! Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Instrucţiuni

Notați ceea ce este dat expresie logaritmică. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci scrieți expresia: ln b – logaritm natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți suma a două funcții, trebuie pur și simplu să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

Atunci când găsiți derivata produsului a două funcții, este necesar să înmulțiți derivata primei funcții cu a doua și să adăugați derivata celei de-a doua funcții înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii, este necesar sa scadem din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor produsul derivatei divizorului inmultit cu functia dividendului si impartiti toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dată o funcție complexă, atunci este necesar să se înmulțească derivata lui funcție internă iar derivatul celui extern. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind rezultatele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Există, de asemenea, probleme care implică calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției în punct dat y"(1)=8*e^0=8

Video pe tema

Sfaturi utile

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi timp semnificativ.

Surse:

• derivată a unei constante

Deci, care este diferența dintre o ecuație irațională și una rațională? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcină pătrată, atunci ecuația este considerată irațională.

Instrucţiuni

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de construire a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. Cu toate acestea. acest lucru este firesc, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să scapi de semn. Această metodă nu este dificilă din punct de vedere tehnic, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația este v(2x-5)=v(4x-7). Prin pătrarea ambelor părți se obține 2x-5=4x-7. Rezolvarea unei astfel de ecuații nu este dificilă; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unul în ecuație în loc de valoarea lui x Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens. Această valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Deci, o ecuație irațională se rezolvă folosind metoda punerii la pătrat a ambelor laturi. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar să tăiați rădăcinile străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2х+vх-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Mutați compuși ecuații, care nu au rădăcină pătrată, în partea dreaptăși apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar și altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vх=y. În consecință, veți primi o ecuație de forma 2y2+y-3=0. Adică de obicei ecuație pătratică. Găsește-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vх=1; vх=-3/2. A doua ecuație nu are rădăcini din prima găsim că x=1. Nu uitați să verificați rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de simplă. Pentru a face acest lucru trebuie să faceți transformări identitare până când scopul este atins. Astfel, cu ajutorul unor operații aritmetice simple, se va rezolva sarcina depusă.

vei avea nevoie

• - hartie;
• - stilou.

Instrucţiuni

Cele mai simple dintre astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, există multe formule trigonometrice, care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egal cu pătratul primului plus produs dublu primul la al doilea și plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+ 2ab+b^2 .

Simplificați pe ambele

Principii generale ale soluției

Repetați dintr-un manual de analiză matematică sau matematică superioară ceea ce este o integrală definită. După cum se știe, soluția unei integrale definite este o funcție a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numește antiderivată. Pe baza acestui principiu se construiesc integralele principale.
Determinați după tip funcția integrand, în care dintre integralele tabelului se încadrează în acest caz,. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda de înlocuire a variabilei

Dacă funcția integrand este functie trigonometrica, al cărui argument conține un polinom, apoi încercați să utilizați metoda de înlocuire a variabilei. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza relației dintre variabilele noi și vechi, determinați noile limite de integrare. Prin diferențierea acestei expresii, găsiți noua diferență în . Deci vei primi aspect nou a integralei anterioare, apropiată sau chiar corespunzătoare oricărui tabel.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, o formă vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este relația Ostrogradsky-Gauss. Această lege ne permite să trecem de la fluxul rotoric al unei anumite funcții vectoriale la integrala triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor de integrare

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr obținut din limita inferioară în antiderivată. Dacă una dintre limitele integrării este infinitul, atunci când o înlocuiți în funcția antiderivată, este necesar să mergeți la limită și să găsiți spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați geometric limitele integrării pentru a înțelege cum să evaluați integrala. Într-adevăr, în cazul, de exemplu, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi planuri întregi care limitează volumul care este integrat.

Videoclipurile finale dintr-o serie lungă de lecții despre rezolvarea ecuațiilor logaritmice. De data aceasta vom lucra în primul rând cu ODZ al logaritmului - tocmai din cauza luării în considerare incorecte (sau chiar a ignorării) domeniului de definiție apar cele mai multe erori la rezolvarea unor astfel de probleme.

În această scurtă lecție video, ne vom uita la utilizarea formulelor pentru adăugarea și scăderea logaritmilor și, de asemenea, ne vom ocupa de ecuațiile raționale fracționale, cu care mulți elevi au probleme.

Despre ce vom vorbi? Formula principală pe care aș dori să o înțeleg arată astfel:

log a (f g ) = log a f + log a g

Aceasta este o tranziție standard de la produs la suma logaritmilor și înapoi. Probabil că știți această formulă încă de la începutul studierii logaritmilor. Cu toate acestea, există o problemă.

Atâta timp cât variabilele a, f și g sunt numere obișnuite, nu apar probleme. Această formulă funcționează excelent.

Totuși, de îndată ce funcțiile apar în loc de f și g, se pune problema extinderii sau îngustării domeniului de definiție în funcție de direcția de transformare. Judecați singuri: în logaritmul scris în stânga, domeniul definiției este următorul:

fg > 0

Dar în cantitatea scrisă în dreapta, domeniul definiției este deja oarecum diferit:

f > 0

g > 0

Acest set de cerințe este mai strict decât cel original. În primul caz, ne vom mulțumi cu opțiunea f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 este executat).

Deci, la trecerea de la construcția din stânga la cea dreaptă, are loc o îngustare a domeniului de definiție. Dacă la început aveam o sumă și o rescriem sub forma unui produs, atunci domeniul definiției se extinde.

Cu alte cuvinte, în primul caz am putea pierde rădăcini, iar în al doilea am putea obține unele în plus. Acest lucru trebuie luat în considerare la rezolvarea ecuațiilor logaritmice reale.

Deci, prima sarcină:

[Letină pentru imagine]

În stânga vedem suma logaritmilor folosind aceeași bază. Prin urmare, acești logaritmi pot fi adăugați:

[Letină pentru imagine]

După cum puteți vedea, în dreapta am înlocuit zero folosind formula:

a = log b b a

Să ne rearanjam puțin mai mult ecuația:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

În fața noastră se află forma canonică a ecuației logaritmice, putem tăia semnul log și echivalăm argumentele:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Vă rugăm să rețineți: de unde a venit modulul? Permiteți-mi să vă reamintesc că rădăcina unui pătrat exact este egală cu modulul:

[Letină pentru imagine]

Apoi rezolvăm ecuația clasică cu modul:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Iată două răspunsuri ale candidaților. Sunt ele o soluție la ecuația logaritmică inițială? Nu, sub nicio formă!

Nu avem dreptul să lăsăm totul așa și să scriem răspunsul. Aruncă o privire la pasul în care înlocuim suma logaritmilor cu un logaritm al produsului argumentelor. Problema este că în expresiile originale avem funcții. Prin urmare, ar trebui să solicitați:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Când am transformat produsul, obținând un pătrat exact, cerințele s-au schimbat:

(x − 5) 2 > 0

Când este îndeplinită această cerință? Da, aproape întotdeauna! Cu excepția cazului în care x − 5 = 0. Adică inegalitatea se va reduce la un punct perforat:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

După cum puteți vedea, domeniul de aplicare a definiției s-a extins, despre care am vorbit chiar la începutul lecției. În consecință, pot apărea rădăcini suplimentare.

Cum poți preveni apariția acestor rădăcini suplimentare? Este foarte simplu: ne uităm la rădăcinile noastre obținute și le comparăm cu domeniul de definire al ecuației originale. Să numărăm:

x (x − 5) > 0

Vom rezolva folosind metoda intervalului:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Marcam numerele rezultate pe linie. Toate punctele lipsesc deoarece inegalitatea este strictă. Luați orice număr mai mare de 5 și înlocuiți:

[Letină pentru imagine]

Suntem interesați de intervalele (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Dacă ne marchem rădăcinile pe segment, vom vedea că x = 4 nu ni se potrivește, deoarece această rădăcină se află în afara domeniului de definiție al ecuației logaritmice originale.

Ne întoarcem la totalitate, tăiem rădăcina x = 4 și notăm răspunsul: x = 6. Acesta este răspunsul final la ecuația logaritmică inițială. Gata, problema rezolvata.

Să trecem la a doua ecuație logaritmică:

[Letină pentru imagine]

Să rezolvăm. Rețineți că primul termen este o fracție, iar al doilea este aceeași fracție, dar inversată. Nu vă speriați de expresia lgx - este doar un logaritm zecimal, îl putem scrie:

lgx = log 10 x

Deoarece avem două fracții inversate, propun introducerea unei noi variabile:

[Letină pentru imagine]

Prin urmare, ecuația noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

După cum puteți vedea, numărătorul fracției este un pătrat exact. O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul este diferit de zero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Să rezolvăm prima ecuație:

t − 1 = 0;

t = 1.

Această valoare satisface a doua cerință. Prin urmare, putem spune că ne-am rezolvat complet ecuația, dar numai în raport cu variabila t. Acum să ne amintim ce este:

[Letină pentru imagine]

Am obtinut proportia:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Aducem această ecuație la forma sa canonică:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Ca rezultat, am primit o singură rădăcină, care, teoretic, este soluția ecuației inițiale. Cu toate acestea, să fim în siguranță și să scriem domeniul de definire al ecuației originale:

[Letină pentru imagine]

Prin urmare, rădăcina noastră îndeplinește toate cerințele. Am găsit o soluție la ecuația logaritmică inițială. Răspuns: x = 0,1. Problema este rezolvată.

Există un singur punct cheie în lecția de astăzi: atunci când utilizați formula pentru trecerea de la un produs la o sumă și înapoi, asigurați-vă că țineți cont de faptul că domeniul de aplicare al definiției se poate îngusta sau extinde în funcție de direcția în care se face tranziția.

Cum să înțelegeți ce se întâmplă: contracție sau expansiune? Foarte simplu. Dacă mai devreme funcțiile erau împreună, dar acum sunt separate, atunci domeniul de aplicare a definiției s-a restrâns (pentru că există mai multe cerințe). Dacă la început funcțiile erau separate, iar acum sunt împreună, atunci domeniul definiției este extins (se impun mai puține cerințe asupra produsului decât factorilor individuali).

Ținând cont de această remarcă, aș dori să remarc că a doua ecuație logaritmică nu necesită deloc aceste transformări, adică nu adunăm sau înmulțim nicăieri argumentele. Totuși, aici aș dori să vă atrag atenția asupra unei alte tehnici minunate care poate simplifica semnificativ soluția. Este vorba despre înlocuirea unei variabile.

Cu toate acestea, amintiți-vă că nicio substituție nu ne eliberează de domeniul de aplicare al definiției. De aceea, după ce au fost găsite toate rădăcinile, nu am fost leneși și ne-am întors la ecuația inițială pentru a-i găsi ODZ.

Adesea, la înlocuirea unei variabile, apare o eroare enervantă atunci când elevii găsesc valoarea lui t și cred că soluția este completă. Nu, sub nicio formă!

Odată ce ați găsit valoarea lui t, trebuie să vă întoarceți la ecuația inițială și să vedeți ce am vrut să spunem exact cu această scrisoare. Ca urmare, trebuie să rezolvăm încă o ecuație, care, totuși, va fi mult mai simplă decât cea inițială.

Acesta este tocmai scopul introducerii unei noi variabile. Împărțim ecuația inițială în două intermediare, fiecare având o soluție mult mai simplă.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice „imbricate”.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și vom analiza construcții când un logaritm este sub semnul altui logaritm. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică.

Astăzi continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și vom analiza construcții atunci când un logaritm este sub semnul altuia. Vom rezolva ambele ecuații folosind forma canonică. Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă avem o ecuație logaritmică simplă de forma log a f (x) = b, atunci pentru a rezolva o astfel de ecuație parcurgem următorii pași. În primul rând, trebuie să înlocuim numărul b:

b = log a a b

Notă: a b este un argument. În mod similar, în ecuația originală, argumentul este funcția f(x). Apoi rescriem ecuația și obținem această construcție:

log a f (x) = log a a b

Apoi putem efectua al treilea pas - scăpați de semnul logaritmului și scrieți pur și simplu:

f (x) = a b

Ca rezultat, obținem o nouă ecuație. În acest caz, nu sunt impuse restricții asupra funcției f (x). De exemplu, în locul lui poate exista și funcţie logaritmică. Și apoi vom obține din nou o ecuație logaritmică, pe care o vom reduce din nou la cea mai simplă formă și o vom rezolva prin forma canonică.

Cu toate acestea, destule versuri. Să rezolvăm adevărata problemă. Deci, sarcina numărul 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

După cum puteți vedea, avem o ecuație logaritmică simplă. Rolul lui f (x) este construcția 1 + 3 log 2 x, iar rolul numărului b este numărul 2 (rolul lui a este jucat și de doi). Să le rescriem pe acestea două după cum urmează:

Este important să înțelegem că primii doi doi au venit la noi de la baza logaritmului, adică dacă ar fi 5 în ecuația originală, atunci am obține că 2 = log 5 5 2. În general, baza depinde numai de logaritmul care a fost dat inițial în problemă. Și în cazul nostru acesta este numărul 2.

Deci, să rescriem ecuația noastră logaritmică ținând cont de faptul că cele două din dreapta sunt de fapt și un logaritm. Primim:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Să trecem la ultimul pas al schemei noastre - să scăpăm de forma canonică. Ai putea spune, pur și simplu tăiem semnele de buștean. Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, este imposibil să „tașăm jurnalul” - ar fi mai corect să spunem că pur și simplu echivalăm argumentele:

1 + 3 log 2 x = 4

De aici putem găsi cu ușurință 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Am obținut din nou cea mai simplă ecuație logaritmică, să o aducem înapoi la forma canonică. Pentru a face acest lucru, trebuie să facem următoarele modificări:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

De ce este un doi la bază? Pentru că în ecuația noastră canonică din stânga există un logaritm tocmai la baza 2. Rescriem problema ținând cont de acest fapt:

log 2 x = log 2 2

Din nou scăpăm de semnul logaritmului, adică pur și simplu echivalăm argumentele. Avem dreptul să facem asta, pentru că motivele sunt aceleași și nu mai există acțiuni suplimentare nici în dreapta, nici în stânga nu a fost executat:

Asta este! Problema este rezolvată. Am găsit o soluție la ecuația logaritmică.

Fiţi atenți! Deși variabila x apare în argument (adică apar cerințe pentru domeniul definiției), nu vom face cerințe suplimentare.

După cum am spus mai sus, această verificare este redundantă dacă variabila apare într-un singur argument dintr-un singur logaritm. În cazul nostru, x apare într-adevăr doar în argument și doar sub un semn de log. Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare.

Totuși, dacă nu ai încredere această metodă, atunci puteți verifica cu ușurință că x = 2 este într-adevăr o rădăcină. Este suficient să înlocuiți acest număr în ecuația originală.

Să trecem la a doua ecuație, este puțin mai interesant:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Dacă notăm expresia din interiorul logaritmului mare cu funcția f (x), obținem cea mai simplă ecuație logaritmică cu care am început lecția video de astăzi. Prin urmare, puteți aplica forma canonică, pentru care va trebui să reprezentați unitatea în forma log 2 2 1 = log 2 2.

Să rescriem marea noastră ecuație:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Să ne depărtăm de semnul logaritmului, echivalând argumentele. Avem dreptul să facem asta, pentru că atât în ​​stânga, cât și în dreapta bazele sunt aceleași. În plus, rețineți că log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

În fața noastră este din nou cea mai simplă ecuație logaritmică de forma log a f (x) = b. Să trecem la forma canonică, adică reprezentăm zero în forma log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Ne rescriem ecuația și scăpăm de semnul log, echivalând argumentele:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Din nou, am primit imediat un răspuns. Nu sunt necesare verificări suplimentare deoarece în ecuația originală doar un logaritm conține funcția ca argument.

Prin urmare, nu sunt necesare verificări suplimentare. Putem spune cu siguranță că x = 1 este singura rădăcină a acestei ecuații.

Dar dacă în al doilea logaritm a existat o funcție a lui x în loc de patru (sau 2x nu era în argument, ci în bază), atunci ar fi necesar să se verifice domeniul de definiție. În caz contrar, există o șansă mare de a întâlni rădăcini suplimentare.

De unde provin aceste rădăcini suplimentare? Acest punct trebuie înțeles foarte clar. Aruncă o privire la ecuațiile originale: peste tot funcția x se află sub semnul logaritmului. În consecință, deoarece am notat log 2 x, am stabilit automat cerința x > 0. În caz contrar, această intrare pur și simplu nu are sens.

Cu toate acestea, pe măsură ce rezolvăm ecuația logaritmică, scăpăm de toate semnele log și obținem construcții simple. Nu mai există restricții stabilite aici, pentru că funcţie liniară definit pentru orice valoare a lui x.

Este această problemă, când funcția finală este definită peste tot și întotdeauna, dar cea originală nu este definită peste tot și nu întotdeauna, acesta este motivul pentru care foarte des apar rădăcini suplimentare în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Dar repet încă o dată: acest lucru se întâmplă doar într-o situație în care funcția este fie în mai mulți logaritmi, fie la baza unuia dintre ei. În problemele pe care le analizăm astăzi, nu există, în principiu, probleme de extindere a domeniului definiției.

Cazuri de diferite temeiuri

Această lecție este dedicată structurilor mai complexe. Logaritmii din ecuațiile de astăzi nu vor mai fi rezolvați imediat, unele transformări vor trebui făcute mai întâi.

Începem să rezolvăm ecuații logaritmice cu baze complet diferite, care nu sunt puteri exacte una ale celeilalte. Nu lăsa astfel de probleme să te sperie - nu sunt mai greu de rezolvat decât cele mai multe desene simple despre care am discutat mai sus.

Dar înainte de a trece direct la probleme, permiteți-mi să vă reamintesc formula pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice folosind forma canonică. Luați în considerare o problemă ca aceasta:

log a f (x) = b

Este important ca funcția f (x) să fie doar o funcție, iar rolul numerelor a și b să fie numere (fără variabile x). Desigur, literalmente într-un minut ne vom uita la astfel de cazuri când în loc de variabilele a și b există funcții, dar acum nu este vorba despre asta.

După cum ne amintim, numărul b trebuie înlocuit cu un logaritm la aceeași bază a, care se află în stânga. Acest lucru se face foarte simplu:

b = log a a b

Desigur, cuvintele „orice număr b” și „orice număr a” înseamnă valori care satisfac sfera definiției. În special, în această ecuație vorbim doar despre baza a > 0 și a ≠ 1.

Cu toate acestea această cerință se realizează automat, deoarece problema inițială conține deja un logaritm pentru baza a - cu siguranță va fi mai mare decât 0 și nu egal cu 1. Prin urmare, continuăm rezolvarea ecuației logaritmice:

log a f (x) = log a a b

O astfel de notație se numește formă canonică. Comoditatea sa constă în faptul că putem scăpa imediat de semnul jurnal prin echivalarea argumentelor:

f (x) = a b

Această tehnică o vom folosi acum pentru a rezolva ecuații logaritmice cu o bază variabilă. Deci, hai să mergem!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Ce urmează? Cineva va spune acum că trebuie să calculați logaritmul corect sau să le reduceți la aceeași bază sau altceva. Și într-adevăr, acum trebuie să aducem ambele baze la aceeași formă - fie 2, fie 0,5. Dar să învățăm odată pentru totdeauna următoarea regulă:

Dacă există zecimale într-o ecuație logaritmică, asigurați-vă că convertiți acele fracții din notație zecimală în notație comună. Această transformare poate simplifica foarte mult soluția.

O astfel de tranziție trebuie efectuată imediat, chiar înainte de a efectua orice acțiuni sau transformări. Să vedem:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Ce ne oferă un astfel de record? Putem reprezenta 1/2 și 1/8 ca puteri ale lui c indicator negativ:

[Letină pentru imagine]

În fața noastră este forma canonică. Echivalăm argumentele și obținem ecuația pătratică clasică:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Avem în fața noastră următoarea ecuație pătratică, care poate fi rezolvată cu ușurință folosind formulele lui Vieta. În liceu, ar trebui să vedeți afișaje similare literalmente oral:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Asta este! Ecuația logaritmică inițială a fost rezolvată. Avem două rădăcini.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în acest caz nu este necesară determinarea domeniului de definiție, deoarece funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. Prin urmare, domeniul de aplicare al definiției este realizat automat.

Deci, prima ecuație este rezolvată. Să trecem la al doilea:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Acum rețineți că argumentul primului logaritm poate fi scris și ca o putere cu exponent negativ: 1/2 = 2 −1. Apoi puteți elimina puterile de pe ambele părți ale ecuației și puteți împărți totul la −1:

[Letină pentru imagine]

Și acum am finalizat un pas foarte important în rezolvarea ecuației logaritmice. Poate că cineva nu a observat ceva, așa că permiteți-mi să vă explic.

Uită-te la ecuația noastră: atât în ​​stânga, cât și în dreapta există un semn log, dar în stânga există un logaritm la baza 2, iar în dreapta există un logaritm la baza 3. Trei nu este o putere întreagă a doi și, invers, nu poți scrie că 2 este 3 într-un grade întreg.

În consecință, aceștia sunt logaritmi cu baze diferite care nu pot fi reduse unul la altul prin simpla adăugare a puterilor. Singura modalitate de a rezolva astfel de probleme este să scapi de unul dintre acești logaritmi. În acest caz, din moment ce încă luăm în considerare destul de sarcini simple, logaritmul din dreapta a fost simplu calculat și am obținut cea mai simplă ecuație - exact cea despre care am vorbit chiar la începutul lecției de astăzi.

Să reprezentăm numărul 2, care este în dreapta, ca log 2 2 2 = log 2 4. Și apoi scăpăm de semnul logaritmului, după care rămânem pur și simplu cu o ecuație pătratică:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Avem în fața noastră o ecuație pătratică obișnuită, dar nu este redusă deoarece coeficientul lui x 2 este diferit de unitate. Prin urmare, o vom rezolva folosind discriminantul:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Asta este! Am găsit ambele rădăcini, ceea ce înseamnă că am obținut o soluție la ecuația logaritmică inițială. Într-adevăr, în problema inițială, funcția cu variabila x este prezentă într-un singur argument. În consecință, nu sunt necesare verificări suplimentare asupra domeniului definiției - ambele rădăcini pe care le-am găsit cu siguranță îndeplinesc toate restricțiile posibile.

Acesta ar putea fi sfârșitul lecției video de astăzi, dar în concluzie aș dori să spun din nou: asigurați-vă că convertiți toate fracțiile zecimale în fracții obișnuite atunci când rezolvați ecuații logaritmice. În cele mai multe cazuri, acest lucru simplifică foarte mult soluția lor.

Rareori, foarte rar, întâlnești probleme în care eliminarea fracțiilor zecimale nu face decât să complice calculele. Cu toate acestea, în astfel de ecuații, de regulă, inițial este clar că nu este nevoie să scăpăm de fracțiile zecimale.

În majoritatea celorlalte cazuri (mai ales dacă abia începeți să exersați rezolvarea ecuațiilor logaritmice), nu ezitați să scăpați de zecimale și să le convertiți în cele obișnuite. Pentru că practica arată că în acest fel vei simplifica semnificativ soluția și calculele ulterioare.

Subtilitățile și trucurile soluției

Astăzi trecem la probleme mai complexe și vom rezolva o ecuație logaritmică, care se bazează nu pe un număr, ci pe o funcție.

Și chiar dacă această funcție este liniară, vor trebui făcute mici modificări la schema de soluție, al cărei sens se rezumă la cerințe suplimentare impuse domeniului de definire a logaritmului.

Sarcini complexe

Acest tutorial va fi destul de lung. În el vom analiza două ecuații logaritmice destul de serioase, la rezolvarea cărora mulți elevi greșesc. În timpul practicii mele ca profesor de matematică, am întâlnit în mod constant două tipuri de erori:

1. Apariția unor rădăcini suplimentare datorită extinderii domeniului de definire a logaritmilor. Pentru a evita astfel de greșeli ofensive, doar monitorizați cu atenție fiecare transformare;
2. Pierderea rădăcinilor din cauza faptului că elevul a uitat să ia în considerare unele cazuri „subtile” - acestea sunt situațiile asupra cărora ne vom concentra astăzi.

Aceasta este ultima lecție despre ecuații logaritmice. Va fi lung, vom analiza ecuații logaritmice complexe. Fă-te confortabil, fă-ți niște ceai și hai să începem.

Prima ecuație pare destul de standard:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Să observăm imediat că ambii logaritmi sunt copii inversate unul celuilalt. Să ne amintim de formula minunată:

log a b = 1/log b a

Cu toate acestea, această formulă are o serie de limitări care apar dacă în loc de numerele a și b există funcții ale variabilei x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Aceste cerințe se aplică bazei logaritmului. Pe de altă parte, într-o fracție ni se cere să avem 1 ≠ a > 0, deoarece nu numai variabila a este în argumentul logaritmului (deci a > 0), dar logaritmul însuși este în numitorul fracției. . Dar log b 1 = 0, iar numitorul trebuie să fie diferit de zero, deci a ≠ 1.

Deci, restricțiile asupra variabilei a rămân. Dar ce se întâmplă cu variabila b? Pe de o parte, baza implică b > 0, pe de altă parte, variabila b ≠ 1, deoarece baza logaritmului trebuie să fie diferită de 1. În total, din partea dreaptă a formulei rezultă că 1 ≠ b > 0.

Dar iată problema: a doua cerință (b ≠ 1) lipsește din prima inegalitate, care se ocupă de logaritmul stâng. Cu alte cuvinte, atunci când efectuăm această transformare trebuie verifica separat, că argumentul b este diferit de unul!

Deci hai să verificăm. Să aplicăm formula noastră:

[Letină pentru imagine]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Deci am obținut că deja din ecuația logaritmică inițială rezultă că atât a cât și b trebuie să fie mai mari decât 0 și nu egale cu 1. Aceasta înseamnă că putem inversa cu ușurință ecuația logaritmică:

Vă sugerez să introduceți o nouă variabilă:

log x + 1 (x − 0,5) = t

În acest caz, construcția noastră va fi rescrisă după cum urmează:

(t 2 − 1)/t = 0

Rețineți că la numărător avem diferența de pătrate. Dezvăluim diferența de pătrate folosind formula de înmulțire prescurtată:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul ei este zero și numitorul ei este diferit de zero. Dar numărătorul conține un produs, așa că echivalăm fiecare factor cu zero:

t1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

După cum putem vedea, ambele valori ale variabilei t ni se potrivesc. Cu toate acestea, soluția nu se termină aici, deoarece trebuie să găsim nu t, ci valoarea lui x. Ne întoarcem la logaritm și obținem:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Să punem fiecare dintre aceste ecuații în formă canonică:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Scăpăm de semnul logaritmului în primul caz și echivalăm argumentele:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

O astfel de ecuație nu are rădăcini, prin urmare, prima ecuație logaritmică nu are nici rădăcini. Dar cu a doua ecuație totul este mult mai interesant:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rezolvând proporția, obținem:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când rezolvăm ecuații logaritmice este mult mai convenabil să folosiți toate fracțiile zecimale ca pe cele obișnuite, așa că haideți să ne rescriem ecuația după cum urmează:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Avem în fața noastră ecuația pătratică de mai jos, care poate fi rezolvată cu ușurință folosind formulele lui Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Avem două rădăcini - sunt candidați pentru rezolvarea ecuației logaritmice originale. Pentru a înțelege ce rădăcini vor intra de fapt în răspuns, să revenim la problema inițială. Acum vom verifica fiecare dintre rădăcinile noastre pentru a vedea dacă se încadrează în domeniul definiției:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Aceste cerințe echivalează cu o dublă inegalitate:

1 ≠ x > 0,5

De aici vedem imediat că rădăcina x = −1,5 nu ni se potrivește, dar x = 1 ni se potrivește destul de bine. Prin urmare, x = 1 este soluția finală a ecuației logaritmice.

Să trecem la a doua sarcină:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

La prima vedere, poate părea că toți logaritmii au baze diferite și argumente diferite. Ce să faci cu astfel de structuri? În primul rând, rețineți că numerele 25, 5 și 625 sunt puteri ale lui 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Acum să profităm de minunata proprietate a logaritmului. Ideea este că puteți extrage puteri dintr-un argument sub formă de factori:

log a b n = n ∙ log a b

Această transformare este, de asemenea, supusă restricțiilor în cazul în care b este înlocuit cu o funcție. Dar pentru noi, b este doar un număr și nu apar restricții suplimentare. Să ne rescriem ecuația:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Am obținut o ecuație cu trei termeni care conțin semnul log. Mai mult, argumentele tuturor celor trei logaritmi sunt egale.

Este timpul să inversăm logaritmii pentru a le aduce la aceeași bază - 5. Deoarece variabila b este o constantă, nu au loc modificări în domeniul definiției. Doar rescriem:

[Letină pentru imagine]

După cum era de așteptat, la numitor au apărut aceleași logaritmi. Vă sugerez să înlocuiți variabila:

log 5 x = t

În acest caz, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

Să scriem numărătorul și să deschidem parantezele:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Să revenim la fracția noastră. Numătorul trebuie să fie zero:

[Letină pentru imagine]

Și numitorul este diferit de zero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Ultimele cerințe sunt îndeplinite automat, deoarece toate sunt „legate” de numere întregi, iar toate răspunsurile sunt iraționale.

Deci, ecuația rațională fracțională a fost rezolvată, s-au găsit valorile variabilei t. Să revenim la rezolvarea ecuației logaritmice și să ne amintim ce este t:

[Letină pentru imagine]

Reducem această ecuație la formă canonică și obținem un număr cu un grad irațional. Nu lăsați acest lucru să vă încurce - chiar și astfel de argumente pot fi echivalate:

[Letină pentru imagine]

Avem două rădăcini. Mai exact, două răspunsuri candidați - să le verificăm pentru conformitatea cu domeniul de definiție. Deoarece baza logaritmului este variabila x, avem nevoie de următoarele:

1 ≠ x > 0;

Cu același succes afirmăm că x ≠ 1/125, altfel baza celui de-al doilea logaritm se va transforma în unitate. În cele din urmă, x ≠ 1/25 pentru al treilea logaritm.

În total, am primit patru restricții:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Acum întrebarea este: rădăcinile noastre satisfac aceste cerințe? Bineînțeles că mulțumesc! Deoarece 5 la orice putere va fi mai mare decât zero, iar cerința x > 0 este satisfăcută automat.

Pe de altă parte, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, ceea ce înseamnă că aceste restricții pentru rădăcinile noastre (care, permiteți-mi să vă reamintesc, au un număr irațional în exponent) sunt de asemenea mulțumiți, iar ambele răspunsuri sunt soluții la problemă.

Deci, avem răspunsul final. Există două puncte cheie în această sarcină:

1. Aveți grijă când răsturnați un logaritm când argumentul și baza sunt schimbate. Astfel de transformări impun restricții inutile asupra domeniului de aplicare a definiției.
2. Nu vă fie teamă să transformați logaritmii: aceștia pot fi nu numai inversați, ci și extinși folosind formula sumei și, în general, modificați folosind orice formule pe care le-ați studiat când rezolvați expresii logaritmice. Cu toate acestea, amintiți-vă întotdeauna: unele transformări extind domeniul de aplicare al definiției, iar altele le restrâng.

Logaritmul numărului b (b > 0) la baza a (a > 0, a ≠ 1)– exponent la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține b.

Logaritmul de bază 10 al lui b poate fi scris ca jurnal(b), iar logaritmul la baza e (logaritmul natural) este ln(b).

Adesea folosit la rezolvarea problemelor cu logaritmi:

Proprietățile logaritmilor

Sunt patru principale proprietățile logaritmilor.

Fie a > 0, a ≠ 1, x > 0 și y > 0.

Proprietatea 1. Logaritmul produsului

Logaritmul produsului egal cu suma logaritmilor:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietatea 2. Logaritmul coeficientului

Logaritmul coeficientului egal cu diferența de logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietatea 3. Logaritmul puterii

Logaritmul gradului egal cu produsul dintre putere și logaritm:

Dacă baza logaritmului este în putere, atunci se aplică o altă formulă:

Proprietatea 4. Logaritmul rădăcinii

Această proprietate poate fi obținută din proprietatea logaritmului unei puteri, deoarece rădăcina a n-a a puterii este egală cu puterea lui 1/n:

Formula pentru conversia dintr-un logaritm dintr-o bază într-un logaritm dintr-o altă bază

Această formulă este adesea folosită și atunci când se rezolvă diverse sarcini pe logaritmi:

Caz special:

Compararea logaritmilor (inegalităților)

Să avem 2 funcții f(x) și g(x) sub logaritmi cu aceleași baze și între ele există un semn de inegalitate:

Pentru a le compara, trebuie să vă uitați mai întâi la baza logaritmilor a:

• Dacă a > 0, atunci f(x) > g(x) > 0
• Daca 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cum se rezolvă probleme cu logaritmi: exemple

Probleme cu logaritmii incluse în Examenul de stat unificat la matematică pentru clasa a 11-a în sarcina 5 și sarcina 7, puteți găsi sarcini cu soluții pe site-ul nostru în secțiunile corespunzătoare. De asemenea, sarcinile cu logaritmi se găsesc în banca de sarcini matematică. Puteți găsi toate exemplele căutând pe site.

Ce este un logaritm

Logaritmii au fost întotdeauna considerați un subiect dificil în cursurile școlare de matematică. Există multe definiții diferite ale logaritmului, dar din anumite motive majoritatea manualelor folosesc cele mai complexe și mai nereușite dintre ele.

Vom defini logaritmul simplu și clar. Pentru a face acest lucru, să creăm un tabel:

Deci, avem puteri de doi.

Logaritmi - proprietăți, formule, cum se rezolvă

Dacă luați numărul din linia de jos, puteți găsi cu ușurință puterea la care va trebui să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridicați doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

baza a a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Denumire: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este ceea ce este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Cu același succes, log 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată este numită. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii se calculează atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe interval. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați așa: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegem că un logaritm este o expresie cu două variabile (baza și argumentul). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegeri enervante, uita-te doar la poza:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția unui logaritm. Amintiți-vă: logaritmul este o putere, în care trebuie construită baza pentru a obține un argument. Este baza care este ridicată la o putere - este evidențiată cu roșu în imagine. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Cum se numără logaritmii

Ne-am dat seama de definiție - tot ce mai rămâne este să înveți cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definiția gradului indicator rațional, la care se reduce definiția unui logaritm.
2. Baza trebuie să fie diferită de unul, deoarece unul în orice grad rămâne unul. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții intervalul de valori acceptabile(ODZ). Se pare că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții privind numărul b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1.

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice în care nu este necesar să cunoaștem VA logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către autorii problemelor. Dar atunci când ecuațiile și inegalitățile logaritmice intră în joc, cerințele DL vor deveni obligatorii. La urma urmei, baza și argumentul pot conține construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum să luăm în considerare schema generala calcularea logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu baza minimă posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta este! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acesta va fi vizibil deja în primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte importantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel cu zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor fi mult mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă folosind exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Să creăm și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Am primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Am primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Am primit raspunsul: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu poate fi reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu contează;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum poți fi sigur că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Este foarte simplu - doar includeți-l în factori primi. Dacă expansiunea are cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă numerele sunt puteri exacte: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grad exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este o putere exactă, întrucât există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grad exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu este o putere exactă;
14 = 7 · 2 - din nou nu este un grad exact;

Să remarcăm, de asemenea, că noi înșine numere prime sunt întotdeauna grade exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și un simbol special.

al argumentului x este logaritmul la baza 10, i.e. Puterea la care trebuie ridicat numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când o expresie precum „Găsiți lg 0.01” apare într-un manual, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este un logaritm zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți familiarizat cu această notație, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru logaritmii zecimali.

Logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa denumire. În unele privințe, este chiar mai important decât zecimală. Vorbim despre logaritmul natural.

al argumentului x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x.

Mulți oameni se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional, al lui valoarea exacta imposibil de găsit și înregistrat. Voi da doar primele cifre:
e = 2,718281828459...

Nu vom intra în detaliu despre ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional iraţional. Cu excepția, desigur, a unuia: ln 1 = 0.

Pentru logaritmi naturali toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Vezi și:

Logaritm. Proprietățile logaritmului (puterea logaritmului).

Cum se reprezintă un număr ca logaritm?

Folosim definiția logaritmului.

Un logaritm este un exponent la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul de sub semnul logaritmului.

Astfel, pentru a reprezenta un anumit număr c ca logaritm la baza a, trebuie să puneți o putere cu aceeași bază ca baza logaritmului sub semnul logaritmului și să scrieți acest număr c ca exponent:

Absolut orice număr poate fi reprezentat ca logaritm - pozitiv, negativ, întreg, fracțional, rațional, irațional:

Pentru a nu confunda a și c în condiții stresante ale unui test sau examen, puteți folosi următoarea regulă de memorare:

ce este dedesubt coboară, ce este sus urcă.

De exemplu, trebuie să reprezentați numărul 2 ca logaritm la baza 3.

Avem două numere - 2 și 3. Aceste numere sunt baza și exponentul, pe care le vom scrie sub semnul logaritmului. Rămâne să se determine care dintre aceste numere ar trebui să fie notate, la baza gradului, și care – în sus, până la exponent.

Baza 3 în notația unui logaritm este în partea de jos, ceea ce înseamnă că atunci când reprezentăm doi ca logaritm la baza 3, vom scrie și 3 la bază.

2 este mai mare decât trei. Și în notarea gradului doi scriem deasupra celor trei, adică ca exponent:

Logaritmi. Nivel de intrare.

Logaritmi

Logaritm număr pozitiv b bazat pe o, Unde a > 0, a ≠ 1, se numește exponentul la care trebuie crescut numărul o a obține b.

Definiţia logarithm poate fi scris pe scurt astfel:

Această egalitate este valabilă pentru b > 0, a > 0, a ≠ 1. De obicei se numește identitate logaritmică.
Se numește acțiunea de a găsi logaritmul unui număr prin logaritm.

Proprietățile logaritmilor:

Logaritmul produsului:

Logaritmul coeficientului:

Înlocuirea bazei logaritmului:

Logaritmul gradului:

Logaritmul rădăcinii:

Logaritm cu baza de putere:

Logaritmi zecimali și naturali.

Logaritm zecimal numerele apelează logaritmul acestui număr la baza 10 și scrie   lg b
Logaritmul natural numerele sunt numite logaritmul acelui număr la bază e, Unde e- un număr irațional aproximativ egal cu 2,7. În același timp ei scriu ln b.

Alte note despre algebră și geometrie

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punct cheie Aici - temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnalul 6 4 + jurnalul 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt teste. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Fie dat logaritmul log a x. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă stabilim c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în mod convențional expresii numerice. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată.

În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Ținând cont de regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. log a a = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
2. log a 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Ele decurg din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe O este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar o pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe o egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xŞi log a y. Apoi, este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm Mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log o 1= 0, prin urmare

jurnal o 1 /b=log o 1 - jurnal a b= - jurnal a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Aşa:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.