Funcția logaritmică 1. Funcția logaritmică

Grafic funcțional trece printr-un punct cu coordonate (1;0)

Alocare grupurilor.Demonstrați că funcțiile exponențiale și logaritmice sunt reciproc invers.

Elevii din același sistem de coordonate desenează un grafic al unei funcții logaritmice și exponențiale

Luați în considerare două funcții simultan: exponențiale y \u003d a x și logaritmice y \u003d log a x.

Figura 2 prezintă schematic graficele funcțiilor y \u003d a x și y \u003d log a xîn cazul în care a\u003e 1.

Figura 3 prezintă schematic graficele funcțiilor y \u003d a x și y \u003d log a x în cazul în care 0 < a < 1.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

• Grafic funcțional y \u003d log a x simetric cu graficul funcției y \u003d ax în raport cu linia dreaptă y \u003d x.
• Un set de valori ale funcției y \u003d a x este setul y\u003e 0 , și domeniul funcției y \u003d log a x este setul x\u003e 0.
• Axă Oh este asimptotul orizontal al graficului funcției y \u003d a x iar axa OU este asimptotul vertical al graficului funcției y \u003d toporul de jurnal.
• Funcţie y \u003d a x crește cu a\u003e 1 și funcție y \u003d log a x crește, de asemenea, la a\u003e 1.Funcţie y \u003d a x scade la 0<а<1 și funcție y \u003d log a x scade, de asemenea, la 0<а<1

Prin urmare, indicativ y \u003d a x și logaritmice y \u003d log a x funcțiile se inversează reciproc.

Grafic funcțional y \u003d log a x numită curba logaritmică, deși de fapt nu s-ar fi putut inventa un nume nou. La urma urmei, acesta este același exponent care servește ca grafic al funcției exponențiale, localizat doar într-un mod diferit pe planul de coordonate.

Etapa de reflecție... Rezumarea preliminară.

Să revenim la problemele discutate la începutul lecției și să discutăm rezultatele obținute.... Să vedem dacă opinia noastră s-a schimbat după muncă.

Studenții din grupuri își compun ipotezele cu informațiile obținute în timpul lucrului cu manualul, trasează graficele funcțiilor și descrierile proprietăților lor, fac modificări în tabel, împărtășesc gânduri cu clasa, discută răspunsurile la fiecare întrebare.

Etapa apelurilor.

Ce credeți, în ce cazuri, pentru ce sarcini pot fi aplicate proprietățile funcției logaritmice?

Răspunsurile estimate ale elevilor: rezolvarea ecuațiilor logaritmice, inegalităților, compararea expresiilor numerice care conțin logaritmi, construirea, transformarea și explorarea funcțiilor logaritmice mai complexe.

Etapa de înțelegere a conținutului.

Loc de muncaprivind recunoașterea graficelor funcțiilor logaritmice, găsirea domeniului definiției, determinarea monotoniei funcțiilor. (Anexa nr. 4)

Răspunsuri.

Pentru a extinde cunoștințele cu privire la problema studiată, studenților li se oferă textul „Aplicarea funcției logaritmice în natură și tehnologie”. (Anexa nr. 5) Folosim metoda tehnologică "Cluster" pentru a menține interesul pentru subiect.

„Această funcție găsește aplicație în lumea din jurul nostru?”, Vom răspunde la această întrebare după ce vom lucra la textul pe spirală logaritmică.

Compilarea clusterului „Aplicarea funcției logaritmice”. Elevii lucrează în grupuri în grupuri. Apoi, grupurile sunt protejate, discutate.

Un exemplu de cluster.

Reflecţie

• Despre ce nu aveți idee despre lecția de astăzi și ce v-a devenit clar acum?
• Ce noutăți ați aflat despre funcția logaritmică și aplicațiile sale?
• Cu ce \u200b\u200bdificultăți te-ai confruntat în timpul finalizării misiunilor?
• Subliniați întrebarea care vă este mai puțin clară.
• Ce informații v-au interesat?
• Alcătuiți sincronul „funcție logaritmică”
• Evaluează activitatea grupului tău (Apendicele nr. 6 „Fișa de evaluare a lucrării în grup”)

Sinkwine.

1. Funcția logaritmică
2. Nelimitat, monoton
3. Explorați, comparați, rezolvați inegalitățile
4. Proprietățile depind de mărimea bazei funcției logaritmice
5. Expozant

Teme pentru acasă:§ 4 p. 240-243, nr. 69-75 (egal)

Literatură:

1. A. I. Azevici Douăzeci de lecții de armonie: curs de științe umaniste și matematice. - M.: School-Press, 1998.-160 p .: bolnav. (Biblioteca revistei „Matematică în școală”. Numărul 7.)
2. Zair-Bek S.I. Dezvoltarea gândirii critice în clasă: un ghid pentru profesorii de educație generală. instituții. - M. Education, 2011 .-- 223 p.
3. Kolyagin Yu.M. Algebra și începutul analizei. Gradul 10: manual. pentru învățământul general. instituții: niveluri de bază și de profil. - M .: Educație, 2010.
4. V. V. Korchagin Examen de stat unificat-2009. Matematica. Sarcini tematice de formare. - M .: Eksmo, 2009.
5. Examen de stat unificat-2008. Matematica. Sarcini tematice de formare / Koreshkova T.A. et al .. - M .: Eksmo, 2008.

Lecție de algebră în clasa a 10-a

Subiect: "Funcția logaritmică, proprietățile și graficul său"

Obiective:

Educational: Introduceți conceptul unei funcții logaritmice folosind experiența trecută, dați o definiție. Explorați proprietățile de bază ale funcției logaritmice. Formați capacitatea de a construi un grafic al unei funcții logaritmice.

În curs de dezvoltare: Dezvoltați capacitatea de a evidenția principalul lucru, de a compara, de a generaliza. Formați o cultură grafică a studenților.

Educational: Arătați relația matematicii cu realitatea din jur. Pentru a forma abilități de comunicare, dialog, capacitatea de a lucra în echipă.

Tip de lecție:combinat

Metode de predare: Căutare parțială, interactivă.

În timpul cursurilor.

1. Actualizarea experienței trecute:

Studenților li se oferă exerciții orale folosind definiția logaritmului, proprietățile sale, formulele pentru trecerea la o nouă bază, rezolvând cele mai simple ecuații logaritmice și exponențiale, exemple pentru găsirea gamei de valori acceptabile pentru expresiile logaritmice

Exerciții orale Munca orală.

1) Calculați utilizând definiția unui logaritm: buturuga 2 8; buturuga 4 16;.

2) Calculați folosind identitatea logaritmică de bază:

3) Rezolvați ecuația folosind definiția:

4) Aflați ce valori ale expresiei x are sens:

5) Găsiți valoarea expresiei folosind proprietățile logaritmelor:

2. Studiul temei.Studenții sunt invitați să rezolve ecuații exponențiale: 2 x \u003d y; () x \u003d y. prin exprimarea variabilei x prin variabila y. În urma acestei lucrări, se obțin formule care definesc funcțiile care nu sunt familiare elevilor. ,. Întrebare : "Cum ai numi această funcție?" elevii spun că este logaritmic, deoarece variabila se află sub semnul logaritmului:.

Întrebare . Dați definiția funcției. Definiție: Funcție dată de formula y \u003d log a x se numește logaritmic cu baza a (a\u003e 0 și 1)

III. Studiu de funcții y \u003d jurnal a x

Mai recent, am introdus conceptul de logaritm al unui număr pozitiv în ceea ce privește baza pozitivă și non-1 a. Pentru orice număr pozitiv, puteți găsi logaritmul la o bază dată. Dar atunci ar trebui să vă gândiți și la o funcție a formularului y \u003d log a x, și despre grafica și proprietățile sale.Funcția dată de formula y \u003d log a x se numește logaritmic cu baza a (a\u003e 0 și 1)

Principalele proprietăți ale funcției logaritmice:

1. Domeniul funcției logaritmice va fi întregul set de numere reale pozitive. Pentru scurtitate, se notează de asemeneaR +. O proprietate evidentă, deoarece fiecare număr pozitiv are un logaritm până la baza a.D(f) \u003d R +

2. Domeniul funcției logaritmice va fi întregul set de numere reale.E(f)= (-∞; +∞)

3 ... Graficul funcției logaritmice trece întotdeauna prin punctul (1; 0).

4 . Lfuncția logaritmică a vârsteila un\u003e 1 și scadela 0<х<1.

5 ... Funcția nu este pară sau ciudată. Funcția logaritmică - funcție generalăși.

6 ... Funcția nu are puncte maxime și minime, în domeniul definiției este continuu.

Figura următoare arată un grafic al unei funcții logaritmice în scădere - (0

Dacă funcțiile exponențiale și logaritmice cu aceleași baze sunt reprezentate într-o axă de coordonate, atunci graficele acestor funcții vor fi simetrice în raport cu linia dreaptă y \u003d x. Această afirmație este prezentată în figura următoare.

Afirmația de mai sus va fi adevărată atât pentru funcțiile logaritmice, cât și pentru cele exponențiale în creștere și descărcare.

Luați în considerare un exemplu: găsiți domeniul funcției logaritmice f (x) \u003d log 8 (4 - 5x).

Pe baza proprietăților funcției logaritmice, domeniul definiției este întregul set de numere reale pozitive R +. Atunci funcția dată va fi definită pentru astfel de x pentru care 4 - 5x\u003e 0. Rezolvăm această inegalitate și obținem x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5 * x) va fi intervalul (-∞; 0,8)

Graficele funcțiilor logaritmice în GeoGebra

Parcele de funcții logaritmice
1) logaritmul natural y \u003d ln (x)
2) logaritmul zecimal y \u003d lg (x)
3) baza logaritmului 2 y \u003d ld (x)

V. Stabilirea subiectului

Aplicând proprietățile obținute ale funcției logaritmice, vom rezolva următoarele sarcini:

1. Găsiți domeniul funcției: y \u003d jurnal 8 (4-5x); y \u003d log 0,5 (2x + 8) ;.

3. Construiți schematic graficele funcțiilor: y \u003d jurnal 2 (x + 2) -3 y \u003d log 2 (x) +2

Secțiunea de logaritmi este de mare importanță în cursul școlar „Analiză matematică”. Sarcinile pentru funcțiile logaritmice se bazează pe principii diferite decât sarcinile pentru inegalități și ecuații. Cunoașterea definițiilor și a proprietăților de bază ale conceptelor de logaritm și funcție logaritmică va asigura soluția cu succes a problemelor tipice USE.

Înainte de a începe să explicăm care este o funcție logaritmică, merită să ne referim la definiția unui logaritm.

Să luăm în considerare un exemplu specific: un jurnal a x \u003d x, unde a ›0, a ≠ 1.

Principalele proprietăți ale logaritmelor pot fi enumerate în mai multe puncte:

logaritm

Luarea logaritmului este o operație matematică care vă permite să găsiți logaritmul unui număr sau al unei expresii folosind proprietățile unui concept.

Exemple:

Funcția logaritmului și proprietățile sale

Funcția logaritmică are forma

Notăm imediat că graficul funcției poate fi în creștere pentru a ›1 și în scădere pentru 0‹ a ‹1. În funcție de aceasta, curba funcției va avea o formă sau alta.

Iată proprietățile și metoda de a planifica logaritmele:

• domeniul f (x) este ansamblul tuturor numerelor pozitive, adică. x poate lua orice valoare din interval (0; + ∞);
• Funcția ODZ este setul tuturor numerelor reale, adică. y poate fi egal cu orice număr din intervalul (- ∞; + ∞);
• dacă baza logaritmului este a ›1, atunci f (x) crește pe întregul domeniu de definiție;
• dacă baza logaritmului este 0 ‹a‹ 1, atunci F este în scădere;
• funcția logaritmică nu este nici impară și ciudată;
• curba graficului trece întotdeauna printr-un punct cu coordonate (1; 0).

Este foarte simplu să construiți ambele tipuri de grafice, luați în considerare procesul printr-un exemplu

În primul rând, trebuie să vă amintiți proprietățile logaritmului simplu și funcția acestuia. Cu ajutorul lor, trebuie să construiți un tabel pentru valori specifice x și y. Apoi punctele obținute ar trebui marcate pe axa de coordonate și conectate cu o linie lină. Această curbă va fi graficul necesar.

Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale dată de formula y \u003d a x. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să desenăm ambele curbe pe aceeași axă de coordonate.

Evident, ambele linii sunt imagini în oglindă una cu cealaltă. Construind linia y \u003d x, puteți vedea axa de simetrie.

Pentru a găsi rapid răspunsul la problemă, trebuie să calculați valorile punctelor pentru y \u003d log 2\u2061 x, apoi pur și simplu mutați originea punctului de coordonate trei diviziuni în jos de-a lungul axei OY și 2 divizii la stânga de-a lungul axei OX.

Ca dovadă, să construim un tabel de calcul pentru punctele graficului y \u003d log 2 \u2061 (x + 2) -3 și să comparăm valorile obținute cu cifra.

După cum puteți vedea, coordonatele din tabel și punctele din grafic coincid, prin urmare, transferul de-a lungul axelor a fost efectuat corect.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice ale examenului

Majoritatea problemelor de testare pot fi împărțite în două părți: căutarea domeniului de definiție, specificarea tipului de funcție prin desenarea unui grafic, determinarea dacă funcția crește / descrește.

Pentru un răspuns rapid la sarcini, este necesar să înțelegeți clar că f (x) crește dacă exponentul logaritmului este\u003e\u003e și scade atunci când 0 \u003ca \u003c1. Cu toate acestea, nu numai baza, ci și argumentul poate afecta puternic forma curbei funcției.

F (x) marcate cu un semn de verificare sunt răspunsuri corecte. În acest caz, îndoielile sunt cauzate de exemplele 2 și 3. Semnul „-” în fața jurnalului se schimbă de la creștere la descrescătoare și invers.

Prin urmare, graficul y \u003d -log 3\u2061 x scade pe întregul domeniu de definiție, iar y \u003d -log (1/3) \u2061x - crește, în timp ce baza este 0 ‹a‹ 1.

Răspuns: 3,4,5.

Răspuns: 4.

Aceste tipuri de sarcini sunt considerate ușoare și sunt estimate la 1-2 puncte.

Sarcina 3.

Determinați dacă funcția este în scădere sau în creștere și indicați sfera acesteia.

Y \u003d log 0,7 \u2061 (0,1x-5)

Deoarece baza logaritmului este mai mică decât una, dar mai mare decât zero, funcția lui x este în scădere. În conformitate cu proprietățile logaritmului, argumentul trebuie să fie, de asemenea, mai mare decât zero. Să rezolvăm inegalitatea:

Răspuns: domeniul definiției D (x) - interval (50; + ∞).

Răspuns: 3, 1, axele OX, spre dreapta.

Astfel de sarcini sunt clasificate ca medii și sunt estimate la 3 - 4 puncte.

Sarcina 5... Găsiți intervalul pentru o funcție:

Din proprietățile logaritmului se știe că argumentul poate fi doar pozitiv. Prin urmare, calculăm intervalul de valori acceptabile ale funcției. Pentru a face acest lucru, va trebui să rezolvați un sistem cu două inegalități.

"Funcția logaritmică, proprietățile și graficul său".

Gradul 10 algebră

Subiectul lecției: "Funcția logaritmică, proprietățile și graficul său."

Tip de lecție: învățarea materialelor noi.

Obiectivele lecției:

• 
  formează o reprezentare a funcției logaritmice, principalele sale proprietăți;
• 
  să formeze capacitatea de a efectua construirea unui grafic al unei funcții logaritmice;
• 
  să promoveze dezvoltarea abilităților de identificare a proprietăților funcției logaritmice pe un grafic;
• 
  dezvoltarea abilităților în lucrul cu textul, capacitatea de a analiza informațiile, capacitatea de sistematizare, evaluare, utilizare a acesteia;
• 
  dezvoltarea abilităților de a lucra în perechi, microgrupuri (abilități de comunicare, dialog, luarea deciziilor comune)

Tehnici utilizate:afirmații adevărate, incorecte, INSERT, cluster, syncwine

Echipament: Prezentare PowerPoint, tablă albă interactivă, fișe (cărți, material text, tabele), foi de hârtie într-o cușcă,

În timpul cursurilor:

Etapa apelurilor:

Introducerea profesorului... Lucrăm la stăpânirea subiectului „Logaritmi”. Ce știm și putem face în acest moment?

Răspunsurile elevilor.

Noi stim: definiție, proprietăți ale logaritmului, identitate logaritmică de bază, formule pentru trecerea la o bază nouă, domenii de aplicare a logaritmelor.

Știm cum: calculați logaritmii, rezolvați cele mai simple ecuații logaritmice, convertiți logaritmii.
Cu ce \u200b\u200bconcept este strâns legat conceptul de logaritm? (cu conceptul de grad, deoarece logaritmul este un exponent)

Alocare studenților... Folosind conceptul de logaritm, completați oricare două tabele cu

a\u003e 1 iar la 0 a (Anexa 1)

Care sunt expresiile prezentate? (ecuații exponențiale, funcții exponențiale)

Alocare studenților... Rezolva ecuații exponențiale folosind expresia variabilă x printr-o variabilă la.

În urma acestei lucrări, se obțin următoarele formule:

În expresiile rezultate, vom schimba locuri x și la... Ce am facut?

Cum ați numi aceste funcții? (logaritmic, deoarece variabila se află sub semnul logaritmului). Cum se scrie această funcție în termeni generali? ...

Subiectul lecției noastre este „Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia”.

O funcție logaritmică este o funcție a formei, unde și - un număr dat; a\u003e 0, a ≠ 1.

Sarcina noastră este să învățăm cum să construim și să explorăm graficele funcțiilor logaritmice, să le aplicăm proprietățile.

Aveți cărți cu întrebări pe mese. Toți încep cu cuvintele „Crezi asta ...”

Răspunsul la întrebare poate fi doar „da” sau „nu”. Dacă „da”, atunci în dreapta întrebării din prima coloană puneți un semn „+”, dacă „nu”, atunci un semn „-”. Dacă aveți îndoieli, puneți un „?”

Lucrați în perechi. Timp de lucru 3 minute. (Anexa nr. 2)

După auzirea răspunsurilor elevilor, prima coloană a tabelului pivot de pe tablă este completată.
Etapa de înțelegere a conținutului (10 minute).

Rezumând rezultatele lucrării cu întrebările din tabel, profesorul pregătește elevii pentru ideea că, în timp ce răspunde la întrebări, nu știm încă dacă avem dreptate sau nu.

Alocare grupurilor... Răspunsurile la întrebări pot fi găsite examinând textul de la §4 pp. 240-242. Dar propun nu doar să citesc textul, ci să aleg una dintre cele patru funcții obținute anterior: ,,,, construiește graficul și dezvăluie din grafic proprietățile funcției logaritmice. Fiecare membru al grupului face acest lucru într-un caiet. Și apoi un grafic de funcții este reprezentat pe o foaie mare de hârtie. După finalizarea lucrărilor, un reprezentant al fiecărui grup vorbește cu o apărare a muncii lor.
Alocare grupurilor.Generalizați proprietățile funcției pentru a\u003e 1 și 0 a (Anexa nr. 3)

Proprietățile funcției y \u003d jurnal a x la a\u003e 1.

Proprietățile funcției y \u003d jurnal a x,la 0 .

Axă OU este asimptotul vertical al graficului funcției logaritmice și în cazul când a\u003e 1, și în cazul când 0
Grafic funcțional y \u003d jurnal a xtrece printr-un punct cu coordonate (1;0)

Alocare grupurilor.Demonstrați că funcțiile exponențiale și logaritmice sunt reciproc invers.

Elevii din același sistem de coordonate desenează un grafic al unei funcții logaritmice și exponențiale

Luați în considerare două funcții simultan: exponențiale y \u003d a x și logaritmice y \u003d jurnal a x.

Figura 2 prezintă schematic graficele funcțiilor y \u003d a x și y \u003d jurnal a xîn cazul în care a\u003e 1.

Figura 3 prezintă schematic graficele funcțiilor y \u003d a x și y \u003d jurnal a x în cazul în care 0
fig.3.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

• 
  Grafic funcțional y \u003d jurnal a X simetric cu graficul funcției y \u003d a x în raport cu linia dreaptă y \u003d x.
• 
  Un set de valori ale funcției y \u003d a x este setul y\u003e 0 , și domeniul funcției y \u003d jurnal a X este setul x\u003e 0.
• 
  Axă Oh este asimptotul orizontal al graficului funcției y \u003d a x iar axa OU este asimptotul vertical al graficului funcției y \u003d jurnal a X.
• 
  Funcţie y \u003d a x crește cu a\u003e 1 și funcție y \u003d jurnal a X crește, de asemenea, la a\u003e 1.Funcţie y \u003d a x scade la 0y \u003d jurnal a X scade, de asemenea, la 0

Prin urmare, indicativ y \u003d a x și logaritmice y \u003d jurnal a X funcțiile se inversează reciproc.
Grafic funcțional y \u003d jurnal a x numită curba logaritmică, deși de fapt nu s-ar fi putut inventa un nume nou. La urma urmei, acesta este același exponent care servește ca grafic al funcției exponențiale, localizat doar într-un mod diferit pe planul de coordonate.
Etapa de reflecție... Rezumarea preliminară.

Să revenim la problemele discutate la începutul lecției și să discutăm rezultatele obținute.... Să vedem dacă opinia noastră s-a schimbat după muncă.

Studenții din grupuri își compun ipotezele cu informațiile obținute în timpul lucrului cu manualul, trasează graficele funcțiilor și descrierile proprietăților lor, fac modificări în tabel, împărtășesc gânduri cu clasa, discută răspunsurile la fiecare întrebare.

Etapa apelurilor.Ce credeți, în ce cazuri, pentru ce sarcini pot fi aplicate proprietățile funcției logaritmice?

Răspunsurile estimate ale elevilor: rezolvarea ecuațiilor logaritmice, inegalităților, compararea expresiilor numerice care conțin logaritmi, construirea, transformarea și explorarea funcțiilor logaritmice mai complexe.

Etapa de înțelegere a conținutului.
Loc de muncaprivind recunoașterea graficelor funcțiilor logaritmice, găsirea domeniului definiției, determinarea monotoniei funcțiilor. (Anexa nr. 4)

1. Găsiți domeniul funcției:

1) la= buturuga 0,3 x 2) la= buturuga 2 (X-1) 3) la= buturuga 3 (3 x)

1. 
   (0; + ∞) b) (1; + ∞) c) (-∞; 3) d) (0; 1]

și) x ≠ 0b) x\u003e 0în) .

Teme pentru acasă:§ 4 p. 240-243, nr. 69-75 (egal)

Literatură:

1. 
   A. I. Azevici Douăzeci de lecții de armonie: curs de științe umaniste și matematice. - M.: School-Press, 1998.-160 p .: bolnav. (Biblioteca revistei „Matematică în școală”. Numărul 7.)
2. 
   Zair Bek S.I. Dezvoltarea gândirii critice în lecție: un ghid pentru profesorii de educație generală. instituții. - M. Education, 2011 .-- 223 p.
3. 
   Kolyagin Yu.M. Algebra și începutul analizei. Gradul 10: manual. pentru învățământul general. instituții: niveluri de bază și de profil. - M .: Educație, 2010.
4. 
   V. V. Korchagin Examen de stat unificat-2009. Matematica. Sarcini tematice de formare. - M .: Eksmo, 2009.
5. 
   Examen de stat unificat-2008. Matematica. Sarcini tematice de formare / Koreshkova T.A. et al .. - M .: Eksmo, 2008