Se știe că este o versiune particulară a egalității ax 2 + bx + c = o, unde a, b și c sunt coeficienți reali pentru x necunoscut și unde a ≠ o și b și c vor fi zerouri - simultan sau separat. De exemplu, c = o, b ≠ o sau invers. Aproape ne-am amintit definiția unei ecuații pătratice.
Trinomul de gradul doi este zero. Primul său coeficient a ≠ o, b și c poate lua orice valoare. Valoarea variabilei x va fi atunci când substituția o transformă într-o egalitate numerică corectă. Să ne concentrăm pe rădăcinile reale, deși ecuațiile pot fi și soluții. Se obișnuiește să se numească o ecuație completă în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Să rezolvăm un exemplu. 2x 2 -9x-5 = oh, găsim
D = 81+40 = 121,
D este pozitiv, ceea ce înseamnă că există rădăcini, x 1 = (9+√121):4 = 5, iar al doilea x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.
Iată o soluție pas cu pas a ecuației pătratice
Folosind discriminantul, puteți rezolva orice ecuație pe partea stângă a cărei este cunoscută trinom pătratic pentru a ≠ o. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)
Să luăm în considerare ce sunt ecuațiile incomplete de gradul doi
- ax 2 +in = o. Termenul liber, coeficientul c la x 0, este egal cu zero aici, în ≠ o.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă de acest tip? Să scoatem x din paranteze. Să ne amintim când produsul a doi factori este egal cu zero.
x(ax+b) = o, aceasta poate fi atunci când x = o sau când ax+b = o.
După rezolvarea a 2-a avem x = -в/а.
Ca urmare, avem rădăcini x 1 = 0, conform calculelor x 2 = -b/a. - Acum coeficientul lui x este egal cu o, iar c nu este egal (≠) o.
x 2 +c = o. Să trecem de la la partea dreapta egalitate, obținem x 2 = -с. Această ecuație are rădăcini reale numai atunci când -c este un număr pozitiv (c ‹ o),
x 1 este atunci egal cu √(-c), respectiv, x 2 este -√(-c). În caz contrar, ecuația nu are deloc rădăcini. - Ultima opțiune: b = c = o, adică ax 2 = o. Desigur, o astfel de ecuație simplă are o rădăcină, x = o.
Cazuri speciale
Ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă și acum să luăm orice tip.
- Într-o ecuație pătratică completă, al doilea coeficient al lui x este un număr par.
Fie k = o.5b. Avem formule pentru calcularea discriminantului și a rădăcinilor.
D/4 = k 2 - ac, rădăcinile se calculează ca x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pentru D › o.
x = -k/a la D = o.
Nu există rădăcini pentru D ‹ o. - Sunt date ecuații pătratice, când coeficientul lui x pătrat este egal cu 1, ele sunt de obicei scrise x 2 + рх + q = o. Toate formulele de mai sus se aplică lor, dar calculele sunt oarecum mai simple.
Exemplu, x 2 -4x-9 = 0. Calculați D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - În plus, este ușor de aplicat celor date Se spune că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p, al doilea coeficient cu minus (adică semnul opus), iar produsul acestor rădăcini va fi. fie egal cu q, termenul liber. Vedeți cât de ușor ar fi să determinați verbal rădăcinile acestei ecuații. Pentru coeficienții nereduși (pentru toți coeficienții care nu sunt egali cu zero), această teoremă este aplicabilă după cum urmează: suma x 1 + x 2 este egală cu -b/a, produsul x 1 · x 2 este egal cu c/a.
Suma termenului liber c și a primului coeficient a este egală cu coeficientul b. În această situație, ecuația are cel puțin o rădăcină (ușor de demonstrat), prima este neapărat egală cu -1, iar a doua -c/a, dacă există. Puteți verifica singur cum să rezolvați o ecuație pătratică incompletă. La fel de ușor ca o plăcintă. Coeficienții pot fi în anumite relații între ei
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Suma tuturor coeficienților este egală cu o.
Rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și c/a. Exemplu, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Există o serie de alte moduri de a rezolva diverse ecuații de gradul doi. Iată, de exemplu, o metodă de extragere dintr-un polinom dat pătrat plin. Există mai multe metode grafice. Când te ocupi adesea de astfel de exemple, vei învăța să „dai clic” pe ele ca pe niște semințe, pentru că toate metodele vin în minte automat.
Farafonova Natalia Igorevna
Subiect: Ecuații patratice incomplete.
Obiectivele lecției:- Introduceți conceptul de ecuație pătratică incompletă;
Învață să rezolvi ecuații pătratice incomplete.
Obiectivele lecției:- Să fie capabil să determine tipul de ecuație pătratică;
Rezolvați ecuații pătratice incomplete.
Webbook: Algebră: manual. pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / Sh. A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu V. Sidorov, etc. - M.: Educație, 2010.
În timpul orelor.
1. Amintiți-le elevilor că înainte de a rezolva orice ecuație pătratică, este necesar să o reduceți la vedere standard. Amintiți-vă definiția ecuație pătratică completă:ax 2 +bx +c = 0,a ≠ 0.
În aceste ecuații pătratice, numiți coeficienții a, b, c:
a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 = 0; d) 5x 2 + 3x = 0.
2. Definiți o ecuație pătratică incompletă:
Ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienți, b sau c, este egal cu 0. Vă rugăm să rețineți că coeficientul a ≠ 0. Din ecuațiile prezentate mai sus, selectați ecuații patratice incomplete.
3. Tipuri de incomplet ecuații pătratice Este mai convenabil să prezentați exemple de soluții sub forma unui tabel:
- Fără a rezolva, determinați numărul de rădăcini pentru fiecare ecuație pătratică incompletă:
a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x = 0; d) 0,6x 2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.
- Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete (rezolvarea ecuațiilor, cu verificare la tablă, 2 opțiuni):
c) 2x 2 + 15 = 0
d) 3x 2 + 2x = 0
e) 2x 2 - 16 = 0
e) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
g) (x + 1) 2 - 4 = 0
c) 2x 2 + 7 = 0
d) x 2 + 9x = 0
e) 81x 2 - 64 = 0
e) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
g) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Muncă independentă în funcție de opțiuni:
1 opțiune
a) 3x 2 - 12 = 0
b) 2x 2 + 6x = 0
e) 7x 2 - 14 = 0
Opțiunea 2
b) 6x 2 + 24 = 0
c) 9y 2 - 4 = 0
d) -y 2 + 5 = 0
e) 1 - 4y 2 = 0
e) 8y 2 + y = 0
Opțiunea 3
a) 6y - y 2 = 0
b) 0,1y 2 - 0,5y = 0
c) (x + 1)(x -2) = 0
d) x(x + 0,5) = 0
e) x 2 - 2x = 0
e) x 2 - 16 = 0
Opțiunea 4
a) 9x 2 - 1 = 0
b) 3x - 2x 2 = 0
d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
e) 3x 2 + 7 = 12x+ 7
Opțiunea 5
a) 2x 2 - 18 = 0
b) 3x 2 - 12x = 0
d) x 2 + 16 = 0
e) 6x 2 - 18 = 0
e) x 2 - 5x = 0
Opțiunea 6
b) 4x 2 + 36 = 0
c) 25y 2 - 1 = 0
d) -y 2 + 2 = 0
e) 9 - 16y 2 = 0
e) 7y 2 + y = 0
Opțiunea 7
a) 4y - y 2 = 0
b) 0,2y 2 - y = 0
c) (x + 2)(x - 1) = 0
d) (x - 0,3)x = 0
e) x 2 + 4x = 0
e) x 2 - 36 = 0
8 optiune
a) 16x 2 - 1 = 0
b) 4x - 5x 2 = 0
d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
e) 5x 2 - 6 = 15x - 6
Răspunsuri la muncă independentă:
Varianta 1: a)2, b)0;-3; c)0; d) fără rădăcini; d);
Varianta 2 a)0; b) rădăcini; V); G); d); e)0;- ;
Varianta 3 a)0;6; b)0;5; c)-1;2; d)0;-0,5; d)0;2; e)4
4 varianta a); b)0;1,5; c)0;3; d)3; d)0;4 f)5
5 varianta a)3; b)0;4; c)0; d) fără rădăcini; e) f)0;5
6 varianta a)0; b) nu există rădăcini; c) d) e)f)0;-
7 varianta a)0;4; b)0;5; c)-2;1; d)0;0,03; d)0;-4; e)6
8 varianta a) b)0; c)0;7; d)4; d)0;3; e)
Rezumatul lecției: Se formulează conceptul de „ecuație pătratică incompletă”; sunt prezentate solutiile tipuri diferite ecuații pătratice incomplete. În cursul îndeplinirii diferitelor sarcini, s-au dezvoltat abilitățile de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete.
7. Teme pentru acasă: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Sarcină suplimentară:
Pentru ce valori ale lui a este ecuația o ecuație pătratică incompletă? Rezolvați ecuația pentru valorile obținute ale lui a:
a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
b) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0
Mai mult într-un mod simplu. Pentru a face acest lucru, puneți z din paranteze. Veți obține: z(аz + b) = 0. Factorii se pot scrie: z=0 și аz + b = 0, deoarece ambii pot rezulta zero. În notația az + b = 0, îl deplasăm pe al doilea la dreapta cu alt semn. De aici obținem z1 = 0 și z2 = -b/a. Acestea sunt rădăcinile originalului.
Daca exista ecuație incompletă forma az² + c = 0, in în acest caz, sunt găsite prin simpla mutare a termenului liber în partea dreaptă a ecuației. Schimbați-i și semnul. Rezultatul va fi az² = -с. Exprimați z² = -c/a. Luați rădăcina și scrieți două soluții - o rădăcină pătrată pozitivă și una negativă.
Notă
Dacă există coeficienți fracționali în ecuație, înmulțiți întreaga ecuație cu factorul corespunzător pentru a scăpa de fracții.
Cunoașterea modului de rezolvare a ecuațiilor pătratice este necesară atât pentru școlari, cât și pentru elevi, uneori, acest lucru poate ajuta și un adult viață obișnuită. Există mai multe metode specifice de rezolvare.
Rezolvarea ecuațiilor cuadratice
Ecuație pătratică de forma a*x^2+b*x+c=0. Coeficientul x este variabila dorită, a, b, c - cote numerice. Amintiți-vă că semnul „+” se poate schimba într-un semn „-”.Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să folosiți teorema lui Vieta sau să găsiți discriminantul. Cea mai comună metodă este găsirea discriminantului, deoarece pentru unele valori ale lui a, b, c nu este posibil să se folosească teorema lui Vieta.
Pentru a găsi discriminantul (D), trebuie să scrieți formula D=b^2 - 4*a*c. Valoarea D poate fi mai mare, mai mică sau egală cu zero. Dacă D este mai mare sau mai mic decât zero, atunci vor fi două rădăcini dacă D = 0, atunci mai exact, putem spune că D are două rădăcini echivalente; Înlocuiți coeficienții cunoscuți a, b, c în formulă și calculați valoarea.
După ce ați găsit discriminantul, utilizați formulele pentru a găsi x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, unde sqrt este o funcție care înseamnă luarea rădăcinii pătrate a unui număr dat. După calcularea acestor expresii, veți găsi două rădăcini ale ecuației dvs., după care ecuația este considerată rezolvată.
Dacă D este mai mic decât zero, atunci are totuși rădăcini. Această secțiune practic nu este studiată la școală. Studenții ar trebui să știe că sub rădăcină apare un număr negativ. Ei scapă de ea prin evidențierea părții imaginare, adică -1 sub rădăcină este întotdeauna egal cu elementul imaginar „i”, care este înmulțit cu rădăcina cu același număr pozitiv. De exemplu, dacă D=sqrt(-20), după transformare obținem D=sqrt(20)*i. După această transformare, rezolvarea ecuației se reduce la aceeași constatare a rădăcinilor descrisă mai sus.
Teorema lui Vieta constă în selectarea valorilor lui x(1) și x(2). Se folosesc două ecuații identice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Si foarte punct important este semnul din fața coeficientului b, amintiți-vă că acest semn este opus celui din ecuație. La prima vedere, se pare că calcularea x(1) și x(2) este foarte simplă, dar la rezolvare, te vei confrunta cu faptul că va trebui să selectezi numerele.
Elemente de rezolvare a ecuațiilor pătratice
Conform regulilor matematicii, unele pot fi factorizate: (a+x(1))*(b-x(2))=0, dacă ați reușit să transformați această ecuație pătratică într-un mod similar folosind formule matematice, atunci nu ezitați să notează răspunsul. x(1) și x(2) vor fi egali cu coeficienții adiacenți dintre paranteze, dar cu semnul opus.De asemenea, nu uitați de ecuațiile pătratice incomplete. Este posibil să vă lipsească unii dintre termeni, dacă da, atunci toți coeficienții săi sunt pur și simplu egali cu zero. Dacă nu există nimic în fața lui x^2 sau x, atunci coeficienții a și b sunt egali cu 1.
În acest articol ne vom uita la rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.
Dar mai întâi, să repetăm ce ecuații sunt numite pătratice. O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde x este o variabilă, iar coeficienții a, b și c sunt niște numere și a ≠ 0 se numește pătrat. După cum vedem, coeficientul pentru x 2 nu este egal cu zero și, prin urmare, coeficienții pentru x sau termenul liber pot fi egali cu zero, caz în care obținem o ecuație pătratică incompletă.
Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) Dacă b = 0, c ≠ 0, atunci ax 2 + c = 0;
2) Dacă b ≠ 0, c = 0, atunci ax 2 + bx = 0;
3) Dacă b = 0, c = 0, atunci ax 2 = 0.
- Să ne dăm seama cum să rezolvăm ecuații de forma ax 2 + c = 0.
Pentru a rezolva ecuația, mutăm termenul liber c în partea dreaptă a ecuației, obținem
ax 2 = ‒s. Deoarece a ≠ 0, împărțim ambele părți ale ecuației cu a, apoi x 2 = ‒c/a.
Dacă ‒с/а > 0, atunci ecuația are două rădăcini
x = ±√(–c/a) .
Dacă ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Să încercăm să înțelegem cu exemple cum să rezolvăm astfel de ecuații.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 2 ‒ 32 = 0.
Răspuns: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 2x 2 + 8 = 0.
Răspuns: ecuația nu are soluții.
- Să ne dăm seama cum să o rezolvăm ecuații de forma ax 2 + bx = 0.
Pentru a rezolva ecuația ax 2 + bx = 0, să o factorizăm, adică să scoatem x din paranteze, obținem x(ax + b) = 0. Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal. la zero. Atunci fie x = 0, fie ax + b = 0. Rezolvând ecuația ax + b = 0, obținem ax = - b, de unde x = - b/a. O ecuație de forma ax 2 + bx = 0 are întotdeauna două rădăcini x 1 = 0 și x 2 = ‒ b/a. Vedeți cum arată soluția ecuațiilor de acest tip în diagramă. 
Să ne consolidăm cunoștințele cu un exemplu concret.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 sau 3x – 12 = 0
Răspuns: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Ecuații de al treilea tip ax 2 = 0 sunt rezolvate foarte simplu.
Dacă ax 2 = 0, atunci x 2 = 0. Ecuația are două rădăcini egale x 1 = 0, x 2 = 0.
Pentru claritate, să ne uităm la diagramă. 
Să ne asigurăm că atunci când rezolvăm exemplul 4, ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate foarte simplu.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7x 2 = 0.
Răspuns: x 1, 2 = 0.
Nu este întotdeauna clar imediat ce tip de ecuație pătratică incompletă trebuie să rezolvăm. Luați în considerare următorul exemplu.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numitor comun, adică până la 30
Să-l tăiem
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Să deschidem parantezele
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Să dăm similar
Să mutăm 99 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul la opus
Răspuns: fără rădăcini.
Ne-am uitat la modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Sper că acum nu veți avea dificultăți cu astfel de sarcini. Aveți grijă când determinați tipul de ecuație pătratică incompletă, atunci veți reuși.
Dacă aveți întrebări pe această temă, vom rezolva problemele împreună.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Școala secundară rurală Kopyevskaya
10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice
Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
profesor de matematică
satul Kopevo, 2007
1. Istoricul dezvoltării ecuațiilor pătratice
1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic
1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice
1.3 Ecuații cuadratice în India
1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi
1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII
1.6 Despre teorema lui Vieta
2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice
Concluzie
Literatură
1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice
1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic
Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea zonelor terenuriși cu terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.
Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.
În ciuda nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.
1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.
Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.
Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.
Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.
Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”
Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mare decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .
De aici rezultă ecuația:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.
Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).
1.3 Ecuații cuadratice în India
Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.
ÎN India antică Competițiile publice în rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţat eclipsează gloria altuia în adunările populare propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele erau adesea prezentate sub formă poetică.
Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.
Problema 13.
„O turmă de maimuțe zgomotoase și douăsprezece de-a lungul viței...
Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...
Sunt ei în piață, partea a opta Câte maimuțe erau acolo?
Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?
Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).
Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara scrie sub pretextul:
x 2 - 64x = -768
si pentru a completa partea stanga a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi
În tratatul algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:
1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.
2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.
3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.
4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.
5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică ah 2 + bx = s.
6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .
Pentru al-Khorezmi, care a evitat consumul numere negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații se adună, nu se scad. În acest caz, ecuații care nu au decizii pozitive. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip
al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în probleme practice specifice nu contează. Când rezolvă ecuații pătratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.
Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implicând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).
Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.
Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.
1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb
Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât țările islamice, cât și Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.
Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:
x 2 + bx = c,
pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.
Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet o are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.
1.6 Despre teorema lui Vieta
Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu A - A 2 , egal BD, Acea A egală ÎN si egali D ».
Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta A, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Exprimarea relației dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor formule generale scris folosind simboluri, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.
2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice
Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Se găsesc ecuații cuadratice aplicare largă la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a VIII-a) până la absolvire.
