Cum se factorizează un trinom pătratic: formulă. Cum se factorizează o ecuație algebrică

18.10.2019

Faringe

Sunt date 8 exemple de factorizare de polinoame. Acestea includ exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice și biquadratice, exemple de polinoame reciproce și exemple de găsire a rădăcinilor întregi ale polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea.

1. Exemple cu rezolvarea unei ecuații pătratice

Exemplul 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Soluţie

Scoatem x 2 în afara parantezelor:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rădăcinile ecuației:
, .

Răspuns

Exemplul 1.2

Factorizați polinomul de gradul trei:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Soluţie

Să scoatem x din paranteze:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Este discriminant: .
Deoarece discriminantul este zero, rădăcinile ecuației sunt multipli: ;
.

Din aceasta obținem factorizarea polinomului:
.

Răspuns

Exemplul 1.3

Factorizați polinomul de gradul cinci:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Soluţie

Scoatem x 3 în afara parantezelor:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Este discriminant: .
Deoarece discriminantul este mai mic decât zero, rădăcinile ecuației sunt complexe: ;
, .

Factorizarea polinomului are forma:
.

Dacă suntem interesați de factorizarea cu coeficienți reali, atunci:
.

Răspuns

Exemple de factorizare a polinoamelor folosind formule

Exemple cu polinoame biquadratice

Exemplul 2.1

Factorizați polinomul biquadratic:
x 4 + x 2 - 20.

Soluţie

Să aplicăm formulele:
o 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
o 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Răspuns

Exemplul 2.2

Factorizați polinomul care se reduce la unul biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Soluţie

Să aplicăm formulele:
o 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
o 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Răspuns

Exemplul 2.3 cu polinom recurent

Factorizați polinomul reciproc:
.

Soluţie

Un polinom reciproc are grad impar. Prin urmare are rădăcina x = - 1 . Împărțiți polinomul la x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;

;
.

Răspuns

Ca rezultat obținem:

Să facem o înlocuire:

Exemple de factorizare a polinoamelor cu rădăcini întregi
.

Soluţie

Exemplul 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Factorizați polinomul:;
Să presupunem că ecuația;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Deci, am găsit trei rădăcini:
.

Răspuns

, x

Exemple de factorizare a polinoamelor cu rădăcini întregi
.

Soluţie

Exemplul 3.1

Deoarece polinomul original este de gradul trei, nu are mai mult de trei rădăcini. Din moment ce am găsit trei rădăcini, ele sunt simple. Apoi 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
-2, -1, 1, 2 .
Inlocuim aceste valori una cate una:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

Deci, am găsit o altă rădăcină x 2 = -1 .
.

Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii: 2 + 2 = 0 Deoarece ecuația x

nu are rădăcini reale, atunci factorizarea polinomului are forma.

Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs poate părea uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul descrie în detaliu cum se factorizează un trinom pătratic.

Mulți oameni nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea un exercițiu inutil. Dar în matematică nimic nu se face degeaba. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și ușurința de calcul. Un polinom de forma – ax²+bx+c, numit trinom pătratic.

Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori o spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică. Interesant!

Un polinom se numește pătrat datorită gradului său cel mai mare, pătratul. Și un trinom - din cauza celor 3 componente.

Alte tipuri de polinoame:
binom liniar (6x+8);

cvadrinom cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătratic

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Trebuie să-i cunoașteți formula pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile sunt de asemenea calculate folosind formula.

Dacă, la calcularea discriminantului, rezultatul este zero, puteți utiliza oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu scurtată: -b / 2a.

Formulele pentru diferite valori discriminante sunt diferite.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Video util: Factorizarea unui trinom pătratic

Exemple

Vă sugerăm să urmăriți exemple simple despre cum să factorizați o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Acest lucru arată clar că rezultatul este doi x deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile se dovedesc a fi negative, semnul din formulă se schimbă în opus.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătratic: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există un număr înaintea unui termen într-o putere. Asta înseamnă că există unul acolo, coboară.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Inlocuim valoarea rezultata:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, să calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce primiți rezultatul, ar trebui să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Soluție alternativă

Unii oameni nu au putut niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătratic. Pentru comoditate, metoda este prezentată cu un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să obținem 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x²+bx+c, la începutul fiecărei paranteze punem x: (x_)(x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică în acest caz -10. Singura modalitate de a afla ce numere sunt acestea este prin selecție. Numerele înlocuite trebuie să corespundă termenului rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Aceasta înseamnă că transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Expansiunea trinomială complexă

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, mai întâi trebuie să vedeți dacă ceva poate fi luat în considerare.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este deja binecunoscutul trinom. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este în pătrat este negativ? În acest caz, numărul -1 este scos din paranteze. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze care trebuie completate (_)(_). În a 2-a paranteză este scris x, iar în prima ce a mai rămas. Arată astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 este dat de numerele:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea acestor numere. Ultima opțiune este potrivită. Aceasta înseamnă că transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibilă convertirea unei expresii. Cu a doua metodă, nu este necesară rezolvarea ecuației. Dar posibilitatea de a transforma termeni într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați rezolvarea ecuațiilor pătratice, astfel încât atunci când utilizați formulele să nu existe dificultăți.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să le exersați pe ambele până când devin automate. De asemenea, să învețe cum să rezolvi bine ecuațiile pătratice și să factorizezi polinoamele este necesară pentru cei care intenționează să-și conecteze viața cu matematica. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

Conceptele de „polinom” și „factorizarea unui polinom” în algebră sunt întâlnite foarte des, deoarece trebuie să le cunoașteți pentru a efectua cu ușurință calcule cu numere mari cu mai multe cifre. Acest articol va descrie mai multe metode de descompunere. Toate sunt destul de simplu de utilizat, trebuie doar să-l alegi pe cel potrivit pentru fiecare caz specific.

Conceptul de polinom

Un polinom este o sumă de monomii, adică expresii care conțin numai operația de înmulțire.

De exemplu, 2 * x * y este un monom, dar 2 * x * y + 25 este un polinom care constă din 2 monomii: 2 * x * y și 25. Astfel de polinoame se numesc binoame.

Uneori, pentru comoditatea rezolvării exemplelor cu valori multivalorice, o expresie trebuie transformată, de exemplu, descompusă într-un anumit număr de factori, adică numere sau expresii între care se realizează acțiunea de multiplicare. Există mai multe moduri de factorizare a unui polinom. Merită să le luați în considerare, începând cu cele mai primitive, care sunt folosite în școala primară.

Grupare (înregistrare în formă generală)

Formula pentru factorizarea unui polinom folosind metoda grupării în general arată astfel:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Este necesar să grupăm monomiile astfel încât fiecare grup să aibă un factor comun. În prima paranteză acesta este factorul c, iar în a doua - d. Acest lucru trebuie făcut pentru a-l muta apoi din suport, simplificând astfel calculele.

Algoritm de descompunere folosind un exemplu specific

Cel mai simplu exemplu de factorizare a unui polinom folosind metoda grupării este dat mai jos:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

În prima paranteză trebuie să luați termenii cu factorul a, care va fi comun, iar în a doua - cu factorul b. Acordați atenție semnelor + și - din expresia finală. Punem în fața monomului semnul care se afla în expresia inițială. Adică, trebuie să lucrați nu cu expresia 25a, ci cu expresia -25. Semnul minus pare a fi „lipit” de expresia din spatele lui și întotdeauna luat în considerare la calcul.

În pasul următor, trebuie să scoateți multiplicatorul, care este obișnuit, din paranteze. Exact pentru asta este gruparea. A pune în afara parantezei înseamnă a scrie înaintea parantezei (omițând semnul înmulțirii) toți acei factori care se repetă exact în toți termenii care sunt în paranteză. Dacă nu sunt 2, ci 3 sau mai mulți termeni într-o paranteză, factorul comun trebuie să fie conținut în fiecare dintre ei, altfel nu poate fi scos din paranteză.

În cazul nostru, sunt doar 2 termeni între paranteze. Multiplicatorul general este imediat vizibil. În prima paranteză este a, în a doua este b. Aici trebuie să acordați atenție coeficienților digitali. În prima paranteză, ambii coeficienți (10 și 25) sunt multipli ai lui 5. Aceasta înseamnă că nu numai a, ci și 5a pot fi scoși din paranteză. Înainte de paranteză, scrieți 5a și apoi împărțiți fiecare dintre termenii dintre paranteze după factorul comun care a fost scos și, de asemenea, scrieți câtul între paranteze, fără a uita de semnele + și -. Faceți același lucru cu a doua paranteză. scoateți 7b, precum și 14 și 35 multiplu de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Avem 2 termeni: 5a(2c - 5) și 7b(2c - 5). Fiecare dintre ele conține un factor comun (toată expresia dintre paranteze este aceeași aici, ceea ce înseamnă că este un factor comun): 2c - 5. De asemenea, trebuie scos din paranteză, adică termenii 5a și 7b rămân în a doua paranteză:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Deci expresia completă este:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Astfel, polinomul 10ac + 14bc - 25a - 35b se descompune în 2 factori: (2c - 5) și (5a + 7b). Semnul înmulțirii dintre ele poate fi omis la scriere

Uneori există expresii de acest tip: 5a 2 + 50a 3, aici puteți scoate din paranteze nu numai a sau 5a, ci chiar 5a 2. Ar trebui să încercați întotdeauna să scoateți cel mai mare factor comun din paranteză. În cazul nostru, dacă împărțim fiecare termen la un factor comun, obținem:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(la calcularea coeficientului mai multor puteri cu baze egale se pastreaza baza si se scade exponentul). Astfel, unitatea rămâne în paranteză (în niciun caz nu uitați să scrieți unul dacă scoateți unul dintre termeni din paranteză) și câtul de împărțire: 10a. Rezultă că:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formule pătrate

Pentru ușurința calculului, au fost derivate mai multe formule. Acestea se numesc formule de înmulțire abreviate și sunt folosite destul de des. Aceste formule ajută la factorizarea polinoamelor care conțin grade. Acesta este un alt mod eficient de factorizare. Deci iată-le:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - o formulă numită „pătratul sumei”, deoarece, ca urmare a descompunerii într-un pătrat, se ia suma numerelor cuprinse între paranteze, adică valoarea acestei sume este înmulțită cu ea însăși de 2 ori și, prin urmare, este o multiplicator.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula pentru pătratul diferenței, este similară cu cea anterioară. Rezultă diferența, cuprinsă între paranteze, conținută în puterea pătrată.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- aceasta este o formulă pentru diferența de pătrate, deoarece inițial polinomul este format din 2 pătrate de numere sau expresii, între care se efectuează scăderea. Poate că, dintre cele trei menționate, este folosit cel mai des.

Exemple de calcule folosind formule pătrate

Calculele pentru ei sunt destul de simple. De exemplu:

25x 2 + 20xy + 4y 2 - folosiți formula „pătratul sumei”.
25x 2 este pătratul lui 5x. 20xy este produsul dublu al lui 2*(5x*2y), iar 4y 2 este pătratul lui 2y.
Astfel, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Acest polinom este descompus în 2 factori (factorii sunt aceiași, deci se scrie ca o expresie cu o putere pătrată).

Acțiunile care utilizează formula diferenței pătrate sunt efectuate în mod similar cu acestea. Formula rămasă este diferența de pătrate. Exemple ale acestei formule sunt foarte ușor de definit și de găsit printre alte expresii. De exemplu:

25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Deoarece 25a 2 = (5a) 2 și 400 = 20 2
36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Deoarece 36x 2 = (6x) 2 și 25y 2 = (5y 2)
c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Deoarece 169b 2 = (13b) 2

Este important ca fiecare dintre termeni să fie un pătrat al unei expresii. Apoi acest polinom trebuie factorizat folosind formula diferenței de pătrate. Pentru aceasta, nu este necesar ca gradul doi să fie deasupra numărului. Există polinoame care conțin grade mari, dar încă se potrivesc acestor formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

În acest exemplu, un 8 poate fi reprezentat ca (a 4) 2, adică pătratul unei anumite expresii. 25 este 5 2, iar 10a este 4 - acesta este produsul dublu al termenilor 2 * a 4 * 5. Adică această expresie, în ciuda prezenței unor grade cu exponenți mari, poate fi descompusă în 2 factori pentru a putea lucra ulterior cu aceștia.

Formule cub

Aceleași formule există pentru factorizarea polinoamelor care conțin cuburi. Sunt puțin mai complicate decât cele cu pătrate:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- această formulă se numește suma cuburilor, deoarece în forma sa inițială polinomul este suma a două expresii sau numere închise într-un cub.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - o formulă identică cu cea anterioară este desemnată ca diferență de cuburi.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cubul unei sume, ca rezultat al calculelor, suma numerelor sau expresiilor este cuprinsă între paranteze și înmulțită cu ea însăși de 3 ori, adică situată într-un cub
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, întocmită prin analogie cu cea anterioară, schimbând doar unele semne ale operațiilor matematice (plus și minus), se numește „cubul diferențelor”.

Ultimele două formule practic nu sunt folosite în scopul factorizării unui polinom, deoarece sunt complexe și este destul de rar să găsiți polinoame care corespund pe deplin exact acestei structuri, astfel încât să poată fi factorizate folosind aceste formule. Dar trebuie totuși să le cunoașteți, deoarece vor fi necesare atunci când se operează în direcția opusă - la deschiderea parantezelor.

Exemple de formule cub

Să ne uităm la un exemplu: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Aici sunt luate numere destul de simple, așa că puteți vedea imediat că 64a 3 este (4a) 3, iar 8b 3 este (2b) 3. Astfel, acest polinom este extins conform formulei diferenței cuburilor în 2 factori. Acțiunile care utilizează formula pentru suma cuburilor sunt efectuate prin analogie.

Este important de înțeles că nu toate polinoamele pot fi extinse în cel puțin un fel. Există însă expresii care conțin puteri mai mari decât un pătrat sau un cub, dar pot fi extinse și în forme de înmulțire abreviate. De exemplu: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Acest exemplu conține până la gradul al 12-lea. Dar chiar și poate fi factorizat folosind formula sumei cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă imaginați x 12 ca (x 4) 3, adică ca un cub al unei expresii. Acum, în loc de a, trebuie să îl înlocuiți în formulă. Ei bine, expresia 125y 3 este un cub de 5y. Apoi, trebuie să compuneți produsul folosind formula și să efectuați calcule.

La început, sau în caz de îndoială, puteți verifica oricând prin înmulțire inversă. Trebuie doar să deschideți parantezele în expresia rezultată și să efectuați acțiuni cu termeni similari. Această metodă se aplică tuturor metodelor de reducere enumerate: atât pentru lucrul cu un factor comun și grupare, cât și pentru lucrul cu formule de cuburi și puteri pătratice.

Factorizarea polinoamelor este o transformare de identitate, în urma căreia un polinom este transformat în produsul mai multor factori - polinoame sau monomii.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a izola factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate din paranteze”.

Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.

Soluţie.

1. Găsiți un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare prescurtate din expresie.

Să factorizăm polinomul x 6 – 1.

Soluţie.

1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Aşa,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării presupune combinarea componentelor unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra acestora (adunarea, scăderea, scăderea unui factor comun).

Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluţie.

1. Să grupăm componentele astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Aşa,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Să asigurăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2.

Soluţie.

1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Aşa,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Factorizarea polinoamelor este o transformare de identitate, în urma căreia un polinom este transformat în produsul mai multor factori - polinoame sau monomii.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.

Soluţie.

1. Găsiți un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare prescurtate din expresie.

Să factorizăm polinomul x 6 – 1.

Soluţie.

2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Aşa,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluţie.

1. Să grupăm componentele astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Aşa,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Să asigurăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2.

Soluţie.

1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Aşa,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.