Inițial am vrut să includ metode de distribuție numitor comunîn secțiunea „Adunarea și scăderea fracțiilor”. Dar existau atât de multe informații, iar importanța lor era atât de mare (la urma urmei, nu numai fracții numerice), că este mai bine să studiem această problemă separat.
Deci, să presupunem că avem două fracții cu numitori diferiți. Și vrem să ne asigurăm că numitorii devin aceiași. Proprietatea de bază a unei fracții vine în ajutor, care, permiteți-mi să vă reamintesc, sună astfel:
O fracție nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr, altul decât zero.
Astfel, dacă alegeți corect factorii, numitorii fracțiilor vor deveni egali - acest proces se numește reducere la un numitor comun. Iar numerele necesare, „uniformând” numitorii, se numesc factori suplimentari.
De ce trebuie să reducem fracțiile la un numitor comun? Iată doar câteva motive:
- Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Nu există altă modalitate de a efectua această operație;
- Compararea fracțiilor. Uneori, reducerea la un numitor comun simplifică foarte mult această sarcină;
- Rezolvarea problemelor care implică fracții și procente. Procentele sunt în esență expresii obișnuite care conțin fracții.
Există multe modalități de a găsi numere care, atunci când sunt înmulțite cu ele, vor face ca numitorii fracțiilor să fie egali. Vom lua în considerare doar trei dintre ele - în ordinea complexității crescânde și, într-un sens, a eficacității.
Înmulțirea încrucișată
Cel mai simplu și mod de încredere, care este garantat să egaleze numitorii. Vom acționa „într-un mod cu cap”: înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții, iar a doua cu numitorul primei. Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu produsul numitorilor inițiali. Aruncă o privire:
Ca factori suplimentari, luați în considerare numitorii fracțiilor învecinate. Primim:
Da, atât de simplu. Dacă abia începeți să studiați fracțiile, este mai bine să lucrați folosind această metodă - astfel vă veți asigura împotriva multor greșeli și veți obține garantat rezultatul.
Singurul dezavantaj aceasta metoda- trebuie să numărați mult, pentru că numitorii se înmulțesc „pe tot parcursul”, iar rezultatul poate fi foarte numere mari. Acesta este prețul de plătit pentru fiabilitate.
Metoda divizorului comun
Această tehnică ajută la reducerea semnificativă a calculelor, dar, din păcate, este folosită destul de rar. Metoda este următoarea:
- Înainte de a merge drept înainte (adică, folosind metoda încrucișată), aruncați o privire la numitori. Poate că unul dintre ele (cel mai mare) este împărțit în celălalt.
- Numărul rezultat din această împărțire va fi un factor suplimentar pentru fracția cu numitor mai mic.
- În acest caz, o fracție cu un numitor mare nu trebuie să fie înmulțită cu nimic - aici se află economiile. În același timp, probabilitatea de eroare este redusă drastic.
Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:
Rețineți că 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Deoarece în ambele cazuri un numitor este împărțit fără rest la celălalt, folosim metoda factorilor comuni. Avem:
Rețineți că a doua fracție nu a fost înmulțită cu nimic. De fapt, am redus cantitatea de calcul la jumătate!
Apropo, nu am luat fracțiile din acest exemplu întâmplător. Dacă sunteți interesat, încercați să le numărați folosind metoda încrucișată. După reducere, răspunsurile vor fi aceleași, dar va fi mult mai mult de lucru.
Aceasta este puterea metodei divizorilor comuni, dar, din nou, poate fi folosită numai atunci când unul dintre numitori este divizibil cu celălalt fără rest. Ceea ce se întâmplă destul de rar.
Metoda multiplă cel mai puțin comună
Când reducem fracțiile la un numitor comun, încercăm în esență să găsim un număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori. Apoi aducem numitorii ambelor fracții la acest număr.
Există o mulțime de astfel de numere, iar cel mai mic dintre ele nu va fi neapărat egal cu produsul direct al numitorilor fracțiilor originale, așa cum se presupune în metoda „încrucișată”.
De exemplu, pentru numitorii 8 și 12, numărul 24 este destul de potrivit, deoarece 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Acest număr este mult mai mic decât produsul 8 · 12 = 96.
Cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori se numește cel mai mic multiplu comun al acestora (MCM).
Notație: Cel mai mic multiplu comun al lui a și b este notat cu LCM(a ; b) . De exemplu, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Dacă reușiți să găsiți un astfel de număr, suma totală a calculelor va fi minimă. Uită-te la exemple:
Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:
Rețineți că 234 = 117 2; 351 = 117 3. Factorii 2 și 3 sunt copprimi (nu au alți factori comuni decât 1), iar factorul 117 este comun. Prin urmare, LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
La fel, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Factorii 3 și 4 sunt coprimi, iar factorul 5 este comun. Prin urmare, LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Acum să aducem fracțiile la numitori comuni:
Observați cât de util a fost factorizarea numitorilor inițiali:
- După ce am descoperit factori identici, am ajuns imediat la cel mai mic multiplu comun, ceea ce, în general, este o problemă nebanală;
- Din expansiunea rezultată puteți afla ce factori „lipsesc” în fiecare fracție. De exemplu, 234 · 3 = 702, prin urmare, pentru prima fracție factorul suplimentar este 3.
Pentru a aprecia cât de multă diferență face metoda cea mai puțin comună multiplă, încercați să calculați aceleași exemple folosind metoda încrucișată. Desigur, fără calculator. Cred că după aceasta comentariile vor fi inutile.
Să nu credeți că nu vor exista fracții atât de complexe în exemplele reale. Se întâlnesc tot timpul, iar sarcinile de mai sus nu sunt limita!
Singura problemă este cum să găsiți acest NOC. Uneori, totul se găsește în câteva secunde, literalmente „cu ochi”, dar, în general, aceasta este o sarcină de calcul complexă care necesită o analiză separată. Nu vom atinge asta aici.
Pentru a reduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie să: 1) găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date, acesta va fi cel mai mic numitor comun. 2) găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție împărțind noul numitor la numitorul fiecărei fracții. 3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.
Exemple. Reduceți următoarele fracții la cel mai mic numitor comun.
Găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor: LCM(5; 4) = 20, deoarece 20 este cel mai mic număr care este divizibil cu 5 și 4. Găsiți pentru prima fracție un factor suplimentar 4 (20). : 5=4). Pentru a doua fracție factorul suplimentar este 5 (20 : 4=5). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 4, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 5. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 20 ).
Cel mai mic numitor comun al acestor fracții este numărul 8, deoarece 8 este divizibil cu 4 și cu el însuși. Nu va exista un factor suplimentar pentru prima fracție (sau putem spune că este egal cu unu), pentru a doua fracție factorul suplimentar este 2 (8 : 4=2). Înmulțim numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 8 ).
Aceste fracții nu sunt ireductibile.
Să reducem prima fracție cu 4 și să reducem a doua fracție cu 2. ( vezi exemple despre reducerea fracțiilor obișnuite: Harta site-ului → 5.4.2. Exemple de reducere a fracțiilor comune). Găsiți LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Multiplicatorul suplimentar pentru prima fracție este 5 (80 : 16=5). Factorul suplimentar pentru a doua fracție este 4 (80 : 20=4). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 5, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 4. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 80 ).
Găsim cel mai mic numitor comun NCD(5 ; 6 și 15)=NOK(5 ; 6 și 15)=30. Factorul suplimentar la prima fracție este 6 (30 : 5=6), factorul suplimentar la a doua fracție este 5 (30 : 6=5), factorul suplimentar la a treia fracție este 2 (30 : 15=2). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 6, numărătorul și numitorul celei de-a 2-a fracții cu 5, numărătorul și numitorul celei de-a 3-a fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 30 ).
Pagina 1 din 1 1
În acest material, vom analiza cum să convertim corect fracțiile la un nou numitor, ce este un factor suplimentar și cum să-l găsim. După aceasta, vom formula regula de bază pentru reducerea fracțiilor la noi numitori și o vom ilustra cu exemple de probleme.
Conceptul de reducere a unei fracții la alt numitor
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții. Potrivit lui, o fracție obișnuită a b (unde a și b sunt numere oarecare) are un număr infinit de fracții care sunt egale cu ea. Astfel de fracții pot fi obținute prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr m (număr natural). Cu alte cuvinte, totul fracții comune pot fi înlocuite cu altele de forma a · m b · m . Aceasta este reducerea valorii inițiale la o fracție cu numitorul dorit.
Puteți reduce o fracție la un alt numitor înmulțind numărătorul și numitorul ei cu oricare numar natural. Condiția principală este ca multiplicatorul să fie același pentru ambele părți ale fracției. Rezultatul va fi o fracție egală cu cea inițială.
Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.
Exemplul 1
Transformați fracția 11 25 la noul numitor.
Soluţie
Să luăm un număr natural arbitrar 4 și să înmulțim ambele părți ale fracției inițiale cu acesta. Numărăm: 11 · 4 = 44 și 25 · 4 = 100. Rezultatul este o fracție de 44 100.
Toate calculele pot fi scrise sub această formă: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Se dovedește că orice fracție poate fi redusă la o cantitate uriașă numitori diferiti. În loc de patru, am putea lua un alt număr natural și am putea obține o altă fracție echivalentă cu cea inițială.
Dar nu orice număr poate deveni numitor fracție nouă. Deci, pentru a b numitorul poate conține numai numere b m care sunt multipli ai lui b. Revedeți conceptele de bază ale împărțirii — multipli și divizori. Dacă numărul nu este un multiplu al lui b, dar nu poate fi un divizor al noii fracții. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu de rezolvare a unei probleme.
Exemplul 2
Calculați dacă este posibil să reduceți fracția 5 9 la numitorii 54 și 21.
Soluţie
54 este un multiplu al lui nouă, care se află la numitorul noii fracții (adică 54 poate fi împărțit la 9). Aceasta înseamnă că o astfel de reducere este posibilă. Dar nu putem împărți 21 la 9, așa că această acțiune nu poate fi efectuată pentru această fracție.
Conceptul de multiplicator suplimentar
Să formulăm ce este un factor suplimentar.
Definiția 1
Multiplicator suplimentar este un număr natural cu care ambele părți ale unei fracții sunt înmulțite pentru a o aduce la un nou numitor.
Acestea. când facem asta cu o fracție, luăm un factor suplimentar pentru aceasta. De exemplu, pentru a reduce fracția 7 10 la forma 21 30, avem nevoie de un factor suplimentar de 3. Și puteți obține fracția 15 40 din 3 8 folosind multiplicatorul 5.
În consecință, dacă cunoaștem numitorul la care trebuie redusă o fracție, atunci putem calcula un factor suplimentar pentru aceasta. Să ne dăm seama cum să facem asta.
Avem o fracție a b care poate fi redusă la un anumit numitor c; Să calculăm factorul suplimentar m. Trebuie să înmulțim numitorul fracției inițiale cu m. Se obține b · m, iar conform condițiilor problemei b · m = c. Să ne amintim cum sunt legate între ele înmulțirea și împărțirea. Această conexiune ne va determina la următoarea concluzie: factorul suplimentar nu este altceva decât câtul împărțirii lui c la b, cu alte cuvinte, m = c: b.
Astfel, pentru a găsi factorul suplimentar, trebuie să împărțim numitorul necesar la cel inițial.
Exemplul 3
Aflați factorul suplimentar cu care fracția 17 4 a fost redusă la numitorul 124.
Soluţie
Folosind regula de mai sus, împărțim pur și simplu 124 la numitorul fracției inițiale, patru.
Numărăm: 124: 4 = 31.
Acest tip de calcul este adesea necesar la conversia fracțiilor la un numitor comun.
Regula pentru reducerea fracțiilor la numitorul specificat
Să trecem la definirea regulii de bază cu care puteți reduce fracțiile la numitorul specificat. Asa de,
Definiția 2
Pentru a reduce o fracție la numitorul specificat, aveți nevoie de:
- determinați un factor suplimentar;
- înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției originale cu acesta.
Cum se aplică această regulă în practică? Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 4
Reduceți fracția 7 16 la numitorul 336.
Soluţie
Să începem prin a calcula multiplicatorul suplimentar. Împărțire: 336: 16 = 21.
Înmulțim răspunsul rezultat cu ambele părți ale fracției inițiale: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Așa că am adus fracția inițială la numitorul dorit 336.
Răspuns: 7 16 = 147 336.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos sunt instrucțiuni detaliate.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept
Cel mai mic numitor comun (LCD) în cuvinte simple este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor din acest exemplu. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOS este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple
Să ne uităm la exemple de găsire a NOC.
Calculați: 3/5 + 2/15.
Soluție (secvență de acțiuni):
- Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și că expresiile sunt cât mai prescurtate.
- Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
- După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NCD trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.
Calculați: 1/2 – 5/12 + 3/6
Soluție (secvență de acțiuni):
- Găsirea celui mai mic numitor comun. Număr minim, divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
- Se obține: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 – 6; pentru 5/12 – 1; pentru 3/6 – 2.
- Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Răspuns: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Acest articol explică cum să găsiți cel mai mic numitor comunȘi cum se reduc fracțiile la un numitor comun. În primul rând, sunt date definițiile numitorului comun al fracțiilor și cel mai mic numitor comun și este arătat cum să găsiți numitorul comun al fracțiilor. Mai jos este o regulă pentru reducerea fracțiilor la un numitor comun și sunt luate în considerare exemple de aplicare a acestei reguli. În concluzie, exemple de aducere a trei și Mai mult fracții la un numitor comun.
Navigare în pagină.
Ce se numește reducerea fracțiilor la un numitor comun?
Acum putem spune ce înseamnă reducerea fracțiilor la un numitor comun. Reducerea fracțiilor la un numitor comun- Aceasta este înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor date cu astfel de factori suplimentari încât rezultatul sunt fracții cu aceiași numitori.
Numitor comun, definiție, exemple
Acum este timpul să definim numitorul comun al fracțiilor.
Cu alte cuvinte, numitorul comun al unui anumit set de fracții ordinare este orice număr natural care este divizibil cu toți numitorii acestor fracții.
Din definiția menționată rezultă că un anumit set de fracții are infiniti numitori comuni, deoarece există un număr infinit de multipli comuni ai tuturor numitorilor setului original de fracții.
Determinarea numitorului comun al fracțiilor vă permite să găsiți numitorii comuni ai fracțiilor date. Să fie, de exemplu, având în vedere fracțiile 1/4 și 5/6, numitorii lor sunt 4 și, respectiv, 6. Multiplii comuni pozitivi ai numerelor 4 și 6 sunt numerele 12, 24, 36, 48, ... Oricare dintre aceste numere este un numitor comun al fracțiilor 1/4 și 5/6.
Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția pentru următorul exemplu.
Exemplu.
Pot fi reduse fracțiile 2/3, 23/6 și 7/12 la un numitor comun de 150?
Soluţie.
Pentru a răspunde la întrebare trebuie să aflăm dacă numărul 150 este un multiplu comun al numitorilor 3, 6 și 12. Pentru a face acest lucru, să verificăm dacă 150 este divizibil cu fiecare dintre aceste numere (dacă este necesar, vezi regulile și exemplele de împărțire a numerelor naturale, precum și regulile și exemplele de împărțire a numerelor naturale cu rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (răman de 6).
Asa de, 150 nu este divizibil egal cu 12, prin urmare 150 nu este un multiplu comun al lui 3, 6 și 12. Prin urmare, numărul 150 nu poate fi numitorul comun al fracțiilor originale.
Răspuns:
Este interzis.
Cel mai mic numitor comun, cum să-l găsiți?
În mulțimea numerelor care sunt numitori comuni ai fracțiilor date, există cel mai mic număr natural, care se numește cel mai mic numitor comun. Să formulăm definiția celui mai mic numitor comun al acestor fracții.
Definiție.
Cel mai mic numitor comun este cel mai mic număr dintre toți numitorii comuni ai acestor fracții.
Rămâne să ne ocupăm de întrebarea cum să găsim cel mai mic divizor comun.
Deoarece este cel mai mic divizor comun pozitiv al unui set dat de numere, LCM al numitorilor fracțiilor date reprezintă cel mai mic numitor comun al fracțiilor date.
Astfel, găsirea celui mai mic numitor comun al fracțiilor se reduce la numitorii acelor fracții. Să ne uităm la soluția exemplului.
Exemplu.
Aflați cel mai mic numitor comun al fracțiilor 3/10 și 277/28.
Soluţie.
Numitorii acestor fracții sunt 10 și 28. Cel mai mic numitor comun dorit este găsit ca LCM al numerelor 10 și 28. În cazul nostru, este ușor: deoarece 10=2·5 și 28=2·2·7, atunci LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Răspuns:
140 .
Cum se reduc fracțiile la un numitor comun? Regulă, exemple, soluții
Fracțiile comune duc de obicei la cel mai mic numitor comun. Vom scrie acum o regulă care explică cum să reducem fracțiile la cel mai mic numitor comun.
Regula pentru reducerea fracțiilor la cel mai mic numitor comun constă din trei etape:
- Mai întâi, găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor.
- În al doilea rând, se calculează un factor suplimentar pentru fiecare fracție, împărțind cel mai mic numitor comun la numitorul fiecărei fracții.
- În al treilea rând, numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțite cu factorul suplimentar al acesteia.
Să aplicăm regula enunțată pentru a rezolva următorul exemplu.
Exemplu.
Reduceți fracțiile 5/14 și 7/18 la cel mai mic numitor comun.
Soluţie.
Să executăm toți pașii algoritmului de reducere a fracțiilor la cel mai mic numitor comun.
Mai întâi găsim cel mai mic numitor comun, care este egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 14 și 18. Deoarece 14=2·7 și 18=2·3·3, atunci LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Acum calculăm factori suplimentari cu ajutorul cărora fracțiile 5/14 și 7/18 vor fi reduse la numitorul 126. Pentru fracția 5/14 factorul suplimentar este 126:14=9, iar pentru fracția 7/18 factorul suplimentar este 126:18=7.
Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor 5/14 și 7/18 cu factori suplimentari 9 și, respectiv, 7. Avem și 
.
Deci, reducerea fracțiilor 5/14 și 7/18 la cel mai mic numitor comun este completă. Fracțiile rezultate au fost 45/126 și 49/126.
