Exemple de adunare a fracțiilor improprii. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Adunarea și scăderea fracțiilor comune

20.10.2019

Amigdalele

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori diferiți. Pentru a face acest lucru, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. În același timp, știm deja cum să reducem fracțiile algebrice la un numitor comun. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți este una dintre cele mai importante și dificile subiecte din cursul de clasa a VIII-a. Mai mult, acest subiect va apărea în multe subiecte din cursul de algebră pe care îl vei studia în viitor. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu diferiți numitori și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice.

Să ne uităm la cel mai simplu exemplu pentru fracțiile obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim de regula de adunare a fracțiilor. Pentru început, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Numitorul comun pentru fracțiile ordinare este cel mai mic multiplu comun(LCM) a numitorilor originali.

Definiție

Cel mai mic număr natural care este divizibil cu ambele numere și .

Pentru a găsi LCM, trebuie să factorizați numitorii în factori primi și apoi să selectați toți factorii primi care sunt incluși în extinderea ambilor numitori.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După ce ați găsit numitorul comun, trebuie să găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție (de fapt, împărțiți numitorul comun la numitorul fracției corespunzătoare).

Fiecare fracție este apoi înmulțită cu factorul suplimentar rezultat. Obținem fracții cu aceiași numitori, pe care le-am învățat să le adunăm și să le scădem în lecțiile anterioare.

Primim: .

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare adăugarea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți. Mai întâi, să ne uităm la fracțiile ai căror numitori sunt numere.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Algoritmul de soluție este absolut similar cu exemplul anterior. Este ușor de găsit numitorul comun al acestor fracții: și factori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

Răspuns:.

Deci, hai să formulăm algoritm de adunare si scadere a fractiilor algebrice cu numitori diferiti:

1. Aflați cel mai mic numitor comun al fracțiilor.

2. Găsiți factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (prin împărțirea numitorului comun la numitorul fracției date).

3. Înmulțiți numărătorii cu factorii suplimentari corespunzători.

4. Adunați sau scădeți fracții folosind regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari.

Să luăm acum un exemplu cu fracții al căror numitor conține expresii cu litere.

Exemplul 3. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Deoarece expresiile literelor din ambii numitori sunt aceleași, ar trebui să găsiți un numitor comun pentru numere. Numitorul comun final va arăta astfel: . Astfel, soluția acestui exemplu arată astfel:.

Răspuns:.

Exemplul 4. Scăderea fracțiilor: .

Soluţie:

Dacă nu puteți „trișa” atunci când alegeți un numitor comun (nu îl puteți factoriza sau folosi formule de înmulțire abreviate), atunci trebuie să luați produsul numitorilor ambelor fracții ca numitor comun.

Răspuns:.

În general, atunci când rezolvați astfel de exemple, cea mai dificilă sarcină este să găsiți un numitor comun.

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 5. Simplifica: .

Soluţie:

Când găsiți un numitor comun, trebuie mai întâi să încercați să factorizați numitorii fracțiilor originale (pentru a simplifica numitorul comun).

În acest caz particular:

Atunci este ușor să determinați numitorul comun: .

Determinăm factori suplimentari și rezolvăm acest exemplu:

Răspuns:.

Acum să stabilim regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplul 6. Simplifica: .

Soluţie:

Răspuns:.

Exemplul 7. Simplifica: .

Soluţie:

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare un exemplu în care nu se adună două, ci trei fracții (la urma urmei, regulile de adunare și scădere pentru un număr mai mare de fracții rămân aceleași).

Exemplul 8. Simplifica: .

Regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți sunt foarte simple.

Să ne uităm la regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți pas cu pas:

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor. LCM rezultat va fi numitorul comun al fracțiilor;

2. Reduceți fracțiile la un numitor comun;

3. Adaugă fracțiile reduse la un numitor comun.

Folosind un exemplu simplu, vom învăța cum să aplicăm regulile de adunare a fracțiilor cu diferiți numitori.

Exemplu

Un exemplu de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți.

Adăugați fracții cu numitori diferiți:

1	+	5
6	+	12

Vom decide pas cu pas.

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor.

Numărul 12 este divizibil cu 6.

De aici concluzionăm că 12 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 12.

Răspuns: numărul numerelor 6 și 12 este 12:

LCM(6, 12) = 12

LCM rezultat va fi numitorul comun a două fracții 1/6 și 5/12.

2. Reduceți fracțiile la un numitor comun.

În exemplul nostru, doar prima fracție trebuie redusă la un numitor comun de 12, deoarece a doua fracție are deja un numitor de 12.

Împărțiți numitorul comun al lui 12 la numitorul primei fracții:

2 are un multiplicator suplimentar.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții (1/6) cu un factor suplimentar de 2.

Luați în considerare fracția $\frac63$. Valoarea sa este 2, deoarece $\frac63 =6:3 = 2$. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțiți cu 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Evident, valoarea fracției nu s-a schimbat, deci $\frac(12)(6)$ deoarece y este, de asemenea, egal cu 2. Puteți înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 și obțineți $\frac(18)(9)$ sau cu 27 și obțineți $\frac(162)(81)$ sau cu 101 și obțineți $\frac(606)(303)$. În fiecare dintre aceste cazuri, valoarea fracției pe care o obținem prin împărțirea numărătorului la numitor este 2. Aceasta înseamnă că nu s-a schimbat.

Același model se observă și în cazul altor fracții. Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(120)(60)$ (egal cu 2) sunt împărțite la 2 (rezultatul este $\frac(60)(30)$), sau la 3 (rezultatul este $\frac(40)(20) $), sau cu 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) și așa mai departe, atunci în fiecare caz valoarea fracției rămâne neschimbată și egală cu 2.

Această regulă se aplică și fracțiilor care nu sunt egale număr întreg.

Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ sunt înmulțite cu 2, obținem $\frac(2)(6)$, adică valoarea fracției nu s-a schimbat. Și de fapt, dacă împărțiți plăcinta în 3 părți și luați una dintre ele, sau o împărțiți în 6 părți și luați 2 părți, veți obține aceeași cantitate de plăcintă în ambele cazuri. Prin urmare, numerele $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt identice. Să formulăm o regulă generală.

Numătorul și numitorul oricărei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr fără a modifica valoarea fracției.

Această regulă se dovedește a fi foarte utilă. De exemplu, permite în unele cazuri, dar nu întotdeauna, evitarea operațiunilor cu numere mari.

De exemplu, putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(126)(189)$ la 63 și obținem fracția $\frac(2)(3)$, cu care este mult mai ușor de calculat. Încă un exemplu. Putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(155)(31)$ la 31 și obținem fracția $\frac(5)(1)$ sau 5, deoarece 5:1=5.

În acest exemplu, ne-am întâlnit prima dată o fracție al cărei numitor este 1. Astfel de fracții joacă un rol important în calcule. Trebuie amintit că orice număr poate fi împărțit la 1 și valoarea acestuia nu se va schimba. Adică $\frac(273)(1)$ este egal cu 273; $\frac(509993)(1)$ este egal cu 509993 și așa mai departe. Prin urmare, nu trebuie să împărțim numerele la , deoarece fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1.

Cu astfel de fracții, al căror numitor este 1, puteți efectua aceleași operații aritmetice ca și cu toate celelalte fracții: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vă puteți întreba la ce este bun dacă reprezentăm un întreg ca o fracție cu o unitate sub linie, deoarece este mai convenabil să lucrați cu un întreg. Dar ideea este că reprezentarea unui număr întreg ca fracție ne oferă posibilitatea de a efectua diverse operații mai eficient atunci când avem de-a face atât cu numere întregi, cât și cu fracții în același timp. De exemplu, să învețe se adună fracții cu numitori diferiți. Să presupunem că trebuie să adăugăm $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(5)$.

Știm că putem aduna doar fracții ai căror numitori sunt egali. Aceasta înseamnă că trebuie să învățăm cum să reducem fracțiile la o formă în care numitorii lor sunt egali. În acest caz, vom avea din nou nevoie de faptul că putem înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr fără a-i schimba valoarea.

Mai întâi, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ cu 5. Obținem $\frac(5)(15)$, valoarea fracției nu s-a schimbat. Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(5)$ cu 3. Obținem $\frac(3)(15)$, iar valoarea fracției nu s-a schimbat. Prin urmare, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Acum să încercăm să aplicăm acest sistem la adunarea numerelor care conțin atât părți întregi, cât și părți fracționale.

Trebuie să adăugăm $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mai întâi, să convertim toți termenii în fracții și să obținem: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Acum trebuie să aducem toate fracțiile la un numitor comun, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 12, pe a doua cu 4 și pe a treia cu 3. Ca rezultat, obținem $\frac(36). )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, care este egal cu $\frac(55)(12)$. Dacă vrei să scapi de fracție improprie, poate fi transformat într-un număr format dintr-un număr întreg și o fracție: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ sau $4\frac(7) )( 12)$.

Toate regulile care permit operatii cu fractii, pe care tocmai le-am studiat, sunt valabile și în cazul numerelor negative. Deci, -1: 3 poate fi scris ca $\frac(-1)(3)$, iar 1: (-3) ca $\frac(1)(-3)$.

Deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr pozitiv și împărțirea unui număr pozitiv la un număr negativ rezultă în numere negative, în ambele cazuri răspunsul va fi un număr negativ. Acesta este

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ sau $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Semnul minus atunci când este scris în acest fel se referă la întreaga fracție, și nu separat la numărător sau numitor.

Pe de altă parte, (-1) : (-3) poate fi scris ca $\frac(-1)(-3)$ și, deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr negativ dă un număr pozitiv, atunci $\frac (-1 )(-3)$ poate fi scris ca $+\frac(1)(3)$.

Adunarea și scăderea fracțiilor negative se efectuează conform aceleiași scheme ca și adunarea și scăderea fracțiilor pozitive. De exemplu, ce este $1- 1\frac13$? Să reprezentăm ambele numere ca fracții și să obținem $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Să aducem fracțiile la un numitor comun și să obținem $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, adică $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ sau $-\frac(1)(3)$.

Una dintre cele mai importante științe, a cărei aplicare poate fi văzută în discipline precum chimia, fizica și chiar biologia, este matematica. Studierea acestei științe vă permite să dezvoltați unele calități mentale și să vă îmbunătățiți capacitatea de concentrare. Unul dintre subiectele care merită o atenție deosebită la cursul de Matematică este adunarea și scăderea fracțiilor. Mulți studenți le este greu să studieze. Poate că articolul nostru vă va ajuta să înțelegeți mai bine acest subiect.

Cum se scad fracțiile ai căror numitori sunt aceiași

Fracțiile sunt aceleași numere cu care puteți efectua diverse operații. Diferența lor față de numerele întregi constă în prezența unui numitor. De aceea, atunci când efectuați operații cu fracții, trebuie să studiați unele dintre caracteristicile și regulile acestora. Cel mai simplu caz este scăderea fracțiilor ordinare ai căror numitori sunt reprezentați ca același număr. Efectuarea acestei acțiuni nu va fi dificilă dacă cunoașteți o regulă simplă:

Pentru a scădea o secundă dintr-o fracție, este necesar să se scadă numărătorul fracției scăzute din numărătorul fracției care se reduce. Scriem acest număr în numărătorul diferenței și lăsăm numitorul același: k/m - b/m = (k-b)/m.

Exemple de scădere a fracțiilor ai căror numitori sunt aceiași

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Din numărătorul fracției „7” scădem numărătorul fracției „3” de scăzut, obținem „4”. Scriem acest număr la numărătorul răspunsului, iar la numitor punem același număr care era în numitorii primei și celei de-a doua fracții - „19”.

Imaginea de mai jos prezintă mai multe exemple similare.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex în care se scad fracțiile cu numitori similari:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Din numărătorul fracției „29” fiind redus prin scăderea pe rând a numărătorilor tuturor fracțiilor ulterioare - „3”, „8”, „2”, „7”. Drept urmare, obținem rezultatul „9”, pe care îl notăm la numărătorul răspunsului, iar la numitor notăm numărul care se află în numitorii tuturor acestor fracții - „47”.

Adunarea fracțiilor care au același numitor

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite urmează același principiu.

Pentru a adăuga fracții ai căror numitori sunt aceiași, trebuie să adăugați numărătorii. Numărul rezultat este numărătorul sumei, iar numitorul va rămâne același: k/m + b/m = (k + b)/m.

Să vedem cum arată asta folosind un exemplu:

1/4 + 2/4 = 3/4.

La numărătorul primului termen al fracției - „1” - adăugați numărătorul celui de-al doilea termen al fracției - „2”. Rezultatul - „3” - este scris în numărătorul sumei, iar numitorul rămâne același cu cel prezent în fracții - „4”.

Fracții cu numitori diferiți și scăderea lor

Am considerat deja operația cu fracții care au același numitor. După cum puteți vedea, cunoscând reguli simple, rezolvarea unor astfel de exemple este destul de ușoară. Dar dacă trebuie să efectuați o operație cu fracții care au numitori diferiți? Mulți elevi de liceu sunt derutați de astfel de exemple. Dar și aici, dacă cunoașteți principiul soluției, exemplele nu vă vor mai fi dificile. Există și o regulă aici, fără de care rezolvarea unor astfel de fracții este pur și simplu imposibilă.

Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același cel mai mic numitor.

Vom vorbi mai detaliat despre cum să facem acest lucru.

Proprietatea unei fracții

Pentru a aduce mai multe fracții la același numitor, trebuie să utilizați proprietatea principală a unei fracții în soluție: după împărțirea sau înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr, obțineți o fracție egală cu cea dată.

Deci, de exemplu, fracția 2/3 poate avea numitori precum „6”, „9”, „12”, etc., adică poate avea forma oricărui număr care este multiplu al lui „3”. După ce înmulțim numărătorul și numitorul cu „2”, obținem fracția 4/6. După ce înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu „3”, obținem 6/9, iar dacă facem o operație similară cu numărul „4”, obținem 8/12. O egalitate poate fi scrisă după cum urmează:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Cum se transformă mai multe fracții la același numitor

Să ne uităm la cum să reducem mai multe fracții la același numitor. De exemplu, să luăm fracțiile prezentate în imaginea de mai jos. Mai întâi trebuie să determinați ce număr poate deveni numitorul pentru toate. Pentru a ușura lucrurile, să factorizăm numitorii existenți.

Numitorul fracției 1/2 și al fracției 2/3 nu pot fi factorizați. Numitorul 7/9 are doi factori 7/9 = 7/(3 x 3), numitorul fracției 5/6 = 5/(2 x 3). Acum trebuie să determinăm care factori vor fi cei mai mici pentru toate aceste patru fracții. Deoarece prima fracție are numărul „2” la numitor, înseamnă că trebuie să fie prezentă la toți numitorii; în fracția 7/9 există două triplete, ceea ce înseamnă că ambele trebuie să fie prezente și la numitor. Ținând cont de cele de mai sus, determinăm că numitorul este format din trei factori: 3, 2, 3 și este egal cu 3 x 2 x 3 = 18.

Să luăm în considerare prima fracție - 1/2. Există un „2” în numitorul său, dar nu există o singură cifră „3”, dar ar trebui să fie două. Pentru a face acest lucru, înmulțim numitorul cu două triple, dar, conform proprietății unei fracții, trebuie să înmulțim numărătorul cu două triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Efectuăm aceleași operații cu fracțiile rămase.

2/3 - unul trei și unul doi lipsesc la numitor:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 sau 7/(3 x 3) - numitorului lipsește un doi:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 sau 5/(2 x 3) - numitorului îi lipsește un trei:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Toate împreună arată așa:

Cum se scad și se adună fracții care au numitori diferiți

După cum am menționat mai sus, pentru a adăuga sau scădea fracții care au numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același numitor, iar apoi să se folosească regulile de scădere a fracțiilor care au același numitor, care au fost deja discutate.

Să ne uităm la asta ca exemplu: 4/18 - 3/15.

Aflarea multiplului numerelor 18 și 15:

Numărul 18 este format din 3 x 2 x 3.
Numărul 15 este format din 5 x 3.
Multiplu comun va fi următorii factori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

După ce a fost găsit numitorul, este necesar să se calculeze factorul care va fi diferit pentru fiecare fracție, adică numărul cu care va fi necesar să se înmulțească nu numai numitorul, ci și numărătorul. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul pe care l-am găsit (multiplu comun) la numitorul fracției pentru care trebuie să fie determinați factori suplimentari.

90 împărțit la 15. Numărul rezultat „6” va fi un multiplicator pentru 3/15.
90 împărțit la 18. Numărul rezultat „5” va fi un multiplicator pentru 4/18.

Următoarea etapă a soluției noastre este să reducem fiecare fracție la numitorul „90”.

Am vorbit deja despre cum se face acest lucru. Să vedem cum este scris asta într-un exemplu:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Dacă fracțiile au numere mici, atunci puteți determina numitorul comun, ca în exemplul prezentat în imaginea de mai jos.

Același lucru este valabil și pentru cei cu numitori diferiți.

Scăderea și având părți întregi

Am discutat deja în detaliu despre scăderea fracțiilor și adunarea lor. Dar cum să scadă dacă o fracție are o parte întreagă? Din nou, să folosim câteva reguli:

Convertiți toate fracțiile care au o parte întreagă în fracții improprii. Cu cuvinte simple, eliminați o parte întreagă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul părții întregi cu numitorul fracției și adăugați produsul rezultat la numărător. Numărul care iese după aceste acțiuni este numărătorul fracției improprie. Numitorul rămâne neschimbat.
Dacă fracțiile au numitori diferiți, acestea ar trebui reduse la același numitor.
Efectuați adunarea sau scăderea cu aceiași numitori.
Când primiți o fracție necorespunzătoare, selectați întreaga parte.

Există un alt mod în care puteți adăuga și scădea fracții cu părți întregi. Pentru a face acest lucru, acțiunile sunt efectuate separat cu părți întregi și acțiunile cu fracții separat, iar rezultatele sunt înregistrate împreună.

Exemplul dat este format din fracții care au același numitor. În cazul în care numitorii sunt diferiți, aceștia trebuie adusi la aceeași valoare și apoi efectuați acțiunile prezentate în exemplu.

Scăderea fracțiilor din numere întregi

Un alt tip de operatie cu fractii este cazul in care o fractiune trebuie scazuta.La prima vedere, un astfel de exemplu pare greu de rezolvat. Totuși, totul este destul de simplu aici. Pentru a o rezolva, trebuie să convertiți numărul întreg într-o fracție și cu același numitor care se află în fracția scăzută. În continuare, efectuăm o scădere similară cu scăderea cu numitori identici. Într-un exemplu arată astfel:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Scăderea fracțiilor (clasa 6) prezentată în acest articol este baza pentru rezolvarea unor exemple mai complexe care sunt acoperite în notele ulterioare. Cunoașterea acestui subiect este ulterior utilizată pentru a rezolva funcții, derivate și așa mai departe. Prin urmare, este foarte important să înțelegeți și să înțelegeți operațiile cu fracții discutate mai sus.

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să trecem la problema principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal lucrul cu fracții nu este diferit de lucrul cu numere întregi. De fapt, asta este ceea ce este bun la ei, zecimale. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

Numere mixte, așa cum am spus deja, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Ele mai trebuie convertite în fracții obișnuite.

Dar acțiunile cu fracții obișnuite vor fi mai vicleni. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici toată această aritmetică în detaliu.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să le reamintesc celor care sunt complet uituci: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în termeni generali:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea de bază a unei fracții (aici ne este util din nou!), facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. În scopul unic de a face numitorii la fel. Permiteți-mi să notez, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 sunt incomode pentru noi, iar 4/10 sunt chiar ok.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror probleme de matematică. Când noi din incomod facem expresii același lucru, dar mai convenabil de rezolvat.

Alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin înmulțire simplă cu 3. Toate acestea sunt clare. Dar am dat peste ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Wow! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță divizibil cu 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul comun tuturor fracțiilor și să reduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, din aceste numere este ușor să obțineți 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă iei 1024 ca numitor comun, totul se va rezolva, până la urmă totul se va reduce. Dar nu toată lumea va ajunge la acest scop, din cauza calculelor...

Completați singur exemplul. Nu un fel de logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, adunarea (scăderea) fracțiilor este clară, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este la îndemâna celor care au lucrat cinstit în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Un nou rake va fi dezvăluit aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Aceasta este ceea ce dictează proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, nu pot adăuga unul la X în prima fracție din numitor. (ar fi drăguț!). Dar dacă înmulți numitorii, vezi, totul crește împreună! Deci notăm linia fracției, lăsăm un spațiu gol în partea de sus, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem parantezele! Și acum, privind numitorul comun din partea dreaptă, realizăm: pentru a obține numitorul x(x+1) în prima fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x+1) . Și în a doua fracție - la x. Asta este ceea ce obțineți:

Notă! Iată parantezele! Aceasta este grebla pe care calcă mulți oameni. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim toate numărător și toate numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. Înmulțim totul și dăm altele asemănătoare. Nu este nevoie să deschideți parantezele în numitori sau să înmulțiți nimic! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Deci am primit răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Odată ce rezolvi exemplele, te obișnuiești, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile la timp fac toate aceste operațiuni cu o singură mână stângă, automat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă inteligent de fracții, dar rămân blocați cu exemple întreg numere. Cum ar fi: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați cele două piese? Nu trebuie să-l fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune din două. Nu este ușor, dar foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, cunoștințele de adunare și scădere de fracții au fost reîmprospătate. S-a repetat conversia fracțiilor de la un tip la altul. De asemenea, puteți fi verificat. O rezolvăm puțin?)

Calculati: