Inițial am vrut să includ metode de distribuție numitor comunîn secțiunea „Adunarea și scăderea fracțiilor”. Dar existau atât de multe informații, iar importanța lor era atât de mare (la urma urmei, nu numai fracții numerice), că este mai bine să studiem această problemă separat.
Deci, să presupunem că avem două fracții cu numitori diferiti. Și vrem să ne asigurăm că numitorii devin aceiași. Proprietatea de bază a unei fracții vine în ajutor, care, permiteți-mi să vă reamintesc, sună astfel:
O fracție nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr, altul decât zero.
Astfel, dacă alegeți corect factorii, numitorii fracțiilor vor deveni egali - acest proces se numește reducere la un numitor comun. Iar numerele necesare, „uniformând” numitorii, se numesc factori suplimentari.
De ce trebuie să reducem fracțiile la un numitor comun? Iată doar câteva motive:
- Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Nu există altă modalitate de a efectua această operație;
- Compararea fracțiilor. Uneori, reducerea la un numitor comun simplifică foarte mult această sarcină;
- Rezolvarea problemelor care implică fracții și procente. Procentele sunt în esență expresii obișnuite care conțin fracții.
Există multe modalități de a găsi numere care, atunci când sunt înmulțite cu ele, vor face ca numitorii fracțiilor să fie egali. Vom lua în considerare doar trei dintre ele - în ordinea complexității crescânde și, într-un sens, a eficacității.
Înmulțirea încrucișată
Cel mai simplu și mod de încredere, care este garantat să egaleze numitorii. Vom acționa „într-un mod captivant”: înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții, iar a doua cu numitorul primei. Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu produsul numitorilor inițiali. Aruncă o privire:
Ca factori suplimentari, luați în considerare numitorii fracțiilor învecinate. Primim:
Da, atât de simplu. Dacă abia începeți să studiați fracțiile, este mai bine să lucrați folosind această metodă - astfel vă veți asigura împotriva multor greșeli și veți obține garantat rezultatul.
Singurul dezavantaj aceasta metoda- trebuie să faci multă numărare, pentru că numitorii se înmulțesc „iar și iar”, iar rezultatul poate fi numere foarte mari. Acesta este prețul de plătit pentru fiabilitate.
Metoda divizorului comun
Această tehnică ajută la reducerea semnificativă a calculelor, dar, din păcate, este folosită destul de rar. Metoda este următoarea:
- Înainte de a merge drept înainte (adică, folosind metoda încrucișată), aruncați o privire la numitori. Poate că unul dintre ele (cel mai mare) este împărțit în celălalt.
- Numărul rezultat din această împărțire va fi un factor suplimentar pentru fracția cu numitor mai mic.
- În acest caz, o fracție cu un numitor mare nu trebuie să fie înmulțită cu nimic - aici se află economiile. În același timp, probabilitatea de eroare este redusă drastic.
Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:
Rețineți că 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Deoarece în ambele cazuri un numitor este împărțit fără rest la celălalt, folosim metoda factorilor comuni. Avem:
Rețineți că a doua fracție nu a fost înmulțită cu nimic. De fapt, am redus cantitatea de calcul la jumătate!
Apropo, nu am luat fracțiile din acest exemplu întâmplător. Dacă sunteți interesat, încercați să le numărați folosind metoda încrucișată. După reducere, răspunsurile vor fi aceleași, dar va fi mult mai mult de lucru.
Aceasta este puterea metodei divizorilor comuni, dar, din nou, poate fi folosită numai atunci când unul dintre numitori este divizibil cu celălalt fără rest. Ceea ce se întâmplă destul de rar.
Metoda multiplă cel mai puțin comună
Când reducem fracțiile la un numitor comun, încercăm în esență să găsim un număr care este divizibil cu fiecare numitor. Apoi aducem numitorii ambelor fracții la acest număr.
Există o mulțime de astfel de numere, iar cel mai mic dintre ele nu va fi neapărat egal cu produsul direct al numitorilor fracțiilor originale, așa cum se presupune în metoda „încrucișată”.
De exemplu, pentru numitorii 8 și 12, numărul 24 este destul de potrivit, deoarece 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Acest număr este mult mai mic decât produsul 8 · 12 = 96.
Cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori se numește cel mai mic multiplu comun al acestora (MCM).
Notație: Cel mai mic multiplu comun al lui a și b este notat cu LCM(a ; b) . De exemplu, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Dacă reușiți să găsiți un astfel de număr, suma totală a calculelor va fi minimă. Uită-te la exemple:
Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:
Rețineți că 234 = 117 2; 351 = 117 3. Factorii 2 și 3 sunt copprimi (nu au alți factori comuni decât 1), iar factorul 117 este comun. Prin urmare, LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
La fel, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Factorii 3 și 4 sunt coprimi, iar factorul 5 este comun. Prin urmare, LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Acum să aducem fracțiile la numitori comuni:
Observați cât de util a fost factorizarea numitorilor inițiali:
- După ce am descoperit factori identici, am ajuns imediat la cel mai mic multiplu comun, ceea ce, în general, este o problemă nebanală;
- Din expansiunea rezultată puteți afla ce factori „lipsesc” în fiecare fracție. De exemplu, 234 · 3 = 702, prin urmare, pentru prima fracție factorul suplimentar este 3.
Pentru a aprecia cât de multă diferență face metoda cea mai puțin comună multiplă, încercați să calculați aceleași exemple folosind metoda încrucișată. Desigur, fără calculator. Cred că după aceasta comentariile vor fi inutile.
Să nu credeți că nu vor exista fracții atât de complexe în exemplele reale. Se întâlnesc tot timpul, iar sarcinile de mai sus nu sunt limita!
Singura problemă este cum să găsiți acest NOC. Uneori, totul poate fi găsit în câteva secunde, literalmente „cu ochi”, dar, în general, aceasta este o sarcină de calcul complexă care necesită o analiză separată. Nu vom atinge asta aici.
Numitorul fracției aritmetice a/b este numărul b, care arată dimensiunea fracțiilor unei unități din care este compusă fracția. Numitorul fracției algebrice A / B se numește expresie algebrica B. Pentru a efectua aritmetica cu fracții, acestea trebuie reduse la cel mai mic numitor comun.
Vei avea nevoie
- Pentru a lucra cu fracții algebrice și a găsi cel mai mic numitor comun, trebuie să știți cum să factorizați polinoamele.
Instrucțiuni
Să luăm în considerare reducerea a două fracții aritmetice n/m și s/t la cel mai mic numitor comun, unde n, m, s, t sunt numere întregi. Este clar că aceste două fracții pot fi reduse la orice numitor divizibil cu m și t. Dar încearcă să conducă la cel mai mic numitor comun. Este egală cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor m și t ai fracțiilor date. Cel mai mic multiplu (LMK) al unui număr este cel mai mic divizibil cu toate numerele date în același timp. Acestea. în cazul nostru, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al numerelor m și t. Notat ca LCM (m, t). În continuare, fracțiile sunt înmulțite cu cele corespunzătoare: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Să găsim cel mai mic numitor comun al trei fracții: 4/5, 7/8, 11/14. Mai întâi, să extindem numitorii 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Apoi, calculați LCM (5, 8, 14) prin înmulțire toate numerele incluse în cel puțin una dintre expansiuni. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Rețineți că dacă un factor apare în expansiunea mai multor numere (factorul 2 în extinderea numitorilor 8 și 14), atunci luăm factorul la un grad mai mare (2^3 în cazul nostru).
Deci, se obține cea generală. Este egal cu 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Aici obținem numerele cu care trebuie să înmulțim fracțiile cu numitorii corespunzători pentru a le aduce la cel mai mic numitor comun. Obținem 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reducerea fracțiilor algebrice la cel mai mic numitor comun se realizează prin analogie cu cele aritmetice. Pentru claritate, să analizăm problema folosind un exemplu. Să fie date două fracții (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) și (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Să factorizăm ambii numitori. Rețineți că numitorul primei fracții este Patrat perfect: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pentru
Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos sunt instrucțiuni detaliate.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept
Cel mai mic numitor comun (LCD) în cuvinte simple este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor din acest exemplu. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOS este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple
Să ne uităm la exemple de găsire a NOC.
Calculați: 3/5 + 2/15.
Soluție (secvență de acțiuni):
- Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și că expresiile sunt cât mai prescurtate.
- Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
- După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NCD trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.
Calculați: 1/2 – 5/12 + 3/6
Soluție (secvență de acțiuni):
- Găsirea celui mai mic numitor comun. Număr minim, divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
- Se obține: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 – 6; pentru 5/12 – 1; pentru 3/6 – 2.
- Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Răspuns: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Când se adună și se scad fracții algebrice cu numitori diferiți, fracțiile duc mai întâi la numitor comun. Aceasta înseamnă că ei găsesc un numitor care este împărțit la numitorul original al fiecărei fracții algebrice incluse în expresia dată.
După cum știți, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, valoarea fracției nu se va modifica. Aceasta este proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, atunci când fracțiile sunt reduse la un numitor comun, ele înmulțesc în esență numitorul inițial al fiecărei fracții cu factorul lipsă pentru a obține un numitor comun. În acest caz, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest factor (este diferit pentru fiecare fracție).
De exemplu, având în vedere următoarea sumă de fracții algebrice:
Este necesar să simplificați expresia, adică să adăugați două fracții algebrice. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să aduceți termenii fracțiunii la un numitor comun. Primul pas este să găsiți un monom care este divizibil cu 3x și 2y. În acest caz, este de dorit ca acesta să fie cel mai mic, adică să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru 3x și 2y.
Pentru coeficienți numericiși variabilele LCM sunt căutate separat. LCM(3, 2) = 6 și LCM(x, y) = xy. Apoi, valorile găsite sunt înmulțite: 6xy.
Acum trebuie să determinăm cu ce factor trebuie să înmulțim 3x pentru a obține 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Aceasta înseamnă că la reducerea primei fracții algebrice la un numitor comun, numărătorul acesteia trebuie înmulțit cu 2y (numitorul a fost deja înmulțit la reducerea la un numitor comun). În același mod se caută multiplicatorul pentru numărătorul celei de-a doua fracții. Va fi egal cu 3x.
Astfel obținem: 
Apoi puteți acționa ca și cu fracții cu numitori identici: adunați numărătorii și scrieți un numitor comun: 
După transformări, se obține o expresie simplificată, care este una fracție algebrică, care este suma a două originale: 
Fracțiile algebrice din expresia originală pot conține numitori care sunt mai degrabă polinoame decât monomii (ca în exemplul de mai sus). În acest caz, înainte de a căuta un numitor comun, ar trebui să factorizezi numitorii (dacă este posibil). În continuare, numitorul comun este colectat din diferiți factori. Dacă multiplicatorul este în mai mulți numitori inițiali, atunci este luat o dată. Dacă multiplicatorul are grade diferite la numitorii originali, apoi se ia cu cel mai mare. De exemplu: 
Aici polinomul a 2 – b 2 poate fi reprezentat ca produsul (a – b)(a + b). Factorul 2a – 2b este extins ca 2(a – b). Astfel, numitorul comun va fi 2(a – b)(a + b).
