În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia noua metoda- metoda de selectie pătrat plinși învață cum să o aplici pentru a rezolva diverse probleme.
Subiect:Factorizarea polinoamelor
Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Combinație de metode
Să ne amintim metodele de bază de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:
Metoda de a scoate un factor comun dintre paranteze, adică un factor care este prezent în toți termenii polinomului. Să ne uităm la un exemplu:
Amintiți-vă că un monom este produsul dintre puteri și numere. În exemplul nostru, ambii termeni au unele elemente comune, identice.
Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:
;
Să vă reamintim că înmulțind factorul scos cu o paranteză, puteți verifica corectitudinea factorului scos.
Metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să se extragă un factor comun într-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun în întreaga expresie și puteți continua descompunerea. Să ne uităm la un exemplu:
Să grupăm primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și al treilea cu al șaselea:
Să scoatem factorii comuni din grupuri:
Expresia are acum un factor comun. Hai să-l scoatem:
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Să ne uităm la un exemplu:
;
Să scriem expresia în detaliu:
Evident, avem în față formula pentru diferența pătratului, deoarece este suma pătratelor a două expresii și acestea sunt scăzute din ea produs dublu. Să folosim formula:
Astăzi vom învăța o altă metodă - metoda de selectare a unui pătrat complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Să le reamintim:
Formula pentru pătratul sumei (diferența);
Particularitatea acestor formule este că conțin pătratele a două expresii și produsul lor dublu. Să ne uităm la un exemplu:
Să notăm expresia:
Deci, prima expresie este , iar a doua este .
Pentru a crea o formulă pentru pătratul unei sume sau diferențe, nu este suficient de două ori produsul expresiilor. Trebuie adăugat și scăzut:
Să completăm pătratul sumei:
Să transformăm expresia rezultată:
Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate, reamintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și suma diferenței lor:
Asa de, aceasta metodaÎn primul rând, este necesar să se identifice expresiile a și b care sunt pătrate, adică să se determine care expresii sunt pătrate în acest exemplu. După aceasta, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, apoi adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.
Să trecem la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1 - factorizați:
Să găsim expresii care sunt la pătrat:
Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:
Să adunăm și să scădem dublu produs:
Să completăm pătratul sumei și să dăm altele similare:
Să o scriem folosind formula diferenței de pătrate:
Exemplul 2 - rezolvați ecuația:
;
În partea stângă a ecuației este un trinom. Trebuie să o ponderi în factori. Folosim formula diferenței pătrate:
Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:
Să îndoim un pătrat complet și să dăm termeni similari:
Să aplicăm formula diferenței de pătrate:
Deci avem ecuația
Știm că un produs este egal cu zero doar dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Să creăm următoarele ecuații pe baza acestui lucru:
Să rezolvăm prima ecuație:
Să rezolvăm a doua ecuație:
Răspuns: sau
;
Procedăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.
x a sunat
1.2.3. Utilizarea identităților de multiplicare prescurtate
Exemplu. Factorul x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Factorizarea unui polinom folosind rădăcinile acestuia
Teorema. Fie că polinomul P x are rădăcină x 1 . Atunci acest polinom poate fi factorizat după cum urmează: P x x x 1 S x , unde S x este un polinom al cărui grad este cu unul mai puțin
valorile alternativ în expresia pentru P x. Obținem că atunci când x 2 tu-
expresia se va transforma la 0, adică P 2 0, ceea ce înseamnă că x 2 este rădăcina unui multi-
membru. Împărțiți polinomul P x la x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x2 x3 x4
1.3. Selectarea unui pătrat complet
Metoda de selectare a unui pătrat complet se bazează pe utilizarea formulelor: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Izolarea unui pătrat complet este o transformare de identitate în care un trinom dat este reprezentat ca a b 2 suma sau diferența pătratului binomului și o expresie numerică sau alfabetică.
Un trinom pătrat în raport cu o variabilă oferă o expresie a formei
ax 2 bx c , unde a , b și c sunt date numere și a 0 . | |||||||||||||
Să transformăm trinomul pătratic ax 2 bx c după cum urmează. | x2: |
||||||||||||
coeficient | |||||||||||||
Apoi reprezentăm expresia b x ca 2b x (de două ori produsul
x):a x | ||||||||||||||||
La expresia din paranteză adunăm și scădem numărul din ea
care este pătratul unui număr | Ca rezultat obținem: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Observând acum că | Primim | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplu. Selectați un pătrat complet. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 2 4x 5 2x 2 2x 5 | 2 x 2 2x 1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 la 2,
1.4. Polinoame în mai multe variabile
Polinoamele din mai multe variabile, precum polinoamele dintr-o variabilă, pot fi adăugate, înmulțite și ridicate la o putere naturală.
Important transformare identică un polinom în mai multe variabile este factorizarea. Aici, astfel de metode de factorizare sunt folosite ca plasarea factorului comun din paranteze, gruparea, utilizarea identităților de multiplicare abreviate, izolarea unui pătrat complet și introducerea variabilelor auxiliare.
1. Factorizați polinomul P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Factorul P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Să aplicăm metoda de grupare
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Factorul P x ,y x 4 4y 4 . Să selectăm un pătrat complet:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Proprietăți ale unui grad cu orice exponent rațional
Un grad cu orice exponent rațional are următoarele proprietăți:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
unde a 0;b 0;r 1;r 2 sunt numere raționale arbitrare.
1. Înmulțiți 8 | x 3 12x 7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 x 23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Factorizați | un 2x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Exerciții de făcut pe cont propriu
1. Efectuați acțiuni folosind formule de înmulțire prescurtate. 1) a 52 ;
2) 3 a 72;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3;
3 y 3 ; | |||||
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Calculați folosind identități de multiplicare abreviate:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Demonstrați identitățile:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Factorizează următoarele polinoame:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Calculați în cel mai simplu mod:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Aflați câtul și restul unui polinom P x prin polinomQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7. Demonstrați că polinomul x 2 2x 2 nu are rădăcini reale.
8. Aflați rădăcinile polinomului:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Factorul:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Rezolvați ecuații prin izolarea unui pătrat complet:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Găsiți semnificațiile expresiilor:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Calculați:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
Definiție Expresiile de forma 2 x 2 + 3 x + 5 se numesc trinoame pătratice. În general, un trinom pătrat este o expresie de forma a x 2 + b x + c, unde a, b, c a, b, c sunt numere arbitrare și a ≠ 0. Se consideră trinomul pătratic x 2 - 4 x + 5. Să-l scriem sub această formă: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Să adăugăm 2 2 la această expresie și să scădem 2 2, obținem: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Rețineți că x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, deci x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformarea pe care am făcut-o se numește „izolarea unui pătrat perfect dintr-un trinom pătratic”. Determinați pătratul perfect din trinomul pătratic 9 x 2 + 3 x + 1. Rețineți că 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Apoi `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Adăugați și scădeți `(1/2)^2` la expresia rezultată, obținem `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`. Vom arăta cum se folosește metoda de izolare a unui pătrat perfect dintr-un trinom pătratic pentru factorizarea unui trinom pătrat. Factorizați trinomul pătratic 4 x 2 - 12 x + 5. Selectăm pătratul perfect din trinomul pătratic: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Acum aplicăm formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , obținem: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) . Factorizați trinomul pătratic - 9 x 2 + 12 x + 5. 9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Acum observăm că 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2. Adăugăm termenul 2 2 la expresia 9 x 2 - 12 x, obținem: 3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 . Aplicam formula pentru diferenta de patrate, avem: 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) . Factorizați trinomul pătratic 3 x 2 - 14 x - 5 . Nu putem reprezenta expresia 3 x 2 ca pătratul unei expresii, pentru că nu am studiat încă acest lucru la școală. Veți trece prin asta mai târziu, iar în Sarcina nr. 4 vom studia rădăcini pătrate. Să arătăm cum puteți factoriza un trinom pătratic dat: `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=` `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=` `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `. Vă vom arăta cum să utilizați metoda pătratului perfect pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unui trinom pătratic. `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Rețineți că atunci când `x=1/2` valoarea trinomului pătratic este `11/4`, iar când `x!=1/2` se adaugă valoarea lui `11/4` număr pozitiv, deci obținem un număr mai mare decât `11/4`. Prin urmare, cea mai mică valoare trinomul pătratic este `11/4` și se obține când `x=1/2`. Aflați cea mai mare valoare a trinomului pătratic - 16 2 + 8 x + 6. Selectăm un pătrat perfect dintr-un trinom pătratic: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 . Când `x=1/4` valoarea trinomului pătratic este 7, iar când `x!=1/4` se scade un număr pozitiv din numărul 7, adică obținem un număr mai mic decât 7. Deci numărul 7 este cea mai mare valoare trinom pătratic, și se obține când `x=1/4`. Factorizați numărătorul și numitorul fracției `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` și reduceți fracția. Rețineți că numitorul fracției x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Să factorizăm numărătorul fracției folosind metoda izolării unui pătrat complet dintr-un trinom pătrat. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) . Această fracție a fost redusă la forma `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` după reducerea cu (x - 3) obținem `(x+5)/(x-3 )`. Factorizați polinomul x 4 - 13 x 2 + 36. Să aplicăm metoda izolării unui pătrat complet acestui polinom. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=` După cum am observat deja, în calculul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, există o tendință tristă: cu cât fracția este mai sofisticată, cu atât este mai dificil să-i găsești integrala. În acest sens, trebuie să apelezi la diverse trucuri, despre care vă voi povesti acum. Cititorii pregătiți pot profita imediat Cuprins:
Metoda de conversie a numărătorului artificialExemplul 1 Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată și prin metoda schimbării variabilei, notând , dar scrierea soluției va fi mult mai lungă. Exemplul 2 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Trebuie remarcat faptul că metoda de înlocuire variabilă nu va mai funcționa aici. Atentie, important! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și apar frecvent. În special, astfel de integrale apar adesea în timpul rezolvării altor integrale, în special, la integrarea funcțiilor iraționale (rădăcini). Tehnica luată în considerare funcționează și în caz dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mare decât gradul cel mai înalt al numitorului. Exemplul 3 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Începem să selectăm numărătorul. Algoritmul pentru selectarea numărătorului este cam așa: 1) La numărător trebuie să organizez , dar acolo . Ce să fac? O pun intre paranteze si inmultesc cu: . 2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? . Hmm... este mai bine, dar nu există două în numărător inițial. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți cu: 3) Deschid din nou parantezele: . Și iată primul succes! S-a dovedit corect! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce să fac? Pentru a preveni schimbarea expresiei, trebuie să adaug același lucru la construcția mea: 4) Este posibil. Sa incercam: . Deschideți parantezele celui de-al doilea termen: 5) Din nou, pentru a verifica, deschid parantezele în al doilea termen: Dacă totul este făcut corect, atunci când deschidem toate parantezele ar trebui să obținem numărătorul original al integrandului. Verificăm: Prin urmare: Gata. În ultimul termen, am folosit metoda de subsumare a unei funcții într-un diferențial. Dacă găsim derivata răspunsului și reducem expresia la numitor comun, atunci vom obține exact originalul integrand. Metoda considerată de descompunere într-o sumă nu este altceva decât acțiune inversă a reduce o expresie la un numitor comun. Algoritmul pentru selectarea numărătorului în astfel de exemple este cel mai bine realizat în formă de schiță. Cu unele abilități va funcționa mental. Îmi amintesc de un caz record când făceam o selecție pentru puterea a 11-a, iar extinderea numărătorului a ocupat aproape două rânduri de Verd. Exemplul 4 Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea. Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Metoda de subsumare a semnului diferenţial pentru fracţii simpleSă trecem la luarea în considerare a următorului tip de fracții. De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au fost deja menționate în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită. Astfel de exemple sunt rezolvate prin subsumarea funcției sub semnul diferențial și integrarea în continuare folosind un tabel. Iată mai multe exemple tipice cu logaritmi lungi și mari: Exemplul 5 Exemplul 6 Aici este recomandabil să ridicați un tabel de integrale și să vedeți ce formule și Cum are loc transformarea. Notă, cum și de ce Pătratele din aceste exemple sunt evidențiate. În special, în Exemplul 6 trebuie mai întâi să reprezentăm numitorul sub formă , apoi aduceți-l sub semnul diferențial. Și toate acestea trebuie făcute pentru a utiliza formula tabelară standard . De ce uite, încearcă să rezolvi singur exemplele nr. 7, 8, mai ales că sunt destul de scurte: Exemplul 7 Exemplul 8 Aflați integrala nedefinită: Dacă reușești să verifici și aceste exemple, atunci mare respect - abilitățile tale de diferențiere sunt excelente. Metoda de selecție a pătratului completIntegrale ale formei (coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă metoda de extracție a pătratului complet, care a apărut deja în lecție Transformări geometrice ale graficelor. De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale tabulare la care tocmai ne-am uitat. Și acest lucru se realizează folosind formule de înmulțire abreviate familiare: Formulele sunt aplicate tocmai în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza artificial expresiile fie la numitor, iar apoi de a le converti în mod corespunzător în oricare dintre ele. Exemplul 9 Aflați integrala nedefinită Acest cel mai simplu exemplu, in care cu termenul – coeficient unitar(și nu vreun număr sau minus). Să ne uităm la numitor, aici întreaga chestiune se reduce în mod clar la întâmplare. Să începem conversia numitorului: Evident, trebuie să adăugați 4. Și, pentru ca expresia să nu se schimbe, scădeți aceleași patru: Acum puteți aplica formula: După finalizarea conversiei MEREU Este recomandabil să efectuați mișcarea inversă: totul este în regulă, nu există erori. Designul final al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa: Gata. Subsumarea unei funcții complexe „libere” sub semnul diferențial: , în principiu, ar putea fi neglijată Exemplul 10 Aflați integrala nedefinită: Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, răspunsul este la sfârșitul lecției Exemplul 11 Aflați integrala nedefinită: Ce să faci când există un minus în față? În acest caz, trebuie să scoatem minusul din paranteze și să aranjam termenii în ordinea de care avem nevoie: . Constant(„doi” în în acest caz,) nu atinge! Acum adăugăm unul între paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că trebuie să adăugăm una în afara parantezei: Aici obținem formula, aplicați: MEREU Verificăm proiectul: Exemplul curat arată cam așa: Făcând sarcina mai dificilă Exemplul 12 Aflați integrala nedefinită: Aici termenul nu mai este un coeficient unitar, ci un „cinci”. (1) Dacă există o constantă la, atunci o scoatem imediat din paranteze. (2) În general, este întotdeauna mai bine să mutați această constantă în afara integralei, astfel încât să nu stea în cale. (3) Evident, totul se va reduce la formulă. Trebuie să înțelegem termenul, și anume, să obținem „doi” (4) Da, . Aceasta înseamnă că adunăm la expresie și scădem aceeași fracție. (5) Acum selectați un pătrat complet. În cazul general, trebuie să calculăm și , dar aici avem formula pentru un logaritm lung , și nu are rost să efectuați acțiunea; de ce va deveni clar mai jos. (6) De fapt, putem aplica formula , doar în loc de „X” avem , ceea ce nu anulează validitatea integralei tabelului. Strict vorbind, un pas a fost ratat - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie subsumată sub semnul diferențial: , dar, după cum am observat în repetate rânduri, acest lucru este adesea neglijat. (7) În răspunsul de sub rădăcină, este recomandabil să extindeți toate parantezele înapoi: Dificil? Aceasta nu este cea mai dificilă parte a calculului integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complexe, cât necesită tehnici de calcul bune. Exemplul 13 Aflați integrala nedefinită: Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției. Există integrale cu rădăcini în numitor, care, folosind o înlocuire, sunt reduse la integrale de tipul considerat; puteți citi despre ele în articol Integrale complexe, dar este conceput pentru elevi foarte pregătiți. Subsumând numărătorul sub semnul diferențialAceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă ești obosit, poate e mai bine să citești mâine? ;) Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din paragraful precedent, au forma: or (coeficienți și nu sunt egali cu zero). Adică la numărătorul pe care îl avem funcție liniară. Cum se rezolvă astfel de integrale? Calculator online. Acest program de matematică distinge binomul pătrat de trinomul pătrat, adică face o transformare de genul: |