Cum se deduce întreaga parte dintr-o fracție. Scoala de matematica pentru toti cei care studiaza si predau

Cum se separă întreaga parte de o fracție necorespunzătoare? Pentru a izola întreaga parte dintr-o fracție improprie, trebuie: Împărțiți numărătorul la numitorul cu restul; Un coeficient incomplet va fi o parte întreagă; Restul (dacă există) este dat de numărător, iar divizorul este numitorul fracției. Numerele complete 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Poza 22 din prezentarea „Numere mixte nota 5” pentru lecții de matematică pe tema „Numere mixte”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca o imagine gratuit lectie de matematica, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvare imagine ca...”. Pentru a afișa imagini în lecție, puteți descărca gratuit și prezentarea „Numere mixte nota 5.ppt” integral cu toate pozele într-o arhivă zip. Dimensiunea arhivei este de 304 KB.

Descărcați prezentarea

Numere mixte

„Note de lecție de matematică” - Urmați exemplul. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (la tabla) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (la tablă). Din grădină au fost colectate 12 kg de castraveți. 2/3 din toți castraveții au fost murați. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Arată fracția 2/8+3/8. Formulați regula scăderii. Învățarea de materiale noi:

„Compararea fracțiilor zecimale” - Scopul lecției. Comparați numerele: Numărarea mentală. 9,85 și 6,97; 75,7 și 75,700; 0,427 şi 0,809; 5,3 și 5,03; 81,21 și 81,201; 76,005 și 76,05; 3,25 și 3,502; Citiți fracțiile: 41,1 ; 77,81; 21.005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. Egalizați numărul de zecimale. Planul lecției. Rang zecimale. Lecție de întărire în clasa a V-a.

„Reguli pentru rotunjirea numerelor” - 1.8. 48. Bravo! 3. 3. Învață să aplici regula de rotunjire folosind exemple. Încercați să comparați. Rotunjiți numerele întregi la cele mai apropiate zece. 1. Amintiți-vă de regula pentru rotunjirea numerelor. Este convenabil să lucrezi cu un astfel de număr? O sută de miimi. 3. Notează rezultatul. 5312. >. 2. Deduceți o regulă pentru rotunjirea fracțiilor zecimale la o cifră dată.

„Adunarea numerelor mixte” - 25. Exemplul 4. Aflați valoarea diferenței 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Note de lecție în clasa a VI-a

Vrei să te simți ca un sapator? Atunci această lecție este pentru tine! Pentru că acum vom studia fracțiile - acestea sunt obiecte matematice atât de simple și inofensive, care, prin capacitatea lor de a „sufla mintea”, depășesc restul cursului de algebră.

Principalul pericol al fracțiilor este că apar în viata reala. Așa diferă, de exemplu, de polinoame și logaritmi, pe care le poți studia și uita cu ușurință după examen. Prin urmare, materialul prezentat în această lecție poate fi numit, fără exagerare, exploziv.

O fracție numerică (sau doar o fracție) este o pereche de numere întregi scrise separate printr-o bară oblică sau o bară orizontală.

Fracții scrise printr-o linie orizontală:

Aceleași fracții scrise cu bară oblică:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Fracțiile sunt de obicei scrise printr-o linie orizontală - este mai ușor să lucrați cu ele în acest fel și arată mai bine. Numărul scris deasupra se numește numărător al fracției, iar numărul scris mai jos se numește numitor.

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. De exemplu, 12 = 12/1 este fracția din exemplul de mai sus.

În general, puteți pune orice număr întreg în numărătorul și numitorul unei fracții. Singura limitare este că numitorul trebuie să fie diferit de zero. Amintiți-vă vechea regulă: „Nu puteți împărți la zero!”

Dacă numitorul are tot zero, fracția se numește fracție nedefinită. O astfel de înregistrare este lipsită de sens și nu poate fi folosită în calcule.

Proprietatea principală a unei fracții

Fracțiile a /b și c /d se spune că sunt egale dacă ad = bc.

Din această definiție rezultă că aceeași fracție poate fi scrisă în moduri diferite. De exemplu, 1/2 = 2/4, deoarece 1 4 = 2 2. Desigur, există multe fracții care nu sunt egale între ele. De exemplu, 1/3 ≠ 5/4, deoarece 1 4 ≠ 3 5.

Apare o întrebare rezonabilă: cum să găsiți toate fracțiile egale cu una dată? Dăm răspunsul sub forma unei definiții:

Principala proprietate a unei fracții este că numărătorul și numitorul pot fi înmulțite cu același număr, altul decât zero. Aceasta va avea ca rezultat o fracție egală cu cea dată.

Aceasta este foarte proprietate importantă- ține minte asta. Folosind proprietatea de bază a unei fracții, puteți simplifica și scurta multe expresii. În viitor, va apărea în mod constant sub formă proprietăți diverseși teoreme.

Fracții improprii. Selectarea unei piese întregi

Dacă numărătorul mai mic decât numitorul, o astfel de fracție se numește proprie. În caz contrar (adică, când numărătorul este mai mare sau cel puțin egal cu numitorul), fracția se numește improprie și o parte întreagă poate fi distinsă în ea.

Întreaga parte este scrisă cu un număr mare în fața fracției și arată astfel (marcat cu roșu):

Pentru a izola întreaga parte a unei fracții necorespunzătoare, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Află de câte ori se încadrează numitorul în numărător. Cu alte cuvinte, găsiți numărul întreg maxim care, atunci când este înmulțit cu numitorul, va fi tot mai mic decât numărătorul (în ca ultimă soluţie- egal). Acest număr va fi partea întreagă, așa că o scriem în față;
2. Înmulțiți numitorul cu partea întreagă găsită în pasul anterior și scădeți rezultatul din numărător. „Stub” rezultat se numește restul diviziunii; va fi întotdeauna pozitiv (în cazuri extreme, zero). O scriem la numărător fracție nouă;
3. Rescriem numitorul fără modificări.

Ei bine, este greu? La prima vedere, poate fi dificil. Dar cu puțină practică, vei putea să o faci aproape oral. Între timp, aruncați o privire la exemplele:

Sarcină. Selectați întreaga parte în fracțiile indicate:

În toate exemplele, întreaga parte este evidențiată cu roșu, iar restul diviziunii este evidențiată cu verde.

Atenție la ultima fracție, unde restul diviziunii se dovedește a fi zero. Se pare că numărătorul este complet împărțit la numitor. Acest lucru este destul de logic, deoarece 24: 6 = 4 este un fapt greu din tabla înmulțirii.

Dacă totul este făcut corect, numărătorul noii fracții va fi cu siguranță mai mic decât numitorul, adică. fracția va deveni corectă. Voi observa, de asemenea, că este mai bine să evidențiezi întreaga parte chiar la sfârșitul problemei, înainte de a scrie răspunsul. În caz contrar, calculele pot fi semnificativ complicate.

Mergând la o fracție improprie

Există și o operație inversă, când scăpăm de toată piesa. Aceasta se numește tranziția fracțiilor improprie și este mult mai comună, deoarece lucrul cu fracții improprie este mult mai ușor.

Trecerea la o fracție improprie se realizează și în trei pași:

1. Înmulțiți întreaga parte cu numitorul. Rezultatul poate fi destul de bun numere mari, dar acest lucru nu trebuie să ne deranjeze;
2. Adăugați numărul rezultat la numărătorul fracției inițiale. Scrieți rezultatul la numărătorul fracției improprie;
3. Rescrieți numitorul - din nou, fără modificări.

Iată exemple specifice:

Sarcină. Convertiți în fracție improprie:

Pentru claritate, partea întreagă este din nou evidențiată cu roșu, iar numărătorul fracției originale este evidențiat cu verde.

Luați în considerare cazul în care numărătorul sau numitorul fracției conține un număr negativ. De exemplu:

În principiu, nu este nimic criminal în asta. Cu toate acestea, lucrul cu astfel de fracții poate fi incomod. Prin urmare, în matematică se obișnuiește să plaseze minusurile ca semne de fracție.

Acest lucru este foarte ușor de făcut dacă vă amintiți regulile:

1. „Plus pentru minus dă minus.” Prin urmare, dacă numărătorul conține un număr negativ, iar numitorul conține un număr pozitiv (sau invers), nu ezitați să tăiați minusul și să-l puneți în fața întregii fracții;
2. „Două negative fac o afirmație”. Când există un minus atât la numărător, cât și la numitor, pur și simplu le tăiem - nu acțiuni suplimentare nu este necesar.

Desigur, aceste reguli pot fi aplicate și în sens invers, adică. Puteți introduce un semn minus sub semnul fracției (cel mai adesea la numărător).

În mod deliberat, nu luăm în considerare cazul „plus pe plus” - cu el, cred, totul este clar. Să vedem cum funcționează aceste reguli în practică:

Sarcină. Scoateți negativele celor patru fracții scrise mai sus.

Atenție la ultima fracție: există deja un semn minus în fața ei. Cu toate acestea, este „ars” conform regulii „minus pentru minus dă un plus”.

De asemenea, nu mutați minusurile în fracții cu întreaga parte evidențiată. Aceste fracții sunt mai întâi convertite în fracții improprii - și abia apoi încep calculele.

Numere mixte. Selectarea unei piese întregi

Printre fracțiile obișnuite, există două tipuri diferite.
Fracții proprii și improprii
Să ne uităm la fracții.

Vă rugăm să rețineți că în primele două fracții (3/7 și 5/7) numărătorii sunt mai mici decât numitorii. Astfel de fracții sunt numite propriu-zise.

• O fracție proprie are un numărător mai mic decât numitorul său. Prin urmare, o fracție adecvată este întotdeauna mai mică decât unu.

Să ne uităm la cele două fracții rămase.
Fracția 7/7 are un numărător egal cu numitorul (astfel de fracții sunt egale cu unitățile), iar fracția 11/7 are un numărător mai mare decât numitorul. Astfel de fracții se numesc improprii.

• O fracție improprie are un numărător egal sau mai mare decât numitorul său. Prin urmare, o fracție improprie este fie egală cu unu, fie mai mare decât unu.

Orice fracție improprie este întotdeauna mai mare decât o fracție proprie.

Cum se selectează o parte întreagă
O fracție improprie poate avea o parte întreagă. Să vedem cum se poate face acest lucru.

Pentru a izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare, trebuie să:
1. împărțiți numărătorul la numitorul cu restul;
2. Scriem coeficientul incomplet rezultat în întreaga parte a fracției;
3. scrieți restul la numărătorul fracției;
4. Scriem divizorul în numitorul fracției.

Exemplu. Să selectăm întreaga parte din fracția improprie 11/2.
. Împărțiți numărătorul la numitor într-o coloană.

. Acum să scriem răspunsul.

• Numărul rezultat de mai sus, care conține un întreg și o parte fracțională, se numește număr mixt.

Am obținut un număr mixt dintr-o fracție improprie, dar putem și face acțiune inversă, adică reprezintă un număr mixt ca o fracție improprie.
Pentru a reprezenta un număr mixt ca o fracție improprie:
1. înmulțiți partea sa întreagă cu numitorul părții fracționale;
2. se adaugă numărătorul părții fracționale la produsul rezultat;
3. scrieți suma rezultată de la punctul 2 în numărătorul fracției și lăsați numitorul părții fracționale același.
Exemplu. Să reprezentăm un număr mixt ca o fracție improprie.
. Înmulțiți partea întreagă cu numitorul.

3 . 5 = 15
. Adăugați numărătorul.

15 + 2 = 17
. Scriem suma rezultată în numărătorul noii fracții și lăsăm numitorul același.

Orice număr mixt poate fi reprezentat ca suma unui număr întreg și a unei părți fracționale.

• Orice numar natural se poate scrie ca fractie cu orice numitor natural.

Coeficientul de împărțire a numărătorului la numitorul unei astfel de fracții va fi egal cu numărul natural dat.
Exemple.

În acest articol vom vorbi despre numere mixte. Mai întâi, să definim numere mixte și să dăm exemple. În continuare, să ne uităm la legătura dintre numerele mixte și fracțiile improprii. După aceea, vă vom arăta cum să convertiți un număr mixt într-o fracție necorespunzătoare. În cele din urmă, să studiem procesul invers, care se numește separarea întregii părți de o fracție improprie.

Navigare în pagină.

Numere mixte, definiție, exemple

Matematicienii au fost de acord că suma n+a/b, unde n este un număr natural, a/b este o fracție proprie, poate fi scrisă fără semnul de adunare în formă. De exemplu, suma 28+5/7 poate fi scrisă pe scurt ca . O astfel de înregistrare a fost numită mixtă, iar numărul care corespunde acestei înregistrări mixte a fost numit număr mixt.

Așa ajungem la definiția unui număr mixt.

Definiție.

Număr mixt este un număr egal cu suma numărului natural n și a celui corect fracție comună a/b și scris ca . În acest caz, se numește numărul n întreaga parte a numărului, iar numărul a/b este numit parte fracționară a unui număr.

Prin definiție, un număr mixt este egal cu suma părților sale întregi și fracționale, adică egalitatea este adevărată, care se poate scrie astfel: .

Să dăm exemple de numere mixte. Un număr este un număr mixt, numărul natural 5 este partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului. Alte exemple de numere mixte sunt .

Uneori puteți găsi numere în notație mixtă, dar având o fracție improprie ca fracție, de exemplu, sau. Aceste numere sunt înțelese ca suma părților lor întregi și fracționale, de exemplu, Și . Dar astfel de numere nu se potrivesc cu definiția unui număr mixt, deoarece partea fracțională a numerelor mixte trebuie să fie o fracție adecvată.

Numărul nu este, de asemenea, un număr mixt, deoarece 0 nu este un număr natural.

Relația dintre numerele mixte și fracțiile improprie

Urma legătura dintre numere mixte și fracții improprie cel mai bine cu exemple.

Lasam pe tava o prajitura si inca 3/4 din aceeasi prajitura. Adică, după sensul adăugării, pe tavă sunt 1+3/4 prăjituri. După ce am notat ultima cantitate ca număr mixt, menționăm că pe tavă se află o prăjitură. Acum tăiați întregul tort în 4 părți egale. Drept urmare, pe tavă vor fi 7/4 din tort. Este clar că „cantitatea” tortului nu s-a schimbat, deci .

Din exemplul luat în considerare, următoarea conexiune este clar vizibilă: Orice număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție improprie.

Acum lăsați să fie 7/4 din tort pe tavă. După ce a împăturit un tort întreg din patru părți, pe tavă va fi 1 + 3/4, adică un tort. Din aceasta rezultă clar că .

Din acest exemplu este clar că O fracție improprie poate fi reprezentată ca număr mixt. (În cazul special, când numărătorul unei fracții improprie este împărțit egal la numitor, fracția improprie poate fi reprezentată ca număr natural, de exemplu, deoarece 8:4 = 2).

Transformarea unui număr mixt într-o fracție improprie

Pentru executare diverse actiuni cu numere mixte se dovedește abilitate utilă reprezentarea numerelor mixte ca fracții improprii. În paragraful anterior, am aflat că orice număr mixt poate fi convertit într-o fracție improprie. Este timpul să ne dăm seama cum se realizează o astfel de traducere.

Să scriem un algoritm care arată cum se transformă un număr mixt într-o fracție improprie:

Să ne uităm la un exemplu de conversie a unui număr mixt într-o fracție improprie.

Exemplu.

Exprimați un număr mixt ca o fracție improprie.

Soluţie.

Să efectuăm toți pașii necesari ai algoritmului.

Un număr mixt este egal cu suma părților sale întregi și fracționale: .

După ce numărul 5 a fost scris ca 5/1, ultima sumă va lua forma .

Pentru a termina convertirea numărului mixt inițial într-o fracție improprie, tot ce rămâne este să adăugați fracții cu diferiți numitori: .

Un scurt rezumat al întregii soluții este: .

Răspuns:

Deci, pentru a converti un număr mixt într-o fracție necorespunzătoare, trebuie să efectuați următorul lanț de acțiuni: . In sfarsit primit , pe care îl vom folosi în continuare.

Exemplu.

Scrieți numărul mixt ca o fracție improprie.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a converti un număr mixt într-o fracție improprie. În acest exemplu n=15, a=2, b=5. Prin urmare, .

Răspuns:

Separarea întregii părți dintr-o fracție improprie

Nu este obișnuit să scrieți o fracție improprie în răspuns. Fracția improprie este mai întâi înlocuită fie cu un număr natural egal (când numărătorul este divizibil cu numitor), fie se realizează așa-numita separare a întregii părți de fracția improprie (când numărătorul nu este divizibil cu numitorul ).

Definiție.

Separarea întregii părți dintr-o fracție improprie- Aceasta este înlocuirea unei fracții cu un număr mixt egal.

Rămâne să aflați cum puteți izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare.

Este foarte simplu: fracția improprie a/b este egală cu un număr mixt de formă, unde q este coeficientul parțial, iar r este restul lui a împărțit la b. Adică, partea întreagă este egală cu câtul incomplet al împărțirii a la b, iar restul este egal cu numărătorul părții fracționale.

Să demonstrăm această afirmație.

Pentru a face acest lucru, este suficient să arăți că . Să convertim amestecul într-o fracție improprie așa cum am făcut în paragraful anterior: . Deoarece q este un coeficient incomplet și r este restul împărțirii a la b, atunci egalitatea a=b·q+r este adevărată (dacă este necesar, vezi

Lecție de matematică în clasa a IV-a
subiect:

Subiectul lecției: Izolarea întregii părți dintr-o fracție improprie.
Scopul didactic: crearea condițiilor pentru formarea unui nou informatii educationale.
Scopurile și obiectivele lecției:
1. Formează conceptul de număr mixt.
2. Dezvoltați capacitatea de a izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare.
3. Dezvoltați abilitățile de calcul.
4. Dezvoltați capacitatea de a analiza și rezolva probleme de cuvinte pentru a găsi o parte dintr-un număr și
numere din partea sa.
5. Dezvoltați gandire logica elevi.
Rezultatele învățării planificate, formarea UUD:
Subiect: extindeți conceptul de număr, dezvoltați abilitățile de traducere a fracțiilor improprii

în număr mixt și să aplice cunoștințele și abilitățile dobândite la îndeplinirea diferitelor sarcini.
Meta-subiect: dezvolta capacitatea de a vedea problema de matematicaîn contextul problematicii
situații din alte discipline, din viața înconjurătoare.
UUD cognitiv: dezvoltă idei despre număr; capacitatea de a lucra cu un manual,
surse suplimentare de informații (analiza,
extrage necesarul
informație); capacitatea de a face generalizări, concluzii și de a stabili relații cauză-efect.
UUD comunicativ: cultivați respectul unul pentru celălalt, dezvoltați capacitatea de a intra în
dialog educativ cu profesorul, cu colegii de clasă, respectarea normelor de comportament vorbire, abilitate
a pune întrebări, a asculta și a răspunde la întrebările altora, abilitatea de a formula o ipoteză.
UUD de reglementare:
determinați scopul sarcinii, învățați să planificați etapele de lucru,
controlează-ți acțiunile, detectează și corectează erorile, evaluează critic
se formează rezultatele muncii lor și ale tuturor, pe baza criteriilor existente
capacitatea de a mobiliza forța și energia, de a depăși obstacolele.
Obiective educaționale personale: formarea motivației educaționale, inițiativa, dezvoltarea abilităților
vorbire matematică orală și scrisă competentă, capacitatea de a-și autoevalua acțiunile.
Resurse: proiector multimedia, prezentare.
Tipul de lecție: învățarea de materiale noi.

Etapa lecției
Activitățile profesorului
Activitatea elevilor
organizatoric
moment
Salutări, verifică
pregătire pentru antrenament
ocupatie, organizarea atentiei
copii.
.
Inclus în afaceri
ritmul lecției.
Folosit
metode, tehnici,
forme
Verbal
S-a format UUD
Fiți capabil să vă întocmiți
gânduri verbal
(UDD comunicativ).

Ascultând și
intelege vorbirea altora
(UDD comunicativ).
După cum ai înțeles din ceea ce ai citit,
azi in clasa vom continua
lucru pe fracții.
Băieți, la clasă ar trebui
descoperi noi cunoștințe, dar cum
cunoscut, fiecare cunoaștere nouă
legate de ceea ce am învățat deja.
Prin urmare, vom începe cu repetarea.

Numărarea verbală
Actualizați
cunoștințe și
aptitudini
Practic
Răspunsurile sunt înregistrate în
coloană,
verifica raspunsurile prin
diapozitive.

pe
lecţie
pronunta
A fi capabil să
ulterior
actiuni

(UUD de reglementare).
Să fii capabil să te transformi
informatii de la unul
forme la altul
(UUD cognitiv)
.Fiți capabil să vă întocmească
gânduri orale și scrise
forma (comunicativ
UUD).

Sondaj Blitz:
Ce reguli faci
folosit când:
1. Aflați suma fracțiilor.
2. Aflați diferența de fracții.
3. Găsiți numărul după parte.
4. Găsiți piesa după număr.
Ei spun regulile.
Participarea la o conversație cu
profesor.
Fiți capabil să vă întocmiți
gânduri verbal
(UDD comunicativ).
Să fii capabil să navighezi
sistemul dvs. de cunoștințe:
distinge noul de deja
cunoscut cu
profesori
(Cognitiv
UUD).

Ascultând și
intelege vorbirea altora
(UDD comunicativ).

Tselepolagani
e și motivație
3. Enunțarea problemei
Verbal
Fiți capabil să vă întocmiți
gânduri verbal
(UDD comunicativ).
Să fii capabil să navighezi

.
.
sistemul dvs. de cunoștințe:
distinge noul de deja
cunoscut cu
(Cognitiv
profesori
UUD).
Copiii exprimă
Opțiuni

al lor
deciziilor.
4. „Formularea problemei şi
obiectivele lecției
Selectați o fracție întreagă din această fracție
Parte. Ce oferi?
Care crezi că este scopul?
dam o lectie?
Scopul este formulat
lectie si subiect
de către elevi.
Scop: Învață
evidențiați întreaga parte
dintr-o fracție improprie
Verbal,
practic
Să poți obține altele noi
cunoștințe: găsiți răspunsuri la
întrebări folosind manualul,
experiența ta de viață și
informatii primite pe
(Cognitiv
lecţie
UUD).
Fiți capabil să vă întocmiți
gânduri în formă orală;
ascultați și înțelegeți vorbirea
(Comunicativ
alții
UUD).

Deci, orice fracție improprie
poate fi reprezentat sub formă
număr mixt.
Toată parte este naturală
numărul și partea fracționară
Fracțiunea corespunzătoare.
.
.
Întocmirea unui algoritm.
Verbal
clar
practic,
reproductivă
analiză

muncă

lecţie
pronunta
De
A fi capabil să
compilate colectiv
plan (UUD de reglementare).
A fi capabil să
ulterior
actiuni

(UUD de reglementare).
Fiți capabil să vă întocmiți
gânduri orale și scrise
formă; asculta si intelege
vorbire
alții
(UDD comunicativ)
A fi capabil să
ulterior
actiuni

(UUD de reglementare).
Să fii capabil să faci treaba
propus
plan

(UUD de reglementare).
pronunta
lecţie

pe
Asimilare
cunoștințe noi
și modalități
asimilare
5.Descoperirea a ceva nou:
Explicație pe tablă.
Scrieți fracția 16/5 ca
privat
Ce regula ai folosit?
la dintr-o fracție improprie
selectați întreaga parte
Pentru a ieși din greșit
selectați fracții întregi
piesa necesara:
împărțiți cu restul
numărător pe
numitor;
primit incomplet
scrie coeficientul în
Să poată face ceea ce este necesar
ajustări în vigoare
după finalizarea ei pe