Numitorul fracției aritmetice a/b este numărul b, care arată dimensiunea fracțiilor unei unități din care este compusă fracția. Numitorul fracției algebrice A / B se numește expresie algebrică B. Pentru a efectua aritmetica cu fracții, acestea trebuie reduse la cel mai mic numitor comun.
vei avea nevoie
- Pentru a lucra cu fracții algebrice și a găsi cel mai mic numitor comun, trebuie să știți cum să factorizați polinoamele.
Instrucţiuni
Să luăm în considerare reducerea a două fracții aritmetice n/m și s/t la cel mai mic numitor comun, unde n, m, s, t sunt numere întregi. Este clar că aceste două fracții pot fi reduse la orice numitor divizibil cu m și t. Dar încearcă să conducă la cel mai mic numitor comun. Este egală cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor m și t ai fracțiilor date. Cel mai mic multiplu (LMK) al unui număr este cel mai mic divizibil cu toate numerele date în același timp. Aceste. în cazul nostru, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al numerelor m și t. Notat ca LCM (m, t). În continuare, fracțiile sunt înmulțite cu cele corespunzătoare: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Să găsim cel mai mic numitor comun al trei fracții: 4/5, 7/8, 11/14. Mai întâi, să extindem numitorii 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Apoi, calculați LCM (5, 8, 14) prin înmulțire toate numerele incluse în cel puțin una dintre expansiuni. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Rețineți că dacă un factor apare în expansiunea mai multor numere (factorul 2 în extinderea numitorilor 8 și 14), atunci luăm factorul la un grad mai mare (2^3 în cazul nostru).
Deci, cea generală este primită. Este egal cu 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Aici obținem numerele cu care trebuie să înmulțim fracțiile cu numitorii corespunzători pentru a le aduce la cel mai mic numitor comun. Obținem 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reducerea fracțiilor algebrice la cel mai mic numitor comun se realizează prin analogie cu cele aritmetice. Pentru claritate, să analizăm problema folosind un exemplu. Să fie date două fracții (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) și (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Să factorizăm ambii numitori. Rețineți că numitorul primei fracții este pătrat perfect: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pentru
La adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiti mai întâi fracţiile duc la numitor comun. Aceasta înseamnă că ei găsesc un numitor care este împărțit la numitorul original al fiecărei fracții algebrice incluse în expresia dată.
După cum știți, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, valoarea fracției nu se va modifica. Aceasta este proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, atunci când fracțiile sunt reduse la un numitor comun, ele înmulțesc în esență numitorul inițial al fiecărei fracții cu factorul lipsă pentru a obține un numitor comun. În acest caz, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest factor (este diferit pentru fiecare fracție).
De exemplu, având în vedere următoarea sumă de fracții algebrice:
Este necesar să simplificați expresia, adică să adăugați două fracții algebrice. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să aduceți termenii fracțiunii la un numitor comun. Primul pas este să găsiți un monom care este divizibil cu 3x și 2y. În acest caz, este de dorit ca acesta să fie cel mai mic, adică să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru 3x și 2y.
Pentru coeficienți numericiși variabilele LCM sunt căutate separat. LCM(3, 2) = 6 și LCM(x, y) = xy. Apoi, valorile găsite sunt înmulțite: 6xy.
Acum trebuie să determinăm cu ce factor trebuie să înmulțim 3x pentru a obține 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Aceasta înseamnă că la reducerea primei fracții algebrice la un numitor comun, numărătorul acesteia trebuie înmulțit cu 2y (numitorul a fost deja înmulțit la reducerea la un numitor comun). În mod similar se caută multiplicatorul pentru numărătorul celei de-a doua fracții. Va fi egal cu 3x.
Astfel obținem: 
Apoi puteți acționa ca și cu fracții cu numitori identici: adunați numărătorii și scrieți un numitor comun: 
După transformări, se obține o expresie simplificată, care este una fracție algebrică, care este suma a două originale: 
Fracțiile algebrice din expresia originală pot conține numitori care sunt mai degrabă polinoame decât monomii (ca în exemplul de mai sus). În acest caz, înainte de a căuta un numitor comun, ar trebui să factorizezi numitorii (dacă este posibil). În continuare, numitorul comun este colectat din diferiți factori. Dacă multiplicatorul este în mai mulți numitori inițiali, atunci este luat o dată. Dacă multiplicatorul are grade diferite la numitorii originali, atunci se ia cu cel mai mare. De exemplu: 
Aici polinomul a 2 – b 2 poate fi reprezentat ca produsul (a – b)(a + b). Factorul 2a – 2b este extins ca 2(a – b). Astfel, numitorul comun va fi 2(a – b)(a + b).
Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos sunt instrucțiuni detaliate.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept
Cel mai mic numitor comun (LCD) în cuvinte simple este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor din acest exemplu. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOS este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple
Să ne uităm la exemple de găsire a NOC.
Calculați: 3/5 + 2/15.
Soluție (secvență de acțiuni):
- Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și că expresiile sunt cât mai prescurtate.
- Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
- După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NCD trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.
Calculați: 1/2 – 5/12 + 3/6
Soluție (secvență de acțiuni):
- Găsirea celui mai mic numitor comun. Număr minim, divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
- Se obține: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 – 6; pentru 5/12 – 1; pentru 3/6 – 2.
- Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Răspuns: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
În acest material, vom analiza cum să convertim corect fracțiile la un nou numitor, ce este un factor suplimentar și cum să-l găsim. După aceasta, vom formula regula de bază pentru reducerea fracțiilor la noi numitori și o vom ilustra cu exemple de probleme.
Conceptul de reducere a unei fracții la alt numitor
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții. Potrivit lui, o fracție obișnuită a b (unde a și b sunt numere oarecare) are un număr infinit de fracții care sunt egale cu ea. Astfel de fracții pot fi obținute prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr m (număr natural). Cu alte cuvinte, toate fracțiile obișnuite pot fi înlocuite cu altele de forma a · m b · m. Aceasta este reducerea valorii inițiale la o fracție cu numitorul dorit.
Puteți reduce o fracție la un alt numitor înmulțind numărătorul și numitorul ei cu oricare număr natural. Condiția principală este ca multiplicatorul să fie același pentru ambele părți ale fracției. Rezultatul va fi o fracție egală cu cea inițială.
Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.
Exemplul 1
Transformați fracția 11 25 la noul numitor.
Soluţie
Să luăm un număr natural arbitrar 4 și să înmulțim ambele părți ale fracției inițiale cu acesta. Numărăm: 11 · 4 = 44 și 25 · 4 = 100. Rezultatul este o fracție de 44 100.
Toate calculele pot fi scrise sub această formă: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Se pare că orice fracție poate fi redusă la un număr mare de numitori diferiți. În loc de patru, am putea lua un alt număr natural și am putea obține o altă fracție echivalentă cu cea inițială.
Dar nu orice număr poate deveni numitor fracție nouă. Deci, pentru a b numitorul poate conține numai numere b m care sunt multipli ai lui b. Revedeți conceptele de bază ale împărțirii — multipli și divizori. Dacă numărul nu este un multiplu al lui b, dar nu poate fi un divizor al noii fracții. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu de rezolvare a unei probleme.
Exemplul 2
Calculați dacă este posibil să reduceți fracția 5 9 la numitorii 54 și 21.
Soluţie
54 este un multiplu al lui nouă, care se află la numitorul noii fracții (adică 54 poate fi împărțit la 9). Aceasta înseamnă că o astfel de reducere este posibilă. Dar nu putem împărți 21 la 9, așa că această acțiune nu poate fi efectuată pentru această fracție.
Conceptul de multiplicator suplimentar
Să formulăm ce este un factor suplimentar.
Definiția 1
Multiplicator suplimentar este un număr natural cu care ambele părți ale unei fracții sunt înmulțite pentru a o aduce la un nou numitor.
Aceste. când facem asta cu o fracție, luăm un factor suplimentar pentru aceasta. De exemplu, pentru a reduce fracția 7 10 la forma 21 30, avem nevoie de un factor suplimentar de 3. Și puteți obține fracția 15 40 din 3 8 folosind multiplicatorul 5.
În consecință, dacă cunoaștem numitorul la care trebuie redusă o fracție, atunci putem calcula un factor suplimentar pentru aceasta. Să ne dăm seama cum să facem asta.
Avem o fracție a b, care poate fi redusă la un anumit numitor c; Să calculăm factorul suplimentar m. Trebuie să înmulțim numitorul fracției inițiale cu m. Se obține b · m, iar conform condițiilor problemei b · m = c. Să ne amintim cum sunt legate între ele înmulțirea și împărțirea. Această conexiune ne va determina la următoarea concluzie: factorul suplimentar nu este altceva decât câtul împărțirii lui c la b, cu alte cuvinte, m = c: b.
Astfel, pentru a găsi factorul suplimentar, trebuie să împărțim numitorul necesar la cel inițial.
Exemplul 3
Aflați factorul suplimentar cu care fracția 17 4 a fost redusă la numitorul 124.
Soluţie
Folosind regula de mai sus, împărțim pur și simplu 124 la numitorul fracției inițiale, patru.
Numărăm: 124: 4 = 31.
Acest tip de calcul este adesea necesar la conversia fracțiilor la un numitor comun.
Regula pentru reducerea fracțiilor la numitorul specificat
Să trecem la definirea regulii de bază cu care puteți reduce fracțiile la numitorul specificat. Aşa,
Definiția 2
Pentru a reduce o fracție la numitorul specificat, aveți nevoie de:
- determinați un factor suplimentar;
- înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției originale cu acesta.
Cum se aplică această regulă în practică? Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 4
Reduceți fracția 7 16 la numitorul 336.
Soluţie
Să începem prin a calcula multiplicatorul suplimentar. Împărțire: 336: 16 = 21.
Înmulțim răspunsul rezultat cu ambele părți ale fracției inițiale: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Așa că am adus fracția inițială la numitorul dorit 336.
Răspuns: 7 16 = 147 336.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
