Formula de probabilitate totală vă permite să găsiți probabilitatea unui eveniment A care poate veni doar cu fiecare dintre n evenimente care se exclud reciproc, care formează un sistem complet dacă sunt cunoscute probabilitățile lor și probabilități condiționale evenimente A pentru fiecare eveniment, sistemele sunt egale.
Evenimentele se mai numesc ipoteze, se exclud reciproc. Prin urmare, în literatura de specialitate, puteți găsi, de asemenea, desemnarea lor nu prin scrisoare B, și scrisoarea H (ipoteză).
Pentru a rezolva problemele cu astfel de condiții, este necesar să se ia în considerare 3, 4, 5 sau în cazul general n posibilități de eveniment A - cu fiecare eveniment.
Folosind teoremele de adăugare și înmulțire a probabilităților, obținem suma produselor din probabilitatea fiecărui eveniment din sistem prin probabilitate condițională evenimente A cu privire la fiecare dintre evenimentele sistemului. Adică, probabilitatea unui eveniment A poate fi calculat după formulă
sau în general
,
care e numit formula de probabilitate totală .
Formula probabilității totale: exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Există trei urne cu aspect similar: în primele 2 bile albe și 3 negre, în a doua - 4 albe și una neagră, în a treia - trei bile albe. Cineva vine la întâmplare la una dintre urne și scoate o minge din ea. Profitând de formula de probabilitate totală, găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Decizie. Eveniment A - aspectul unei bile albe. Prezentăm trei ipoteze:
Prima urnă selectată;
A doua urnă selectată;
A treia urnă este selectată.
Probabilități de eveniment condiționat A pentru fiecare dintre ipoteze:
,
,
.
Aplicăm formula probabilității totale, ca urmare - probabilitatea necesară:
.
Exemplul 2. La prima plantă, din 100 de becuri, în medie, 90 de becuri standard sunt produse, la a doua - 95, la a treia - 85, iar produsele acestor plante constituie respectiv 50%, 30% și 20% din toate becurile furnizate magazinelor dintr-o anumită zonă. Găsiți probabilitatea de a achiziționa un bec standard.
Decizie. Să denotăm probabilitatea de a achiziționa un bec standard A și evenimentele constând în faptul că becul achiziționat este realizat, respectiv, la prima, a doua și a treia fabrică, prin. În funcție de condiție, sunt cunoscute probabilitățile acestor evenimente: ,, și probabilitățile condiționale ale evenimentului A cu privire la fiecare dintre ele: 
,
,
... Acestea sunt probabilitățile de a achiziționa un bec standard, sub rezerva fabricării sale, respectiv, la prima, a doua, a treia fabrică.
Eveniment A va apărea dacă apare un eveniment K - becul este fabricat în prima fabrică și este standard, sau eveniment L - becul este fabricat la a doua plantă și este standard, sau eveniment M - becul este fabricat la a treia plantă și este standard. Alte posibilități ale evenimentului A nu. De aici evenimentul A este suma evenimentelor K, L și Mcare sunt incompatibile. Aplicând teorema adăugării probabilității, reprezentăm probabilitatea unui eveniment A la fel de
și prin teorema înmulțirii probabilității pe care o obținem
adică, un caz special al formulei de probabilitate totală.
Substituind valorile probabilităților în partea stângă a formulei, obținem probabilitatea evenimentului A :
Exemplul 3. Aeronava aterizează pe aerodrom. Dacă vremea permite, pilotul aterizează avionul, folosind, pe lângă instrumente, și observații vizuale. În acest caz, probabilitatea unei aterizări reușite este. Dacă aerodromul este acoperit cu nori mici, pilotul aterizează avionul, concentrându-se doar pe instrumente. În acest caz, probabilitatea unei aterizări reușite este; ... Dispozitivele de aterizare orb sunt fiabile (probabilitatea de funcționare fără defecte) P ... În prezența capacității de cloud scăzute și a dispozitivelor de aterizare orb eșuate, probabilitatea unei aterizări sigure este; ... Statisticile arată că în k % din aterizările aerodromului vor fi acoperite cu nori mici. A găsi probabilitate deplină a evenimentului A - aterizarea în siguranță a aeronavei.
Decizie. ipoteze:
Nu există acoperire de nor scăzută;
Sunt nori mici.
Probabilitățile acestor ipoteze (evenimente):
;
Probabilitate condițională.
Găsim din nou probabilitatea condițională prin formula probabilității totale cu ipoteze
Dispozitivele de aterizare orb funcționează;
Dispozitivele de aterizare orb au eșuat.
Probabilitățile acestor ipoteze sunt:
Conform formulei probabilității totale
Exemplul 4. Dispozitivul poate funcționa în două moduri: normal și anormal. Modul normal este observat în 80% din toate cazurile de funcționare a dispozitivului și anormal - în 20% din cazuri. Probabilitatea eșecului dispozitivului într-un anumit interval de timp t egală cu 0,1; la anormal 0,7. A găsi probabilitate deplină defecțiunea dispozitivului în timpul t.
Decizie. Denumim din nou probabilitatea unei defecțiuni a dispozitivului până la A ... Deci, în ceea ce privește funcționarea dispozitivului în fiecare mod (eveniment), probabilitățile sunt cunoscute în funcție de condiție: pentru modul normal este de 80% (), pentru modul anormal - 20% (). Probabilitatea evenimentului A (adică eșecul dispozitivului) în funcție de primul eveniment (modul normal) este egal cu 0.1 (); în funcție de al doilea eveniment (mod anormal) - 0,7 ( 
). Substituim aceste valori în formula pentru probabilitatea totală (adică suma produselor probabilității fiecăruia dintre evenimentele din sistem și probabilitatea condițională a evenimentului A pentru fiecare dintre evenimentele sistemului) și înaintea noastră este rezultatul necesar.
Un parior profesionist ar trebui să fie bine versat în cote, rapid și corect estimați probabilitatea unui eveniment după coeficient și dacă este necesar să fie capabil convertiți cotele de la un format la altul... În acest manual, vă vom spune despre tipurile de coeficienți, precum și, folosind exemple, vom analiza cum puteți calculați probabilitatea cu un coeficient cunoscut si invers.
Care sunt tipurile de cote?
Există trei tipuri principale de cote oferite de casele de pariuri: cote zecimale, cote fractionale (engleză) și cote americane... Cele mai frecvente cote în Europa sunt zecimale. Probele americane sunt populare în America de Nord. Șansele fracționale sunt tipul cel mai tradițional, ele reflectă imediat informațiile despre cât trebuie să pariezi pentru a obține o anumită sumă.
Cote decimale
Zecimal sau se mai numesc cote europene este formatul obișnuit al unui număr, reprezentat printr-o fracție zecimală cu o precizie de sutimi, și uneori chiar și a miimi. Un exemplu de cote zecimale este 1,91. Calcularea profitului în cazul cotelor zecimale este foarte simplă, trebuie doar să înmulțiți suma pariului dvs. cu această cotă. De exemplu, într-un meci dintre Manchester United și Arsenal, Manchester United câștigă la cote 2.05, egal la 3.9 cote, iar Arsenal câștigă 2.95. Să presupunem că suntem siguri că United va câștiga și vom paria 1.000 de dolari pe ei. Apoi, posibilul nostru venit este calculat după cum urmează:
2.05 * $1000 = $2050;
Nimic complicat, nu-i așa ?! De asemenea, posibilul randament este calculat atunci când pariați pe o remiză și un câștig pentru Arsenal.
A desena: 3.9 * $1000 = $3900;
Câștigarea Arsenalului: 2.95 * $1000 = $2950;
Cum se calculează probabilitatea unui eveniment în funcție de cote zecimale?
Imaginează-ți acum că trebuie să determinăm probabilitatea unui eveniment folosind cote zecimale stabilite de casa de pariuri. Acest lucru se realizează, de asemenea, foarte simplu. Pentru a face acest lucru, împărțim unitatea la acest coeficient.
Să luăm datele pe care le avem deja și să calculăm probabilitatea fiecărui eveniment:
Victorie Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
A desena: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Câștigarea Arsenalului: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Cote fracționale (engleză)
Așa cum sugerează și numele factor fracțional reprezentată printr-o fracție obișnuită. Un exemplu de cotă engleză este 5/2. Numerotorul fracției conține un număr care este suma potențială a câștigurilor nete, iar numitorul conține numărul care indică suma care trebuie pariată pentru a obține aceste câștiguri. Mai simplu spus, trebuie să pariem 2 dolari pentru a câștiga 5 dolari. Coeficientul 3/2 înseamnă că pentru a obține 3 USD din câștigurile nete, va trebui să pariem 2 USD.
Cum se calculează probabilitatea unui eveniment folosind cote fracționale?
De asemenea, nu este dificil să calculăm probabilitatea unui eveniment după coeficienți fracționali, trebuie doar să împarte numitorul la suma numărătorului și numitorului.
Pentru fracția 5/2, calculați probabilitatea: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pentru fracția 3/2, calculați probabilitatea:
Cote americane
Cote americane nepopular în Europa, dar foarte chiar și în America de Nord. Poate că acest tip de cote este cel mai dificil, dar aceasta este doar la prima vedere. De fapt, nu există nimic complicat în acest tip de coeficienți. Acum să ne dăm seama în ordine.
Principala caracteristică a șanselor americane este că acestea pot fi la fel pozitivși negativ... Un exemplu de cote americane este (+150), (-120). Cotele americane (+150) înseamnă că pentru a câștiga 150 $ trebuie să pariem 100 USD. Cu alte cuvinte, un coeficient pozitiv al SUA reflectă câștigurile nete potențiale la o rată de 100 USD. Cotele negative americane reflectă suma pariului care trebuie făcut pentru a obține un câștig net de 100 USD. De exemplu, coeficientul (- 120) ne spune că, parizând 120 $, vom câștiga 100 $.
Cum se calculează probabilitatea unui eveniment folosind cote americane?
Probabilitatea unui eveniment în conformitate cu coeficientul american este calculată folosind următoarele formule:
(- (M)) / ((- (M)) + 100), unde M este coeficientul american negativ;
100 / (P + 100), unde P este un coeficient american pozitiv;
De exemplu, avem un coeficient (-120), atunci probabilitatea este calculată după cum urmează:
(- (M)) / ((- (M)) + 100); înlocuiește valoarea „M” (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Astfel, probabilitatea unui eveniment cu cote americane (-120) este de 54,5%.
De exemplu, avem un coeficient (+150), atunci probabilitatea este calculată după cum urmează:
100 / (P + 100); înlocuiți valoarea (+150) în loc de „P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Astfel, probabilitatea unui eveniment cu o cotă americană (+150) este de 40%.
Cum să știți procentul de probabilitate de a-l converti într-un coeficient zecimal?
Pentru a calcula coeficientul zecimal pentru un procent cunoscut de probabilitate, trebuie să împărțiți 100 la probabilitatea evenimentului în procente. De exemplu, dacă probabilitatea unui eveniment este de 55%, atunci coeficientul zecimal al acestei probabilități va fi 1,81.
100 / 55% = 1,81
Cum să știți procentul de probabilitate de a-l converti într-un coeficient fracțional?
Pentru a calcula coeficientul fracțional pentru un procent cunoscut de probabilitate, trebuie să scadeți unul din împărțirea 100 la probabilitatea unui eveniment în procent. De exemplu, dacă avem un procent de probabilitate de 40%, atunci coeficientul fracțional al acestei probabilități va fi 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Factorul fracțional este 1,5 / 1 sau 3/2.
Cum să știi procentul de probabilitate de a-l traduce într-un coeficient american?
Dacă probabilitatea unui eveniment este mai mare de 50%, atunci calculul se face după formula:
- ((V) / (100 - V)) * 100, unde V este probabilitatea;
De exemplu, dacă avem o probabilitate de eveniment de 80%, atunci coeficientul american al acestei probabilități va fi egal cu (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Dacă probabilitatea unui eveniment este mai mică de 50%, atunci calculul se face după formula:
((100 - V) / V) * 100, unde V este probabilitatea;
De exemplu, dacă avem o probabilitate de 20% a unui eveniment, atunci coeficientul american al acestei probabilități va fi egal cu (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Cum pot converti un coeficient în alt format?
Există momente în care este necesar să se convertească cotele de la un format la altul. De exemplu, avem un factor fracțional de 3/2 și trebuie să-l transformăm în zecimale. Pentru a converti o cotă fracțională în zecimal, mai întâi determinăm probabilitatea unui eveniment cu o cotă fracțională, apoi transformăm această probabilitate într-o cotă zecimală.
Probabilitatea unui eveniment cu un factor fracțional de 3/2 este de 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Acum să convertim probabilitatea unui eveniment într-un coeficient zecimal, pentru aceasta împărțim 100 la probabilitatea unui eveniment în procente:
100 / 40% = 2.5;
Deci, cota fracțională 3/2 este egală cu cotele zecimale de 2,5. În mod similar, de exemplu, coeficienții americani sunt convertiți în fracțional, zecimal în american etc. Cea mai grea parte din toate acestea sunt doar calculele.
Probabilitatea unui eveniment caracterizează cantitativ posibilitatea (șansa) apariției acestui eveniment în cursul unui experiment aleatoriu. În această secțiune, începem să studiem posibilitățile oferite de teoria probabilității pentru analiza comparativă a situațiilor care decurg din diverse combinații de evenimente la fel de probabile.
Imaginează-ți că desfășurăm un experiment cu spațiul din n rezultate elementare care la fel de probabil... Rezultatele elementare sunt nepotrivit evenimente (reamintim că evenimentele inconsistente sunt cele care nu se pot întâmpla simultan), deci probabilitatea fiecăruia dintre ele este de 1 / n. Să presupunem că ne interesează evenimentul A, care are loc numai atunci când favorabil rezultatele elementare, numărul acestora din urmă m(m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:
R ( A) \u003d m / n.
Pentru orice eveniment A, adevărata inegalitate este adevărată: 0 < P(A) <1.
n\u003e
Exemplul 1. Loteria constă în 1000 de bilete, dintre care 200 câștigătoare. Un bilet din 1000 este desenat la întâmplare. Care este probabilitatea ca acest bilet să fie câștigător?
Decizie:rezultate diferite în acest exemplu sunt 1000 (n \u003d 1000). Evenimentul A care ne interesează include 200 de rezultate (m \u003d 200). Prin urmare,
Exemplul 2. Cutia contine 200 de bile albe, 100 rosii si 50 de verzi. O minge este scoasă la întâmplare. Ce sunt egale cu probabilitatea de a obține o minge de alb, roșu sau verde?
Decizie:Luați în considerare evenimentele:
A \u003d (a scos mingea albă),
B \u003d (a scos mingea roșie),
C \u003d (a scos mingea verde).
N \u003d 350, atunci
Exemplul 3. Se aruncă un zar. Care sunt probabilitățile următoarelor evenimente:
A \u003d (linia a căzut cu 6 puncte),
B \u003d (o linie cu un număr egal de puncte abandonat),
C \u003d (o linie cu numărul de puncte divizibil cu 3)?
Decizie:n \u003d 6. Evenimentul A este favorizat de un rezultat, evenimentul B - trei rezultate, evenimentul C - două rezultate. Prin urmare,
Uneori, în probleme, numărul de rezultate elementare este atât de mare încât nu este posibil să le scriem pe toate. Prin urmare, sunt aplicate formule din combinatorică (vezi §2).
Exemplul 4.Trei sunt trase dintr-un pachet de 36 de cărți. Care este probabilitatea să nu existe zeci printre cărțile trase?
Decizie:În acest exemplu, rezultatul elementar este un set aleatoriu format din trei cărți. Numărul total al rezultatelor elementare este N \u003d C 36 3, rezultatele elementare sunt considerate la fel de posibile. Rezultate favorabile (numărul de seturi posibile de trei cărți de pe același pachet, dar fără zece)
m \u003d C 32 3. Astfel, probabilitatea evenimentului A (3 cărți sunt scoase din 36 și nu există zece dintre ele):
Sarcini de auto-testare
1. Două zaruri sunt aruncate simultan. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente: A-suma punctelor abandonate este 8; Produsul B al punctelor scăzute este 8.
2. Printre 100 de fotografii din plic există una dorită. 10 cărți au fost luate la întâmplare din plic. Găsiți probabilitatea ca cea dorită să fie printre ele.
3. Apelând numărul de telefon, abonatul a uitat ultimele trei cifre și, amintind doar că aceste numere sunt diferite, le-a format la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca numărul să fie format corect.
Având în vedere momentul prezent în banca deschisă a problemelor USE în matematică (mathege.ru), a cărei soluție se bazează pe o singură formulă, care este definiția clasică a probabilității.
Cel mai simplu mod de a înțelege formula este cu exemple.
Exemplul 1. În coș sunt 9 bile roșii și 3 albastre. Bilele diferă doar prin culoare. La întâmplare (fără a privi) obținem unul dintre ele. Care este probabilitatea ca mingea aleasă în acest fel să devină albastră?
Un comentariu. În problemele din teoria probabilității, se întâmplă ceva (în acest caz, acțiunea noastră de a scoate mingea), care poate avea un rezultat diferit - rezultatul. Trebuie menționat că rezultatul poate fi vizualizat în moduri diferite. „Am scos un fel de minge” - și rezultatul. „Am scos mingea albastră” este rezultatul. „Am scos această minge specială din toate bilele posibile” - această vedere cel puțin generalizată a rezultatului se numește rezultat elementar. Rezultatele elementare sunt menite în formula de calcul a probabilității.
Decizie. Acum să calculăm probabilitatea alegerii unei mingi albastre.
Eveniment A: „bila selectată s-a dovedit a fi albastră”
Numărul total al tuturor rezultatelor posibile: 9 + 3 \u003d 12 (numărul tuturor bilelor pe care le-am putea scoate)
Numărul rezultatelor favorabile pentru evenimentul A: 3 (numărul de astfel de rezultate în care a avut loc evenimentul A - adică numărul de bile albastre)
P (A) \u003d 3/12 \u003d 1/4 \u003d 0,25
Răspuns: 0,25
Să calculăm probabilitatea alegerii unei bile roșii pentru aceeași problemă.
Numărul total de rezultate posibile va rămâne același, 12. Număr de rezultate favorabile: 9. Probabilitate căutată: 9/12 \u003d 3/4 \u003d 0,75
Probabilitatea oricărui eveniment se situează întotdeauna în intervalul de la 0 la 1.
Uneori în vorbirea de zi cu zi (dar nu în teoria probabilității!) Probabilitatea evenimentelor este estimată în procente. Tranziția dintre evaluarea matematică și conversațională se face prin înmulțirea (sau împărțirea) cu 100%.
Asa de,
Mai mult, probabilitatea este egală cu zero pentru evenimente care nu se pot întâmpla - sunt incredibile. De exemplu, în exemplul nostru, aceasta ar fi probabilitatea de a trage o minge verde din coș. (Numărul rezultatelor favorabile este 0, P (A) \u003d 0/12 \u003d 0, dacă este calculat după formulă)
Probabilitatea 1 are evenimente care se vor întâmpla cu siguranță, fără opțiuni. De exemplu, probabilitatea ca „bila selectată să fie roșie sau albastră” este pentru problema noastră. (Număr de rezultate favorabile: 12, P (A) \u003d 12/12 \u003d 1)
Am analizat un exemplu clasic pentru a ilustra definiția probabilității. Toate aceste probleme ale examenului din teoria probabilităților sunt rezolvate prin aplicarea acestei formule.
În locul bilelor roșii și albastre, pot fi mere și pere, băieți și fete, bilete învățate și neînvățate, bilete care conțin și nu conțin o întrebare pe un subiect (prototipuri), genți defecte și de înaltă calitate sau pompe de grădină (prototipuri) - principiul rămâne același.
Ele diferă ușor în formularea problemei din teoria probabilității examenului, unde trebuie să calculați probabilitatea unui eveniment care are loc într-o anumită zi. (,) Ca și în sarcinile anterioare, trebuie să determinați care este rezultatul elementar și apoi aplicați aceeași formulă.
Exemplul 2. Conferința durează trei zile. În prima și a doua zi vor vorbi 15 vorbitori, a treia zi - 20. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să cadă în a treia zi, dacă ordinea discuțiilor este determinată prin tragerea la sorți?
Care este rezultatul elementar aici? - Alocarea raportului profesorului la unul dintre toate numerele de serie posibile pentru discurs. 15 + 15 + 20 \u003d 50 de persoane participă la tragerea la sorți. Astfel, raportul profesorului M. poate primi una dintre cele 50 de probleme. Aceasta înseamnă că există doar 50 de rezultate elementare.
Care sunt rezultatele favorabile? - Cele în care se dovedește că profesorul va vorbi a treia zi. Adică ultimele 20 de numere.
Conform formulei, probabilitatea P (A) \u003d 20/50 \u003d 2/5 \u003d 4/10 \u003d 0,4
Răspuns: 0,4
Schița loturilor este aici stabilirea unei corespondențe aleatorii între oameni și locuri ordonate. În exemplul 2, stabilirea corespondenței a fost considerată din punctul de vedere al locurilor pe care o anumită persoană ar putea să o ia. Puteți aborda aceeași situație din cealaltă parte: care dintre persoanele cu ce probabilitate ar putea ajunge într-un anumit loc (prototipuri,,,):
Exemplul 3. Tragerea la sorți implică 5 germani, 8 francezi și 3 estonieni. Care este probabilitatea ca primul (/ al doilea / al șaptelea / ultimul - nu contează) să fie un francez.
Numărul rezultatelor elementare este numărul tuturor persoanelor posibile care ar putea ajunge la un loc dat prin tragere la sorți. 5 + 8 + 3 \u003d 16 persoane.
Rezultate favorabile - franceză. 8 persoane.
Probabilitatea căutării: 8/16 \u003d 1/2 \u003d 0,5
Răspuns: 0,5
Prototipul este ușor diferit. Există câteva probleme mai creative despre monede () și zaruri (). Soluția acestor probleme poate fi văzută pe paginile prototipului.
Iată câteva exemple de aruncare a unei monede sau zaruri.
Exemplul 4. Când aruncăm o monedă, care este probabilitatea de a primi capete?
Există 2 rezultate - capete sau cozi. (se crede că moneda nu cade niciodată pe margine) Rezultat favorabil - cozi, 1.
Probabilitate 1/2 \u003d 0,5
Răspuns: 0,5.
Exemplul 5. Ce se întâmplă dacă aruncăm o monedă de două ori? Care este probabilitatea de a lovi capetele de două ori?
Principalul lucru este să determinăm care sunt rezultatele elementare pe care le vom lua în considerare la întoarcerea a două monede. După răsturnarea a două monede, se poate obține unul dintre următoarele rezultate:
1) PP - de ambele ori au venit cozi
2) PO - prima dată cozi, a doua oară capete
3) OP - se îndreaptă prima dată, cozile a doua oară
4) OO - se îndreaptă de ambele ori
Nu există alte opțiuni. Prin urmare, există 4 rezultate elementare. Favorabile dintre ele sunt doar primele 1.
Probabilitate: 1/4 \u003d 0.25
Răspuns: 0,25
Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară cozi o dată?
Numărul rezultatelor elementare este același, 4. Rezultate favorabile - a doua și a treia, 2.
Probabilitatea de a lovi o singură coadă: 2/4 \u003d 0,5
În astfel de sarcini, o altă formulă poate fi utilă.
Dacă, cu o monedă dintr-o monedă, avem 2 rezultate posibile, atunci pentru două lansări rezultatele vor fi 2 2 \u003d 2 2 \u003d 4 (ca în exemplul 5), pentru trei aruncări 2 2 2 \u003d 2 3 \u003d 8, pentru patru: 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 2 4 \u003d 16, ... pentru N aruncări, rezultatele posibile vor fi 2 · 2 · ... · 2 \u003d 2 N.
Așadar, puteți găsi probabilitatea de a obține 5 capete din cele 5 jocuri de monede.
Numărul total de rezultate elementare: 2 5 \u003d 32.
Rezultate favorabile: 1. (RRRRR - toate cele 5 cozi)
Probabilitate: 1/32 \u003d 0.03125
Același lucru este valabil și pentru zaruri. Cu o singură aruncare, există 6 rezultate posibile aici. Deci, pentru două aruncări: 6 6 \u003d 36, pentru trei 6 6 6 \u003d 216 și așa mai departe.
Exemplul 6. Aruncăm zarurile. Care este probabilitatea ca un număr par să apară?
Rezultate totale: 6, în funcție de numărul de fețe.
Favorabil: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabilitate: 3/6 \u003d 0,5
Exemplul 7. Aruncăm două zaruri. Care este șansa unui număr de 10 rulate? (rotund până la sutimi)
Există 6 rezultate posibile pentru o singură moarte. Prin urmare, pentru doi, conform regulii menționate mai sus, 6 6 \u003d 36.
Ce rezultate vor fi favorabile pentru 10 în total?
10 trebuie descompus în suma a două numere de la 1 la 6. Aceasta se poate face în două moduri: 10 \u003d 6 + 4 și 10 \u003d 5 + 5. Aceasta înseamnă că următoarele opțiuni sunt posibile pentru cuburi:
(6 pe primul și 4 pe al doilea)
(4 pe primul și 6 pe al doilea)
(5 pe primul și 5 pe al doilea)
Total, 3 opțiuni. Probabilitatea căutării: 3/36 \u003d 1/12 \u003d 0,08
Răspuns: 0,08
Alte tipuri de probleme B6 vor fi abordate într-una dintre următoarele articole Cum să rezolve articole.
Atenție la solicitanți! Iată mai multe sarcini ale examenului. Restul, mai interesante, se află în materialul nostru video gratuit. Urmăriți și faceți!
Începem cu probleme simple și concepte de bază ale teoriei probabilităților.
Aleatoriu se numește un eveniment care nu poate fi prevăzut cu exactitate în avans. Se poate întâmpla sau nu.
Ai câștigat la loterie - un eveniment întâmplător. Ați invitat prietenii să sărbătorească victoria și s-au blocat în lift în drumul spre locul dvs. - de asemenea un eveniment întâmplător. Adevărat, stăpânul a fost în apropiere și a eliberat întreaga companie în zece minute - iar acest lucru poate fi considerat și un flu ...
Viața noastră este plină de evenimente aleatorii. Putem spune despre fiecare dintre ei că se va întâmpla cu unii probabilitate... Șansele sunt că sunteți familiarizați intuitiv cu acest concept. Vom da acum o definiție matematică a probabilității.
Să începem cu cel mai simplu exemplu. Aruncați o monedă. Cap sau pajură?
O acțiune care poate duce la unul dintre mai multe rezultate este numită în teoria probabilităților test.
Capetele și cozile sunt două posibile rezultat teste.
Vulturul va cădea într-unul din cele două cazuri. Ei spun asta probabilitate că moneda va ateriza capetele este egală cu.
Hai să rostogolim moartea. Cubul are șase fețe, deci există și șase rezultate posibile.
De exemplu, ați ghicit că veți obține trei puncte. Acesta este un rezultat din șase posibile. În teoria probabilităților, se va numi rezultat favorabil.
Probabilitatea obținerii unui trei este (un rezultat favorabil din șase posibile).
Probabilitatea unui patru este de asemenea
Dar probabilitatea apariției celor șapte este zero. La urma urmei, nu există margine cu șapte puncte pe cub.
Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre rezultatele favorabile și numărul total de rezultate.
Evident, probabilitatea nu poate fi mai mare decât una.
Iată un alt exemplu. Într-un sac de mere, dintre care sunt roșii, restul sunt verzi. Merele nu diferă ca formă sau dimensiune. Pui mâna în geantă și scoți un măr la întâmplare. Probabilitatea de a trage un măr roșu este egală cu un verde.
Probabilitatea obținerii unui măr roșu sau verde este egală.
Să analizăm problemele din teoria probabilităților incluse în colecțiile pentru pregătirea examenului.
... Compania de taxi are în prezent mașini gratuite: roșu, galben și verde. La un apel, a ieșit una dintre mașinile care s-au întâmplat cel mai aproape de client. Găsiți probabilitatea ca un taxi galben să vină la ea.
Există mașini în total, adică una din cincisprezece va ajunge la client. Există nouă galbene, ceea ce înseamnă că probabilitatea sosirii unei mașini galbene este egală, adică.
... (Versiunea demonstrativă) În colecția de bilete pentru biologia tuturor biletelor, două dintre ele conțin problema ciupercilor. La examen, studentul primește un bilet ales la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca acest bilet să nu includă întrebarea cu ciuperca.
Evident, probabilitatea de a scoate un bilet fără a întreba despre ciuperci este egală, adică.
... Comitetul Părinților a cumpărat puzzle-uri pentru cadouri pentru copii la sfârșitul anului școlar, inclusiv tablouri ale unor artiști celebri și cu imagini cu animale. Cadourile sunt distribuite la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca Vovochka să obțină un puzzle cu un animal.
Problema se rezolvă într-un mod similar.
Răspuns:.
... La campionatul de gimnastică participă sportivi: din Rusia, din SUA, restul - din China. Ordinea în care se desfășoară gimnastele este determinată prin tragere la sorți. Aflați probabilitatea ca ultimul concurent să fie din China.
Să ne imaginăm că toți sportivii în același timp au mers la pălărie și au scos bucăți de hârtie cu numere. Unii dintre ei vor primi numărul 20. Probabilitatea ca un atlet chinez să-l tragă este egală (deoarece există sportivi din China). Răspuns:.
... Studentul a fost rugat să numească un număr de la. Care este probabilitatea ca el să spună un multiplu de cinci?
La fiecare a cincea un număr din acest set este divizibil cu. Deci probabilitatea este.
Se aruncă un zar. Găsiți probabilitatea ca un număr impar de puncte să fie scăzut.
Numere impare; - chiar. Probabilitatea unui număr impar de puncte este.
Răspuns:.
... Moneda este aruncată de trei ori. Care este probabilitatea a două capete și a unei cozi?
Rețineți că problema poate fi formulată diferit: trei monede au fost aruncate în același timp. Acest lucru nu va afecta decizia.
Câte rezultate posibile crezi că există?
Aruncăm o monedă. Această acțiune are două rezultate posibile: capete și cozi.
Două monede - deja patru rezultate:
Trei monede? Așa este, rezultatele, de atunci.
Două capete și o coadă sunt trase de trei ori din opt.
Răspuns:.
... Într-un experiment aleatoriu, se dau două zaruri. Găsiți probabilitatea ca totalul să fie puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sută.
Faceți primul rezultat - șase rezultate. Și pentru fiecare dintre ele sunt posibile încă șase - atunci când rulăm a doua matriță.
Obținem că această acțiune - aruncând două zaruri - are toate rezultatele posibile, de atunci.
Și acum - rezultatele favorabile:
Probabilitatea obținerii a opt puncte este egală.
\u003e. Tragătorul lovește ținta cu probabilitate. Găsiți probabilitatea ca el să lovească ținta de patru ori la rând.
Dacă probabilitatea de a lovi este egală, atunci probabilitatea de a lipsi. Raționăm în același mod ca în problema anterioară. Probabilitatea a două lovituri la rând este. Și probabilitatea de patru lovituri la rând este.
Probabilitate: logica forței brute.
Iată o problemă din munca de diagnostic, care a părut greu pentru mulți.
În buzunar, Petya avea monede pentru ruble și monede pentru ruble. Petya, fără să se uite, a pus niște monede în alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele din cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.
Știm că probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate. Dar cum calculezi toate aceste rezultate?
Desigur, puteți desemna monede de cinci ruble cu numere și monede cu zece ruble - și apoi să numărați câte modalități puteți selecta trei elemente dintr-un set.
Cu toate acestea, există o soluție mai simplă:
Codificăm monede cu numere:, (acestea sunt cinci ruble), (acestea sunt zece ruble). Starea problemei poate fi formulată astfel:
Există șase jetoane numerotate de la. În câte moduri le puteți împărți în mod egal în două buzunare, astfel încât jetoanele numerotate să nu se termine împreună?
Să notăm ce este în primul nostru buzunar.
Pentru a face acest lucru, vom compune toate combinațiile posibile din set. Un set de trei jetoane va fi un număr format din trei cifre. Evident, în condițiile noastre și este același set de jetoane. Pentru a nu rata nimic și a nu repeta, aranjăm numerele corespunzătoare din trei cifre în ordine crescătoare:
Toate! Am trecut prin toate combinațiile posibile începând cu. Noi continuăm:
Rezultate totale posibile.
Avem o condiție - jetoane cu numere și nu ar trebui să fie împreună. Acest lucru înseamnă, de exemplu, că combinația nu ne convine - înseamnă că jetoanele și ambele nu au fost în primul, ci în al doilea buzunar. Rezultatele care sunt favorabile pentru noi sunt cele în care există sau numai. Aici sunt ei:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - total de rezultate favorabile.
Atunci probabilitatea necesară este.
Ce sarcini vă așteaptă la examen la matematică?
Să ne uităm la una dintre problemele dificile din teoria probabilităților.
Pentru a intra la institutul specialității „Lingvistică”, solicitantul Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la examen la fiecare din cele trei materii - matematică, rusă și o limbă străină. Pentru a intra în specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, rusă și studii sociale.
Probabilitatea ca un solicitant Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este 0,6, în limba rusă - 0,8, într-o limbă străină - 0,7, iar în studii sociale - 0,5.
Găsiți probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre cele două specialități menționate.
Rețineți că problema nu se întreabă dacă un solicitant numit Z. va studia atât lingvistica, cât și comerțul simultan și va primi două diplome. Aici este necesar să se găsească probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre aceste două specialități - adică să obțină numărul necesar de puncte.
Pentru a înscrie cel puțin una dintre cele două specialități, Z. trebuie să înscrie cel puțin 70 de puncte la matematică. Și în rusă. Și totuși - științe sociale sau străine.
Probabilitatea de a obține 70 de puncte la matematică pentru el este 0,6.
Probabilitatea de a înscrie puncte la matematică și rusă este de 0,6 0,8.
Să ne ocupăm de studii străine și sociale. Opțiunile sunt potrivite pentru noi atunci când solicitantul a obținut puncte în studiile sociale, într-o limbă străină sau în ambele. O opțiune nu este potrivită atunci când nu a marcat puncte nici în limbă, nici în „societate”. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a trece studii sociale sau o limbă străină este de cel puțin 70 de puncte egală cu
1 – 0,5 0,3.
Ca urmare, probabilitatea de a trece matematica, rusă și studii sociale sau străine este
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) \u003d 0,408. Acesta este răspunsul.
