Cum se rezolvă o ecuație pătratică simplă. Rădăcină pătrată: formule de calcul. Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice

”, adică ecuații de gradul I. În această lecție, vom explora ce este o ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim în care se află necunoscutul este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a ecuației pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” - numere date.

• "a" - primul sau coeficientul superior;
• "b" - al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” Trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuația	Cote
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații pătratice

Spre deosebire de ecuațiile liniare, o ecuație specială este utilizată pentru a rezolva ecuațiile pătratice. formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• aduceți ecuația pătratică la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Adică doar „0” ar trebui să rămână pe partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să folosim un exemplu pentru a ne da seama cum să aplicăm formula pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm ecuația pătratică.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ecuația „x 2 - 3x - 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să definim coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Cu ajutorul lui, orice ecuație pătratică este rezolvată.

În formula „x 1; 2 \u003d” expresia rădăcină este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” la litera „D” și numit discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să aducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Răspuns: x = 3

Există momente când nu există rădăcini în ecuațiile pătratice. Această situație apare atunci când un număr negativ apare în formulă sub rădăcină.

În societatea modernă, capacitatea de a opera cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, se determină traiectorii de mișcare a diferitelor corpuri, inclusiv a obiectelor spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Pot fi necesare în excursii în camping, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea sunt egale pe partea dreaptă cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată în așa fel încât să existe doi termeni în expresia din partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai ușor este să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). Mai mult, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorii din partea dreaptă în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie scrisă în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea, rădăcina pătrată este extrasă de ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate s-a datorat în mare măsură necesității de a determina suprafețele și perimetrele terenurilor cu cea mai mare acuratețe.

Exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel ar trebui să fie luate în considerare și de noi.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Notăm cu x lățimea secțiunii, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

Discriminant

În primul rând, vom face transformările necesare, apoi aspectul acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c= -612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul de opțiuni posibile. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea terenului nu poate fi măsurată în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18+16=34, iar perimetrul 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să transferăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică să obținem forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și să o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Deci ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom rezolva ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă aici există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am făcut o verificare, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de rezolvare, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

O sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar atunci când (−c / a ) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

O sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. unu

1 Instituție de învățământ bugetară municipală școala Gimnazială Nr.11

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere job” în format PDF

Istoria ecuațiilor pătratice

Babilonul

Nevoia de a rezolva ecuații nu numai de gradul I, ci și de al doilea, chiar și în cele mai vechi timpuri, a fost cauzată de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea zonelor de pământ, odată cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut să rezolve aproximativ 2000 î.Hr. e. babilonienii. Regulile de rezolvare a acestor ecuații expuse în textele babiloniene coincid în esență cu cele moderne, dar acestor texte le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Grecia antică

În Grecia antică, oameni de știință precum Diophantus, Euclid și Heron erau, de asemenea, implicați în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Diophantus Diophantus din Alexandria a fost un matematician antic grec care probabil a trăit în secolul al III-lea d.Hr. Lucrarea principală a lui Diophantus este „Aritmetica” în 13 cărți. Euclid. Euclid este un matematician antic grec, autorul primului tratat teoretic de matematică care a ajuns până la noi, Heron. Heron - matematician și inginer grec pentru prima dată în Grecia în secolul I d.Hr. oferă un mod pur algebric de rezolvare a ecuației pătratice

India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul de astronomie Aryabhattam, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a conturat regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică: ax2 + bx = c, a> 0. (1) În ecuația (1), coeficienții pot fi și negativi . Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră. În India, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Într-una dintre cărțile indiene vechi, despre astfel de competiții se spune următoarele: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, tot așa o persoană învățată va eclipsa gloria în adunările publice, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Iată una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskara.

„Tulmă plină de maimuțe

Și douăsprezece de-a lungul viței de vie

Au început să sară, spânzurați

Au pătrat partea a opta

Câte maimuțe erau

Să te distrezi pe pajiște

Îmi spui, în turma asta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că autorul era conștient de două valori ale rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Bhaskar scrie ecuația corespunzătoare problemei sub forma x2 - 64x = - 768 și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, adaugă 322 la ambele părți, obținând apoi: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Ecuații cuadratice în Europa secolului al XVII-lea

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui Al - Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât în ​​țările Islamului, cât și în Grecia Antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din „Cartea Abacului” au trecut în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII. Vieta are o derivație generală a formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice, dar Vieta a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, modul de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă un aspect modern.

Definiția unei ecuații pătratice

O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt numere, se numește ecuație pătrată.

Coeficienții unei ecuații pătratice

Numerele a, b, c sunt coeficienții ecuației pătratice. a este primul coeficient (înainte de x²), a ≠ 0; b este al doilea coeficient (înainte de x); c este termenul liber (fără x).

Care dintre aceste ecuații nu sunt pătratice?

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipuri de ecuații pătratice

Nume	Vedere generală a ecuației	Caracteristică (ce coeficienți)	Exemple de ecuații
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - alte numere decât 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incomplet
			x 2 - 1/5x = 0
Dat	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Se numește o ecuație pătratică redusă, în care coeficientul principal este egal cu unu. O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii la coeficientul principal A:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Se spune că o ecuație pătratică este completă dacă toți coeficienții ei sunt nenuli.

O astfel de ecuație pătratică se numește incompletă dacă cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția celui mai mare (fie al doilea coeficient, fie termenul liber), este egal cu zero.

Modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice

eu drumul. Formula generală pentru calcularea rădăcinilor

Pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice topor 2 + b + c = 0În general, ar trebui utilizat următorul algoritm:

Calculați valoarea discriminantului ecuației pătratice: aceasta este expresia acesteia D= b 2 - 4ac

Derivarea formulei:

Notă: este evident că formula pentru o rădăcină de multiplicitate 2 este un caz special al formulei generale, se obține prin substituirea egalității D=0 în ea, iar concluzia despre absența rădăcinilor reale la D0, și (stil de afișare ( sqrt (-1))=i) = i.

Metoda descrisă este universală, dar este departe de a fi singura. Soluția unei ecuații poate fi abordată în moduri diferite, preferințele depind de obicei de rezolvatorul însuși. În plus, de multe ori pentru aceasta unele dintre metode se dovedesc a fi mult mai elegante, mai simple, consumatoare de timp mai puțin decât cea standard.

calea II. Rădăcinile unei ecuații pătratice cu un coeficient par b calea III. Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

calea IV. Folosind rapoarte parțiale ale coeficienților

Există cazuri speciale de ecuații pătratice în care coeficienții sunt proporționali între ei, ceea ce face mult mai ușor de rezolvat.

Rădăcinile unei ecuații pătratice în care suma coeficientului principal și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient

Dacă într-o ecuație pătratică topor 2 + bx + c = 0 suma primului coeficient și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient: a+b=c, atunci rădăcinile sale sunt -1 și numărul opus raportului dintre termenul liber și coeficientul principal ( -c/a).

Prin urmare, înainte de a rezolva orice ecuație pătratică, ar trebui să verificați posibilitatea aplicării acestei teoreme: comparați suma coeficientului principal și a termenului liber cu al doilea coeficient.

Rădăcinile unei ecuații pătratice a cărei sumă a tuturor coeficienților este zero

Dacă într-o ecuație pătratică suma tuturor coeficienților săi este egală cu zero, atunci rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și raportul dintre termenul liber și coeficientul principal ( c/a).

Prin urmare, înainte de a rezolva ecuația prin metode standard, ar trebui să verificați aplicabilitatea acestei teoreme la ea: adăugați toți coeficienții acestei ecuații și vedeți dacă această sumă este egală cu zero.

calea V. Descompunerea unui trinom pătrat în factori liniari

Dacă un trinom de formă (stil de afișare ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) poate fi reprezentat cumva ca un produs al factorilor liniari (stil de afișare (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), atunci putem găsi rădăcinile ecuației topor 2 + bx + c = 0- vor fi -m / k și n / l, într-adevăr, pentru că (stil de afișare (kx+m)(lx+n)=0Săgeată lung-dreapta kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, iar prin rezolvarea ecuațiilor liniare indicate, obținem cele de mai sus. Rețineți că un trinom pătrat nu este întotdeauna descompus în factori liniari cu coeficienți reali: acest lucru este posibil dacă ecuația care îi corespunde are rădăcini reale.

Luați în considerare câteva cazuri speciale

Folosind formula pentru pătratul sumei (diferența)

Dacă un trinom pătrat are forma (stil de afișare (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , atunci aplicând formula de mai sus, îl putem factoriza în factori liniari și, prin urmare, găsiți rădăcini:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Selectarea pătratului complet al sumei (diferența)

De asemenea, formula numită este folosită folosind metoda numită „selectarea pătratului complet al sumei (diferenței)”. În raport cu ecuația pătratică dată cu notația introdusă mai devreme, aceasta înseamnă următoarele:

Notă: dacă observați, această formulă coincide cu cea propusă în secțiunea „Rădăcinile ecuației pătratice reduse”, care, la rândul ei, poate fi obținută din formula generală (1) prin înlocuirea egalității a=1. Acest fapt nu este doar o coincidență: prin metoda descrisă, după ce au făcut, totuși, unele raționamente suplimentare, este posibil să se obțină o formulă generală, precum și să se demonstreze proprietățile discriminantului.

calea VI. Folosind teorema Vieta directă și inversă

Teorema directă a lui Vieta (vezi mai jos în secțiunea cu același nume) și teorema sa inversă ne permit să rezolvăm ecuațiile patratice reduse oral, fără a recurge la calcule destul de greoaie folosind formula (1).

Conform teoremei inverse, orice pereche de numere (număr) (stil de afișare x_(1),x_(2)) x 1 , x 2 fiind soluția sistemului de ecuații de mai jos, sunt rădăcinile ecuației

În cazul general, adică pentru o ecuație pătratică neredusă ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

O teoremă directă vă va ajuta să selectați verbal numerele care satisfac aceste ecuații. Cu ajutorul acestuia, puteți determina semnele rădăcinilor fără a cunoaște rădăcinile în sine. Pentru a face acest lucru, urmați regula:

1) dacă termenul liber este negativ, atunci rădăcinile au un semn diferit, iar cel mai mare modul al rădăcinilor este semnul opus semnului celui de-al doilea coeficient al ecuației;

2) dacă termenul liber este pozitiv, atunci ambele rădăcini au același semn, iar acesta este semnul opus celui de-al doilea coeficient.

a 7-a cale. Metoda de transfer

Așa-numita metodă „transfer” face posibilă reducerea soluției ecuațiilor nereduse și netransformabile la forma de ecuații reduse cu coeficienți întregi prin împărțirea acestora la coeficientul principal al ecuațiilor la soluția ecuațiilor reduse cu întregi coeficienți. Este după cum urmează:

Apoi, ecuația este rezolvată oral în modul descris mai sus, apoi revin la variabila inițială și găsesc rădăcinile ecuațiilor (stil de afișare y_(1)=ax_(1)) y 1 = ax 1 și y 2 = ax 2 .(stil de afișare y_(2)=ax_(2))

sens geometric

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Dacă parabola descrisă de o funcție pătratică nu intersectează axa x, ecuația nu are rădăcini reale. Dacă parabola intersectează axa x într-un punct (la vârful parabolei), ecuația are o rădăcină reală (se spune că ecuația are și două rădăcini care coincid). Dacă parabola intersectează axa x în două puncte, ecuația are două rădăcini reale (vezi imaginea din dreapta.)

coeficient dacă (stil de afișare a) A pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și invers. Dacă coeficientul (stil de afișare b) bpozitiv (când este pozitiv (stil de afișare a) A, dacă este negativ, invers), atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng și invers.

Aplicarea ecuațiilor pătratice în viață

Ecuația pătratică este larg răspândită. Este folosit în multe calcule, structuri, sport și, de asemenea, în jurul nostru.

Luați în considerare și dați câteva exemple de aplicare a ecuației pătratice.

Sport. Sărituri în înălțime: atunci când săritorul decolează, pentru lovirea cât mai precisă pe bara de repulsie și zborul înalt, se folosesc calcule legate de parabolă.

De asemenea, sunt necesare calcule similare la aruncare. Raza de zbor a unui obiect depinde de o ecuație pătratică.

Astronomie. Traiectoria planetelor poate fi găsită folosind o ecuație pătratică.

Zborul cu avionul. Decolarea unei aeronave este componenta principală a zborului. Aici calculul este luat pentru o rezistență mică și o accelerație la decolare.

De asemenea, ecuațiile pătratice sunt folosite în diverse discipline economice, în programe de procesare a graficelor sunetului, video, vectoriale și raster.

Concluzie

În urma muncii depuse, s-a dovedit că ecuațiile pătratice au atras oamenii de știință în antichitate, le-au întâlnit deja la rezolvarea unor probleme și au încercat să le rezolve. Având în vedere diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor pătratice, am ajuns la concluzia că nu toate sunt simple. După părerea mea, cel mai bun mod de a rezolva ecuații pătratice este să folosești formule. Formulele sunt ușor de reținut, această metodă este universală. S-a confirmat ipoteza conform căreia ecuațiile sunt utilizate pe scară largă în viață și în matematică. După ce am studiat subiectul, am aflat o mulțime de fapte interesante despre ecuațiile pătratice, utilizarea lor, aplicarea, tipurile, soluțiile. Și voi continua să le studiez cu plăcere. Sper că acest lucru mă ajută să mă descurc bine la examene.

Lista literaturii folosite

Materiale site:

Wikipedia

Deschideți lecția.rf

Manual de matematică elementară Vygodsky M. Ya.

Doar. După formule și reguli clare simple. La prima etapă

este necesar să aducem ecuația dată la forma standard, adică. la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este corect

determina toti coeficientii A, bși c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant . După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi

utilizare doar a, b și c. Acestea. cote de la ecuație pătratică. Doar introduceți cu grijă

valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Înlocuiește cu al lor semne!

De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c = -4.

Înlocuiți valorile și scrieți:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele valorilor a, bși Cu. Mai degrabă, cu înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici se salvează formula detaliată

cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Pictăm totul în detaliu, cu atenție, fără să lipsească nimic cu toate semnele și parantezele:

Adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima recepție. Nu fi leneș înainte rezolvarea unei ecuații pătratice aduceți-o la forma standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c.

Construiți corect exemplul. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul.

Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! De Teorema Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficient

x2+bx+c=0,

apoix 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a≠1:

x 2 +bx+c=0,

împărțiți întreaga ecuație la A:

→ →

Unde x 1și X 2 - rădăcinile ecuației.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuație pentru un numitor comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații pentru -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință prin