Sinusul unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul opus cateter la ipotenuză.
Se notează astfel: sin α.
Cosinus Unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Se notează astfel: cos α.
Tangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Se notează astfel: tg α.
Cotangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Se desemnează astfel: ctg α.
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi depind doar de mărimea unghiului.
Reguli:
Identități trigonometrice de bază într-un triunghi dreptunghic:
(α - unghi ascutit opus piciorului b și adiacent piciorului A . Latură Cu - ipotenuza. β - al doilea unghi acut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
b | 1 | |
A | 1 1 | |
sinα |
Pe măsură ce unghiul ascuțit creștesinα şicreșterea tg α șicos α scade.
Pentru orice unghi ascuțit α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Exemplu explicativ:
Lăsați un triunghi dreptunghic ABC
AB = 6,
BC = 3,
unghi A = 30º.
Aflați sinusul unghiului A și cosinusul unghiului B.
Soluție.
1) În primul rând, găsim valoarea unghiului B. Totul este simplu aici: deoarece într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este de 90º, atunci unghiul B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calculați sin A. Știm că sinusul este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză. Pentru unghiul A, piciorul opus este latura BC. Asa de:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Acum calculăm cos B. Știm că cosinusul este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Pentru unghiul B, piciorul adiacent este de aceeași latură BC. Aceasta înseamnă că trebuie din nou să împărțim BC în AB - adică să facem aceleași acțiuni ca atunci când calculăm sinusul unghiului A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatul este:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
De aici rezultă că într-un triunghi dreptunghic sinusul unui unghi ascuțit este egal cu cosinusul altui unghi ascuțit - și invers. Acesta este exact ceea ce înseamnă cele două formule ale noastre:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Să verificăm din nou:
1) Fie α = 60º. Înlocuind valoarea lui α în formula sinusului, obținem:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Fie α = 30º. Înlocuind valoarea lui α în formula cosinus, obținem:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Pentru mai multe despre trigonometrie, vezi secțiunea Algebră)
Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula mărimi în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.
Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.
Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.
Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.
Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt utilizate în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.
Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.
Aplicație în matematică
Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.
Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raporturilor de aspect și măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.
Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. În vremea sovietică, unii profesori își obligau pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradis.
Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.
Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.
π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).
Care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura \ (AC \) ); picioarele sunt cele două laturi rămase \ (AB \) și \ (BC \) (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghiul \ (BC \) , atunci catetul \ (AB \) este piciorul adiacent, iar piciorul \ (BC \) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?
Sinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul opus (departe) și ipotenuză.
În triunghiul nostru:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
În triunghiul nostru:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).
În triunghiul nostru:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).
În triunghiul nostru:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:
cosinus→ating→ating→adiacent;
Cotangent → atinge → atinge → adiacent.
În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Sa nu ai incredere? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:
Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.
Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!
Pentru triunghiul \(ABC \) , prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .
Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Cerc unitar (trigonometric).
Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu raza egală cu \ (1 \) . Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.
După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \) (în exemplul nostru, acesta este raza \(AB \) ).
Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonata de-a lungul axei \(x \) și coordonata de-a lungul axei \(y \) . Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG \) . Este dreptunghiular deoarece \(CG \) este perpendicular pe axa \(x \).
Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC \) este raza cercului unitar, deci \(AC=1 \) . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Și ce este \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Înlocuiți valoarea razei \ (AC \) în această formulă și obțineți:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Deci, puteți să-mi spuneți care sunt coordonatele punctului \(C \) , care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Dar dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x \) ! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa este, coordonata \(y \)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Ce sunt atunci \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \)? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:
Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)
Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \ (y \) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \ (x \) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.
S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.
Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel încât vectorul rază va face o rotație completă și se va opri la \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .
În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.
Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m \) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:
Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice) \)
De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu exista;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.
Raspunsuri:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu exista
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu exista
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu exista
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu exista
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Astfel, putem realiza următorul tabel:
Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să puteți scoate!! \) !}
Și aici sunt valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:
Nu trebuie să vă sperii, acum vom arăta unul dintre exemplele de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:
Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste \(4 \) valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, este posibil să restabiliți valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \) ” se va potrivi cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \) ” se va potrivi cu \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți schema cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4 \) din tabel.
Coordonatele unui punct pe un cerc
Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:
Ni se dă acel punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) este centrul cercului. Raza cercului este \(1,5 \) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P \) obținute prin rotirea punctului \(O \) cu \(\delta \) grade.
După cum se poate observa din figură, coordonata \ (x \) a punctului \ (P \) corespunde lungimii segmentului \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lungimea segmentului \ (UK \) corespunde coordonatei \ (x \) a centrului cercului, adică este egală cu \ (3 \) . Lungimea segmentului \(KQ \) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Atunci avem că pentru punctul \(P \) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P \) . În acest fel,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Deci, în termeni generali, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,
\(r\) - raza cercului,
\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.
După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript este dezactivat în browserul dvs.Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.
Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.
Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!
Să dăm o ilustrare.
În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.
Important de reținut!
Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.
Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.
În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinus (sin) al unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y
Cosinus (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x
Cotangente (ctg) a unghiului de rotație
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.
Numerele
Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.
De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.
Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .
Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) al numărului t
Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y
Cosinus (cos) al lui t
Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a lui t
Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.
Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.
Funcții de bază ale trigonometriei
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.
De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.
Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.
În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Exemple:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argument și valoare
Cosinusul unui unghi ascuțit
Cosinusul unui unghi ascuțit poate fi determinat folosind un triunghi dreptunghic - este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuza.
Exemplu :
1) Să fie dat un unghi și trebuie să determinați cosinusul acestui unghi.
2) Să completăm orice triunghi dreptunghic din acest colț.
3) După ce am măsurat laturile necesare, putem calcula cosinusul.
Cosinusul unui unghi ascuțit este mai mare decât \(0\) și mai mic decât \(1\)
Dacă, la rezolvarea problemei, cosinusul unui unghi ascuțit sa dovedit a fi mai mare decât 1 sau negativ, atunci undeva în soluție există o eroare.
Cosinusul unui număr
Cercul numeric vă permite să determinați cosinusul oricărui număr, dar de obicei găsiți cosinusul numerelor legate cumva de : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
De exemplu, pentru numărul \(\frac(π)(6)\) - cosinusul va fi egal cu \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Iar pentru numărul \(-\)\(\frac(3π)(4)\) va fi egal cu \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (aproximativ \ (-0 ,71\)).
Cosinus pentru alte numere des întâlnite în practică, vezi.
Valoarea cosinusului se află întotdeauna între \(-1\) și \(1\). În acest caz, cosinusul poate fi calculat pentru absolut orice unghi și număr.
Cosinusul oricărui unghi
Datorită cercului numeric, este posibil să se determine cosinusul nu numai al unui unghi ascuțit, ci și al unui obtuz, negativ și chiar mai mare decât \ (360 ° \) (întoarcerea completă). Cum se face - este mai ușor să vezi o dată decât să auzi \(100\) ori, așa că uită-te la imagine.
Acum o explicație: să fie necesar să se determine cosinusul unghiului KOA cu măsura gradului în \(150°\). Combinăm punctul O cu centrul cercului și latura O.K- cu axa \(x\). După aceea, puneți deoparte \ (150 ° \) în sens invers acelor de ceasornic. Apoi ordonata punctului DAR ne va arăta cosinusul acestui unghi.
Dacă ne interesează un unghi cu o măsură de grad, de exemplu, în \ (-60 ° \) (unghi KOV), facem același lucru, dar \(60°\) pus deoparte în sensul acelor de ceasornic.
Și, în cele din urmă, unghiul este mai mare decât \(360°\) (unghiul KOS) - totul este asemănător cu tocitura, numai după ce trecem o tură completă în sensul acelor de ceasornic, trecem în runda a doua și „primim lipsa de grade”. Mai exact, în cazul nostru, unghiul \(405°\) este reprezentat ca \(360° + 45°\).
Este ușor de ghicit că pentru a lăsa deoparte un unghi, de exemplu, în \ (960 ° \), trebuie să faceți două ture (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) și pentru un unghi în \ (2640 ° \) - șapte întregi.
Merită să ne amintim că:
Cosinusul unui unghi drept este zero. Cosinusul unui unghi obtuz este negativ.
Semne cosinus în sferturi
Folosind axa cosinusului (adică axa absciselor, evidențiată cu roșu în figură), este ușor să determinați semnele cosinusurilor de-a lungul unui cerc numeric (trigonometric):
În cazul în care valorile de pe axă sunt de la \(0\) la \(1\), cosinusul va avea un semn plus (sferturile I și IV sunt zona verde),
- unde valorile de pe axă sunt de la \(0\) la \(-1\), cosinusul va avea semnul minus (sferturi II și III - zonă violet).
Exemplu.
Definiți semnul \(\cos 1\).
Soluţie:
Să găsim \(1\) pe cercul trigonometric. Vom pleca de la faptul că \ (π \u003d 3,14 \). Aceasta înseamnă că unul este de aproximativ trei ori mai aproape de zero (punctul „de pornire”).
Dacă trasăm o perpendiculară pe axa cosinusului, devine evident că \(\cos1\) este pozitivă.
Răspuns:
un plus.
Relația cu alte funcții trigonometrice:
- același unghi (sau număr): identitatea trigonometrică de bază \(\sin^2x+\cos^2x=1\)- același unghi (sau număr): prin formula \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- și sinusul aceluiași unghi (sau număr): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Vezi alte formule cele mai frecvent utilizate.
Funcția \(y=\cos(x)\)
Dacă trasăm unghiurile în radiani de-a lungul axei \(x\), iar valorile cosinusului \u200b\u200bcorespunzătoare acestor unghiuri de-a lungul axei \(y\), obținem următorul grafic:
Acest grafic se numește și are următoarele proprietăți:
Domeniul definiției este orice valoare a lui x: \(D(\cos(x))=R\)
- interval de valori - de la \(-1\) la \(1\) inclusiv: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- par: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- periodic cu perioada \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- puncte de intersecție cu axele de coordonate:
abscisă: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), unde \(n ϵ Z\)
axa y: \((0;1)\)
- intervale de caractere:
funcția este pozitivă pe intervalele: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), unde \(n ϵ Z\)
funcția este negativă pe intervalele: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), unde \(n ϵ Z\)
- intervale de crestere si scadere:
funcția crește pe intervalele: \((π+2πn;2π+2πn)\), unde \(n ϵ Z\)
funcția scade pe intervalele: \((2πn;π+2πn)\), unde \(n ϵ Z\)
- maximele și minimele funcției:
funcția are o valoare maximă \(y=1\) în punctele \(x=2πn\), unde \(n ϵ Z\)
funcția are o valoare minimă \(y=-1\) în punctele \(x=π+2πn\), unde \(n ϵ Z\).
