Pentru a integra funcții raționale de forma R(sin x, cos x), se folosește o substituție, care se numește substituție trigonometrică universală. Apoi . Substituția trigonometrică universală duce adesea la calcule mari. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, utilizați următoarele înlocuiri. 
Integrarea funcţiilor dependente raţional de funcţiile trigonometrice
1. Integrale de forma ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0a) Dacă n este impar, atunci o putere a lui sinx (sau cosx) ar trebui să fie plasată sub semnul diferenţialului, iar din puterea pară rămasă trebuie să treceţi la funcţia opusă.
b) Dacă n este par, atunci folosim formulele de reducere
2. Integrale de forma ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , unde n este un număr întreg.
Trebuie folosite formule
3. Integrale de forma ∫ sin n x cos m x dx
a) Fie m și n de paritate diferită. Aplicam substitutia t=sin x daca n este impar sau t=cos x daca m este impar.
b) Dacă m și n sunt pare, atunci folosim formulele de reducere
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Integrale ale formei
Dacă numerele m și n au aceeași paritate, atunci folosim substituția t=tg x . Este adesea convenabil să se aplice tehnica unității trigonometrice.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx
Să folosim formulele pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice în suma lor:
- sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
Exemple
1. Calculați integrala ∫ cos 4 x sin 3 xdx .
Facem substituția cos(x)=t . Atunci ∫ cos 4 x sin 3 xdx = 
2. Calculați integrala.
Făcând substituția sin x=t , obținem
3. Aflați integrala.
Facem înlocuirea tg(x)=t . Înlocuind, obținem
Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx)
Exemplul #1. Calculați integralele: 
Soluţie.
a) Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx) , unde R este o funcție rațională a sin x și cos x , sunt convertite în integrale ale funcțiilor raționale folosind substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t .
Atunci noi avem
Substituția trigonometrică universală face posibilă trecerea de la o integrală de forma ∫ R(sinx, cosx) dx la o integrală a unei funcții rațional-fracționale, dar o astfel de înlocuire duce adesea la expresii greoaie. În anumite condiții, substituțiile mai simple se dovedesc a fi eficiente:
- Dacă egalitatea R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx este adevărată, atunci se aplică substituția cos x = t.
- Dacă R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx este adevărată, atunci substituția sin x = t .
- Dacă R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx este adevărată, atunci substituția este tgx = t sau ctg x = t .
aplicăm substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t .
Apoi raspunde:
În practică, de multe ori trebuie să se calculeze integrale ale funcțiilor transcendentale care conțin funcții trigonometrice. În cadrul acestui material, vom descrie principalele tipuri de integranți și vom arăta ce metode pot fi utilizate pentru a le integra.
Integrarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei
Să începem cu metodele de integrare a principalelor funcții trigonometrice - sin, cos, t g, c t g. Folosind tabelul cu antiderivate, notăm imediat că ∫ sin x d x \u003d - cos x + C și ∫ cos x d x \u003d sin x + C.
Pentru a calcula integralele nedefinite ale funcțiilor t g și c t g, puteți folosi suma sub semnul diferențial:
∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d (sin x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C
Cum am obținut formulele ∫ d x sin x \u003d ln 1 - cos x sin x + C și ∫ d x cos x \u003d ln 1 + sin x cos x + C, luate din tabelul cu antiderivate? Să explicăm un singur caz, deoarece al doilea va fi clar prin analogie.
Folosind metoda substituției, scriem:
∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2
Aici trebuie să integrăm funcția irațională. Luăm aceeași metodă de înlocuire:
∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ d z = z 1 - z 2 ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C
Acum facem înlocuirea inversă z \u003d 1 - t 2 și t \u003d sin x:
∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C
Separat, vom analiza cazuri cu integrale care conțin puteri ale funcțiilor trigonometrice, precum ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .
Puteți citi despre cum să le calculați corect în articolul despre integrare folosind formule recursive. Dacă știți cum sunt derivate aceste formule, puteți lua cu ușurință integrale precum ∫ sin n x cos m x d x cu m și n natural.
Dacă avem o combinație de funcții trigonometrice cu polinoame sau funcții exponențiale, atunci acestea vor trebui integrate pe părți. Vă sfătuim să citiți articolul dedicat metodelor de găsire a integralelor ∫ P n (x) sin (a x) d x , ∫ P n (x) cos (a x) d x , ∫ e a x sin (a x) d x , ∫ e a x cos (a x) ) d x .
Cele mai dificile sunt problemele în care integrandul include funcții trigonometrice cu argumente diferite. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formulele de bază ale trigonometriei, așa că este recomandabil să le amintiți pe de rost sau să țineți o evidență la îndemână.
Exemplul 1
Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) .
Soluţie
Folosim formulele de reducere a puterii și scriem că cos 2 x 2 \u003d 1 + cos x 2 și cos 2 2 x \u003d 1 + cos 4 x 2. Mijloace,
y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin (3 x) = = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)
La numitor avem formula pentru sinusul sumei. Apoi o poți scrie așa:
y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x ) = = 1 + cos (4 x) sin (4 x)
Avem suma a 3 integrale.
∫ sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x) ) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C
În unele cazuri, funcțiile trigonometrice care sunt sub integrală pot fi reduse la expresii raționale fracționale folosind metoda de substituție standard. Mai întâi, să luăm formule care exprimă sin, cos și t g prin tangenta unui semiargument:
sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2
De asemenea, va trebui să exprimăm diferența d x în termenii tangentei semiunghiului:
Deoarece d t g x 2 \u003d t g x 2 "d x \u003d d x 2 cos 2 x 2, atunci
d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2
Astfel, sin x \u003d 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x \u003d 2 d z 1 + z 2 la z \u003d t g x 2.
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .
Soluţie
Folosim metoda standard de substituție trigonometrică.
2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3
Obținem că ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .
Acum putem extinde integralul în fracții simple și obținem suma a două integrale:
∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - log z + 3 + C = log z + 1 z + 3 + C
∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C
Răspuns: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C
Este important de reținut că acele formule care exprimă funcții în termeni de tangente a unui semiargument nu sunt identități, prin urmare, expresia rezultată ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C este mulțimea de antiderivate ale funcției y = 1 2 sin x + cos x + 2 numai pe domeniul definiției.
Pentru a rezolva alte tipuri de probleme, puteți utiliza metodele de bază de integrare.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Integrandul poate fi convertit dintr-un produs de funcții trigonometrice într-o sumă
Luați în considerare integralele în care integrandul este produsul dintre sinusuri și cosinusuri de gradul întâi al lui x înmulțit cu diferiți factori, adică integrale de forma
Folosind binecunoscutele formule trigonometrice
(2)
(3)
(4)
se poate transforma fiecare dintre produsele în integrale de forma (31) într-o sumă algebrică și se poate integra prin formulele
(5)
(6)
Exemplul 1 Găsi
Soluţie. Conform formulei (2) la
Exemplul 2 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Conform formulei (3) la 
Exemplul 3 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Conform formulei (4) la 
obținem următoarea transformare a integrandului:
Aplicând formula (6), obținem
Integrală a produsului puterilor sinusului și cosinusului aceluiași argument
Să considerăm acum integralele funcțiilor care sunt produsul puterilor sinusului și cosinusului aceluiași argument, i.e.
(7)
În cazuri particulare, unul dintre indicatorii ( m sau n) poate fi zero.
La integrarea unor astfel de funcții, se folosește că puterea pară a cosinusului poate fi exprimată în termeni de sinus, iar diferența sinusului este egală cu cos x dx(sau o putere pară a sinusului poate fi exprimată în termeni de cosinus, iar diferența de cosinus este - sin x dx ) .
Trebuie distinse două cazuri: 1) cel puțin unul dintre indicatori mși n ciudat; 2) ambii indicatori sunt egali.
Să aibă loc primul caz, și anume exponentul n = 2k+ 1 - impar. Atunci, având în vedere că
Integrandul este prezentat în așa fel încât o parte a acestuia este o funcție doar a sinusului, iar cealaltă este diferențiala a sinusului. Acum cu schimbarea variabilei t= păcat X soluţia se reduce la integrarea polinomului în raport cu t. Dacă numai gradul m este impar, apoi procedați la fel, separând factorul sin X, exprimând restul integrandului în termeni de cos Xşi presupunând t= cos X. Această abordare poate fi folosită și atunci când integrarea puterilor parțiale ale sinusului și cosinusului , când cel puțin unul dintre indicatori este impar . Ideea este că câtul puterilor sinusului și cosinusului este un caz special al produsului lor : când funcția trigonometrică se află la numitorul integrandului, gradul acesteia este negativ. Dar există și cazuri de funcții trigonometrice parțiale, când gradele lor sunt doar pare. Despre ei - următorul paragraf.
Dacă ambii indicatori mși n sunt pare, folosind apoi formule trigonometrice
coborâți exponenții sinusului și cosinusului, după care se va obține o integrală de același tip ca mai sus. Prin urmare, integrarea ar trebui continuată în același mod. Dacă unul dintre indicatorii pare este negativ, adică se ia în considerare câtul puterilor pare ale sinusului și cosinusului, atunci această schemă nu este potrivită . Apoi se folosește o schimbare de variabilă, în funcție de modul în care poate fi transformat integrandul. Un astfel de caz va fi luat în considerare în secțiunea următoare.
Exemplul 4 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Exponentul cosinusului este impar. Prin urmare, imaginați-vă
t= păcat X(apoi dt= cos X dx ). Apoi primim
Revenind la vechea variabilă, găsim în sfârșit
Exemplul 5 Găsi integrală a funcției trigonometrice
.
Soluţie. Exponentul cosinusului, ca în exemplul anterior, este impar, dar mai mult. Imagina
și faceți schimbarea variabilei t= păcat X(apoi dt= cos X dx ). Apoi primim
Să deschidem parantezele
si ia
Revenind la vechea variabilă, obținem soluția
Exemplul 6 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Exponenții sinusului și cosinusului sunt pari. Prin urmare, transformăm integrantul după cum urmează:
Apoi primim
În a doua integrală, facem o schimbare de variabilă, setare t= sin2 X. Apoi (1/2)dt= cos2 X dx . Prin urmare,
În sfârșit, obținem
Folosind metoda de înlocuire a variabilei
Metoda de înlocuire variabilă la integrarea funcțiilor trigonometrice, poate fi utilizat în cazurile în care în integrand este prezent doar un sinus sau numai un cosinus, produsul dintre sinus și cosinus, în care fie sinus, fie cosinus este de gradul I, tangent sau cotangent, de asemenea ca coeficientul puterilor pare ale sinusului si cosinusului unuia si aceluiasi argument. În acest caz, este posibil să se efectueze permutări nu numai păcat X = tși păcatul X = t, dar și tg X = t si ctg X = t .
Exemplul 8 Găsi integrală a funcției trigonometrice
.
Soluţie. Să schimbăm variabila: , apoi . Integrandul rezultat este ușor de integrat peste tabelul de integrale:
.
Exemplul 9 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Să convertim tangenta la raportul dintre sinus și cosinus:
Să schimbăm variabila: , apoi . Integrandul rezultat este tabel integral cu semnul minus:
.
Revenind la variabila inițială, obținem în sfârșit:
.
Exemplul 10 Găsi integrală a funcției trigonometrice
Soluţie. Să schimbăm variabila: , apoi .
Transformăm integrantul pentru a aplica identitatea trigonometrică 
:
Facem o schimbare de variabilă, fără a uita să punem semnul minus în fața integralei (vezi mai sus, ce este egal cu dt). În continuare, descompunem integrandul în factori și integrăm conform tabelului:
Revenind la variabila inițială, obținem în sfârșit:
.
Găsiți singur integrala funcției trigonometrice și apoi vedeți soluția
Substituție trigonometrică universală
Substituție trigonometrică universală poate fi folosit în cazurile în care integrantul nu se încadrează în cazurile discutate în paragrafele precedente. Practic atunci când sinusul sau cosinusul (sau ambele) se află în numitorul unei fracții. Se dovedește că sinusul și cosinusul pot fi înlocuite cu o altă expresie care conține tangenta jumătății unghiului inițial astfel:
Dar rețineți că substituția trigonometrică universală implică adesea transformări algebrice destul de complexe, deci este cel mai bine utilizată atunci când nicio altă metodă nu funcționează. Să ne uităm la exemple când, împreună cu substituția trigonometrică universală, se utilizează substituția sub semnul diferențialei și metoda coeficienților nedeterminați.
Exemplul 12. Găsi integrală a funcției trigonometrice
.
Soluţie. Soluţie. Să folosim substituție trigonometrică universală. Apoi 
.
Înmulțim fracțiile din numărător și numitor cu , și scoatem doi și îl punem în fața semnului integral. Apoi
Sunt luate în considerare în detaliu exemple de soluții de integrale pe părți, al căror integrand este produsul unui polinom și o exponențială (e la puterea lui x) sau un sinus (sin x) sau un cosinus (cos x).
ConţinutVezi si: Metoda de integrare pe părți
Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite
Funcții elementare de bază și proprietățile lor
Formula de integrare prin părți
La rezolvarea exemplelor din această secțiune se folosește formula de integrare pe părți:
;
.
Exemple de integrale care conțin produsul unui polinom și sin x, cos x sau e x
Iată exemple de astfel de integrale:
, , .
Pentru a integra astfel de integrale, polinomul se notează cu u, iar restul cu v dx . În continuare, se aplică formula de integrare pe părți.
Mai jos este o soluție detaliată a acestor exemple.
Exemple de rezolvare a integralelor
Exemplu cu exponent, e la puterea lui x
Definiți integrala:
.
Introducem exponentul sub semnul diferential:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Ne integrăm pe părți.
Aici
.
Integrala rămasă este, de asemenea, integrabilă prin părți.
.
.
.
În sfârșit avem:
.
Un exemplu de definire a unei integrale cu un sinus
Calculați integrala:
.
Introducem sinusul sub semnul diferenţialului:
Ne integrăm pe părți.
aici u = x 2 , v = cos(2x+3), du = (
x2 )′
dx
Integrala rămasă este, de asemenea, integrabilă prin părți. Pentru a face acest lucru, introducem cosinusul sub semnul diferenţialului.
aici u = x, v = sin(2x+3), du = dx
În sfârșit avem:
Un exemplu de produs al unui polinom și al cosinusului
Calculați integrala:
.
Introducem cosinusul sub semnul diferenţialului:
Ne integrăm pe părți.
aici u = x 2+3x+5, v = sin2x, du = (
x 2 + 3 x + 5 )′
dx
Sunt prezentate formule trigonometrice de bază și substituții de bază. Sunt schițate metode de integrare a funcțiilor trigonometrice - integrarea funcțiilor raționale, produsul funcțiilor de putere ale sin x și cos x, produsul unui polinom, exponent și sinus sau cosinus, integrarea funcțiilor trigonometrice inverse. Metode non-standard afectate.
ConţinutMetode standard de integrare a funcțiilor trigonometrice
Abordare generală
În primul rând, dacă este necesar, integrandul trebuie transformat astfel încât funcțiile trigonometrice să depindă de un singur argument, care ar coincide cu variabila de integrare.
De exemplu, dacă integrandul depinde de sin(x+a)și cos(x+b), atunci ar trebui să efectuați transformarea:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin(x+a) sin(b-a).
Apoi faceți schimbarea z = x+a . Ca rezultat, funcțiile trigonometrice vor depinde doar de variabila de integrare z .
Când funcțiile trigonometrice depind de un argument, care coincide cu variabila de integrare (să spunem că acesta este z ), adică integrandul constă numai din funcții de tip sin z,
cos z,
tgz,
ctgz, atunci trebuie să faceți o înlocuire
.
O astfel de substituție duce la integrarea funcțiilor raționale sau iraționale (dacă există rădăcini) și permite să se calculeze integrala dacă aceasta este integrată în funcții elementare.
Cu toate acestea, puteți găsi adesea și alte metode care vă permit să calculați integrala într-un mod mai scurt, pe baza specificului integrandului. Mai jos este un rezumat al principalelor astfel de metode.
Metode de integrare a funcțiilor raționale ale sin x și cos x
Funcții raționale din sin xși cos x sunt funcţii derivate din sin x,
cos xși orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Ele sunt notate astfel: R (sinx, cosx). Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, deoarece acestea sunt formate prin împărțirea unui sinus la un cosinus și invers.
Integralele funcțiilor raționale au forma:
.
Metodele de integrare a funcțiilor trigonometrice raționale sunt următoarele.
1) Înlocuirea conduce întotdeauna la o integrală a unei fracții raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituții (vezi mai jos) care au ca rezultat calcule mai scurte.
2) Dacă R (sinx, cosx) cos x → - cos x sin x.
3) Dacă R (sinx, cosx)înmulțit cu -1 la înlocuire sin x → - sin x, atunci substituția t = cos x.
4) Dacă R (sinx, cosx) nu se modifică ca în cazul înlocuirii simultane cos x → - cos x, și sin x → - sin x, atunci substituția t = tg x sau t= ctg x.
Exemple:
,
,
.
Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x
Integrale ale formei
sunt integrale ale funcțiilor trigonometrice raționale. Prin urmare, metodele prezentate în secțiunea anterioară pot fi aplicate acestora. Mai jos luăm în considerare metode bazate pe specificul unor astfel de integrale.
Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre permutările t = sin x sau t= cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.
Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integrarea se realizează folosind formulele de reducere:
;
;
;
.
Exemplu:
.
Integrale din produsul unui polinom și a unui sinus sau cosinus
Integrale de forma:
,
,
unde P(x) este un polinom în x sunt integrate prin părți. Rezultă următoarele formule:
;
.
Exemple:
,
.
Integrale din produsul unui polinom, exponent și sinus sau cosinus
Integrale de forma:
,
,
unde P(x) este un polinom în x, sunt integrate folosind formula lui Euler
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1
).
Pentru aceasta, metoda descrisă în paragraful anterior calculează integrala
.
După ce se separă părțile reale și imaginare de rezultat, se obțin integralele originale.
Exemplu:
.
Metode nestandardizate pentru integrarea funcțiilor trigonometrice
Mai jos sunt o serie de metode non-standard care vă permit să efectuați sau să simplificați integrarea funcțiilor trigonometrice.
Dependență de (a sin x + b cos x)
Dacă integrandul depinde numai de a sin x + b cos x, este util să aplicați formula:
,
Unde .
De exemplu
Descompunerea fracțiilor din sinusuri și cosinusuri în fracții mai simple
Luați în considerare integrala
.
Cea mai ușoară modalitate de integrare este descompunerea fracției în altele mai simple, aplicând transformarea:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)
Integrarea fracțiilor de gradul I
La calcularea integralei
,
este convenabil să selectați partea întreagă a fracției și derivata numitorului
A 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Constantele A și B se găsesc prin compararea părților din stânga și din dreapta.
Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.
