Subiect INTEGRALE NEPROPERATE

În subiectul „Integrală definitivă”, conceptul unei integrale definite a fost luat în considerare pentru cazul unui interval finit
și funcție limitată
(vezi Teorema 1 din §3). Acum vom generaliza acest concept pentru cazurile unui interval infinit și a unei funcții nelimitate. Necesitatea unei astfel de generalizări este demonstrată, de exemplu, de astfel de situații.

1. Dacă, folosind formula pentru lungimea unui arc, încercați să calculați lungimea unui sfert de cerc
,
, apoi ajungem la integralul unei funcții nelimitate:

Unde
.

2. Lăsați masa corporală
se mișcă prin inerție într-un mediu cu forță de rezistență
Unde
- viteza corpului. Folosind a doua lege a lui Newton (
Unde
accelerare), obținem ecuația:
Unde
... Este ușor să arătăm că soluția acestei ecuații (diferențiale!) Este funcția
Dacă trebuie să calculăm calea parcursă de corp până la o oprire completă, adică până în momentul când
, apoi ajungem la o integrală pe un interval infinit:

§unu. Integrale necorespunzătoare de tipul 1

I Definiție

Să funcția
definit și continuu pe interval
... Apoi pentru orice
este integrabil pe interval
, adică există o integrală
.

Definiția 1 ... Limita finită sau infinită a acestei integrale pentru
se numește o integrală necorespunzătoare a primului tip de funcție
după interval
și sunt notate cu simbolul
... Mai mult, dacă limita specificată este finită, atunci integrala necorespunzătoare se numește convergentă, altfel (
sau nu există) - divergent.

Deci, prin definiție

Exemple de

2.
.

3.
- nu exista.

Integrala necorespunzătoare din exemplul 1 converge, în exemplele 2 și 3 integralele diverg.

II Newton - formula Leibniz pentru o integrală necorespunzătoare de primul fel

Lasa
- unele antiderivative pentru funcție
(există pe
de cand
- continuu). Atunci

Prin urmare, este clar că convergența integralei necorespunzătoare (1) este echivalentă cu existența unei limite finite
... Dacă se indică această limită
, atunci putem scrie formula Newton-Leibniz pentru integral (1):

Unde
.

Exemple de .

5.
.

6. Un exemplu mai complex:
... În primul rând, să găsim antiderivativul:

Acum putem găsi integralul având în vedere că

:

III Proprietăți

Să prezentăm o serie de proprietăți ale integralei necorespunzătoare (1), care decurg din proprietățile generale ale limitelor și ale integralei definite:

IV Alte definiții

Definiția 2 ... În cazul în care un
continuu pe
atunci

.

Definiție 3 ... În cazul în care un
continuu pe
, apoi luați prin definiție

(- arbitrar),

unde integrala necorespunzătoare din partea stângă converge dacă ambele integrale din partea dreaptă converg.

Pentru aceste integrale, precum și pentru integrala (1), se pot scrie formulele Newton-Leibniz corespunzătoare.

Exemplul 7 .

§2. Criterii de convergență pentru o integrală necorespunzătoare de primul fel

Cel mai adesea, integralul necorespunzător nu poate fi calculat prin definiție, prin urmare se utilizează egalitatea aproximativă

(pentru mari ).

Cu toate acestea, această relație are sens doar pentru integrale convergente. Este necesar să existe metode pentru clarificarea comportamentului integrării ocolind definiția.

Eu Integrale ale funcțiilor pozitive

Lasa
pe
... Apoi integralul definit
ca o funcție a limitei superioare este o funcție crescătoare (aceasta rezultă din proprietățile generale ale unei integrale definite).

Teorema 1 ... O integrală necorespunzătoare a primului tip de funcție non-negativă converge dacă și numai dacă funcția
rămâne limitată la creștere .

Această teoremă este o consecință a proprietăților generale ale funcțiilor monotone. Teorema nu are aproape nici o semnificație practică, dar ne permite să obținem așa-numitul. semne de convergență.

Teorema 2 (Primul semn de comparație). Lasă funcțiile
și
continuu pt
și să satisfacă inegalitatea
... Atunci:

1) dacă integrala
converge, atunci
converge;

2) dacă integrala
divergă, atunci
divergă.

Dovezi ... Notăm:
și
... pentru că
atunci

... Să integrală
converge, apoi (prin teorema 1) funcția
- limitat. Dar apoi și
este delimitat și, prin urmare, integralul
converge, de asemenea. A doua parte a teoremei este demonstrată în mod similar.

Acest criteriu nu se aplică în cazul divergenței integralei de
sau convergența integralei din
... Acest dezavantaj este absent în a doua caracteristică de comparație.

Teorema 3 (Al doilea semn de comparație). Lasă funcțiile
și
continuu și non-negativ pe
... Atunci dacă
la
, apoi integrale necorespunzătoare
și
converg sau diverg în același timp.

Dovezi ... Din condiția teoremei, obținem următorul lanț de afirmații la fel de puternice:

, ,

.

Să, de exemplu,
... Atunci:

Aplicăm teorema 2 și proprietatea 1) din §1 și obținem afirmația teoremei 3.

Funcția de putere este utilizată ca funcție de referință cu care este comparată.
,
... Invităm elevii să se demonstreze că integrala

converge la
și divergă la
.

Exemple de . 1.
.

Luați în considerare integrandul pe interval
:

,
.

Integral
converge deoarece
... Conform celui de-al doilea criteriu de comparație, integralul
, și în virtutea proprietății 2) în §1 converg și integrala originală.

2.
.

pentru că
atunci există
astfel încât pentru

... Pentru astfel de valori variabile:

Se știe că funcția logaritmică crește mai lent decât o funcție legea puterii, adică

,

și, prin urmare, pornind de la o anumită valoare a variabilei, această fracție este mai mică de 1. Prin urmare,

.

Integral converge ca referință. În virtutea primului criteriu de comparație și
... Aplicând al doilea criteriu, obținem că integralul
converge. Și din nou proprietatea 2) din §1 dovedește convergența integralei originale.

Integrale necorespunzătoare

Lx5,6 (4 ore)

Conceptul a fost introdus în ipoteza că:

1) intervalul de integrare este finit (segmentul [ a;b]),

2) funcție f(x) este limitat la [ a;b].

O astfel de integrală definită se numește proprii(cuvântul „propriu” este omis). Dacă oricare dintre aceste condiții nu sunt îndeplinite, atunci se numește integrala definită necorespunzător... Distingeți între integrale necorespunzătoare de tipul I și II.

1 Definiția unei integrale necorespunzătoare de primul fel

Să generalizăm conceptul unei integrale definite la un interval infinit. Lasa f(x) este definit pe intervalul [ a; + ¥) și este integrabil în fiecare parte finită a acestuia, adică În acest caz, există o integrală. Este clar că există o funcție definită pe [ a; + ¥). Sa luam in considerare. Această limită poate exista sau nu, dar, indiferent de aceasta, apelează integrală necorespunzătoare de primul fel și este indicat de.

Definiție. Dacă există și este finit, atunci se numește integrala necorespunzătoare convergente, iar valoarea acestei limite este valoarea integralei necorespunzătoare. ... Dacă nu există sau este egal cu ¥, atunci se numește integralul necorespunzător divergent.

În mod similar,

Exemplul 1. Investigați convergența integralei.

D este continuu pe [ a;+¥) .

Dacă, atunci, și integrala Þ converg.

Dacă, atunci integrala divergă.

asa de, converge pentru și;

divergă la .D

2. Proprietățile unei integrale necorespunzătoare de primul fel

Deoarece integralul necorespunzător este definit ca limita integralei Riemann, toate proprietățile care sunt păstrate în timpul trecerii la limită sunt transferate la integralul necorespunzător, adică proprietățile 1-8 sunt îndeplinite. Teorema valorii medii nu are sens.

3. Formula lui Newton - Leibniz

Să funcția f este continuu pe [ a;+¥), F - antiderivativ și există. Atunci formula Newton - Leibniz este valabilă:

Intr-adevar,

Exemplul 2. D. D

Semnificația geometrică a unei integrale improprii de primul fel

Să funcția f este non-negativ și continuu pe [ a; + ¥) și integrala necorespunzătoare converge. este egală cu aria unui trapezoid curbat cu o bază [ a;b], și este egal cu aria cu baza [ a;+¥).

4. Integrale necorespunzătoare ale funcțiilor non-negative

Teorema 1. Lasa f(x) ³0 pe [ a; + ¥) și integrabil pe [ a;b] "b>a... Pentru ca integrala necorespunzătoare să convergă, este necesar și suficient ca setul de integrale să fie mărginit de sus și.

Dovezi.

Luați în considerare o funcție a£ b... pentru că f(x) ³0, atunci F nu scade într-adevăr " b 1 , b 2: a£ b 1 <b 2 datorită faptului că

Prin definiție, o integrală necorespunzătoare converge dacă și numai dacă există una finită. pentru că F(b) nu scade, atunci această limită există dacă și numai dacă funcția F(b) este delimitat de sus, adică $ M>0: "b>a... Unde

Divergența integralei necorespunzătoare înseamnă că, adică.

Teorema 2. Lasă funcțiile f și g sunt nenegative pe [ a; + ¥) și sunt integrabile pe [ a;b] "b>a... Dai drumul [ a; + ¥)

1) convergența integralei (2) implică convergența integralei (3);

2) divergența integralei (3) implică divergența integralei (2).

Dovezi.

De la (1) " b>a.

1) Să convergem integralul (2). Prin teorema 1, setul este delimitat delimitat delimitat. Converge prin teorema 1.

2) Lasă-l să divergă. Să dovedim că integrala (2) divergă. Prin contradicție. Să presupunem că integrala (2) converge, dar apoi integrala (3) converge prin prima parte a teoremei, o contradicție cu condiția.

Teorema 3. Lasă funcțiile f și g sunt nenegative pe [ a; + ¥) și sunt integrabile pe [ a;b] "b>a... Dacă există (0 £ k£ ¥), atunci

1) din convergența integralei pentru k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) din divergența integralei la k\u003e 0 implică divergența integralei.

Dovezi.

1) Să k<¥ и сходится.

Deoarece converge, converge, deci converge. Apoi, în virtutea lui (4), converge. De aici converge.

2) Să k\u003e 0 și diferă. În acest caz, un număr finit. Dacă presupunem opusul - că integrala converge, atunci prin ceea ce s-a demonstrat în itemul 1) obținem că converge și ea, iar acest lucru contrazice condiția. Prin urmare, presupunerea făcută este incorectă și divergă. converge absolut, apoi converge prin definiție. Deci converge. Dar da.

Integrale necorespunzătoare de primul tip. În esență, aceasta este aceeași integrală definită, dar în cazurile în care integralele au limite superioare sau inferioare infinite de integrare sau ambele limite de integrare sunt infinite.

Integrale necorespunzătoare de tipul al doilea. De fapt, aceasta este aceeași integrală definită, dar în cazurile în care integralul este preluat din funcții nelimitate, integrandul nu are integrare la un număr finit de puncte ale unui interval finit, transformându-se în infinit.

Pentru comparație. La introducerea conceptului unei integrale definite, s-a presupus că funcția f(x) este continuu pe segmentul [ a, b], iar intervalul de integrare este finit, adică este limitat de numere, nu de infinit. Unele sarcini duc la necesitatea abandonării acestor restricții. Astfel apar integralele necorespunzătoare.

Înțelesul geometric al integralei necorespunzătoare se dovedește destul de simplu. În cazul în care graficul funcției y = f(x) este deasupra axei Bou , o integrală definită exprimă aria unui trapez curbat mărginită de curbă y = f(x) , abscisă și ordonate x = a , x = b ... La rândul său, integrala necorespunzătoare exprimă aria unui trapez curbiliniu nelimitat (infinit) închis între linii y = f(x) (în imaginea de mai jos - roșu), x = a și abscisa.

Integralele necorespunzătoare sunt definite în mod similar pentru alte intervale infinite:

Aria unui trapezoid curviliniu infinit poate fi un număr finit, iar în acest caz integralul necorespunzător se numește convergent. Zona poate fi infinită și, în acest caz, integrala necorespunzătoare se numește divergentă.

Folosirea limitei integralei în locul integralei necorespunzătoare în sine. Pentru a calcula integralul necorespunzător, trebuie să utilizați limita integralei definite. Dacă această limită există și este finită (nu egală cu infinitul), atunci integrala necorespunzătoare se numește convergentă și, în caz contrar, divergentă. Ceea ce tinde variabila sub semnul limită depinde dacă avem de-a face cu o integrală necorespunzătoare de primul tip sau de al doilea tip. Vom afla acum despre asta.

Integrale necorespunzătoare de primul fel - cu limite infinite și convergența lor

Integrale necorespunzătoare cu limită superioară infinită

Deci, reprezentarea unei integrale improprii diferă de integrala definită obișnuită prin aceea că limita superioară a integrării este infinită.

Definiție. O integrală necorespunzătoare cu o limită superioară infinită de integrare a unei funcții continue f(x) între a inainte de ∞ este limita integralei acestei funcții cu limita superioară de integrare b și limita inferioară de integrare a cu condiția ca limita superioară a integrării să crească la nesfârșit, adică

.

Dacă această limită există și este egală cu un anumit număr, nu infinit, atunci o integrală necorespunzătoare se numește convergentă, iar numărul la care este egală limita este luat ca valoare. In caz contrar o integrală necorespunzătoare se numește divergentă și nu i se atribuie nicio semnificație.

Exemplul 1. Calculați integralul necorespunzător (dacă converge).

Decizie. Pe baza definiției integralei necorespunzătoare, găsim

Deoarece limita există și este egală cu 1, atunci aceasta integrala necorespunzătoare converge și este egal cu 1.

În exemplul următor, integrandul este aproape același ca în exemplul 1, doar gradul lui x nu este doi, ci litera alfa, iar problema este studierea integralei necorespunzătoare pentru convergență. Adică, întrebarea rămâne de răspuns: la ce valori de alfa converge această integrală necorespunzătoare și la ce valori divergă?

Exemplul 2. Investigați integralul necorespunzător (limita inferioară de integrare este mai mare decât zero).

Decizie. Să presupunem mai întâi că, apoi

În expresia rezultată, trecem la limită la:

Este ușor de văzut că limita din partea dreaptă există și este zero când, adică și nu există, când, adică.

În primul caz, adică are loc. Daca atunci și nu există.

Concluzia studiului nostru este următoarea: dată integrala necorespunzătoare converge la și divergă la.

Aplicând la forma studiată a integralei improprii formula Newton-Leibniz , puteți obține următoarea formulă, foarte asemănătoare cu aceasta:

.

Aceasta este formula generalizată Newton-Leibniz.

Exemplul 3. Calculați integralul necorespunzător (dacă converge).

Limita acestei integrale există:

A doua integral este suma care exprimă integralul original:

Limita acestei integrale există, de asemenea:

.

Găsim suma a două integrale, care este, de asemenea, valoarea integralei improprii originale cu două limite infinite:

Integrale necorespunzătoare de al doilea fel - de funcții nelimitate și convergența acestora

Să funcția f(x) dat pe segmentul din a inainte de b și nelimitat pe ea. Să presupunem că funcția merge la infinit în acest punct b , în timp ce în toate celelalte puncte ale segmentului este continuu.

Definiție. Integrală necorespunzătoare a funcției f(x) pe segmentul din a inainte de b este limita integralei acestei funcții cu limita superioară de integrare c dacă atunci când te străduiești c la b funcția crește la nesfârșit și la acel moment x = b funcția nu este definită, adică

.

Dacă această limită există, atunci integrala necorespunzătoare de al doilea fel se numește convergentă, altfel divergentă.

Folosind formula Newton-Leibniz, derivăm.

1. Definiția unei integrale improprii de al doilea fel

Lasa f(x) este setat sa [ a;b], dar este nelimitat pe el. Lasă-ne pentru claritate f(x) este nelimitat în cartierul stâng al punctului b:, dar în orice interval funcția este integrabilă. În acest caz, punctul b numit punct special.

Definiție. Integrală necorespunzătoare de al doilea fel funcții f(x) pe [ a;b] se numește limita finită sau infinită a integralei pentru

Dacă limita (1) există și este finită, atunci se spune că integrala converge, iar valoarea limitei este considerată valoarea integralei. Dacă limita (1) nu există sau este egală cu infinitul, atunci se spune că integrala este divergentă.

Integrala funcției f(x), nelimitat în vecinătatea dreaptă a punctului și:

Exemplul 1. Investigați pentru convergență.

D 1): integrala divergă.

Deci, integrala converge la, divergă la. D

2. Formula Newton-Leibniz pentru integrala necorespunzătoare de al doilea fel

Să funcția f(x) este definit și continuu în intervalul [ a;b) și aproape de punct b funcția este nelimitată ( b - punctul special al funcției f(x)). Atunci pentru f(x) în acest interval există un antiderivativ F(x) și " h\u003e 0 după formula Newton-Leibniz pe care o avem

Rezultă că integrala necorespunzătoare (1) există dacă și numai dacă există o limită finită. În acest caz, funcția F(x) este continuu pe segmentul [ a;b]. Apoi, trecând în (2) la limita la h®0, obținem formula Newton-Leibniz pentru integralul necorespunzător de al doilea fel

asa de, pentru a calcula integralele necorespunzătoare de al doilea fel, puteți utiliza formula Newton-Leibniz dacă funcția F(x) este continuu pe segmentul [ a;b] și F ¢(x)=f(x) în toate punctele în care f(x) este finit.

Exemplul 2.Calculati.

D x\u003d 0 - punct singular. Antiderivativul este continuu pe [-1; 27], inclusiv la punct x\u003d 0, prin urmare, putem aplica formula Newton-Leibniz:

Exemplul 3.Investigați pentru convergență.

D x\u003d 0 - punct singular. Antiderivativul are la punctul respectiv x\u003d 0 decalaj infinit. În consecință, această integrală diferă și este egală cu ¥.

Notăcă dacă nu acordăm atenție acestui lucru și aplicăm formal formula Newton-Leibniz, atunci obținem incorect rezultat:

3. Integrale necorespunzătoare ale celui de-al doilea tip de funcții nenegative

Teorema 1. Lasa f(x) ³0 pe [ a;b) și integrabil pe [ a;b-h] "h\u003e 0. Pentru ca integrala necorespunzătoare (1) să convergă, este necesar și suficient ca setul de integrale ( h\u003e 0) este delimitat de sus. În caz contrar, integrala (1) divergă și este egală cu ¥.

Pentru integralele necorespunzătoare de al doilea fel, precum și pentru integralele necorespunzătoare de primul tip, se mențin teoremele de comparație 2 și 3. Să le formulăm fără dovezi.

Teorema 2. Lasă funcțiile f și g sunt nenegative pe [ a;b) și integrabil pe [ a;b-h] "h\u003e 0. Dai drumul [ a;b) efectuat

Apoi: 1) convergența integralei rezultă din convergența integralei;

2) divergența integralei rezultă din divergența integralei.

Teorema 3. Lasă funcțiile f și g sunt nenegative pe [ a;b) și integrabil pe [ a;b-h] "h\u003e 0. Dacă există (0 £ k£ ¥), atunci

1) din convergența integralei pentru k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) din divergența integralei la k\u003e 0 implică divergența integralei.

Cometariu.Dacă în condițiile teoremei 3 0<k< ¥ (un număr finit care nu este egal cu 0), apoi integralele converg sau diverg simultan.

Este convenabil să luați funcțiile de putere ca funcții de comparație: pentru intervalul [ a;b), și pentru intervalul ( a;b]. Integralele corespunzătoare, converg la, diverg la (acest lucru poate fi ușor verificat prin reducerea integralelor indicate printr-o schimbare liniară a variabilei la integral considerată în exemplul 1).

Exemplul 4.Investigați pentru convergență. ...

Converge. Prin urmare, conform teoremei 3, și converge. D

Exemplul 6.Investigați pentru convergență.

D x\u003d 0 - punctul singular al funcției f(x) \u003d ln x... Lasa .

Acesta este cazul, inclusiv pentru a<1, когда сходится. Значит, по теореме 3 сходится и данный интеграл. D

Dacă integrandul are o discontinuitate de tipul al doilea pe un interval de integrare (finit), se vorbește despre o integrală necorespunzătoare de tipul al doilea.

10.2.1 Definiție și proprietăți de bază

Să denotăm intervalul de integrare cu $ \\ left [a, \\, b \\ right] $, ambele numere sunt presupuse mai jos ca fiind finite. Dacă există doar 1 decalaj, acesta poate fi localizat fie în punctul $ a $, fie în punctul $ b $, sau în intervalul $ (a, \\, b) $. Să luăm în considerare mai întâi cazul când există o discontinuitate de al doilea tip la punctul $ a $, iar integrandul este continuu în celelalte puncte. Deci, discutăm integralul

\\ begin (ecuație) I \u003d \\ int _a ^ b f (x) \\, dx, (22) \\ label (intr2) \\ end (ecuație)

și $ f (x) \\ rightarrow \\ infty $ când $ x \\ rightarrow a + 0 $. La fel ca înainte, primul pas este de a da sens acestei expresii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare integralul

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int _ (a + \\ epsilon) ^ b f (x) \\, dx. \\]

Definiție. Să existe o limită finită

\\ [A \u003d \\ lim _ (\\ epsilon \\ rightarrow +0) I (\\ epsilon) \u003d \\ lim _ (\\ epsilon \\ rightarrow +0) \\ int _ (a + \\ epsilon) ^ b f (x) \\, dx. \\]

Atunci se spune că integrala necorespunzătoare a celui de-al doilea tip (22) converge și i se atribuie valoarea $ A $, funcția $ f (x) $ însăși se numește integrabilă pe intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ dreapta] $.

Luați în considerare integralul

\\ [I \u003d \\ int ^ 1_0 \\ frac (dx) (\\ sqrt (x)). \\]

Integrandul $ 1 / \\ sqrt (x) $ pentru $ x \\ rightarrow + 0 $ are o limită infinită, astfel încât la punctul $ x \u003d 0 $ are o discontinuitate de al doilea fel. Am pus

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int ^ 1 _ (\\ epsilon) \\ frac (dx) (\\ sqrt (x)) \\,. \\]

În acest caz, antiderivatul este cunoscut,

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int ^ 1 _ (\\ epsilon) \\ frac (dx) (\\ sqrt (x)) \u003d 2 \\ sqrt (x) | ^ 1 _ (\\ epsilon) \u003d 2 (1- \\ sqrt (\\ epsilon)) \\ rightarrow 2 \\]

pentru $ \\ epsilon \\ rightarrow + 0 $. Astfel, integralul original este o integrală necorespunzătoare convergentă de al doilea fel și este egală cu 2.

Să luăm în considerare o variantă atunci când există o discontinuitate a celui de-al doilea tip al integrandului la limita superioară a intervalului de integrare. Acest caz poate fi redus la cel precedent prin schimbarea variabilei $ x \u003d -t $ și apoi rearanjarea limitelor de integrare.

Să luăm în considerare o variantă atunci când integrandul are o discontinuitate de al doilea fel în intervalul de integrare, la punctul $ c \\ in (a, \\, b) $. În acest caz, integralul original

\\ begin (ecuație) I \u003d \\ int _a ^ bf (x) \\, dx (23) \\ label (intr3) \\ end (ecuație)

sunt rezumate

\\ [I \u003d I_1 + I_2, \\ quad I_1 \u003d \\ int _a ^ cf (x) \\, dx + \\ int _c ^ df (x) \\, dx. \\]

Definiție. Dacă ambele integrale $ I_1, \\, I_2 $ converg, atunci integrala necorespunzătoare (23) se numește convergentă și i se atribuie o valoare egală cu suma integralelor $ I_1, \\, I_2 $, funcția $ f (x) $ se numește integrabil în intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ right] $. Dacă cel puțin una dintre integralele $ I_1, \\, I_2 $ este divergentă, integrala necorespunzătoare (23) se numește divergentă.

Integralele necorespunzătoare convergente de al doilea tip au toate proprietățile standard ale integralelor definite obișnuite.

1. Dacă $ f (x) $, $ g (x) $ sunt integrabili în intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ right] $, atunci suma lor $ f (x) + g (x) $ este de asemenea, integrabil în acest interval și \\ [\\ int _a ^ (b) \\ left (f (x) + g (x) \\ right) dx \u003d \\ int _a ^ (b) f (x) dx + \\ int _a ^ (b) g (x) dx. \\] 2. Dacă $ f (x) $ este integrabil pe intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ right] $, atunci pentru orice constantă $ C $ funcția $ C \\ cdot f (x) $ este, de asemenea, integrabil pe acest interval și \\ [\\ int _a ^ (b) C \\ cdot f (x) dx \u003d C \\ cdot \\ int _a ^ (b) f (x) dx. \\] 3. Dacă $ f (x) $ este integrabil în intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ right] $ și în acest interval $ f (x)\u003e 0 $, atunci \\ [\\ int _a ^ (b) f (x) dx \\,\u003e \\, 0. \\] 4. Dacă $ f (x) $ este integrabil în intervalul $ \\ left [a, \\, b \\ right] $, atunci pentru orice $ c \\ din (a, \\, b) $ integralele \\ [\\ int _a ^ (c) f (x) dx, \\ quad \\ int _c ^ (b) f (x) dx \\] converg, de asemenea, și \\ [\\ int _a ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int _a ^ (c) f (x) dx + \\ int _c ^ (b) f (x) dx \\] (aditivitatea unei integrale pe un interval).

Luați în considerare integralul

\\ begin (ecuație) I \u003d \\ int _0 ^ (1) \\ frac (1) (x ^ k) \\, dx. (24) \\ label (mod2) \\ end (ecuație)

Dacă $ k\u003e 0 $, integrandul tinde la $ \\ infty $ ca $ x \\ rightarrow + 0 $, deci integralul este impropriu de al doilea fel. Introducem funcția

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int _ (\\ epsilon) ^ (1) \\ frac (1) (x ^ k) \\, dx. \\]

În acest caz, antiderivatul este cunoscut, deci

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int _ (\\ epsilon) ^ (1) \\ frac (1) (x ^ k) \\, dx \\, \u003d \\ frac (x ^ (1-k)) (1-k ) | _ (\\ epsilon) ^ 1 \u003d \\ frac (1) (1-k) - \\ frac (\\ epsilon ^ (1-k)) (1-k). \\]

pentru $ k \\ neq 1 $,

\\ [I (\\ epsilon) \u003d \\ int _ (\\ epsilon) ^ (1) \\ frac (1) (x) \\, dx \\, \u003d lnx | _ (\\ epsilon) ^ 1 \u003d -ln \\ epsilon. \\]

pentru $ k \u003d 1 $. Având în vedere comportamentul pentru $ \\ epsilon \\ rightarrow + 0 $, ajungem la concluzia că integralul (20) converge pentru $ k

10.2.2 Criterii de convergență pentru integrale necorespunzătoare de tipul al doilea

Teorema (primul semn de comparație). Fie $ f (x) $, $ g (x) $ să fie continuu pentru $ x \\ in (a, \\, b) $ și $ 0 1. Dacă integrala \\ [\\ int _a ^ (b) g (x ) dx \\] converge, apoi converge și integrala \\ [\\ int _a ^ (b) f (x) dx. \\] 2. Dacă integrala \\ [\\ int _a ^ (b) f (x) dx \\] divergă, atunci integrala \\ [\\ int _a ^ (b) g (x) dx divergă și ea. \\]

Teorema (al doilea criteriu de comparație). Fie $ f (x) $, $ g (x) $ să fie continuu și pozitiv pentru $ x \\ in (a, \\, b) $ și există o limită finită

\\ [\\ theta \u003d \\ lim_ (x \\ rightarrow a + 0) \\ frac (f (x)) (g (x)), \\ quad \\ theta \\ neq 0, \\, + \\ infty. \\]

Apoi integralele

\\ [\\ int _a ^ (b) f (x) dx, \\ quad \\ int _a ^ (b) g (x) dx \\]

converg sau diverg în același timp.

Luați în considerare integralul

\\ [I \u003d \\ int _0 ^ (1) \\ frac (1) (x + \\ sin x) \\, dx. \\]

Integrandul este o funcție pozitivă pe intervalul de integrare, integrandul tinde la $ \\ infty $ ca $ x \\ rightarrow + 0 $, deci integralul nostru este impropriu de al doilea fel. Mai mult, pentru $ x \\ rightarrow + 0 $ avem: dacă $ g (x) \u003d 1 / x $, atunci

\\ [\\ lim _ (x \\ rightarrow +0) \\ frac (f (x)) (g (x)) \u003d \\ lim _ (x \\ rightarrow +0) \\ frac (x) (x + \\ sin x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ neq 0, \\, \\ infty \\ ,. \\]

Aplicând al doilea criteriu de comparație, ajungem la concluzia că integrala noastră converge sau divergă simultan cu integrala

\\ [\\ int _0 ^ (+ 1) \\ frac (1) (x) \\, dx. \\]

Așa cum se arată în exemplul anterior, această integrală diferă ($ k \u003d 1 $). Prin urmare, integralul original diferă și el.

Calculați integralul necorespunzător sau stabiliți convergența (divergența) acestuia.

1. \\ [\\ int _ (0) ^ (1) \\ frac (dx) (x ^ 3-5x ^ 2) \\,. \\] 2. \\ [\\ int _ (3) ^ (7) \\ frac (x \\, dx) ((x-5) ^ 2) \\,. \\] 3. \\ [\\ int _ (0) ^ (1) \\ frac (x \\, dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \\,. \\] 4. \\ [\\ int _ (0) ^ (1) \\ frac (x ^ 3 \\, dx) (1-x ^ 5) \\,. \\] 5. \\ [\\ int _ (- 3) ^ (2) \\ frac (dx) ((x + 3) ^ 2) \\,. \\] 6. \\ [\\ int _ (1) ^ (2) \\ frac (x ^ 2 \\, dx) ((x-1) \\ sqrt (x-1)) \\,. \\] 7. \\ [\\ int _ (0) ^ (1) \\ frac (dx) (\\ sqrt (x + x ^ 2)) \\,. \\] 8. \\ [\\ int _ (0) ^ (1/4) \\ frac (dx) (\\ sqrt (x-x ^ 2)) \\,. \\] 9. \\ [\\ int _ (1) ^ (2) \\ frac (dx) (xlnx) \\,. \\] 10. \\ [\\ int _ (1) ^ (2) \\ frac (x ^ 3 \\, dx) (\\ sqrt (4-x ^ 2)) \\,. \\] 11. \\ [\\ int _ (0) ^ (\\ pi / 4) \\ frac (dx) (\\ sin ^ 4x) \\,. \\]