Produsul dublu al pătratelor. Formule de multiplicare prescurtate – Hypermarket de cunoștințe

18.10.2019

GUŞĂ

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pentru gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților gradului acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină la înmulțirea polinoamelor; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Formulele de multiplicare abreviate (FMF) sunt folosite pentru a exponenția și înmulți numerele și expresiile. Adesea, aceste formule vă permit să faceți calcule mai compact și mai rapid.

În acest articol vom enumera principalele formule pentru înmulțirea prescurtată, le vom grupa într-un tabel, vom lua în considerare exemple de utilizare a acestor formule și, de asemenea, vom insista asupra principiilor demonstrației formulelor pentru înmulțirea abreviată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru prima dată, tema FSU este luată în considerare în cadrul cursului de Algebră pentru clasa a VII-a. Mai jos sunt 7 formule de bază.

Formule de înmulțire prescurtate

formula pentru pătratul sumei: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
formula diferenței pătrate: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
formula cubului sumei: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
formula cubului de diferență: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
formula diferenței pătrate: a 2 - b 2 = a - b a + b
formula pentru suma cuburilor: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formula pentru diferența de cuburi: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Literele a, b, c din aceste expresii pot fi orice numere, variabile sau expresii. Pentru ușurință în utilizare, este mai bine să învățați pe de rost cele șapte formule de bază. Să le punem într-un tabel și să le prezentăm mai jos, încercuindu-le cu un cadru.

Primele patru formule vă permit să calculați, respectiv, pătratul sau cubul sumei sau diferenței a două expresii.

A cincea formulă calculează diferența dintre pătratele expresiilor înmulțind suma și diferența acestora.

Formula a șasea și, respectiv, a șaptea înmulțesc suma și diferența expresiilor cu pătratul incomplet al diferenței și pătratul incomplet al sumei.

Formula de înmulțire abreviată este uneori numită și identități de înmulțire abreviată. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece fiecare egalitate este o identitate.

La rezolvarea exemplelor practice, se folosesc adesea formule de înmulțire abreviate cu părțile din stânga și din dreapta schimbate. Acest lucru este convenabil în special atunci când factorizarea unui polinom.

Formule suplimentare de înmulțire abreviate

Să nu ne limităm la cursul de algebră de clasa a VII-a și să mai adăugăm câteva formule în tabelul nostru FSU.

Mai întâi, să ne uităm la formula binomială a lui Newton.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Aici C n k sunt coeficienții binomi care apar în numărul liniei n din triunghiul lui Pascal. Coeficienții binomi se calculează folosind formula:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

După cum putem vedea, FSF pentru pătratul și cubul diferenței și sumei este un caz special al formulei binomiale Newton pentru n=2 și, respectiv, n=3.

Dar dacă există mai mult de doi termeni în sumă care trebuie ridicate la o putere? Formula pentru pătratul sumei a trei, patru sau mai mulți termeni va fi utilă.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

O altă formulă care poate fi utilă este formula pentru diferența dintre puterile a n-a a doi termeni.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Această formulă este de obicei împărțită în două formule - pentru puterile par și, respectiv, impare.

Pentru indicatoare chiar și de 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pentru exponenți impari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi, după cum ați ghicit, sunt cazuri speciale ale acestei formule pentru n = 2 și, respectiv, n = 3. Pentru diferența de cuburi, b se înlocuiește și cu - b.

Cum se citesc formulele de înmulțire prescurtate?

Vom da formulările adecvate pentru fiecare formulă, dar mai întâi vom înțelege principiul citirii formulelor. Cel mai convenabil mod de a face acest lucru este cu un exemplu. Să luăm chiar prima formulă pentru pătratul sumei a două numere.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Ei spun: pătratul sumei a două expresii a și b este egal cu suma pătratului primei expresii, de două ori produsul expresiilor și pătratul celei de-a doua expresii.

Toate celelalte formule sunt citite în mod similar. Pentru pătratul diferenței a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 scriem:

pătratul diferenței dintre două expresii a și b este egal cu suma pătratelor acestor expresii minus de două ori produsul primei și celei de-a doua expresii.

Să citim formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Cubul sumei a două expresii a și b este egal cu suma cuburilor acestor expresii, se triplează produsul pătratului primei expresii cu a doua și se triplează produsul pătratului celei de-a doua expresii cu prima expresie.

Să trecem la citirea formulei pentru diferența de cuburi a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Cubul diferenței dintre două expresii a și b este egal cu cubul primei expresii minus produsul triplu al pătratului primei expresii și al celui de-al doilea, plus produsul triplu al pătratului celei de-a doua expresii și al primei expresii , minus cubul celei de-a doua expresii.

A cincea formulă a 2 - b 2 = a - b a + b (diferența de pătrate) arată astfel: diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul diferenței și suma celor două expresii.

Pentru comoditate, expresii precum a 2 + a b + b 2 și a 2 - a b + b 2 se numesc, respectiv, pătratul incomplet al sumei și, respectiv, pătratul incomplet al diferenței.

Ținând cont de acest lucru, formulele pentru suma și diferența cuburilor pot fi citite după cum urmează:

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma acestor expresii și pătratul parțial al diferenței lor.

Diferența dintre cuburile a două expresii este egală cu produsul diferenței dintre aceste expresii și pătratul parțial al sumei lor.

Dovada FSU

Demonstrarea FSU este destul de simplă. Pe baza proprietăților înmulțirii, vom înmulți părțile formulelor din paranteze.

De exemplu, luați în considerare formula pentru diferența pătratului.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Pentru a ridica o expresie la a doua putere, trebuie să înmulțiți această expresie de la sine.

a - b 2 = a - b a - b .

Să extindem parantezele:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula este dovedită. FSU-urile rămase sunt dovedite în mod similar.

Exemple de aplicații FSU

Scopul utilizării formulelor de înmulțire abreviate este de a înmulți rapid și concis și de a ridica expresiile la puteri. Cu toate acestea, acesta nu este întregul domeniu de aplicare al FSU. Ele sunt utilizate pe scară largă în reducerea expresiilor, reducerea fracțiilor și factorizarea polinoamelor. Să dăm exemple.

Exemplul 1. FSU

Să simplificăm expresia 9 y - (1 + 3 y) 2.

Să aplicăm formula sumei pătratelor și să obținem:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Exemplul 2. FSU

Să reducem fracția 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Observăm că expresia din numărător este diferența de cuburi, iar la numitor este diferența de pătrate.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Reducem și obținem:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-urile ajută, de asemenea, la calcularea valorilor expresiilor. Principalul lucru este să puteți observa unde să aplicați formula. Să arătăm asta cu un exemplu.

Să punem la pătrat numărul 79. În loc de calcule greoaie, să scriem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

S-ar părea că un calcul complex este efectuat rapid folosind formule de înmulțire abreviate și o tabelă de înmulțire.

Un alt punct important este selectarea pătratului binomului. Expresia 4 x 2 + 4 x - 3 poate fi convertită în 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Astfel de transformări sunt utilizate pe scară largă în integrare.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Formulele sau regulile de înmulțire prescurtate sunt folosite în aritmetică, mai precis algebră, pentru a accelera procesul de evaluare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt derivate din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.

Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de rapidă la diferite probleme matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați niște manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține în partea stângă a egalității expresia din partea dreaptă, sau transforma partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia în partea stângă). după semnul egal).

Este convenabil să cunoașteți din memorie formulele folosite pentru înmulțirea prescurtată, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Mai jos sunt principalele formule incluse în această listă și numele acestora.

Patratul sumei

Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen și al doilea și pătratul celui de-al doilea. Sub forma unei expresii, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Diferența pătrată

Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr și al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Diferența de pătrate

Formula pentru diferența a două numere la pătrat este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Cubul sumei

Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, trebuie să calculați suma constând din cubul primului termen, triplu produsul pătratului primului termen și al doilea, triplu produsul primului termen și al doilea. pătrat, iar cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma cuburilor

Conform formulei, este egal cu produsul dintre suma acestor termeni și pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul unei figuri formate prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar dimensiunile laturilor lor.

Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt simple.

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să utilizați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.

Cub de diferență

Expresia pentru diferența cubică sună astfel: ca sumă a treia puteri a primului termen, se triplează produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, se triplă produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. iar cubul negativ al celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, cubul diferenței arată astfel: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Diferența de cuburi

Formula diferenței cuburilor diferă de suma cuburilor printr-un singur semn. Astfel, diferența de cuburi este o formulă egală cu produsul dintre diferența acestor numere și pătratul lor incomplet al sumei. Sub forma unei expresii matematice, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii care va rămâne după scăderea cifrei volumetrice galbene, care este tot un cub, din volumul cubului albastru. Se cunoaște doar dimensiunea laterală a cubului mic și mare.

Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să aplicați formula intitulată „Diferența cuburilor” (sau „Cubul diferenței”), care va simplifica foarte mult calculele.