Articole privind științele naturale și matematică
Proprietățile de grade cu aceleași baze
Există trei proprietăți de grade cu aceleași baze și indicatori naturali. aceasta
- Compoziţie sumă
- Privat două grade cu aceleași baze egale cu exprimarea în care baza este aceeași, iar indicatorul este diferență Indicatori ai factorilor inițiali.
- Ridica egală cu expresia în care baza este aceeași număr, iar indicatorul este compoziţie Două grade.
Atenție! Reguli despre adăugările și scăderea grade cu aceleași baze nu exista.
Scriem aceste proprietăți-reguli sub formă de formule:
- un m? a n \u003d a m + n
- un m? un n \u003d un m-n
- (a m) n \u003d un mn
Acum considerați-le pe exemple specifice și încercați să dovedim.
5 2? 5 3 \u003d 5 5 - Aici am aplicat regula; Și acum îmi voi imagina cum am rezolvat acest exemplu dacă regulile nu știu:
5 2? 5 3 \u003d 5? cinci? cinci? cinci? 5 \u003d 5 5 - Cinci într-un pătrat - este de cinci înmulțiți cu cinci și în Cuba - lucrarea a trei cinci. Rezultatul a fost lucrarea a cinci cinci, dar este altceva ca cinci în a cincea grad: 5 5.
3 9? 3 5 \u003d 3 9-5 \u003d 3 4. Scriem divizia sub forma unei fracții:
Poate fi redus: 
Ca rezultat, primim: 
Astfel, am demonstrat că atunci când împărțind două grade cu aceleași baze, indicatorii lor trebuie să fie dedusă.
Cu toate acestea, în diviziune, este imposibil ca separatorul să fie egal cu zero (deoarece este imposibil să îl împărtășiți). În plus, deoarece considerăm grade numai cu indicatori naturali, nu putem obține un număr mai mic ca rezultat al scăderii indicatorilor decât 1. Prin urmare, pe formula A M? A n \u003d o restricție M-N suprapusă: a? 0 și m\u003e n.
Să ne întoarcem la cea de-a treia proprietate:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Noi scriem în forma desfășurată:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Puteți ajunge la această concluzie și argumentați logic. Trebuie să multiplicați două pătrate de patru ori. Dar în fiecare pătrat două două, înseamnă că întregul voikers va fi opt.
scienceland.info.
Reguli de adăugare și scădere.
1. Din schimbări în locurile condițiilor, suma nu se va schimba (proprietatea comutativă de adăugare)
13 + 25 \u003d 38, poate fi scris ca: 25 + 13 \u003d 38
2. Rezultatul adăugării nu se va schimba dacă termenii învecinați le înlocuiesc cu suma (proprietatea asociativă de adăugare).
10 + 13 + 3 + 5 \u003d 31 poate fi scris ca: 23 + 3 + 5 \u003d 31; 26 + 5 \u003d 31; 23 + 8 \u003d 31, etc.
3. Unități pliate cu unități, zeci de zeci etc.
34 + 11 \u003d 45 (3 dolari plus încă zece; 4 unități plus 1 unitate).
4. Unitățile sunt deduse din unități, zeci de zeci etc.
53-12 \u003d 41 (3 minus 2 unități; 5 duzină minus 1 duzină)
notă: 10 unități reprezintă o duzină. Trebuie să fie amintit la scăderea, pentru că Dacă numărul de unități este dedus mai mult decât cel redus, atunci putem "lua" o duzină de scădere.
41-12 \u003d 29 (Pentru a scădea 2, trebuie mai întâi să "luăm" o unitate în zeci, vom obține 11-2 \u003d 9; amintiți-vă că redusul rămâne pentru 1 tette mai puțin, prin urmare, există 3 duzini și de la Este 8 duzină are loc. Răspuns 29).
5. Dacă unul dintre ele este unul dintre ele din suma celor două componente, atunci se va dovedi al doilea mandat.
Aceasta înseamnă că adăugarea poate fi verificată prin scădere.
Pentru a verifica suma, unul dintre termenii este dedus: 49-7 \u003d 42 sau 49-42 \u003d 7
Dacă, ca rezultat al scăderii, nu ați primit unul dintre componente, înseamnă că a fost făcută o eroare în îmbrățișarea dvs.
6. Dacă diferența este adăugată subtractabilă, aceasta va fi redusă.
Aceasta înseamnă că scăderea poate fi verificată prin adăugarea.
Pentru a verifica diferența, adăugați subracțiuni: 19 + 50 \u003d 69.
Dacă, ca urmare a procedurii descrise mai sus, nu ați fost dezactivat, înseamnă că a fost făcută o eroare în scăderea dvs.
Adăugarea și scăderea numerelor raționale
Această lecție abordează adăugarea și scăderea numerelor raționale. Subiectul se referă la categoria complexă. Aici este necesar să se utilizeze întregul arsenal al cunoștințelor obținute anterior.
Regulile de adăugare și scădere a numerelor întregi sunt valabile pentru numerele raționale. Reamintesc că raționalul se numește numere care pot fi reprezentate ca o fracțiune în cazul în care a - Acesta este un numitor de fracțiune, b. - Denuminator al FRACI. în plus b. nu ar trebui să fie zero.
În această lecție, fracțiunile și numerele mixte vor fi denumite din ce în ce mai multe expresii comune - numere rationale.
Navigare prin lecție:
Exemplul 1. Găsiți o valoare de expresie
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs. Luăm în considerare faptul că un plus care este dat în expresie este un semn al operațiunii și nu se aplică fracțiunii. Această fracțiune are un semn plus invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom scrie pentru claritate:
Aceasta este adăugarea de numere raționale cu semne diferite. Pentru a plia numerele raționale cu semne diferite, trebuie să scăpați mai puțin de un modul mai mare și să puneți semnul că modulul este mai mare. Și pentru a înțelege ce modul este mai mult și cât mai puțin, trebuie să puteți compara modulele acestor fracțiuni înainte de a fi calculate:
Modulul numărului rațional este mai mare decât modulul rațional. Prin urmare, suntem întârziată. A primit un răspuns. Apoi, reducând această fracțiune la 2, au primit răspunsul final.
Dacă se dorește, unele acțiuni primitive, cum ar fi încheierea numerelor în paranteze și stația modulelor, pot fi sărite. Acest exemplu este foarte posibil să scrieți:
Exemplul 2. Găsiți o valoare de expresie
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs. Luăm în considerare faptul că minus care este dat în expresie este un semn al operațiunii și nu se aplică fracțiunii.
Fracțiunea în acest caz este un număr rațional pozitiv având un semn plus invizibil. Dar o vom scrie pentru claritate:
Înlocuiți scăderea prin adăugarea. Amintiți-vă că pentru acest lucru trebuie să reducă la adăugarea unui număr opus la subtractabil:
A primit adăugarea de numere raționale negative. Pentru a plia numerele raționale negative, trebuie să le adăugați module și să puneți minus înainte de răspunsul primit:
Exemplul 3. Găsiți o valoare de expresie
În această expresie, fracțiile sunt diferite denominatorii. Pentru a facilita sarcina, oferim aceste fracții la același denominator (general). Să nu ne oprim în detaliu în acest sens. Dacă întâmpinați dificultăți, asigurați-vă că reveniți la lecția de acțiune cu fracțiuni și repetați-o.
După aducerea fracțiunilor la numitor general, expresia va lua forma următoare:
Aceasta este adăugarea de numere raționale cu semne diferite. Scăpăm mai puțin modulul mai mic și înainte de răspunsul primit, am pus acest semn, modulul al cărui modul este mai mult:
Exemplul 4. Găsiți o valoare de expresie
Au primit suma a trei termeni. În primul rând, găsiți valoarea expresiei, apoi adăugați la răspunsul primit
Prima acțiune:
A doua acțiune:
Astfel, valoarea expresiei este egală.
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă
Exemplul 5.. Găsiți o valoare de expresie
Încheiem fiecare număr în paranteze împreună cu semnele dvs. Pentru a face acest lucru, numărul mixt va implementa temporar
Calculați numere întregi:
În expresia principală în schimb 
noi scriem unitatea rezultată:
Expresia rezultată se va întoarce. Pentru a face acest lucru, vom coborî consola și vom scrie unitatea și fracțiunea împreună
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă:
Exemplul 6. Găsiți o valoare de expresie
Transferați un număr mixt la o fracție greșită. Restul va rescrie așa cum este:
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs .:
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
A primit adăugarea de numere raționale negative. Mutarea modulelor acestor numere și în fața răspunsului primit de minus:
Astfel, valoarea expresiei este egală.
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă:
Exemplul 7. Găsiți o valoare de expresie
Scriem un număr mixt într-o formă expandată. Restul va rescrie așa cum este:
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs.
Înlocuiți scăderea adăugând unde poate fi:
Calculați numere întregi:
În expresia principală, în loc să scrie numărul rezultat 7
Expresia este o formă desfășurată a unui număr mixt. Puteți recruta imediat răspunsul, scriind împreună numerele? 7 și fracțiunea (ascunzând minusul acestei fracții)
Astfel, valoarea expresiei este egală
Soluția pentru acest exemplu poate fi înregistrată semnificativ mai scurtă. Dacă săriți câteva detalii, acesta poate fi scris după cum urmează:
Exemplul 8. Găsiți o valoare de expresie
Această expresie poate fi calculată în două moduri. Ia în considerare fiecare dintre ele.
Primul mod. Integiile și părțile fracționate ale expresiei sunt calculate separat.
Pentru a începe cu, scrieți numere mixte într-o formă extinsă:
Încheiem fiecare număr în paranteze împreună cu semnele dvs .:
Înlocuiți scăderea adăugând unde poate fi:
A primit suma mai multor termeni. Conform legii combinate de adăugare, dacă expresia conține mai mulți termeni, suma nu va depinde de procedură. Acest lucru ne va permite să introducem separat părți întregi și fracționare:
Calculați numere întregi:
În expresia principală, în loc să scrieți numărul rezultat?
Calculați părțile fracționare:
În expresia principală, în loc să scrieți numărul mixt rezultat
Pentru a calcula expresia rezultată, numărul mixt trebuie să fie implementat temporar, apoi să intre în paranteze fiecare număr și să înlocuiască scăderea prin adăugare. Este necesar să o faceți foarte atent, astfel încât să nu confundați semnele componentelor.
După conversia expresiei, am primit o nouă expresie care este ușor de calculat. Expresia similară a fost în Exemplul 7. Amintiți-vă că am pliat separat întregul păr piese, iar fracțiunea lăsată ca fiind:
Astfel încât valoarea expresiei este egală
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă
Într-o soluție scurtă, sunt trecute etapele încheierii numerelor în paranteze, înlocuind scăderea prin adăugarea, stagnarea modulelor. Dacă studiați la școală sau într-o altă instituție de învățământ, atunci veți cere să săriți aceste acțiuni primitive pentru a economisi timp și loc. Soluția scurtă de mai sus poate fi înregistrată chiar și pe scurt. Va arăta astfel:
Prin urmare, fiind în școală sau într-o altă școală, să fie pregătită pentru faptul că vor trebui să se facă unele acțiuni în minte.
Al doilea mod. Expresiile mixte sunt traduse în fracțiune greșită și calculează ca fracțiuni obișnuite.
Încheiem în paranteze fiecare număr rațional împreună cu semnele dvs.
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
Acum, numerele mixte și traduce în fracțiuni greșite:
A primit adăugarea de numere raționale negative. Mișcându-și modulele și în fața răspunsului primit minus:
A primit răspunsul pentru ultima oară.
O soluție detaliată este a doua modalitate după cum urmează:
Exemplul 9. Găsiți expresii de exprimare 
Primul mod. Se amestecă separat părțile întregi și fracționate.
De data aceasta voi încerca să renunț la unele acțiuni primitive, cum ar fi o înregistrare a expresiilor într-o formă extinsă, încheierea numerelor din paranteze, înlocuind scăderea prin adăugarea, staționarea modulelor:
Rețineți că părțile fracționate au fost prezentate unui numitor comun.
Al doilea mod. Traducerea numerelor mixte într-o fracțiune greșită și calculează modul în care fracțiunile obișnuite.
Exemplul 10. Găsiți o valoare de expresie 
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
În expresia rezultată, nu există numere negative care sunt principala cauză a ipotezelor de eroare. Și deoarece nu există numere negative, putem elimina plus înainte de a fi scăzute, precum și scoateți parantezele. Apoi primim cea mai simplă expresie care este calculată ușor:
În acest exemplu, părțile și părțile fracționate au fost calculate separat.
Exemplul 11. Găsiți o valoare de expresie
Aceasta este adăugarea de numere raționale cu semne diferite. Submontați de la modulul mai mare mai puțin și în fața numărului primit, am pus acel semn, a cărui modul este mai mult:
Exemplul 12. Găsiți o valoare de expresie 
Expresia constă din mai mulți parametri. Conform procedurii, în primul rând este necesar să se efectueze acțiuni în paranteze.
Mai întâi calculați expresia, atunci expresia a primit răspunsuri pentru a sta jos.
Prima acțiune:
A doua acțiune:
A treia acțiune:
Răspuns: Valoarea expresiei in aceeasi masura
Exemplul 13. Găsiți o valoare de expresie 
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
Am primit adăugarea numerelor raționale cu semne diferite. Submountul de la modulul mai mare mai mic și înainte de răspuns vom pune acest semn, modulul este mai mare. Dar avem de-a face cu numere mixte. Pentru a înțelege ce modul este mai mult și cât mai puțin, trebuie să comparați modulele acestor numere mixte. Și pentru a compara modulele numerelor mixte, trebuie să le traducați în fracțiunea greșită și să comparați ca fracțiuni obișnuite.
Figura următoare prezintă toate etapele de comparare a modulelor numerelor mixte.
Învățarea care modul este mai mult și ce mai puțin, putem continua calculul exemplului nostru:
Astfel, valoarea expresiei in aceeasi masura
Luați în considerare adăugarea și scăderea fracțiunilor zecimale, care se referă, de asemenea, la numerele raționale și care pot fi atât pozitive, cât și negative.
Exemplul 14. Găsiți o valoare de expresie? 3,2 + 4.3
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs. Luăm în considerare faptul că un plus care este dat în expresie este un semn al operației și nu se aplică fracției zecimale 4.3. Această fracțiune zecimală are un semn plus care este invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom scrie pentru claritate:
Aceasta este adăugarea de numere raționale cu semne diferite. Pentru a plia numerele raționale cu semne diferite, trebuie să scăpați mai puțin de un modul mai mare și să puneți semnul că modulul este mai mare. Și pentru a înțelege ce modul este mai mult și cât de puțin, trebuie să puteți compara modulele acestor fracțiuni zecimale înainte de a fi calculate:
Modulul numărului 4.3 este mai mare decât modulul numărului? 32 De aceea suntem de la 4.3 detectați 3.2. Primit 1.1. Răspunsul este pozitiv, deoarece răspunsul ar trebui să reprezinte un semn mai mare al modulului, adică modulul | +4.3 |.
Astfel, valoarea expresiei? 3,2 + (+ 4,3) este de 1,1
Exemplul 15. Găsiți valoarea de expresie de 3,5 + (? 8.3)
Aceasta este adăugarea de numere raționale cu semne diferite. Ca și în ultimul exemplu, de la un modul mai mare, scădem mai mic și înainte de răspunsul pe care l-am pus acest semn, al cărui module este mai mult
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Astfel, valoarea de expresie este de 3,5 + (? 8,3) este egală cu? 4.8
Acest exemplu poate fi scris mai scurt:
Exemplul 16. Găsiți o valoare de expresie? 7,2 + (? 3,11)
Aceasta este adăugarea de numere raționale negative. Pentru a plia numerele raționale negative, trebuie să le adăugați module și să puneți un minus înainte de răspunsul primit. Înregistrarea cu module poate fi omisă pentru a nu dezordine expresia:
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Astfel, valoarea expresiei? 7,2 + (? 3,11) este egală cu? 10.31
Acest exemplu poate fi scris mai scurt:
Exemplul 17. Găsiți o valoare de expresie? 0.48 + (2.7)
Aceasta este adăugarea de numere raționale negative. Mutarea modulelor lor și înainte de răspunsul primit de răspuns minus. Înregistrarea cu module poate fi omisă pentru a nu dezordine expresia:
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
Exemplul 18. Găsiți o valoare de expresie? 4.9? 5.9.
Încheiem fiecare număr rațional în paranteze împreună cu semnele dvs. Luăm în considerare faptul că un minus care este dat în expresie este un semn al operațiunii și nu se aplică fracției zecimale 5.9. Această fracțiune zecimală are un semn plus care este invizibil datorită faptului că nu este scrisă. Dar o vom scrie pentru claritate:
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
A primit adăugarea de numere raționale negative. Plasați modulele lor și înainte ca răspunsul primit să fie minus. Înregistrarea cu module poate fi omisă pentru a nu dezordine expresia:
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Astfel, valoarea expresiei? 4.9? 5.9 egal? 10.8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Exemplul 19. Găsiți valoarea expresiei 7? 9.3.
Introduceți în paranteze fiecare număr împreună cu semnele dvs.
Înlocuiți scăderea prin adăugarea
Au primit numere raționale cu semne diferite. Submountul de la modulul mai mare mai mic și înainte de răspuns vom pune acest semn, modulul este mai mare. Înregistrarea cu module poate fi omisă pentru a nu dezordine expresia:
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Astfel, valoarea expresiei 7? 9,3 egale? 2.3
Soluția detaliată a acestui exemplu este scrisă după cum urmează:
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
O soluție scurtă va arăta astfel:
Exemplul 20. Găsiți o valoare de expresie? 0.25? (? 1,2)
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
Au primit numere raționale cu semne diferite. Supus de la modulul mai mare mai puțin și înainte de răspunsul pe care l-am pus semnul, modulul al cărui modul este mai mult:
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Soluția detaliată a acestui exemplu este scrisă după cum urmează:
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
O soluție scurtă va arăta astfel:
Exemplul 21. Găsiți o valoare de expresie? 3,5 + (4.1? 7,1)
În primul rând, efectuați acțiuni în paranteze, apoi adăugați răspunsul rezultat cu numărul? 3.5. Înregistrarea cu module va fi lipsită de a nu acumularea expresii.
Prima acțiune:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
A doua acțiune:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Răspuns: Valoarea expresiei? 3.5 + (4.1? 7,1) este egală cu? 6.5.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
Exemplul 22. Găsiți o valoare de expresie (3.5? 2.9)? (3.7? 9,1)
Efectuați acțiuni în paranteze, apoi de la numărul care sa produs ca urmare a realizării primelor paranteze retrase numărul obținut ca urmare a executării parantezelor secundare. Înregistrarea cu module va fi lipsită de a nu acumularea expresii.
Prima acțiune:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
A doua acțiune:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
A treia acțiune
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Răspuns: Valoarea expresiei (3.5? 2.9)? (3.7? 9,1) este egal cu 6.
Soluția scurtă a acestui exemplu poate fi scrisă după cum urmează:
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
Exemplul 23. Găsiți valoarea expresiei? 3,8 + 17,15? 6.2? 6,15.
Încheiem în paranteze fiecare număr rațional împreună cu semnele dvs.
Înlocuiți scăderea adăugând unde poate
Expresia constă în mai mulți termeni. Conform legii combinate de adăugare, dacă expresia constă din mai mulți termeni, atunci suma nu va depinde de procedură. Aceasta înseamnă că componentele pot fi pliate în orice ordine.
Nu vom reinventa bicicleta și nu vom adăuga toate componentele din stânga la dreapta în ordinea următoarelor lor:
Prima acțiune:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
A doua acțiune:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
A treia acțiune:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Răspuns: Valoarea expresiei? 3,8 + 17,15? 6.2? 6,15 în mod egal 1.
Soluția scurtă a acestui exemplu poate fi scrisă după cum urmează:
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Soluțiile scurte creează mai puține probleme și confuze, deci este de dorit să se obișnuiască cu ei.
Exemplul 24. Găsiți o valoare de expresie
Transferați fracțiunea zecimală? 1,8 V numărul mixt. Restul va rescrie așa cum este. Dacă întâmpinați dificultăți cu traducerea fracției zecimale într-un număr mixt, asigurați-vă că repetați lecția cu fracțiuni zecimale.
Exemplul 25. Găsiți o valoare de expresie 
Înlocuiți scăderea prin adăugarea. Pe parcurs, traducem fracția zecimală (5.4) la fracțiunea greșită
Nu există numere negative în expresia rezultată. Și din moment ce nu există numere negative, putem elimina plus înaintea celui de-al doilea număr și putem coborî parantezele. Apoi avem o expresie simplă pe adăugare, care este rezolvată ușor
Exemplul 26. Găsiți o valoare de expresie 
Transferați numărul mixt la fracția greșită și fracțiunea zecimală? 0,85 într-o fracțiune obișnuită. Obținem următoarea expresie:
A primit adăugarea de numere raționale negative. Mutarea modulelor lor și înainte de răspunsul primit de răspuns minus. Înregistrarea cu module poate fi omisă pentru a nu dezordine expresia:
Exemplul 27. Găsiți o valoare de expresie 
Traducem ambele fracții la fracțiunea greșită. Pentru a traduce fracțiunea zecimală de 2,05 în fracțiunea greșită, îl puteți traduce mai întâi într-un număr mixt și apoi în fracțiunea greșită:
După traducerea ambelor fracțiuni într-o fracție greșită, obținem următoarea expresie:
Au primit numere raționale cu semne diferite. Prezentarea modulului mai mare Mai puțin și înainte de răspunsul primit, am pus acest semn, al cărui modul este mai mult:
Exemplul 28. Găsiți o valoare de expresie
Înlocuiți scăderea prin adăugarea. Pe parcurs, transferăm fracțiunea zecimală într-o fracțiune obișnuită
Exemplul 29. Găsiți o valoare de expresie 
Transferați fracțiunile zecimale? 0.25 și? 1.25 în fracțiuni obișnuite, restul va pleca așa cum este. Obținem următoarea expresie:
Puteți înlocui mai întâi scăderea adăugând unde este posibilă și pliate numerele raționale unul după altul. Există oa doua opțiune: mai întâi adăugați numere raționale și apoi de la numărul rezultat de scădere a numărului rațional. Această opțiune va fi utilizată.
Prima acțiune:
A doua acțiune:
Răspuns: Valoarea expresiei egal? 2.
Exemplul 30. Găsiți o valoare de expresie
Transferați fracțiunile zecimale către obișnuite. Restul va pleca așa cum este
A primit suma mai multor termeni. Dacă suma constă din mai mulți termeni, expresia poate fi calculată în orice ordine. Aceasta rezultă din legea combatantă de adăugare.
Prin urmare, putem organiza cea mai convenabilă opțiune pentru noi. În primul rând, puteți adăuga primul și ultimul termen, și anume, numere raționale și. Aceste numere au aceiași denominatori, ceea ce înseamnă că ne vor elibera de nevoia de a le aduce la ea.
Prima acțiune:
Numărul rezultat poate fi pliat cu al doilea termen, și anume cu un număr rațional. La numerele raționale și aceiași denominatori din părțile fracționate, care sunt din nou avantajul SUA
A doua acțiune:
Ei bine, adăugați numărul rezultat? 7 cu ultimul termen, și anume, cu un număr rațional. Este convenabil că, la calcularea acestei expresii, cele șapte vor dispărea, adică suma lor va fi zero, deoarece suma numerelor opuse este zero
A treia acțiune:
Răspuns: Valoarea expresiei este egală
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noi lecții
Adăugarea și scăderea numerelor întregi
În această lecție vom studia adăugarea și scăderea numerelor întregi, precum și regulile pentru adăugarea și scăderea acestora.
Reamintim că numerele întregi sunt toate numerele pozitive și negative, precum și numărul 0. De exemplu, următoarele numere sunt întregi:
Numerele pozitive sunt ușor de îndoit și deduce, multiplicate și împărțite. Din păcate, acest lucru nu se poate spune despre numerele negative care confundă mulți nou-veniți cu minusurile lor înainte de fiecare cifră. Ca spectacole practice, greșelile făcute din cauza numerelor negative, au deranjat cel mai mult elevul.
Exemple de adăugare și scădere a numerelor întregi
Primul care să învețe cum să adăugați și să deduceți numerele întregi utilizând directorul direct. Nu este necesar să se tragă direct coordonatele. Este suficient să o imaginați în gândurile voastre și să vedeți unde se află numere negative și unde sunt pozitive.
Luați în considerare cea mai simplă expresie: 1 + 3. Valoarea acestei expresii este de 4:
Acest exemplu poate fi înțeles folosind direcția coordonată. Pentru a face acest lucru, de la punctul în care este localizat numărul 1, trebuie să vă deplasați în partea dreaptă a celor trei pași. Ca rezultat, ne vom găsi într-un punct în care numărul 4. Figura poate fi văzută așa cum se întâmplă:
Semnul plus din expresia 1 + 3 indică faptul că trebuie să ne mișcăm în dreapta în direcția creșterii numărului.
Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 1? 3.
Valoarea acestei expresii este? 2
Acest exemplu, din nou, poate fi înțeles folosind direcția coordonată. Pentru a face acest lucru, de la un punct în care numărul 1 este localizat pentru a trece în partea stângă a trei pași. Ca rezultat, ne vom găsi într-un punct în care se află un număr negativ? 2. În imagine puteți vedea cum se întâmplă acest lucru:
Minus semn în expresie 1? 3 ne indică faptul că trebuie să trecem la stânga spre o scădere a numerelor.
În general, este necesar să ne amintim că dacă se face adăugarea, atunci trebuie să vă deplasați spre creștere. Dacă se efectuează scăderea, atunci trebuie să vă deplasați spre stânga spre reducere.
Exemplul 3. Găsiți o valoare de expresie? 2 + 4
Valoarea acestei expresii este de 2
Acest exemplu, din nou, poate fi înțeles folosind direcția coordonată. Pentru a face acest lucru, de la un punct în care se află un număr negativ? 2 trebuie să vă deplasați la dreapta la patru pași. Ca rezultat, ne vom găsi într-un punct în care un număr pozitiv este situat 2.
Se poate observa că ne-am mutat dintr-un punct în care există un număr negativ? 2 în partea dreaptă a patru pași și s-au găsit într-un punct în care un număr pozitiv este situat 2.
Un semn de expresie Plus? 2 + 4 indică faptul că trebuie să ne mișcăm în dreapta în direcția numărului de creștere.
Exemplul 4. Găsiți o valoare de expresie? 1? 3.
Valoarea acestei expresii este? 4
Acest exemplu poate fi rezolvat din nou folosind coordonatul direct. Pentru a face acest lucru, de la punctul în care se află numărul negativ? 1 trebuie să fie mutate la stânga la trei pași. Ca rezultat, ne vom găsi într-un punct în care se află un număr negativ? 4
Se poate observa că ne-am mutat din punctul în care există un număr negativ? 1 în partea stângă a trei trepte și s-au găsit într-un punct în care se află un număr negativ? 4.
Minus semn în expresie? 1? 3 ne indică faptul că trebuie să trecem la stânga spre o scădere a numerelor.
Exemplul 5. Găsiți o valoare de expresie? 2 + 2
Valoarea acestei expresii este 0
Acest exemplu poate fi rezolvat utilizând directorul direct. Pentru a face acest lucru, de la punctul în care se află numărul negativ? 2 trebuie mutate în dreapta pentru doi pași. Ca rezultat, ne vom găsi într-un punct în care se află numărul 0
Se poate observa că ne-am mutat din punctul în care există un număr negativ? 2 în partea dreaptă pentru doi pași și s-au găsit într-un punct în care se află numărul 0.
Signul plus al expresiei? 2 + 2 indică faptul că trebuie să ne mișcăm în dreapta în direcția creșterii numărului.
Regulile de adăugare și scădere a numerelor întregi
Pentru a calcula această expresie sau a acelei expresii, nu este necesar să vă imaginați coordonatele direct de fiecare dată și chiar mai mult trageți-l. Este mai convenabil să profitați de regulile finalizate.
Aplicând regulile, trebuie să acordați atenție mărcii de operare și semnelor numerelor care trebuie să fie pliate sau scăzute. Din acest lucru va depinde de modul de aplicare.
Exemplul 1. Găsiți o valoare de expresie? 2 + 5
Se adaugă un număr pozitiv la numărul negativ. Cu alte cuvinte, se face adăugarea de numere cu semne diferite. ? 2 este un număr negativ, iar 5 este pozitiv. Pentru astfel de cazuri, se furnizează următoarea regulă:
Deci, să vedem ce modul este mai mult:
Numărul 5 este mai mare decât numărul de numere? 2. Regula necesită o scădere mai mică dintr-un modul mai mare. Prin urmare, trebuie să ieșim din 5 scădere 2 și înainte ca răspunsul primit să pună acel semn, al cărui modul este mai mare.
În modulul numărul 5 mai mult, deci semnul acestui număr și va fi ca răspuns. Adică răspunsul va fi pozitiv:
De obicei scrie mai scurt? 2 + 5 \u003d 3
Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 3 + (? 2)
Aici, ca în exemplul anterior, adăugarea numerelor cu semne diferite. 3 este un număr pozitiv, huh? 2 - negativ. Rețineți că numărul? 2 este închis în paranteze pentru a face expresia mai clară și mai frumoasă. Această expresie este mult mai ușoară pentru percepție decât expresia 3+? 2.
Deci, aplicăm regula de adăugare de numere cu semne diferite. Ca și în exemplul trecut, de la un modul mai mare, scădem un modul mai mic și înainte de răspunsul pe care l-am pus acest semn, al cărui modul este mai mult:
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
Modulul numărul 3 este mai mare decât numărul de numere? 2, așa că suntem în afara a 3-a 2 și înainte ca răspunsul să primească modulul mai mult. În modulul numărul 3 este mai mult, deci semnul acestui număr și pus ca răspuns. Adică, răspunsul este pozitiv.
De obicei, scrieți mai scurt 3 + (? 2) \u003d 1
Exemplul 3. Găsiți valoarea expresiei 3? 7.
În această expresie, mai mult de la un număr mai mic este dedusă. Pentru un astfel de caz, se oferă următoarea regulă:
Pentru a deduce mai mult, este necesar să se facă un minus de la un număr mai mare și să pună minus înainte de răspunsul primit.
În această expresie există un mic snag. Reamintim că semnul egalității (\u003d) este plasat între valori și expresii atunci când sunt egale unul cu celălalt.
Expresie 3? 7 Cum am învățat egali? 4. Aceasta înseamnă că orice transformări pe care le vom efectua în această expresie ar trebui să fie egale? 4
Dar vedem că în a doua etapă există o expresie 7? 3, care nu este egal cu? 4.
Pentru a corecta această situație, expresia 7? 3 Trebuie să luați în paranteze și să puneți un minus înainte de această consola:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
În acest caz, egalitatea va fi observată la fiecare etapă:
După calcularea expresiei, parantezele pot fi îndepărtate ceea ce am făcut.
Prin urmare, pentru a fi mai precis, decizia ar trebui să arate astfel:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Această regulă poate fi înregistrată utilizând variabile. Va arăta astfel:
a? B \u003d? (b? a)
Un număr mare de paranteze și operațiuni de operații pot complica soluția aparent o sarcină foarte simplă, deci este mai rapid să înveți cum să înregistreze astfel de exemple, de exemplu 3? 7 \u003d? patru.
De fapt, adăugarea și scăderea numerelor întregi sunt reduse numai la adăugare. Ce inseamna asta? Aceasta înseamnă că, dacă doriți să scăpați numere, această operație poate fi înlocuită prin adăugarea.
Astfel încât să vă familiarizați cu noua regulă:
Trageți un număr dintr-un alt mijloc să adăugați la o scădere a unui astfel de număr care va fi opus subtractabilului.
De exemplu, luați în considerare cea mai simplă expresie 5? 3. În stadiile inițiale ale studiului matematicii, pur și simplu am stabilit semnul egalității și am înregistrat răspunsul:
Dar acum progresează în studiu, deci trebuie să vă adaptați la noile reguli. O nouă regulă afirmă că scăderea unui număr dintr-un alt mijloc adaugă la o scădere a unui astfel de număr care va fi opus subtractabilului.
Pe exemplul expresiei 5? 3 Să \u200b\u200bîncercăm să înțelegem această regulă. Acest 5 a scăzut în această expresie și a scăzut este 3. Regula spune că, pentru a scădea 3 din 5, trebuie să adăugați un astfel de număr la 5 care va fi opusul 3. Opusul pentru numărul 3 este Numărul 3. Noi scriem o nouă expresie:
Și cum să găsiți valori pentru astfel de expresii pe care le cunoaștem deja. Aceasta este adăugarea de numere cu semne diferite pe care le-am uitat mai sus. Pentru a plia numerele cu semne diferite, trebuie să deduceți mai puțin de la un modul mai mare și înainte de răspunsul primit pentru a pune acest semn, al cărui modul este mai mare:
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
Numărul 5 este mai mare decât numărul de numere? 3. Prin urmare, am subliniat 3 din 5 și am primit 2. Modulul numărul 5 este mai mult, astfel încât semnul acestui număr și puneți în răspuns. Adică, răspunsul este pozitiv.
La început, înlocuind rapid scăderea prin adăugarea la toate. Acest lucru se datorează faptului că numerele pozitive sunt înregistrate fără semnul lor plus.
De exemplu, în expresia 3? 1 minus semn indicând scăderea este un semn al operațiunii și nu se aplică la una. Unitatea din acest caz este un număr pozitiv și are propriul semn al Plus, dar nu îl vedem, deoarece plus înainte de numerele pozitive conform tradițiilor nu scrie.
Și a devenit claritate Această expresie poate fi scrisă după cum urmează:
Pentru comoditatea numărului cu semnele lor intra în paranteze. În acest caz, înlocuiți scăderea prin adăugarea mult mai ușoară. Substanță în acest caz este numărul (+1) și numărul opus (? 1) vizavi de el. Voi înlocui funcționarea scăderii prin adăugarea și în loc de subtractabil (+1) scrieți numărul opus (? 1)
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
La prima vedere, va părea care este punctul în aceste televiziune inutile, dacă puteți pune un semn egal la vechea metodă bună și puteți scrie imediat răspunsul 2. De fapt, această regulă ne va ajuta în continuare.
Eu decid exemplul anterior 3? 7, folosind regula de scădere. Mai întâi oferim o expresie la o formă normală, punându-vă semnele la fiecare număr. Troika are un semn plus, deoarece este un număr pozitiv. Minus, indicând scăderea nu se aplică celor șapte. Semnul de șapte plus, deoarece este, de asemenea, un număr pozitiv:
Înlocuiți scăderea prin adăugarea:
Calculul suplimentar nu este dificil:
Exemplul 7. Găsiți valoarea expresiei? 4? cinci
Înainte de noi, operațiunea de scădere. Această operație trebuie înlocuită prin adăugarea. La redus (5) adăugați un număr opus la subtractabil (+5). Numărul opus pentru subtrate (+5) este numărul (5).
Am ajuns la situația în care trebuie să fie pliate numerele negative. Pentru astfel de cazuri, se furnizează următoarea regulă:
Pentru a plia numerele negative, trebuie să vă pliați modulele și să puneți un minus înainte de răspunsul primit.
Deci, puneți modulele numerelor, deoarece regula necesită și pune minusul înainte de răspunsul primit:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Înregistrarea cu module trebuie închisă în paranteze și pune în fața acestor paranteze. Deci, vom asigura minus, care ar trebui să stea înainte de răspunsul:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă:
Exemplul 8. Găsiți valoarea expresiei? 3? cinci? 7? nouă
Dăm o expresie de înțeles. Aici, toate numerele, cu excepția numărului? 3 sunt pozitive, deci vor avea semne plus:
Înlocuiți funcționarea scăderii prin adăugările de adăugare. Toate cons (în afară de un minus, care în fața troicii) vor fi schimbate la pro și toate numerele pozitive se vor schimba în opusul:
Aplicați acum regula de adăugare a numerelor negative. Pentru a plia numerele negative, trebuie să vă pliați modulele și să puneți minus înainte de răspunsul primit:
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurtă:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
Exemplul 9. Găsiți o valoare de expresie? 10 + 6? 15 + 11? 7.
Dăm o expresie înțelegerii:
Iată două operații simultan: adăugarea și scăderea. Adăugarea concediului așa cum este, iar scăderea se înlocuiește cu adăugarea:
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Observând procedura, vom efectua fiecare acțiune, bazându-se pe regulile studiate anterior. Înregistrările cu module pot fi sărite:
Prima acțiune:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
A doua acțiune:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
A treia acțiune:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
A patra acțiune:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Astfel, valoarea expresiei? 10 + 6? 15 + 11? 7 egal? 15
Notă. Pentru a da o expresie la numerele de înțeles, încheiate în paranteze, nu este deloc. Atunci când apare dependență la numere negative, această acțiune poate fi omisă deoarece necesită timp și poate confunda.
Deci, pentru adăugarea și scăderea numerelor întregi, trebuie să vă amintiți următoarele reguli:
Pentru a adăuga numere cu semne diferite, trebuie să scăpați un modul mai mic dintr-un modul mai mare și să puneți acel semn care este mai mult modul.
Pentru a scădea mai mult de la un număr mai mic, trebuie să scăpați mai puțin și înainte de răspunsul primit pentru a pune un semn minus.
Deducerea este un număr din celelalte mijloace care se adaugă la numărul diminutiv opus subtractabil.
Pentru a plia numerele negative, trebuie să adăugați modulele lor și să puneți un semn minus înainte de răspunsul primit.
Lecția pe subiect: "Reguli pentru multiplicarea și împărțirea gradelor cu aceleași și indicatori diferiți. Exemple"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să părăsiți comentariile, recenzii, dorințe. Toate materialele sunt verificate de programul antivirus.
Manuale de instruire și simulatoare în magazinul online "Integral" pentru clasa 7
Manual pentru manual Yu.N. Makarychev beneficiază de manualul a.g. Mordkovich.
Scopul lecției: Învață să efectueze acțiuni cu gradele numărului.
Pentru a începe, amintiți-vă conceptul de "grad de număr". Expresia tipului $ \\ Underbiace (A * A * \\ Ldots * a) _ (n) $ poate fi reprezentat ca $ a ^ n $.
Este, de asemenea, adevărat inversă: $ a ^ n \u003d \\ subbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) $.
Această egalitate se numește "o înregistrare de diplomă sub forma unei lucrări". Ne va ajuta să determinăm cum să multiplicăm și să partajați grade.
Tine minte:
a. - fundamentul gradului.
n. - Indicator.
În cazul în care un n \u003d 1., Deci, numărul dar Au luat o dată și, în consecință, $ a ^ n \u003d 1 $.
În cazul în care un n \u003d 0., apoi $ a ^ 0 \u003d 1 $.
De ce se întâmplă acest lucru, vom putea afla când vom fi familiarizați cu regulile de multiplicare și împărțire a gradelor.
Reguli de multiplicare
a) Dacă gradele se înmulțesc cu aceeași bază.La $ a ^ n * a ^ m $, scrieți gradul sub forma unei lucrări: $ \\ Underbiace (A * A * \\ Ldots * a) _ (N) * \\ Underbracce (A * A * \\ Ldots * a) _ (m) $.
Figura arată că numărul dar am luat n + M. Odată, atunci $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.
Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Această proprietate este convenabilă pentru a utiliza ceea ce să simplifice munca atunci când ridicați un număr într-o măsură mai mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Dacă gradele se înmulțesc cu baze diferite, dar același indicator.
La $ a ^ n * b ^ n $, scrieți gradul în forma unei lucrări: $ \\ Underbia (A * A * \\ Ldots * a) _ (N) * \\ Underbia (B * B * \\ Ldots * b) _ (m) $.
Dacă schimbați locurile de multiplicare și calculați perechile rezultate, obținem: $ \\ Underbiace ((a * b) * (A * b) * \\ Ldots * (A * B)) _ (n) $.
Deci, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.
Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Reguli de divizare
a) Baza gradului este aceeași, indicatori diferiți.Luați în considerare împărțirea gradului cu o cifră înaltă pentru împărțirea gradului cu un indicator mai mic.
Deci, este necesar $ \\ Frac (a ^ n) (a ^ m) $Unde n\u003e M..
Scriem o diplomă sub forma unei fracții:
$ \\ Frac (\\ subbace (a * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ subbace (a * a * \\ ldots * a) _ (m)) $.
Pentru comoditate, divizia va scrie sub forma unei fracții simple.Acum va reduce fracțiunea.
Se pare: $ \\ Underbiace (A * A * \\ Ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
Inseamna $ \\ Frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.
Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu erecția numărului la gradul zero. Să presupunem că n \u003d M., apoi $ a ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d \\ frac (a ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $.
Exemple.
$ \\ Frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.
$ \\ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
b) Fundamentul gradului este diferit, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că este necesar $ \\ Frac (a ^ n) (b ^ n) $. Scriem gradul de numere sub forma unei fracții:
$ \\ Frac (\\ A * A * \\ Ldots * a) _ (n)) (\\ subbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (n)) $.
Pentru imaginația comodității.
Folosind proprietatea fracțiunii, distrugem o fracție mare pe munca mică, ajungem.
$ \\ Underbia (\\ Frac (a) (b) * \\ frac (a) (b) * \\ ldots * \\ frac (a) (b)) _ (n) $.
În consecință, $ \\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d (\\ frac (a) (b)) ^ n $.
Exemplu.
$ \\ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.
Primul nivel
Gradul și proprietățile. Ghidul exhaustiv (2019)
De ce ai nevoie? Unde vor veni la tine? De ce trebuie să petreceți timp în studiul lor?
Pentru a afla toate gradele, ceea ce au nevoie de cum să-și folosească cunoștințele în viața de zi cu zi citesc acest articol.
Și, bineînțeles, cunoașterea gradelor vă va aduce mai aproape de predarea reușită a lui Oge sau a lui Ege și să intrați la Universitatea din visele voastre.
Să mergem ... (Drove!)
Observație importantă! Dacă în loc de formulele pe care le vedeți Abracadabra, curățați memoria cache. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe Ctrl + F5 (pe Windows) sau CMD + R (pe Mac).
PRIMUL NIVEL
Exercițiul este aceeași operație matematică ca adăugarea, scăderea, multiplicarea sau diviziunea.
Acum voi explica toată limba umană pe exemple foarte simple. Fiți atenți. Exemple de elementare, dar explicând lucruri importante.
Să începem cu adăugarea.
Nu este nimic de explicat aici. Știți cu toții totul: suntem opt oameni. Toată lumea are două sticle de cola. Cât de mult este cola? Dreapta - 16 sticle.
Acum multiplicarea.
Același exemplu cu o cola poate fi înregistrată diferit :. Matematică - oameni vicleni și leneși. Ei primesc mai întâi niște modele și apoi inventează modul de a le "număra" mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cei opt persoane aveau același număr de sticle de cola și a venit cu o recepție numită multiplicări. Sunt de acord, este considerată mai ușoară și mai rapidă decât.
Deci, pentru a citi mai repede, mai ușor și fără greșeli, trebuie doar să vă amintiți masa multiplicare. Desigur, puteți face totul mai încet, mai greu și greșeli! Dar…
Aici este tabelul de multiplicare. Repeta.
Și celălalt, mai frumos:
Și ce alte trucuri au venit cu matematicieni leneși? Dreapta - erecție.
Erecție
Dacă aveți nevoie să multiplicați numărul pentru dvs. de cinci ori, atunci matematica spune că trebuie să construiți acest număr în gradul al cincilea. De exemplu, . Matematica amintiți-vă că două în a cincea grad este. Și rezolvă astfel de sarcini în minte - mai repede, mai ușor și fără erori.
Pentru asta aveți nevoie numai amintiți-vă ceea ce este evidențiat în culoarea în tabelul de grade de numere. Credeți-vă, vă va facilita foarte mult viața.
Apropo, de ce se numește gradul al doilea pătrat numere și al treilea - cuba? Ce înseamnă? O întrebare foarte bună. Acum va fi pentru tine și pătrate și Cuba.
Exemplu din numărul de viață 1
Să începem cu un pătrat sau de la un al doilea grad de număr.
Imaginați-vă o piscină pătrată de dimensiune a contorului pe un metru. Piscina este pe dacha ta. Căldura și într-adevăr doriți să înotați. Dar ... Piscină fără fund! Trebuie să stocați partea de jos a plăcilor de piscină. Cât de mult ai nevoie de plăci? Pentru a determina acest lucru, trebuie să aflați zona de jos a bazinului.
Puteți calcula pur și simplu, cu un deget, că partea de jos a piscinei constă dintr-un contor cuburi pe metru. Dacă aveți o placă de metru pentru metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor ... dar unde ați văzut o astfel de placă? Placiurile este mai probabil să vadă pentru a vedea și apoi "degetul pentru a număra" tortură. Apoi trebuie să multiplicați. Deci, pe o parte a fundului piscinei, se potrivesc plăcilor (pieselor) și pe celelalte plăci. Multiplicând, veți obține plăci ().
Ați observat că pentru a determina zona de jos a bazinului, am înmulțit același număr de unul singur? Ce înseamnă? Acest lucru este înmulțit cu același număr, putem profita de "erecția exterminării". (Desigur, când aveți doar două numere, înmulțiți-le sau ridicați-le în gradul. Dar dacă aveți multe dintre ele, este mult mai ușor să le ridicați în ceea ce privește calculele, prea puțin. Pentru examen, este foarte important).
Deci, treizeci de gradul al doilea va (). Sau putem spune că treizeci în Piața va fi. Cu alte cuvinte, al doilea grad de număr poate fi întotdeauna reprezentat ca un pătrat. Și dimpotrivă, dacă vedeți un pătrat - este întotdeauna al doilea grad al unui număr. Piața este imaginea unui număr de gradul doi.
Exemplu din numărul de viață 2
Iată sarcina, numărați câte pătrate pe o tablă de șah cu un pătrat de număr ... pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula cantitatea, trebuie să multiplicați opt sau ... Dacă rețineți că tabloul de șah este un pătrat de lateral, atunci puteți construi opt pe pătrat. Se pare celulele. () Asa de?
Exemplu din numărul de viață 3
Acum un cub sau al treilea grad de număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să știți cât de multă apă va trebui să completeze această piscină. Trebuie să numărați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Brusc, într-adevăr?) Desenați o piscină: partea inferioară a dimensiunii contorului și o adâncime de metri și încercați să numărați cât de cuburi dimensiunea contorului pe contor Introduceți piscina.
Dreptul arată degetul și numărați! O dată, doi, trei, patru ... douăzeci și doi, douăzeci și trei ... cât de mult sa întâmplat? Nu a coborât? Dificil să-ți numărați degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de matematicieni. Ele sunt leneș, prin urmare, au observat că pentru a calcula volumul bazinului, este necesar să se multipliceze reciproc în lungime, lățime și înălțime. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburile ... este mai ușor pentru adevăr?
Și acum imaginați-vă, în măsura în care matematica sunt leneși și vicleni, dacă sunt simplificați. A adus toate la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se varsă pe sine ... și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că puteți profita de gradul. Deci, ce credeți cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei în Cuba este egală. Acest lucru este scris astfel :.
Rămâne numai amintiți gradele de masă. Dacă sunteți, desigur, aceeași leneșă și viclenie ca matematică. Dacă vă place să lucrați foarte mult și să faceți greșeli - puteți continua să numărați degetul.
Ei bine, pentru a vă convinge că gradele au venit cu Lodii și Cunnies pentru a-și rezolva problemele de viață și pentru a nu crea probleme, iată câteva exemple din viață.
Exemplu din numărul de viață 4
Aveți un milion de ruble. La începutul fiecărui an câștigi la fiecare milion de milioane. Adică, fiecare milion se va dubla la începutul fiecărui an. Câți bani veți avea în anii? Dacă stați acum și "credeți că degetul dvs.", atunci sunteți o persoană foarte dură și ... stupid. Dar cel mai probabil veți răspunde în câteva secunde, pentru că sunteți inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți doi ... în al doilea an - Ce sa întâmplat, alte două, în al treilea an ... STOP! Ați observat că numărul se multiplică. Deci, două în al cincilea grad - un milion! Și acum imaginați-vă că aveți o competiție și aceste milioane vor primi cel care va găsi mai repede ... merită să-și amintească gradul de numere, ce crezi?
Exemplu din numărul de viață 5
Aveți un milion. La începutul fiecărui an câștigi fiecare milion de două. Adevărul mare? Fiecare milion triple. Câți bani veți avea după un an? Hai să numărăm. Primul an este de a multiplica, apoi rezultatul este încă pe ... deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: Trei se înmulțesc de la sine. Prin urmare, gradul al patrulea este egal cu un milion. Este necesar să ne amintim că trei în gradul IV este sau.
Acum știi că, cu ajutorul ridicării numărului, vă veți facilita foarte mult viața. Să ne uităm alături de ceea ce puteți face cu gradele și de ceea ce trebuie să știți despre ei.
Termeni și concepte ... pentru a nu fi confuz
Deci, pentru început, să definim conceptele. Ce crezi, care este indicatorul gradului? Este foarte simplu - acesta este numărul care este "la vârf" al gradului de număr. Nu este științific, dar este clar și ușor de reținut ...
Bine, în același timp o astfel de grad de fundație? Chiar mai ușor - acesta este numărul care este mai jos, la bază.
Iată un desen pentru loialitate.
Ei bine, în general, să rezumă și să-și amintească mai bine ... Gradul cu baza "" și indicatorul "" este citit ca "în grad" și este scris după cum urmează:
Gradul de număr cu un indicator natural
Probabil că ați ghicit: deoarece indicatorul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Natural Acestea sunt numerele care sunt utilizate în cont atunci când listați elemente: una, două, trei ... noi, când luăm în considerare elementele, nu spuneți: "minus cinci", "minus șase", "minus șapte". De asemenea, nu spunem: "o treime", sau "zero de întregi, cinci zecimi". Acestea nu sunt numere naturale. Și ce credeți aceste numere?
Numere precum "minus cinci", "minus șase", "minus șapte" aparțin numere întregi. În general, la numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele sunt opuse naturale (adică, luate cu un semn minus) și numărul. Zero înțelege ușor - nu este nimic. Și ce înseamnă numere negative ("minus")? Dar ele au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: Dacă aveți un echilibru asupra numărului de telefon, înseamnă că ar trebui să călătoriți operatorului.
Tot felul de fracțiuni sunt numere raționale. Cum au apărut, ce crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că lipsesc numere naturale pentru a măsura lungi, greutatea, pătratul etc. Și au inventat numere rationale... mă întreb dacă e adevărat?
Există, de asemenea, numere iraționale. Ce este acest numar? Dacă scurt, atunci o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă lungimea circumferinței este împărțită în diametrul său, atunci numărul irațional va fi.
Rezumat:
Definim conceptul de grad, al cărei indicator este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).
- Orice număr la primul grad în mod egal la sine:
- Evaluați numărul din pătrat - înseamnă să îl înmulțiți singur:
- Evaluați numărul în cub - înseamnă să îl înmulțiți de trei ori:
Definiție. Evaluați numărul într-un grad natural - înseamnă să multiplicați numărul tuturor timpurilor pentru dvs.:
.
Proprietățile gradelor
De unde provin aceste proprietăți? Vă voi arăta acum.
Să vedem: Ce este și ?
A-PRIOR:
Câți multiplicatori sunt aici?
Foarte simplu: Am terminat multiplicatori în multiplicatori, a dovedit factorii.
Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică că a fost necesar să se dovedească.
Exemplu: Simplificați expresia.
Decizie:
Exemplu: Simplificați expresia.
Decizie: Este important să observăm că în regula noastră inainte de Trebuie să fie aceeași fundație!
Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:
numai pentru munca de grade!
În nici un caz nu poate scrie asta.
2. Asta este Gradul de număr
La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:
Se pare că expresia se înmulțește singură o dată, adică conform definiției, aceasta este, există o serie de număr:
De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar nu o poate face niciodată în suma:
Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem?
Dar este incorect, pentru că.
Negativ
Până la acest punct, am discutat doar ceea ce ar trebui să fie indicatorul.
Dar ce ar trebui să fie baza?
În gradele S. indicator natural Baza poate fi orice număr. Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar.
Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă ne multiplicăm, va funcționa.
Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Face față?
Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este de înțeles? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.
Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!
6 exemple de formare
Soluții de 6 exemple
Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate! Primim:
Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă le-ar schimba în locuri, ar fi posibil să se aplice regula.
Dar cum să faci asta? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.
Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze.
Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp.!
Să ne întoarcem de exemplu:
Și din nou formula:
Întreg Numim numere naturale opuse celor (adică, luate cu semnul "") și numărul.
număr întreg pozitiv, Și nu diferă de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.
Și acum să luăm în considerare cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.
Orice număr la zero egal cu unul:
Ca întotdeauna, ne vom întreba: de ce este așa?
Ia în considerare orice grad cu baza. Luați, de exemplu, și dominați pe:
Deci, am înmulțit numărul și am ajuns la fel ca. Și pentru ce număr trebuie să fie multiplicat, astfel încât nimic nu sa schimbat? Asta e corect. Asa de.
Putem face același lucru cu un număr arbitrar:
Repetați regula:
Orice număr la zero egal cu unul.
Dar din multe reguli există excepții. Și aici este, de asemenea, un număr (ca bază).
Pe de o parte, ar trebui să fie egală cu orice măsură - cât de mult zero nu este nici înmulțită, încă primește zero, este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la zero, ar trebui să fie egal. Deci, care este adevărul? Matematica a decis să nu se lege și a refuzat să se ridice zero la zero. Adică, acum nu putem fi împărțiți numai în zero, ci și să-l construim la zero.
Să mergem mai departe. În plus față de numerele naturale și numerele includ numere negative. Pentru a înțelege ce grad negativ, vom face ultima oară: în mod obișnuit un număr normal la același grad negativ:
De aici este deja ușor să exprimați dorit:
Acum, am răspândit regula rezultată într-un grad arbitrar:
Deci, formulăm regula:
Numărul este un grad negativ înapoi la același număr într-un grad pozitiv. Dar in acelasi timp baza nu poate fi zero: (Pentru că este imposibil să se împartă).
Să rezumăm:
I. Expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.
II. Orice număr la zero este egal cu unul :.
III. Un număr care nu este egal cu zero, într-un grad negativ înapoi la același număr la un grad pozitiv :.
Sarcini pentru soluții de sine:
Ei bine, ca de obicei, exemple de soluții de sine:
Analiza sarcinilor pentru soluții de sine:
Știu, știu că numerele sunt teribile, dar examenul ar trebui să fie pregătit pentru tot! Împărtășiți aceste exemple sau împrăștiați decizia lor, dacă nu aș putea decide și veți învăța să faceți față cu ușurință cu ei la examen!
Continuați să extindeți cercul de numere, "potrivit" ca indicator al gradului.
Acum ia în considerare numere rationale. Ce numere sunt numite raționale?
Răspuns: Tot ce poate fi reprezentat sub formă de fracțiuni, unde și - numere întregi și.
Pentru a înțelege ce este "Gradul de marfă", Luați în considerare fracțiunea:
A ridicat ambele părți ale ecuației cu gradul:
Acum amintiți-vă regula despre "Gradul de grad":
Ce număr ar trebui să fie luat în gradul de obținere?
Această formulare este definiția gradului rădăcină.
Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina numărului () se numește numărul care este egal în exterminare.
Adică, gradul de rădăcină este o operațiune, inversează exercițiul în gradul :.
Se pare că. Evident, acest caz particular poate fi extins :.
Acum adăugați un numitor: Ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu ajutorul regulii "grad în grad":
Dar poate motivul să fie orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.
Nici unul!
Amintiți-vă regula: orice număr ridicat într-o grad uniform este numărul pozitiv. Asta este, de a extrage rădăcinile unui grad uniform din numerele negative, este imposibil!
Aceasta înseamnă că este imposibil să se construiască astfel de numere într-o diplomă fracțională cu un numitor chiar, adică expresia nu are sens.
Cum rămâne cu expresia?
Dar există o problemă.
Numărul poate fi reprezentat sub formă de DRGIH, de exemplu, fracții reduse sau.
Și se pare că există, dar nu există, dar este doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.
Sau un alt exemplu: o dată, atunci puteți scrie. Dar merită să ne scrieți într-un mod diferit și din nou avem o neplăcere: (adică, au primit un rezultat complet diferit!).
Pentru a evita paradoxurile similare, luăm în considerare doar o bază pozitivă de grad cu indicator fracționat.
Astfel, dacă:
- - numar natural;
- - întreg;
Exemple:
Diplomele cu indicatorul rațional sunt foarte utile pentru conversia expresiilor cu rădăcini, de exemplu:
5 exemple de instruire
Analiza a 5 exemple de formare
Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom înțelege iraţional.
Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția
La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate sub forma unei fracții, unde și - numerele iraționale sunt toate numerele valide, cu excepția rațională).
Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați.
De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși;
...zero - Acesta este modul în care numărul înmulțit de la sine o dată, adică nu a început să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar - deci rezultatul este doar un anumit "număr de billet", și anume numărul;
...gradul cu un întreg indicator negativ "Se pare că a avut loc un anumit" proces invers ", adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci deli.
Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid.
Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.
Unde suntem siguri că veți face! (Dacă învățați să rezolvați astfel de exemple :))
De exemplu:
Solim:
Resturi:
1. Să începem cu regulile obișnuite pentru regulile de exercitare pentru noi:
Acum uitați-vă la indicator. Nu vă reamintesc nimic? Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată. Diferențe pătrate:
În acest caz,
Se pare că:
Răspuns: .
2. Aducem fracțiunea în indicatorii de grade la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Obținem, de exemplu:
Răspuns: 16.
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:
NIVEL AVANSAT
Determinarea gradului
Gradul se numește expresia formularului: Unde:
- — gradul;
- - Indicator.
Gradul cu indicatorul natural (n \u003d 1, 2, 3, ...)
Construiți un grad natural N - înseamnă înmulțirea numărului pentru dvs. o singură dată:
Gradul cu integrul (0, ± 1, ± 2, ...)
Dacă este un indicator al gradului software-ul pozitiv număr:
Constructie în zero grade.:
Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice măsură, este, iar pe de altă parte - orice număr de grad este.
Dacă este un indicator al gradului un întreg negativ număr:
(Pentru că este imposibil să se împartă).
Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.
Exemple:
Raţional
- - numar natural;
- - întreg;
Exemple:
Proprietățile gradelor
Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde au venit aceste proprietăți? Îi dovedim.
Să vedem: Ce este ceea ce?
A-PRIOR:
Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține o astfel de activitate:
Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică:
Q.E.D.
Exemplu : Simplificați expresia.
Decizie : .
Exemplu : Simplificați expresia.
Decizie : Este important să observați că în regula noastră inainte detrebuie să existe aceleași baze. Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:
O altă notă importantă: aceasta este o regulă - numai pentru munca de grade!
În nici un caz la nervi să scrie asta.
La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:
Descoperim acest lucru ca acesta:
Se pare că expresia se înmulțește cu ea însăși o dată, adică conform definiției, acest lucru este - prin gradul de număr:
De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar niciodată nu poate face acest lucru în cantitatea:!
Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem? Dar este incorect, pentru că.
Diplomă cu o bază negativă.
Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator diplomă. Dar ce ar trebui să fie baza? În gradele S. natural indicator Baza poate fi orice număr .
Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar. Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ?
Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă vom multiplica pe (), se pare.
Și astfel la infinitate: de fiecare dată când următoarea multiplicare va schimba semnul. Normele simple pot fi formulate:
- chiar Gradul - Număr. pozitiv.
- Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
- Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
- Zero la orice grad este zero.
Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Face față? Iată răspunsurile:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În primele patru exemple, sper că totul este clar? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.
În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să știți că mai puțin: sau? Dacă vă amintiți că devine clar că și, prin urmare, baza este mai mică decât zero. Adică, aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.
Și din nou folosim gradul de grad:
Toate ca de obicei - scrieți definiția gradelor și, împărțiți-le unul altuia, împărțiți pe perechi și obțineți:
Înainte de a dezasambla ultima regulă, rezolvăm câteva exemple.
Expresii calculate:
Soluții :
Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate!
Primim:
Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă ar fi schimbate în locuri, ar fi posibil să se aplice regula 3. Dar cum să o faci? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.
Dacă îl tragi, nimic nu se va schimba, nu? Dar acum se dovedește următoarele:
Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze. Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp!Nu puteți înlocui, schimbând doar un minus dezagreabil!
Să ne întoarcem de exemplu:
Și din nou formula:
Deci, acum ultima regulă:
Cum vom dovedi? Desigur, ca de obicei: voi dezvălui conceptul de grad și simplifică:
Ei bine, acum voi dezvălui paranteze. Cât de mult vor primi scrisorile? Odată pe multiplicatori - ce reamintește? Nu este altceva decât definiția operațiunii multiplicare: În total, au existat factori. Adică, prin definiție, gradul de număr cu indicatorul:
Exemplu:
Iraţional
În plus față de informațiile despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu indicatorul irațional. Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția - după toate, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi depuse sub forma unei fracții, în cazul în care - numerele întregi (adică numerele iraționale sunt toate numerele valide, în afară de rațional).
Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați. De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși; Numărul în gradul zero este într-un fel numărul înmulțit de ea însăși o dată, adică nu a început încă să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar -, prin urmare, doar un anumit "billet", și anume, este rezultatul ; Gradul cu un întreg indicator negativ este ca și cum un anumit "proces invers" a avut loc, adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci împărțit.
Imaginați-vă că gradul cu un indicator irațional este extrem de dificil (așa cum este dificil să se prezinte un spațiu de 4-dimensională). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematica a creat pentru a extinde conceptul de grad în întregul spațiu al numerelor.
Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.
Deci, ce facem dacă vedem o rată irațională? Încercăm să scăpăm de ea cu toată puterea! :)
De exemplu:
Solim:
| 1) | 2) | 3) |
Răspunsuri:
- Ne amintim de formula diferența de pătrate. Răspuns:.
- Dăm fracțiunea la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Avem, de exemplu:.
- Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:
Rezumatul secțiunii și formulele de bază
Gradul Numit expresia formei: unde:
Întreg
gradul, indicatorul căruia este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).
Raţional
gradul, indicatorul căruia este numere negative și fracționate.
Iraţional
gradul, indicatorul căruia este o fracțiune zecimală infinită sau o rădăcină.
Proprietățile gradelor
Caracteristicile gradelor.
- Numărul negativ ridicat în chiar Gradul - Număr. pozitiv.
- Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
- Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
- Zero la orice grad este egal.
- Orice număr la zero egal.
Acum ai nevoie de un cuvânt ...
Cum aveți nevoie de un articol? Notați în comentariile cum ar fi sau nu.
Spuneți-mi despre experiența dvs. în utilizarea proprietăților gradelor.
Poate aveți întrebări. Sau sugestii.
Scrieți comentariile.
Și noroc pe examene!
Dacă aveți nevoie să construiți un anumit număr într-o diplomă, puteți utiliza. Și acum vom finaliza detaliile proprietățile gradelor.
Numerele exponențiale Deschideți oportunități excelente, ne permit să transformăm înmulțirea înmulțită și este mult mai ușor de pliabil decât să multiplicați.
De exemplu, trebuie să multiplicăm 16 până la 64. Produsul de la multiplicarea acestor două numere este de 1024. Dar 16 este de 4 × 4 și 64 este 4x4x4. Aceasta este, 16 la 64 \u003d 4x4x4x4x4, care este, de asemenea, egală cu 1024.
Numărul 16 poate fi, de asemenea, reprezentat ca 2x2x2x2 și 64 ca 2x2x2x2x2x2, și dacă produceți multiplicare, primim din nou 1024.
Și acum folosim regula. 16 \u003d 4 2 sau 2 4, 64 \u003d 4 3 sau 2 6, în același timp 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5, sau 2 10.
În consecință, sarcina noastră poate fi scrisă diferit: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 sau 2 4 x2 6 \u003d 2 10, și de fiecare dată când ajungem la 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că multiplicarea numerelor cu grade este redusă la administrarea indicatorilor de gradul, sau expozantul, desigur, cu condiția ca fundamentele factorilor să fie egale.
Astfel, putem, fără a produce multiplicare, spun imediat că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Această regulă este valabilă și atunci când se împarte numerele cu grade, dar în acest caz cSPONENTUL DIVIDERULUI este dedus din expoziție. Astfel, 2 5: 2 3 \u003d 2 2, care în numerele convenționale este de 32: 8 \u003d 4, adică 2 2. Să rezumăm:
a M x A N \u003d A M + N, A M: A n \u003d A M-N, unde M și N sunt numere întregi.
La prima vedere, poate părea asta multiplicarea și divizarea numerelor cu grade Nu este foarte convenabil, deoarece trebuie să trimiteți mai întâi un număr în formă exponențială. Este ușor să vă imaginați în această formă a numărului 8 și 16, adică 2 3 și 2 4, dar cum să o faceți cu numerele 7 și 17? Sau cum să faceți în cazurile în care numărul poate fi reprezentat într-o formă exponențială, dar fundamentele expresiilor exponențiale ale numerelor diferă foarte mult. De exemplu, 8 × 9 este 2 3 x3 2, iar în acest caz nu putem rezuma expozanții. Nici 2 5 și nr. 3 5 nu sunt răspuns, răspunsul, de asemenea, nu se află în intervalul dintre aceste două numere.
Atunci merită să vă încurcați cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special cu calcule complexe și consumatoare de timp.
În ultimul limbaj video, am aflat că gradul de anumit motiv este o astfel de expresie, care este un produs al fundației pe sine, luată într-o sumă egală cu indicatorul. Acum studiem câteva dintre cele mai importante proprietăți și operațiuni ale gradelor.
De exemplu, multiplicați două grade diferite cu aceeași bază:
Imaginați-vă că lucrează în totalitate:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Calculați valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, așa cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca un produs al aceleiași baze (TWOS) luate într-o cantitate de 5 ori. Și într-adevăr, dacă recalculați, atunci:
Astfel, este sigur să ajungem la concluzia că:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
O astfel de regulă funcționează cu succes pentru orice indicatori și orice motiv. Această proprietate de multiplicare a gradului rezultă din regula de conservare a expresiilor în transformările din lucrare. Cu orice bază, un produs de două expresii (a) x și (a) este egal cu (x + y). Cu alte cuvinte, în activitatea oricăror expresii cu aceeași bază, finalul ambalat are un grad total format prin adăugarea gradului primului și al doilea expresii.
Prezenta regulă funcționează perfect și când se înmulțește mai multe expresii. Condiția principală este că toate fundațiile au fost aceleași. De exemplu:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Este imposibil să se adauge grade și, într-adevăr, să conduci orice acțiuni comune de putere cu două elemente ale expresiei, dacă acestea sunt fundații diferite.
După cum arată videoclipurile noastre, datorită similitudinii proceselor de multiplicări și diviziune, regulile de adăugare a gradelor în muncă sunt perfect transmise și în procedura de divizare. Luați în considerare un astfel de exemplu:
Vom produce transformarea de sol a expresiei în vizualizare completă și vom reduce aceleași elemente în diviziune și divizor:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Rezultatul final al acestui exemplu nu este la fel de interesant, deoarece, în cursul deciziei sale, este clar că valoarea expresiei este egală cu piața celor două. Și este un doi care este obținut prin scăderea gradului de a doua expresie din gradul primului.
Pentru a determina gradul de privat, este necesar să se determine gradul de divizor din gradul de divizare. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate gradele naturale. Sub formă de abstractizare avem:
(a) x / (a) y \u003d (a) x -
De la regula de divizare a acelorași baze cu grade implică o definiție pentru gradul zero. Evident, următoarea expresie este:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Pe de altă parte, dacă producem diviziuni cu un mod mai vizual, vom obține:
(a) 2 / (a) 2 \u003d (a) (a) / (a) (a) \u003d 1
Odată cu reducerea tuturor elementelor vizibile, fracția se dovedește întotdeauna expresia 1/1, adică una. Prin urmare, se crede că orice fundație a fost construită într-un grad zero egal cu unul:
Indiferent de valoarea A.
Cu toate acestea, va fi absurd dacă 0 (cu orice multiplicare, darea oricum 0) va fi cumva egală cu una, prin urmare expresia formei (0) 0 (zero la zero) pur și simplu nu are sens, ci la formula ( a) 0 \u003d 1 Condiții sunt adăugate: "Dacă nu sunt egale cu 0".
Lăsați exercițiul. Găsiți valoarea expresiei:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Deoarece baza de pretutindeni este în egal 34, atunci valoarea finală va avea aceeași bază cu gradul (conform regulilor de mai sus):
Cu alte cuvinte:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Răspuns: Expresia este egală cu una.
