Ce este un monom în forma standard. Conceptul de monom. Tip standard de monom

Informațiile inițiale despre monomii conțin o clarificare că orice monom poate fi redus la o formă standard. În materialul de mai jos, vom analiza această problemă mai detaliat: vom schița sensul acestei acțiuni, vom defini pașii care ne permit să stabilim forma standard a monomului și, de asemenea, vom consolida teoria prin rezolvarea de exemple.

Valoarea conversiei unui monom în forma standard

Scrierea unui monom într-o formă standard face mai convenabil să lucrezi cu el. Monomiile sunt adesea date într-o formă non-standard și apoi devine necesar să se efectueze transformări identice pentru a aduce un anumit monom într-o formă standard.

Definiția 1

Reducerea unui monom la o formă standard Este executarea unor acțiuni adecvate (transformări identice) cu un monom pentru a-l înregistra într-o formă standard.

Metodă de reducere a unui monom la o formă standard

Din definiție rezultă că un monom al unei forme non-standard este un produs al numerelor, variabilelor și gradelor acestora, în timp ce repetarea lor este posibilă. La rândul său, un monom al formei standard conține în înregistrarea sa doar un număr și variabile nerepetate sau gradele acestora.

Pentru a aduce un monom non-standard într-o formă standard, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la o formă standard:

• primul pas este gruparea factorilor numerici, aceleași variabile și gradele acestora;
• al doilea pas este calcularea produselor numerelor și aplicarea proprietății gradelor cu aceleași baze.

Exemple și soluții

Exemplul 1

Un monom este dat 3 x 2 x 2 . Este necesar să-l aduceți la forma standard.

Soluţie

Să grupăm factorii numerici și multiplicatorii cu variabila x, ca urmare, monomul dat va lua forma: (3 2) (x x 2) .

Produsul dintre paranteze este 6. Aplicând regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, reprezentăm expresia dintre paranteze ca: x 1 + 2 = x 3... Ca rezultat, obținem un monom al formei standard: 6 · x 3.

Un rezumat al soluției arată astfel: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Răspuns: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Exemplul 2

Se dă un monom: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b. Este necesar să-l aduceți într-o formă standard și să indicați coeficientul său.

Soluţie

un monom dat are un factor numeric în notația sa: - 1, îl reportăm la început. Apoi vom grupa factorii cu variabila a și factorii cu variabila b. Nu există nimic cu care să grupăm variabila m, o lăsăm în forma inițială. Ca rezultat al acțiunilor enumerate, obținem: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Să realizăm acțiuni cu puterile dintre paranteze, atunci monomul va lua forma standard: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . Din această intrare, putem determina cu ușurință coeficientul unui monom: este egal cu - 1. Este foarte posibil să înlocuiți unitatea minus cu un semn minus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Un rezumat al tuturor acțiunilor arată astfel:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Răspuns:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, coeficientul monomului dat este - 1.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Monomiile sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor lor. Numerele, variabilele și gradele lor sunt, de asemenea, considerate monomii. De exemplu: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Monomul 5aa2b2b poate fi redus la forma 20a ^ 2b ^ 2. Această formă se numește forma standard a monomului, adică forma standard a monomului este produsul dintre coeficient (în primul rând) și gradele a variabilelor. Coeficienții 1 și -1 nu se scriu, dar păstrează minus de la -1. Monomiul și forma sa standard

Expresiile 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor acestora. Astfel de expresii se numesc monomii. Numerele, variabilele și gradele lor sunt, de asemenea, considerate monomii.

De exemplu, expresiile - 8, 35, y și y2 - sunt monomii.

Forma standard a unui monom este un monom sub forma produsului unui factor numeric în primul rând și grade ale diferitelor variabile. Orice monom poate fi redus la o formă standard prin înmulțirea tuturor variabilelor și numerelor incluse în acesta. Iată un exemplu de reducere a unui monom la o formă standard:

4x2y4 (-5) yx3 = 4 (-5) x2x3y4y = -20x5y5

Factorul numeric al unui monom scris în forma standard se numește coeficientul unui monom. De exemplu, coeficientul unui monom -7x2y2 este -7. Coeficienții monomiilor x3 și -xy sunt considerați egali cu 1 și -1, deoarece x3 = 1x3 și -xy = -1xy

Gradul unui monom este suma exponenților tuturor variabilelor incluse în acesta. Dacă un monom nu conține variabile, adică este un număr, atunci gradul său este considerat egal cu zero.

De exemplu, gradul monomului 8x3yz2 este 6, monomul 6x este 1, monomul -10 este 0.

Înmulțirea monomiilor. Exponentiarea monomiilor

Când se înmulțesc monomii și se ridică monomii la o putere, se folosesc regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază și regula pentru ridicarea unei puteri la o putere. În acest caz, se obține un monom, care este de obicei reprezentat într-o formă standard.

De exemplu

4x3y2 (-3) x2y = 4 (-3) x3x2y2y = -12x5y3

((-5) x3y2) 3 = (-5) 3x3 * 3y2 * 3 = -125x9y6

Am observat că orice monom poate fi aduce la forma standard... În acest articol, ne vom da seama ce se numește reducerea unui monom la o formă standard, ce acțiuni permit realizarea acestui proces și vom lua în considerare soluțiile de exemple cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă să aduci un monom într-o formă standard?

Este convenabil să lucrați cu monomii atunci când sunt scrise într-o formă standard. Cu toate acestea, monomiile sunt date destul de des într-o altă formă decât cea standard. În aceste cazuri, se poate trece oricând de la monomul original la un monom al formei standard, efectuând transformări identice. Procesul de efectuare a unor astfel de transformări se numește reducerea unui monom la o formă standard.

Să generalizăm raționamentul de mai sus. Aduceți monomiul la forma standard- înseamnă să faci astfel de transformări identice cu ea, astfel încât să ia o formă standard.

Cum să aduceți un monom într-o formă standard?

Este timpul să vă dați seama cum să aduceți monomii în forma standard.

După cum se știe din definiție, monomiile non-standard sunt produse ale numerelor, variabilelor și gradelor acestora și, eventual, repetate. Un monom al formei standard poate conține un singur număr și variabile care nu se repetă sau gradele acestora în înregistrarea sa. Acum rămâne de înțeles cum să aducem lucrări de primul tip la forma celui de-al doilea?

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea monomului la forma standard constând din două etape:

• În primul rând, se realizează o grupare a factorilor numerici, precum și aceleași variabile și gradele acestora;
• În al doilea rând, produsul numerelor este calculat și aplicat.

Ca urmare a aplicării regulii vocale, orice monom va fi redus la o formă standard.

Exemple, soluții

Rămâne să înveți cum să aplici regula din paragraful anterior atunci când rezolvi exemple.

Exemplu.

Reduceți monomul 3 · x · 2 · x 2 la forma sa standard.

Soluţie.

Să grupăm factorii numerici și factorii cu variabila x. După grupare, monomul original ia forma (3 · 2) · (x · x 2). Produsul numerelor din primele paranteze este 6, iar regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază permite ca expresia din a doua paranteză să fie reprezentată ca x 1 + 2 = x 3. Ca rezultat, obținem un polinom de forma standard 6 · x 3.

Iată un scurt rezumat al soluției: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Răspuns:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Deci, pentru a aduce un monom într-o formă standard, trebuie să fiți capabil să grupați factorii, să înmulțiți numerele și să lucrați cu puteri.

Pentru a consolida materialul, vom rezolva încă un exemplu.

Exemplu.

Prezentați monomul în formă standard și indicați coeficientul acestuia.

Soluţie.

Monomiul original are un factor numeric unic −1 în notația sa, îl mutăm la început. După aceea, grupăm separat factorii cu variabila a, separat - cu variabila b și nu există nimic cu care să grupăm variabila m, o lăsăm așa cum este, avem ... După efectuarea acțiunilor cu grade între paranteze, monomul va lua forma standard de care avem nevoie, din care putem vedea coeficientul monomului egal cu −1. Minus unu poate fi înlocuit cu un semn minus:.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție: integrat (cu TIC), lecție de introducere a noilor cunoștințe.

Scopuri și obiective (algebră): introduceți conceptul de monom; gradul unui monom; forma standard a unui monom. Învățați elevii să aducă monomii într-o formă standard. Continuați să construiți abilități pentru a efectua acțiuni cu grade. Îmbunătățiți abilitățile de calcul ale elevilor. Dezvoltați atenția, acuratețea.

Scopuri și obiective (TIC): să învețe cum să folosești editorul de formule încorporat în MS Office Word în practică; dezvoltarea abilităților de muncă independentă.

Materiale folosite in lectie: prezentare, o clasă de informatică cu pachetul MS Office (Word) instalat, rezumat de bază al lucrărilor practice, fișe cu sarcină pentru muncă independentă, instalare multimedia.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salutări din partea studenților.

II. Exerciții orale.

(diapozitiv pe ecran2).

• Reprezintă ca grad: y 3 * y 2; (y 3) 5; y 7 * y 3; (y 7) 4; a 10/a 8.
• Ce număr (pozitiv sau negativ) este valoarea expresiei: (-8) 10; (-5) 27; 7 5; -2 8; - (- 1) 7.
• Calculați: (3 * 2) 2 -3 * 2 2; (-3) 8/3 7.

III. Învățarea de materiale noi.

Comunicarea temei lecției și a scopurilor și obiectivelor lecției (diapozitivul 3.4).

6 * x 2 * y; 2 * x 3; mn 7; ab; -8 (diapozitivul 5)

• Citiți expresiile de pe tablă.
• Care sunt aceste expresii?

Expresiile de acest fel se numesc monomii.

DEFINIȚIE: Un monom este un produs de numere și variabile, grade de variabile, sau un număr, variabilă, grad al unei variabile.

Privește cu atenție ecranul (diapozitivul 7). Care dintre următoarele expresii sunt monomii? De ce?

IV. Asigurarea de material nou.

Nr. 463 - independent. Cecul este frontal. (Diapozitivul 8).

V. Învățarea de material nou.

Lasă-mă să am monomii

2x 2 y * 9y 2 și 8x * 9xy (diapozitivul 9)

Să folosim legile de deplasare și combinație ale înmulțirii. Primim:

2 * 9 * x 2 * y * y 2 = 18x 2 y 3 și 8 * 9 * x * x * y = 72x 2 y.

• Ce avem?
• Ce este?

Am prezentat monomiul ca produs al unui factor numeric în primul rând și al puterilor diferitelor variabile. Acest tip de monom se numește tipul standard.

• Ce monom se numește monom al formei standard?

DEFINIȚIE: un monom se numește monom de forma standard, dacă are în primul rând 1 factor numeric (coeficient), produsul acelorași variabile din el se scrie sub forma unei puteri.

Citiți acele monomii scrise în formă standard. Care sunt coeficienții lor.

Vi. Asigurarea de material nou.

Nr. 464 - oral, Nr. 465 - sub îndrumarea unui profesor.

Vii. Sarcina efectuată pe calculator (lucru practică).

Program MS Word. Editor de formule încorporat. Utilizarea editorului de formule încorporat pentru scrierea monomiilor. Fișierul „Vizualizarea standard a monomiului” de pe desktop. Completați tabelul pregătit folosind editorul de formule încorporat.

Umple tabelul. (Diapozitivul 15)

Verificați - pe ecran (diapozitivul 16) și fișierele elevilor salvate.

VIII. Învățarea de materiale noi.

• Ce este pe tablă?
• Care este exponentul variabilei X?
• Care este exponentul variabilei Y?
• Aflați suma exponenților. Acest număr este numit grad monom.

La pagina 84 a manualului, găsiți definiția gradului unui monom. Citește.

IX. Asigurarea de material nou.

nr. 473 - oral;

Nr 467 (a; d) - comentat la tablă.

X. Munca independentă.

Pe ecran după opțiuni (diapozitivul 19). (Fiecare elev are o bucată de hârtie pe birou cu o sarcină pentru a face treaba - Anexa 2)

Verificare - autoverificare cu o înregistrare (diapozitivul 20 pe ecran).

XI. Rezumând.

• Ce este un monom?
• Ce fel de monom se numește monom standard?
• Ce se numește gradul unui monom?

XII. Teme pentru acasă.

P.19, nr. 466, 468, 476, 470.

Mulțumesc pentru lecție! (diapozitivul 23)

Lista literaturii folosite:

1. Algebră. Clasa a VII-a: manual pentru instituțiile de învățământ / [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S. B. Suvorov]; ed. S.A. Teliakovsky. - M .: Educație, 2007.

În această lecție vom oferi o definiție strictă a unui monom, luați în considerare diverse exemple din manual. Să ne amintim regulile de înmulțire a gradelor cu aceleași baze. Să dăm o definiție a formei standard a unui monom, a coeficientului unui monom și a părții sale de litere. Să luăm în considerare două acțiuni tipice de bază asupra monomiilor, și anume, reducerea la forma standard și calcularea unei valori numerice specifice a unui monom pentru valorile date ale variabilelor sale alfabetice. Să formulăm o regulă pentru reducerea unui monom la o formă standard. Vom învăța cum să rezolvăm probleme tipice cu orice monomii.

Temă:Monomiale. Operații aritmetice pe monomii

Lecţie:Conceptul de monom. Tip standard de monom

Luați în considerare câteva exemple:

3. ;

Să găsim caracteristici comune pentru expresiile date. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza asta, dăm definiție monomială : Un monom este o expresie algebrică care constă din produsul dintre grade și numere.

Acum vom da exemple de expresii care nu sunt monomii:

Să găsim diferența dintre aceste expresii față de cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau împărțire, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, aceste operații nu sunt.

Iată mai multe exemple:

Expresia 8 este un monom, deoarece este produsul unei puteri cu un număr, în timp ce Exemplul 9 nu este un monom.

Acum să aflăm acţiuni asupra monomiilor .

1. Simplificare. Luați în considerare exemplul #3. ; și exemplul # 2 /

În al doilea exemplu, vedem un singur coeficient -, fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila „ A„Este prezentat într-o singură copie, ca” „, în mod similar variabilele” „și” „apar o singură dată.

În exemplul # 3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și, vedem variabila "" de două ori - ca "" și ca "", în mod similar variabila "" apare de două ori. Adică această expresie ar trebui simplificată, așa că ajungem la prima acţiune efectuată asupra monomiilor este aducerea monomiului la forma standard ... Pentru a face acest lucru, să aducem expresia din Exemplul 3 într-o formă standard, apoi să definim această operație și să învățăm cum să aducem orice monom într-o formă standard.

Deci, luați în considerare un exemplu:

Primul pas în operația de conversie la forma standard este întotdeauna înmulțirea tuturor factorilor numerici:

;

Rezultatul acestei acțiuni va fi apelat coeficientul monomial .

Apoi, trebuie să înmulțiți gradele. Înmulțim puterile variabilei " NS„După regula înmulțirii gradelor cu aceleași baze, care spune că la înmulțire, exponenții se adună:

acum înmulțim puterile" la»:

;

Deci, iată o expresie simplificată:

;

Orice monom poate fi redus la o formă standard. Să formulăm regula de standardizare :

Înmulțiți toți factorii numerici;

Puneți pe primul loc coeficientul rezultat;

Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea cu literă;

Adică, orice monom este caracterizat de un coeficient și o parte de litere. Privind în viitor, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă sunt numite similare.

Acum trebuie să te antrenezi tehnica reducerii monomiilor la forma standard ... Luați în considerare exemple din tutorial:

Sarcina: aduceți monomul la forma standard, denumiți coeficientul și partea de litere.

Pentru a finaliza sarcina, vom folosi regula pentru reducerea monomiului la forma standard și proprietățile gradelor.

1. ;

3. ;

Comentarii la primul exemplu: Mai întâi, vom determina dacă această expresie este într-adevăr un monom, pentru aceasta vom verifica dacă conține operații de înmulțire a numerelor și puterilor și dacă conține operații de adunare, scădere sau împărțire. Putem spune că această expresie este un monom, deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. În plus, conform regulii de reducere a monomiului la forma standard, înmulțim factorii numerici:

- am găsit coeficientul unui monom dat;

; ; ; adică partea literală a expresiei este primită :;

noteaza raspunsul:;

Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula, efectuăm:

1) înmulțiți factorii numerici:

2) înmulțiți puterile:

Variabilele sunt prezentate într-o singură copie, adică nu pot fi înmulțite cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul se înmulțește:

Să scriem răspunsul:

;

În acest exemplu, coeficientul monomului este egal cu unu, iar partea alfabetică este.

Comentarii la al treilea exemplu: a Din punct de vedere fiscal, față de exemplele anterioare, efectuăm acțiunile:

1) înmulțiți factorii numerici:

;

2) înmulțiți puterile:

;

scrie raspunsul:;

În acest caz, coeficientul monomului este „”, iar partea de litere .

Acum luați în considerare a doua operațiune standard pe monomii ... Deoarece un monom este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua anumite valori numerice, avem o expresie numerică aritmetică care trebuie calculată. Adică următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .

Să ne uităm la un exemplu. Un monom este dat:

acest monom a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unu, iar partea de literă

Mai devreme spuneam că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care sunt incluse în ea nu pot lua nicio valoare. În cazul unui monom, variabilele incluse în acesta pot fi oricare, aceasta este o caracteristică a monomului.

Deci, în exemplul dat, este necesar să se calculeze valoarea monomului la,,,.