Lectura: Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi arbitrar

Sinus, cosinus al unui unghi arbitrar

Pentru a înțelege ce sunt funcțiile trigonometrice, să ne întoarcem la un cerc cu o rază unitară. Acest cerc este centrat la origine pe planul de coordonate. Pentru a determina funcțiile date, vom folosi vectorul rază SAU, care începe din centrul cercului și punctul R este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa OH. Deoarece cercul are o rază egală cu unu, atunci SAU = R = 1.

Dacă din punct de vedere R lasă o perpendiculară pe axă OH, atunci obținem un triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu unu.

Dacă vectorul rază se mișcă în sensul acelor de ceasornic, atunci această direcție este numită negativ, dar dacă se mișcă în sens invers acelor de ceasornic - pozitiv.

Sinusul unui unghi SAU, este ordonata punctului R vectori pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea sinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele La la suprafata.

Cum a fost obținută această valoare? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, apoi sin(α) = y 0 .

În cercul unitar, valoarea ordonatei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă că

Sinusul este pozitiv în primul și al doilea sferturi ale cercului unitar și negativ în al treilea și al patrulea.

Cosinusul unui unghi cerc dat format din vectorul rază SAU, este abscisa punctului R vectori pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea cosinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele X la suprafata.

Cosinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, apoi cos(α) = x 0 .

În cercul unitar, valoarea abscisei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă că

Cosinusul este pozitiv în primul și al patrulea cadran al cercului unitar și negativ în al doilea și al treilea.

tangentăunghi arbitrar se calculează raportul dintre sinus și cosinus.

Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic, atunci acesta este raportul dintre catetul opus și cel alăturat. Dacă vorbim despre un cerc unitar, atunci acesta este raportul dintre ordonate și abscisă.

Judecând după aceste relații, se poate înțelege că tangenta nu poate exista dacă valoarea abscisei este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Tangenta poate lua toate celelalte valori.

Tangenta este pozitivă în primul și al treilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al patrulea.

Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei - o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Posesia acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. De aceea, calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați mai mult cu funcțiile și formulele trigonometrice.

Concepte în trigonometrie

Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să decideți ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate cu acestea. Un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90 de grade este un triunghi dreptunghic. Din punct de vedere istoric, această figură a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă, astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns la calcularea rapoartelor corespunzătoare ale parametrilor ei.

Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghic sunt ipotenuza și catetele. Ipotenuza este latura unui triunghi care este opus unghiului drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 de grade.

Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată la școală, dar în științele aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. O caracteristică a unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri mai mare de 180 de grade.

Unghiurile unui triunghi

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori au întotdeauna o valoare mai mică decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.

Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent al unghiului dorit sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre piciorul adiacent al unghiului dorit și cactotul opus. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unității la valoarea tangentei.

cerc unitar

Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene, cu centrul cercului coincizând cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de direcția pozitivă a axei X (axa absciselor). Fiecare punct al cercului are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele abscisei și ordonatei. Selectând orice punct de pe cerc în planul XX și scăzând perpendiculara de pe acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format dintr-o rază față de punctul selectat (să-l notăm cu litera C), o perpendiculară trasată la axa X (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar un segment axa absciselor dintre origine (punctul este notat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un triunghi dreptunghic înscris în un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC sunt catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG, îl definim ca α (alfa). Deci, cos α = AG/AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α=AG. În mod similar, sin α=CG.

În plus, cunoscând aceste date, puteți determina coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α=AG, și sin α=CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α; sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tg α \u003d y / x și ctg α \u003d x / y. Luând în considerare unghiurile dintr-un sistem de coordonate negativ, se poate calcula că valorile sinus și cosinus ale unor unghiuri pot fi negative.

Calcule și formule de bază

Valorile funcțiilor trigonometrice

Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, putem deriva valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.

Cele mai simple identități trigonometrice

Ecuațiile în care există o valoare necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin x = α, k este orice număr întreg:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule turnate

Această categorie de formule constante denotă metode prin care puteți trece de la funcțiile trigonometrice ale formei la funcțiile argumentului, adică să convertiți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului de intervalul de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.

Formulele pentru funcțiile de reducere pentru sinusul unui unghi arată astfel:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pentru cosinusul unui unghi:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π/2 ± a) sau (3π/2 ± a), valoarea funcției se modifică:

• de la sin la cos;
• de la cos la sin;
• de la tg la ctg;
• de la ctg la tg.

Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).

În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. Același lucru este valabil și pentru funcțiile negative.

Formule de adunare

Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație în funcție de funcțiile lor trigonometrice. Unghiurile sunt de obicei notate ca α și β.

Formulele arată astfel:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β.

Formule cu unghi dublu și triplu

Formulele trigonometrice ale unui unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Trecerea de la sumă la produs

Considerând că 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. În mod similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Trecerea de la produs la sumă

Aceste formule decurg din identitățile pentru trecerea sumei la produs:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule de reducere

În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unui unghi multiplu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituție universală

Formulele universale de substituție trigonometrică exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), unde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), unde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn.

Cazuri speciale

Mai jos sunt prezentate cazuri particulare ale celor mai simple ecuații trigonometrice (k este orice număr întreg).

Privat pentru sine:

valoarea sin x	valoarea x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk sau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk sau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk sau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk sau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk sau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk sau -2π/3 + 2πk

Coeficienti cosinus:

valoarea cos x	valoarea x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat pentru tangentă:

valoarea tg x	valoarea x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Cotangenți:

valoarea ctg x	valoarea x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoreme

Teorema sinusului

Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema sinusului simplu: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, α, β, γ sunt unghiurile opuse.

Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.

Teorema cosinusului

Identitatea se afișează astfel: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.

Teorema tangentei

Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt etichetate a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorema cotangentei

Asociază raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor acestuia. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi și, respectiv, A, B, C sunt unghiurile lor opuse, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identități tine:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplicații

Trigonometria nu este doar o știință teoretică asociată cu formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt folosite în practică de diverse ramuri ale activității umane - astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare, grafică pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora puteți exprima matematic relația dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi și puteți găsi mărimile dorite prin identități, teoreme și reguli.

Mai întâi, considerăm un cerc cu raza 1 și centrat la (0;0). Pentru orice αЄR se poate desena o rază 0A, astfel încât măsura în radian a unghiului dintre 0A și axa 0x să fie α. Direcția în sens invers acelor de ceasornic este considerată pozitivă. Fie că capătul razei A are coordonatele (a,b).

Definiţia sine

Definiție: Numărul b, egal cu ordonata razei unității construite în modul descris, se notează cu sinα și se numește sinusul unghiului α.

Exemplu: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definiţia cosine

Definiție: Numărul a, egal cu abscisa capătului razei unității, construit în modul descris, se notează cu cosα și se numește cosinusul unghiului α.

Exemplu: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Aceste exemple folosesc definiția sinusului și cosinusului unui unghi în termeni de coordonatele capătului razei unității și ale cercului unitar. Pentru o reprezentare mai vizuală, este necesar să desenați un cerc unitar și să trasați punctele corespunzătoare pe acesta, apoi să calculați abscisele lor pentru a calcula cosinusul și ordonatele pentru a calcula sinusul.

Definiţia tangent

Definiție: Funcția tgx=sinx/cosx pentru x≠π/2+πk, kЄZ, se numește cotangenta unghiului x. Domeniul funcției tgx este toate numerele reale, cu excepția x=π/2+πn, nЄZ.

Exemplu: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Acest exemplu este similar cu cel precedent. Pentru a calcula tangenta unui unghi, trebuie să împărțiți ordonata unui punct la abscisa acestuia.

Definiţia cotangent

Definiție: Funcția ctgx=cosx/sinx la x≠πk, kЄZ se numește cotangenta unghiului x. Domeniul funcției ctgx = - toate numerele reale cu excepția punctelor x=πk, kЄZ.

Luați în considerare un exemplu pe un triunghi dreptunghic obișnuit

Pentru a fi mai clar, ce este cosinus, sinus, tangentă și cotangentă. Luați în considerare un exemplu pe un triunghi dreptunghic obișnuit cu unghiul y și laturile a,b,c . Hipotenuza c, catetele a și, respectiv, b. Unghiul dintre ipotenuza c și catetul b y.

Definiție: Sinusul unghiului y este raportul catetului opus față de ipotenuză: siny \u003d a / c

Definiție: Cosinusul unghiului y este raportul catetei adiacente la ipotenuză: сosy= v/s

Definiție: Tangenta unghiului y este raportul catetului opus față de cel alăturat: tgy = a / b

Definiție: Cotangenta unghiului y este raportul dintre catetul adiacent și cel opus: ctgy = in / a

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt numite și funcții trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă.

Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ne sunt cunoscute! Si invers. Având în vedere sinusul, sau, respectiv, orice altă funcție trigonometrică, cunoaștem unghiul. Au fost create chiar și tabele speciale, în care sunt scrise funcții trigonometrice pentru fiecare unghi.

FOLOSIȚI pentru 4? Nu ești plin de fericire?

Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Poți, poți da mai departe 4! Și, în același timp, nu sparge... Condiția principală este să exersezi în mod regulat. Iată pregătirea de bază pentru examenul de matematică. Cu toate secretele și misterele examenului unificat de stat, despre care nu veți citi în manuale... Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diverse surse - și totul va funcționa! Se presupune că secțiunea de bază „Destul pentru tine și trei!” nu vă provoacă probleme. Dar dacă dintr-o dată... Urmărește linkurile, nu fi leneș!

Și vom începe cu un subiect grozav și teribil.

Trigonometrie

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest subiect dă o mulțime de probleme studenților. Este considerat unul dintre cele mai severe. Ce este sinus și cosinus? Ce este tangenta si cotangenta? Ce este un cerc numeric? Merită să pui aceste întrebări inofensive, deoarece o persoană devine palidă și încearcă să devieze conversația într-o parte... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și acest subiect nu este mai dificil decât alții. Trebuie doar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Este foarte important. Dacă v-ați dat seama, vă va plăcea trigonometria. Asa de,

Ce este sinus și cosinus? Ce este tangenta si cotangenta?

Să începem din cele mai vechi timpuri. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie în 15 minute și, imperceptibil pentru noi înșine, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a 8-a.

Desenați un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, cși unghi X. Iată una.

Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. a și c- patine. Sunt doi dintre ei. Cealaltă parte se numește ipotenuză. Cu- ipotenuza.

Triunghi și triunghi, gândește-te! Ce să faci cu el? Dar oamenii din vechime știau ce să facă! Să le repetăm ​​acțiunile. Să măsurăm partea laterală în. În figură, celulele sunt desenate special, așa cum se întâmplă în sarcinile examenului. Latură în este egal cu patru celule. O.K. Să măsurăm partea laterală A. Trei celule.

Acum să împărțim lungimea laturii A pe lungimea laturii în. Sau, după cum se spune, să luăm atitudinea A la în. a/c= 3/4.

Alternativ, puteți partaja în pe A. Primim 4/3. Poate sa înîmparte la Cu. ipotenuză Cu nu numărăm după celule, dar este egal cu 5. Obținem a/c= 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimile laturilor între ele și puteți obține câteva numere.

Şi ce dacă? Care este sensul acestei activități interesante? Până acum niciunul. O treabă proastă, să fiu sincer.)

Și acum să facem asta. Să mărim triunghiul. Să extindem părțile laterale la și de la, dar astfel încât triunghiul să rămână dreptunghic. Colţ X, desigur, nu se schimbă. Pentru a o vedea, plasați mouse-ul peste imagine sau atingeți-o (dacă aveți o tabletă). Petreceri a, b și c A se transforma în m, n, k, și, desigur, lungimile laturilor se vor schimba.

Dar relația lor nu este!

Atitudine a/c A fost: a/c= 3/4, a devenit m/n= 6/8 = 3/4. Relațiile celorlalte părți relevante, de asemenea nu se va schimba . Puteți modifica în mod arbitrar lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic, creșteți, micșorați, fără a modifica unghiul x – relația părților respective nu se va schimba . Puteți verifica, sau puteți accepta cuvântul oamenilor din vechime.

Acum acest lucru este foarte important! Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic nu depind în niciun fel de lungimile laturilor (pentru același unghi). Acest lucru este atât de important încât relațiile părților și-au câștigat numele lor speciale. Numele lor, ca să spunem așa.) Faceți cunoștință.

Care este sinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

sinx = a/c

Care este cosinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Cuosx= a/c

Care este tangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent:

tgx=a/c

Care este cotangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și opusul:

ctgx = in/a

Totul este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt câteva numere. Fără dimensiuni. Doar numere. Pentru fiecare colț - al lor.

De ce mă repet atât de plictisitor? Atunci ce este trebuie să-ți amintești. Amintește-ți în mod ironic. Memorarea poate fi ușoară. Expresia „Să începem de departe...” este familiară? Așa că începe de departe.

Sinusul unghiul este raportul îndepărtat de la unghiul catetei la ipotenuză. Cosinus este raportul dintre cele mai apropiate de ipotenuză.

Tangentă unghiul este raportul îndepărtat de la unghiul cateterului până la cel mai apropiat. Cotangentă- viceversa.

Deja mai ușor, nu?

Ei bine, dacă vă amintiți că doar picioarele stau în tangentă și cotangentă, iar ipotenuza apare în sinus și cosinus, atunci totul va deveni destul de simplu.

Toată această familie glorioasă - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se mai numește funcții trigonometrice.

Și acum o întrebare de luat în considerare.

De ce spunem sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ? Vorbim despre relația părților, de genul... Ce legătură are colţ?

Să ne uităm la a doua poză. Exact la fel ca primul.

Treceți mouse-ul peste imagine. Am schimbat unghiul X. l-a mărit din x la x. Toate relațiile s-au schimbat! Atitudine a/c a fost 3/4, iar raportul corespunzător staniu a devenit 6/4.

Și toate celelalte relații au devenit diferite!

Prin urmare, raporturile laturilor nu depind în niciun fel de lungimile lor (la un unghi x), ci depind în mod puternic chiar de acest unghi! Și numai de la el. Prin urmare, se referă termenii sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ. Colțul de aici este cel principal.

Trebuie înțeles în mod ironic că unghiul este indisolubil legat de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. Este important. Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestuia noi stim ! Si invers. Având în vedere un sinus sau orice altă funcție trigonometrică, atunci cunoaștem unghiul.

Există tabele speciale în care pentru fiecare unghi sunt scrise funcțiile sale trigonometrice. Mesele Bradys sunt numite. Sunt realizate de foarte mult timp. Pe vremea când nu existau calculatoare sau calculatoare...

Desigur, funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor nu pot fi memorate. Trebuie să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, mai multe despre asta mai târziu. Dar vraja Cunosc un unghi, deci îi cunosc funcțiile trigonometrice" - merge mereu!

Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de el pentru examen? Necesar. Iată o problemă tipică de la examen. Pentru rezolvarea căreia este suficientă clasa a VIII-a. Poza oferita:

Tot. Nu mai sunt date. Trebuie să aflăm lungimea piciorului BC.

Celulele ajută puțin, triunghiul este oarecum poziționat incorect .... Intenționat, presupun... Din informații există lungimea ipotenuzei. 8 celule. Din anumite motive, este dat un unghi.

Aici trebuie să ne amintim imediat despre trigonometrie. Există un unghi, așa că îi cunoaștem toate funcțiile trigonometrice. Care dintre cele patru funcții ar trebui pusă în aplicare? Să vedem ce știm, nu? Știm ipotenuza, unghiul, dar trebuie să găsim adiacent la acest colt catet! În mod clar, cosinusul trebuie pus în acțiune! Aici lansăm. Scriem doar, prin definiția cosinusului (raport adiacent picior la ipotenuză):

cosC = BC/8

Unghiul C este de 60 de grade și cosinusul său este 1/2. Trebuie să știi asta, fără tabele! Acesta este:

1/2 = soare/8

Ecuație liniară elementară. Necunoscut - soare. Cine a uitat cum să rezolve ecuații, face o plimbare pe link, restul rezolvă:

soare = 4

Când oamenii antici și-au dat seama că fiecare unghi are propriul său set de funcții trigonometrice, au avut o întrebare rezonabilă. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta nu sunt cumva legate între ele? Deci, cunoscând o funcție a unghiului, puteți găsi restul? Fără a calcula unghiul în sine?

Așa erau neliniștiți...)

Legătura dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi.

Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt legate. Orice legătură între expresii este dată în matematică prin formule. În trigonometrie, există un număr mare de formule. Dar aici ne vom uita la cele mai elementare. Aceste formule se numesc: identități trigonometrice de bază. Aici sunt ei:

Aceste formule trebuie să cunoască fierul. Fără ele, nu există nimic de făcut în trigonometrie. Din aceste identități de bază urmează încă trei identități auxiliare:

Vă avertizez imediat că ultimele trei formule ies repede din memorie. Din anumite motive.) Puteți, desigur, să derivați aceste formule din primele trei. Dar, într-un moment dificil... Înțelegi.)

În sarcinile standard, cum ar fi cele de mai jos, există o modalitate de a ocoli aceste formule de uitat. Și reduce drastic erorile din uitare, dar și în calcule. Această practică este în Secțiunea 555, lecția „Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi”.

În ce sarcini și cum sunt utilizate identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o anumită funcție a unghiului, dacă este dată o alta. În examen, o astfel de sarcină este prezentă de la an la an.) De exemplu:

Aflați valoarea lui sinx dacă x este un unghi ascuțit și cosx=0,8.

Sarcina este aproape elementară. Căutăm o formulă în care există sinus și cosinus. Iată acea formulă:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Inlocuim aici o valoare cunoscuta, si anume, 0,8 in loc de cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ei bine, luăm în considerare, ca de obicei:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Aici, aproape totul. Am calculat pătratul sinusului, rămâne să extragem rădăcina pătrată și răspunsul este gata! Rădăcina lui 0,36 este 0,6.

Sarcina este aproape elementară. Dar cuvântul „aproape” nu este în zadar aici... Faptul este că răspunsul sinx = - 0,6 este de asemenea potrivit... (-0,6) 2 va fi și 0,36.

Se obțin două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de unul. Al doilea este greșit. cum sa fii!? Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive se spune... daca x este un unghi ascutit...Și în sarcini, fiecare cuvânt are un sens, da ... Această expresie este o informație suplimentară pentru soluție.

Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90°. Și în astfel de unghiuri toate funcții trigonometrice - atât sinus, cât și cosinus și tangentă cu cotangentă - pozitiv. Acestea. pur și simplu aruncăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.

De fapt, elevii de clasa a opta nu au nevoie de asemenea subtilități. Funcționează doar cu triunghiuri dreptunghiulare, unde colțurile pot fi doar acute. Și nu știu, fericiți, că există unghiuri negative și unghiuri de 1000 ° ... Și toate aceste unghiuri de coșmar au propriile lor funcții trigonometrice cu plus și minus ...

Dar pentru elevii de liceu fără să țină cont de semn - în niciun caz. Multe cunoștințe înmulțesc necazurile, da...) Și pentru rezolvarea corectă, sarcina trebuie să conțină informații suplimentare (dacă este cazul). De exemplu, ar putea fi dat ca:

Sau într-un alt mod. Veți vedea în exemplele de mai jos.) Pentru a rezolva astfel de exemple, trebuie să știți în ce sfert cade unghiul dat x și ce semn are funcția trigonometrică dorită în acest trimestru.

Aceste elemente de bază ale trigonometriei sunt discutate în lecții ce este un cerc trigonometric, numărarea unghiurilor pe acest cerc, măsura în radian a unui unghi. Uneori trebuie să cunoașteți și tabelul sinusurilor cosinusurilor tangentelor și cotangentelor.

Deci, să notăm cele mai importante:

Sfaturi practice:

1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Foarte util.

2. Asimilăm clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiuri. Știm un lucru, așa că știm altceva.

3. Asimilăm clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi sunt interconectate prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție, ceea ce înseamnă că le putem calcula (dacă avem informațiile suplimentare necesare) pe toate celelalte.

Și acum să decidem, ca de obicei. În primul rând, sarcini în volumul clasei a VIII-a. Dar elevii de liceu pot și...)

1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.

2. β - unghi într-un triunghi dreptunghic. Aflați valoarea lui tgβ dacă sinβ = 12/13.

3. Determinați sinusul unui unghi ascuțit x dacă tgx \u003d 4/3.

4. Găsiți valoarea unei expresii:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Găsiți valoarea unei expresii:

(1-cosx)(1+cosx), dacă sinx = 0,3

Răspunsuri (separate prin punct și virgulă, în dezordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

S-a întâmplat? Excelent! Elevii de clasa a opta își pot urma deja A.)

Nu a mers totul? Sarcinile 2 și 3 nu sunt cumva foarte...? Nici o problemă! Există o tehnică frumoasă pentru astfel de sarcini. Totul se decide, practic, fara formule deloc! Și, prin urmare, fără erori. Această tehnică este descrisă în lecția: „Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi” din Secțiunea 555. Toate celelalte sarcini sunt, de asemenea, demontate acolo.

Acestea au fost probleme precum examenul de stat unificat, dar într-o versiune redusă. UTILIZARE - lumina). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-o formă cu drepturi depline. Pentru elevii de liceu împovărați de cunoștințe.)

6. Aflați valoarea lui tgβ dacă sinβ = 12/13 și

7. Determinați sinx dacă tgx = 4/3, iar x aparține intervalului (- 540°; - 450°).

8. Aflați valoarea expresiei sinβ cosβ dacă ctgβ = 1.

Răspunsuri (în dezordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Aici, în problema 6, unghiul este dat cumva nu foarte clar... Dar în problema 8, nu este setat deloc! este intenționat). Informații suplimentare sunt preluate nu numai de la sarcină, ci și de la cap.) Dar dacă decideți, o sarcină corectă este garantată!

Dacă nu te-ai hotărât? Hm... Ei bine, secțiunea 555 va ajuta aici. Acolo, soluțiile pentru toate aceste sarcini sunt descrise în detaliu, este greu de înțeles.

În această lecție, este dat un concept foarte limitat de funcții trigonometrice. În clasa a VIII-a. Seniorii au intrebari...

De exemplu, dacă unghiul X(vezi a doua poză de pe această pagină) - fă-o prost!? Triunghiul se va destrama! Și cum să fii? Nu va exista picior, nici ipotenuză... Sinusul a dispărut...

Dacă oamenii din antichitate nu ar fi găsit o cale de ieșire din această situație, nu am avea acum telefoane mobile, televizor sau electricitate. Da Da! Baza teoretică a tuturor acestor lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără baghetă. Dar oamenii antici nu au dezamăgit. Cum au ieșit - în lecția următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Acolo unde s-au luat în considerare sarcinile pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, îți vei aminti întotdeauna rapid ce catete aparține ipotenuzei (adiacent sau opus). Am decis să nu o amân la infinit, materialul necesar este mai jos, vă rog să îl citiți 😉

Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uita si confuz. Prețul unei greșeli, după cum știți la examen, este un punctaj pierdut.

Informațiile pe care le voi prezenta direct la matematică nu au nicio legătură. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de conectare verbal-logică. Așa e, eu însumi mi-am amintit odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă tot le uitați, atunci cu ajutorul tehnicilor prezentate este întotdeauna ușor de reținut.

Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:

Cosinus Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Deci, ce asocieri evocă cuvântul cosinus în tine?

Probabil fiecare le are pe ale luiAmintiți-vă linkul:

Astfel, vei avea imediat o expresie în memoria ta -

«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».

Problema cu definiția cosinusului este rezolvată.

Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare, dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci rămâne doar partea opusă pentru sinus.

Dar tangenta si cotangenta? Aceeași confuzie. Elevii știu că acesta este raportul dintre picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opus cu adiacent, fie invers.

Definitii:

Tangentă un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:

Cotangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:

Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt - una matematică.

METODĂ MATEMATICĂ

Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

* Ținând minte formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de cel adiacent.

De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unui unghi și sinusul său:

Asa de! Amintindu-ți aceste formule, poți oricând să stabilești că:

- tangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus fata de cel adiacent

- cotangenta unui unghi ascutit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la cel opus.

METODĂ VERBAL-LOGICĂ

Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:

Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este

„... raportul dintre piciorul opus și cel adiacent”

Dacă vine vorba de cotangente, atunci amintindu-ți definiția tangentei, poți exprima cu ușurință definiția cotangentei -

„... raportul dintre piciorul adiacent și opusul”

Există o tehnică interesantă de memorare a tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.

METODA UNIVERSALA

Puteți pur și simplu să măcinați.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește informațiile mult timp, și nu numai matematice.

Sper că materialul v-a fost de folos.

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.