Conceptul de funcție de producție. Funcția de producție: concept, proprietăți

Agenția Federală pentru Educație a Federației Ruse

Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

„Universitatea de Stat din Uralul de Sud”

Facultatea de Mecanica si Matematica

Departamentul de Matematică Aplicată și Informatică

Funcția de producție a companiei: esență, tipuri, aplicație.

NOTĂ EXPLICATĂ PENTRU LUCRĂRI DE CURS (PROIECT)

la disciplina (specializarea) „Microeconomie”

SUSU–080116 . 2010.705.PZ KR

Şef, profesor asociat

V.P. Borodkin

Elev din grupa MM-140

N.N. Basalaeva

2010

Lucrare (proiect) protejată

cu evaluare (în cuvinte, numere)

___________________________

2010

Chelyabinsk 2010

INTRODUCERE……………………………………………………………………………………………..3

CONCEPTUL DE PRODUCȚIE ȘI FUNCȚII DE PRODUCȚIE…..7

2.1. Funcția de producție Cobb-Douglas……………………………..13

2.2. Funcția de producție CES……………………………………………………13

2.3. Funcția de producție cu proporții fixe………...14

2.4. Funcția de intrare-ieșire a producției (funcția Leontief)……14

2.5. Funcția de producție de analiză a metodelor activității de producție………………………………………………………………………………14

2.6. Funcția de producție liniară……………………………………………………15

2.7. Isoquant și tipurile sale………………………………………………………………….16

APLICAREA PRACTICĂ A FUNCȚIEI DE PRODUCȚIE.

3.1 Modelarea costurilor și profiturilor unei întreprinderi (firme)…………...21

3.2 Metode de contabilizare a progresului științific și tehnologic…………………………..28

CONCLUZIE………………………………………………………………………...34

Bibliografie…………………………………………………………35

INTRODUCERE

Activitatea economică poate fi desfășurată de diferite entități - persoane fizice, familie, stat etc., dar principalele funcții productive din economie se referă la întreprindere sau firmă. Pe de o parte, o firmă este un sistem material, tehnologic și social complex care asigură producția de bunuri economice. Pe de altă parte, aceasta este însăși activitatea de organizare a producției diverselor bunuri și servicii. Ca sistem care produce bunuri economice, firma este integrală și acționează ca o unitate de reproducere independentă, relativ izolată de alte unități. Compania își desfășoară în mod independent activitățile, gestionează produsele produse și profitul primit, rămânând după plata impozitelor și a altor plăți.

Deci ce este funcția de producție? Să ne uităm la dicționar și să obținem următoarele:

FUNCȚIA DE PRODUCȚIE este o ecuație economică și matematică care conectează valori variabile ale costurilor (resurselor) cu valorile producției (producției). Funcțiile de producție sunt utilizate pentru a analiza influența diferitelor combinații de factori asupra volumului producției la un anumit moment în timp (versiunea statică a funcției de producție) și pentru a analiza și prezice raportul dintre volumele de factori și volumul producției la diferite momente în timp (versiune dinamică a funcției de producție) la diferite niveluri ale economiei - de la o firmă (întreprindere) la economia națională în ansamblu (o funcție de producție agregată în care producția este un indicator al produsului social total sau al produsului național). venituri etc.). Într-o firmă individuală, corporație etc., funcția de producție descrie cantitatea maximă de producție pe care o pot produce pentru fiecare combinație de factori de producție utilizată. Poate fi reprezentat prin multe izocuante asociate cu diferite niveluri volumul producției.

Acest tip de funcție de producție, atunci când se stabilește o dependență explicită a volumului producției de disponibilitatea sau consumul de resurse, se numește funcție de ieșire.

În special, funcțiile de eliberare sunt utilizate pe scară largă în agricultură, unde sunt folosite pentru a studia influența asupra randamentului unor factori cum ar fi, de exemplu, diferite tipuri și compoziții de îngrășăminte, metode de cultivare a solului. Alături de funcții de producție similare, sunt utilizate funcții de cost de producție inverse acestora. Ele caracterizează dependența costurilor resurselor de volumele de producție (strict vorbind, sunt inverse doar funcțiilor de producție cu resurse interschimbabile). Cazuri speciale de funcții de producție pot fi considerate funcția de cost (relația dintre volumul de producție și costurile de producție), funcția de investiție (dependența investițiilor de capital necesare de capacitatea de producție a viitoarei întreprinderi) etc.

Matematic, funcțiile de producție pot fi reprezentate în diferite forme- de la ceva atât de simplu precum dependența liniară a rezultatului de producție de un factor studiat, la sisteme de ecuații foarte complexe, inclusiv relații recurente care relaționează stările obiectului studiat în diferite perioade de timp.

Cele mai utilizate sunt formele de putere multiplicativă de reprezentare a funcțiilor de producție. Particularitatea lor este următoarea: dacă unul dintre factori este egal cu zero, atunci rezultatul devine zero. Este ușor de observat că acest lucru reflectă în mod realist faptul că în majoritatea cazurilor toate resursele primare analizate sunt implicate în producție și fără niciuna dintre ele, producția este imposibilă. În cele mai multe forma generala(se numește canonică) această funcție este scrisă astfel:

Sau

Aici, coeficientul A dinaintea semnului de multiplicare ia în considerare dimensiunea, depinde de unitatea de măsură aleasă a intrărilor și ieșirii. Factorii de la primul până la al n-lea pot avea conținuturi diferite în funcție de ce factori influențează rezultatul general (ieșire). De exemplu, într-o funcție de producție, care este utilizată pentru a studia economia în ansamblu, se poate lua volumul produsului final ca indicator eficient, iar factorii sunt numărul de angajați x 1, suma principalelor și fonduri rotative x 2, suprafața de teren folosită x 3. Există doar doi factori în funcția Cobb-Douglas, cu ajutorul cărora s-a încercat să se evalueze relația factorilor precum munca și capitalul cu creșterea venitului național al SUA în anii 20-30. secolul XX:

N = A L α K β,

unde N este venitul național; L și K sunt volumele de muncă aplicată și, respectiv, de capital.

Coeficienții (parametrii) de putere ai unei funcții de producție de putere multiplicativă arată ponderea în creșterea procentuală a produsului final pe care o contribuie fiecare dintre factori (sau cu câte procente va crește produsul dacă costurile resursei corespunzătoare sunt majorate cu unu). la sută); sunt coeficienţi de elasticitate ai producţiei raportaţi la costurile resursei corespunzătoare. Dacă suma coeficienților este 1, aceasta înseamnă că funcția este omogenă: crește proporțional cu creșterea numărului de resurse. Dar sunt posibile și cazuri când suma parametrilor este mai mare sau mai mică decât unu; aceasta arată că o creștere a inputurilor duce la o creștere disproporționat mai mare sau disproporționat mai mică a producției (economii de scară).

În versiunea dinamică, sunt utilizate diferite forme de funcții de producție. De exemplu, (în cazul cu 2 factori): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), unde factorul A(t) crește de obicei în timp, reflectând creșterea generală a eficienta factorilor de productie in timp.

Luând un logaritm și diferențiind apoi această funcție în raport cu t, se poate obține relația dintre rata de creștere a produsului final (venitul național) și creșterea factorilor de producție (rata de creștere a variabilelor este de obicei descrisă aici ca procent). ).

„Dinamizarea” ulterioară a funcțiilor de producție poate implica utilizarea coeficienților de elasticitate variabili.

Relațiile descrise de funcția de producție sunt de natură statistică, adică apar doar în medie, în masa mare observații, întrucât în ​​realitate rezultatul producției este influențat nu numai de factorii analizați, ci și de mulți necontabilizați. În plus, indicatorii aplicați atât ai costurilor, cât și a rezultatelor sunt în mod inevitabil produse ale agregării complexe (de exemplu, un indicator generalizat al costurilor cu forța de muncă într-o funcție macroeconomică include costuri cu forța de muncă de diferite productivități, intensități, calificări etc.).

O problemă deosebită este luarea în considerare a factorului progres tehnic în funcțiile de producție macroeconomică. Cu ajutorul funcțiilor de producție se studiază și interschimbabilitatea echivalentă a factorilor de producție, care pot fi fie constante, fie variabile (adică, dependente de volumul resurselor). În consecință, funcțiile sunt împărțite în două tipuri: cu elasticitate constantă de substituție (CES - Constant Elasticity of Substitution) și cu variabilă (VES - Variable Elasticity of Substitution).

În practică, pentru determinarea parametrilor funcțiilor macroeconomice de producție se folosesc trei metode principale: pe baza procesării seriilor temporale, pe baza datelor privind elementele structurale ale agregatelor și pe distribuția venitului național. Ultima metodă se numește distribuțională.

La construirea funcțiilor de producție, este necesar să se scape de fenomenele de multicoliniaritate a parametrilor și de autocorelare - altfel erorile grosolane sunt inevitabile.

Iată câteva funcții importante de producție

Funcția de producție liniară:

P = a 1 x 1 + ... + a n x n,

unde a 1, ..., a n sunt parametrii estimați ai modelului: aici factorii de producție sunt înlocuiți în orice proporție.

Funcția CES:

P = A [(1 – α) K - b + αL - b ] - c / b ,

în acest caz, elasticitatea substituirii resurselor nu depinde nici de K, nici de L și, prin urmare, este constantă:

De aici provine numele funcției.

Funcția CES, ca și funcția Cobb-Douglas, se bazează pe ipoteza unei scăderi constante a ratei marginale de substituție a resurselor utilizate. Între timp, elasticitatea înlocuirii capitalului cu muncă și, invers, a muncii cu capitalul în funcția Cobb-Douglas, egală cu unitatea, poate lua aici sensuri diferite, nu este egală cu unitatea, deși este constantă. În cele din urmă, spre deosebire de funcția Cobb-Douglas, luarea logaritmului funcției CES nu o duce la formă liniară, ceea ce obligă utilizarea unor metode mai complexe de analiză de regresie neliniară pentru estimarea parametrilor.

1. CONCEPTUL DE PRODUCȚIE ȘI FUNCȚII DE PRODUCȚIE.

Producția se referă la orice activitate care implică utilizarea resurselor naturale, materiale, tehnice și intelectuale pentru a obține beneficii atât materiale, cât și intangibile.

Odată cu dezvoltarea societății umane, natura producției se schimbă. În primele etape ale dezvoltării umane, au dominat elementele naturale, naturale, care apar în mod natural ale forțelor productive. Și omul însuși la acea vreme era în mare măsură un produs al naturii. Producția în această perioadă a fost numită naturală.

Odată cu dezvoltarea mijloacelor de producție, încep să predomine elementele materiale și tehnice ale forțelor productive create istoric. Aceasta este epoca capitalului. În prezent, cunoștințele, tehnologia și resursele intelectuale ale persoanei în sine sunt de o importanță decisivă. Epoca noastră este epoca informatizării, epoca dominației elementelor științifice și tehnice ale forțelor productive. Posesia de cunoștințe și de noi tehnologii este crucială pentru producție. În multe țări dezvoltate se stabilește scopul informatizării universale a societății. Internetul rețelei de calculatoare la nivel mondial se dezvoltă într-un ritm uimitor.

În mod tradițional rolul teorie generală producția se realizează prin teoria producției materiale, înțeleasă ca procesul de transformare a resurselor de producție într-un produs. Principalele resurse de producție sunt forța de muncă ( L) și capital ( K). Metodele de producție sau tehnologiile de producție existente determină cât de mult producție este produsă cu cantități date de muncă și capital. Matematic, tehnologiile existente sunt exprimate prin funcția de producție. Dacă notăm volumul de ieșire cu Y, atunci funcția de producție poate fi scrisă

Y= f(K, L).

Această expresie înseamnă că producția este o funcție de cantitatea de capital și cantitatea de muncă. Funcția de producție descrie setul de existente acest moment tehnologii. Dacă se inventează o tehnologie mai bună, atunci cu aceleași inputuri de muncă și capital, producția crește. În consecință, schimbările în tehnologie modifică funcția de producție. Metodologic, teoria producției este în multe privințe simetrică cu teoria consumului. Totuși, dacă în teoria consumului categoriile principale sunt măsurate doar subiectiv sau nu sunt încă supuse deloc măsurării, atunci categoriile principale ale teoriei producției au o bază obiectivă și pot fi măsurate în anumite unități naturale sau de cost.

În ciuda faptului că conceptul de producție poate părea foarte larg, neclar exprimat și chiar vag, deoarece în viata reala producție înseamnă o întreprindere, un șantier, o fermă agricolă, o întreprindere de transport și o organizație foarte mare, cum ar fi o ramură a economiei naționale, cu toate acestea, modelarea economică și matematică identifică ceva comun care este inerent tuturor acestor obiecte; Acest lucru comun este procesul de transformare a resurselor primare (factori de producție) în rezultatele finale ale procesului. Prin urmare, conceptul inițial principal în descrierea unui obiect economic devine o metodă tehnologică, care este de obicei prezentată ca un vector al costurilor de producție. v, care include o listă a volumelor de resurse cheltuite (vector X) și informații despre rezultatele conversiei lor în produse finale sau alte caracteristici (profit, profitabilitate etc.) (vector y):

v= (X; y).

Dimensiunea vectorilor XȘi y, precum și metodele de măsurare a acestora (în unități naturale sau de cost) depind semnificativ de problema studiată, de nivelurile la care sunt puse anumite sarcini de planificare și management economic. Un set de vectori de metode tehnologice care pot servi drept descriere (cu o acuratețe acceptabilă din punctul de vedere al cercetătorului) proces de producție, de fapt fezabil pe un anumit obiect, se numește set tehnologic V a acestui obiect. Pentru a fi specific, vom presupune că dimensiunea vectorului de cost X egal cu N, și vectorul de eliberare y respectiv M. Astfel, metoda tehnologică v este un vector de dimensiune ( M+ N), și setul tehnologic VCR +   M + N. Printre toate metodele tehnologice implementate în instalație, un loc aparte îl ocupă metodele care se compară favorabil cu toate celelalte, deoarece necesită fie costuri mai mici pentru aceeași producție, fie corespund unei producții mai mari pentru aceleași costuri. Aceia dintre ele care ocupă, într-un anumit sens, o poziție limitativă în platou V, prezintă un interes deosebit deoarece reprezintă o descriere a procesului real de producție fezabil și marginal profitabil.

Să presupunem că vectorul ν (1) =(x (1) ;y (1) ) preferabil vectorului ν (2) =(x (2) ;y (2) ) cu desemnare ν (1) > ν (2) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

1) la i (1) ≥ y i (2) (i=1,…,M);

2) X j (1) ≤ X j (2) (j=1,...M);

si in acelasi timp exista si o macar unul din doi:

a) există un astfel de număr i 0 ce la i 0 (1) > y i 0 (2)

b) există un astfel de număr j 0 ce X j 0 (1) X j 0 (2)

O metodă tehnologică ۷ se numește eficientă dacă aparține ansamblului tehnologic Vși nu există alt vector ν Є V care ar fi de preferat ۷. Definiția de mai sus înseamnă că acele metode sunt considerate eficiente care nu pot fi îmbunătățite în nicio componentă a costurilor sau în orice poziție a produsului fără a înceta să fie acceptabile. Setul tuturor metodelor eficiente din punct de vedere tehnologic va fi notat cu V*. Este un subset al ansamblului tehnologic V sau coincide cu acesta. În esență, sarcina de planificare a activității economice a unei unități de producție poate fi interpretată ca sarcina de a alege o metodă tehnologică eficientă, cel mai bun mod corespunzător unora conditii externe. Când se rezolvă o astfel de problemă de alegere, ideea însăși a naturii setului tehnologic se dovedește a fi destul de esențială. V, precum și subsetul său efectiv V*.

Într-o serie de cazuri, se dovedește a fi posibil să se permită, în cadrul producției fixe, posibilitatea de interschimbabilitate a anumitor resurse (diverse tipuri de combustibil, mașini și muncitori etc.). În același timp, analiza matematică a unor astfel de proceduri se bazează pe premisa naturii continue a mulțimii V, și deci, asupra posibilității fundamentale de a reprezenta variante de înlocuire reciprocă folosind funcții continue și chiar diferențiabile definite pe V. Această abordare a primit cea mai mare dezvoltare în teoria funcțiilor de producție.

Folosind conceptul de set tehnologic eficient, funcția de producție poate fi definită ca o mapare

y= f(X),

Unde ν=(x;y) ЄV*.

Maparea indicată, în general, este multivalorică, adică. o multime de f(X) conține mai mult de un punct. Cu toate acestea, pentru multe situații realiste, funcțiile de producție se dovedesc a fi lipsite de ambiguitate și chiar, așa cum am menționat mai sus, diferențiabile. În cel mai simplu caz, funcția de producție este o funcție scalară N argumente:

y = f(X 1 ,…, X N ).

Aici valoarea y De regulă, este de natură de cost, exprimând volumul produselor produse în termeni monetari. Argumentele sunt volumele de resurse cheltuite la implementarea metodei tehnologice eficiente corespunzătoare. Astfel, relația de mai sus descrie granița setului tehnologic V,deoarece pentru un vector de cost dat ( X 1 , ..., X N) produc produse în cantităţi mai mari decât y, este imposibilă, iar producția de produse în cantități mai mici decât cele specificate corespunde unei metode tehnologice ineficiente. Expresia pentru funcția de producție poate fi folosită pentru a evalua eficacitatea metodei de management adoptate la o întreprindere dată. De fapt, pentru un set dat de resurse, este posibil să se determine producția reală și să o compare cu cea calculată de funcția de producție. Diferența rezultată oferă material util pentru evaluarea eficienței în termeni absoluti și relativi.

Funcția de producție este un aparat foarte util pentru planificarea calculelor și, prin urmare, acum a fost dezvoltată o abordare statistică pentru construirea funcțiilor de producție pentru anumite unități de afaceri. În acest caz, se utilizează de obicei un set standard expresii algebrice, ai căror parametri se găsesc folosind metode de statistică matematică. Această abordare înseamnă în esență estimarea unei funcții de producție pe baza presupunerii implicite că procesele de producție observate sunt eficiente. Dintre diferitele tipuri de funcții de producție, funcțiile liniare ale formei sunt cel mai des utilizate

deoarece pentru ei problema estimării coeficienților din date statistice este ușor de rezolvat, precum și funcțiile de putere

pentru care sarcina de a afla parametrii se reduce la estimarea formei liniare prin trecerea la logaritmi.

În ipoteza că funcția de producție este diferențiabilă în fiecare punct al mulțimii X posibile combinații de resurse cheltuite, este util să se ia în considerare unele cantități asociate cu funcția de producție.

În special, diferenţialul

reprezintă modificarea costului producției la trecerea de la costurile unui set de resurse X=(X 1 , ..., X N) a seta X+dx=(X 1 +dx 1 ,..., X N +dx N) cu condiția menținerii eficienței metodelor tehnologice corespunzătoare. Apoi valoarea derivatei parțiale

poate fi interpretat ca productivitate marginală (diferențială) a resurselor sau, cu alte cuvinte, coeficientul de productivitate marginală, care arată cât de mult va crește producția din cauza creșterii costului numărului de resurse j pe unitate mică. Valoarea productivității marginale a unei resurse poate fi interpretată ca o limită superioară a prețului p j, pe care o unitate de producție o poate plăti pentru o unitate suplimentară j-acea resursă pentru a nu fi în pierdere după achiziţionarea şi utilizarea ei. De fapt, creșterea așteptată a producției în acest caz va fi

şi deci raportul

vă va permite să obțineți profit suplimentar.

Pe termen scurt, când o resursă este considerată constantă, iar cealaltă variabilă, majoritatea funcțiilor de producție au proprietatea de a descrește produsul marginal. Produsul marginal al unei resurse variabile este creșterea produsului total datorită creșterii utilizării unei anumite resurse variabile cu o unitate.

Produsul marginal al muncii poate fi scris ca diferență

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

Unde MPL produsul marginal al muncii.

Produsul marginal al capitalului poate fi scris și ca diferență

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

Unde MPK produsul marginal al capitalului.

O caracteristică a unei unități de producție este și valoarea productivității medii a resurselor (productivitatea factorului de producție)

având o semnificație economică clară a cantității de produse produse pe unitatea de resursă utilizată ( factor de producție). Reciprocul eficienței resurselor

de obicei numită intensitate a resursei deoarece exprimă cantitatea unei resurse j necesare pentru a produce o unitate de producție în termeni valorici. Termenii foarte comuni și de înțeles sunt intensitatea capitalului, intensitatea materialului, intensitatea energetică și intensitatea muncii, a căror creștere este de obicei asociată cu o deteriorare a stării economiei, iar scăderea lor este considerată un rezultat favorabil.

Coeficientul productivității diferențiale împărțit la medie

numit coeficient de elasticitate a produsului după factorul de producţie jși oferă o expresie pentru creșterea relativă a producției (în procente) cu o creștere relativă a costurilor factorilor cu 1%. Dacă E j 0, atunci există o scădere absolută a producției cu o creștere a consumului de factori j; Această situație poate apărea atunci când se utilizează produse sau moduri neadecvate din punct de vedere tehnologic. De exemplu, consumul excesiv de combustibil va duce la o creștere excesivă a temperaturii și nu va avea loc reacția chimică necesară producerii produsului. Dacă 0 E j 1, atunci fiecare unitate suplimentară ulterioară de resursă cheltuită determină o creștere suplimentară mai mică a producției decât cea anterioară.

Dacă E j> 1, atunci valoarea productivității incrementale (diferențiale) depășește productivitatea medie. Astfel, o unitate suplimentară de resursă crește nu numai volumul producției, ci și caracteristica medie a eficienței resurselor. Astfel, procesul de creștere a productivității capitalului are loc atunci când sunt puse în funcțiune mașini și dispozitive foarte progresive, eficiente. Pentru o funcție de producție liniară coeficientul A j egal numeric cu valoarea productivităţii diferenţiale j-a acelui factor, iar pentru o functie de putere exponentul a j are sensul coeficientului de elasticitate j- acea resursă.

2. TIPURI DE FUNCȚII DE PRODUCȚIE.

2.1. Funcția de producție Cobb-Douglas.

Prima experiență de succes în construirea unei funcții de producție ca o ecuație de regresie bazată pe date statistice a fost obținută de oamenii de știință americani - matematicianul D. Cobb și economistul P. Douglas în 1928. Funcția pe care au propus-o inițial arăta astfel:

unde Y este volumul producției, K este valoarea activelor de producție (capital), L este costurile forței de muncă, - parametri numerici (numărul scalei și indicele de elasticitate). Datorită simplității și raționalității sale, această funcție este folosită și astăzi pe scară largă și a primit generalizări suplimentare în diferite direcții. Vom scrie uneori funcția Cobb-Douglas ca

Este ușor să verifici asta

În plus, funcția (1) este liniar omogenă:

Astfel, funcția Cobb-Douglas (1) are toate proprietățile de mai sus.

Pentru producția multifactorială, funcția Cobb-Douglas are forma:

Pentru a lua în considerare progresul tehnic, în funcția Cobb-Douglas este introdus un multiplicator special (progresul tehnic), unde t este un parametru de timp, un număr constant care caracterizează rata de dezvoltare. Ca rezultat, funcția ia o formă „dinamică”:

acolo unde nu este necesar. După cum se va arăta în paragraful următor, exponenții din funcția (1) au semnificația elasticității producției față de capital și muncă.

2.2. Funcția de producțieCES(cu elasticitate constantă de substituție)

Se pare ca:

Unde este coeficientul de scară, este coeficientul de distribuție, este coeficientul de înlocuire, este gradul de omogenitate. Daca sunt indeplinite conditiile:

atunci funcția (2) satisface inegalitățile Și . Ținând cont de progresul tehnologic, funcția CES este scrisă:

Denumirea acestei funcții rezultă din faptul că pentru ea elasticitatea de substituție este constantă.

2.3. Funcție de producție cu proporții fixe. Această funcție se obține din (2) la și are forma:

2.4. Funcția de intrare-ieșire a producției (funcția Leontief) obtinut de la (3) la:

Iată cantitatea de costuri de tip k necesară pentru a produce o unitate de producție, iar y este producția.

2.5. Funcția de producție de analiză a metodelor de activitate de producție.

Această funcție generalizează funcția de producție input-output în cazul în care există un anumit număr (r) de procese de bază (metode de activitate de producție), fiecare dintre acestea putând să apară cu orice intensitate nenegativă. Are forma unei „probleme de optimizare”

Unde (5)

Aici este rezultatul la intensitatea unitară a celui de-al j-lea proces de bază, este nivelul de intensitate și este valoarea costurilor de tip k necesare pentru intensitatea unitară a metodei j. După cum se poate observa din (5), dacă producția produsă la unitatea de intensitate și costurile necesare pe unitate de intensitate sunt cunoscute, atunci eliberare generală iar costurile totale sunt găsite prin adăugarea producției și, respectiv, a costurilor pentru fiecare proces de bază la intensitățile selectate. Rețineți că problema maximizării funcției f în (5) sub inegalități date este un model pentru analiza activităților de producție (maximizarea producției cu resurse limitate).

2.6. Funcția de producție liniară(funcționează cu înlocuirea reciprocă a resurselor)

În funcție de disponibilitate dependență liniară ieșire din costuri:

Unde este rata costurilor de tipul k pentru producerea unei unități de producție (produsul fizic marginal al costurilor).

Dintre funcțiile de producție prezentate aici, cea mai comună este funcția CES.

Să analizeze procesul de producție și diferiții indicatori ai acestuia împreună cu produsele marginale,

(liniile de sus indică valorile fixe ale variabilelor), arătând sumele veniturilor suplimentare obținute prin utilizarea unor sume suplimentare de costuri, se folosesc conceptele de produse medii.

Produsul mediu pentru al k-lea tip de cost este volumul producției pe unitatea de cost al k-lea tip la un nivel fix al costurilor de alte tipuri:

Să fixăm costurile celui de-al doilea tip la un anumit nivel și să comparăm graficele celor trei funcții:

Fig.1. Curbe de eliberare.

Fie că graficul unei funcții are trei puncte critice (așa cum se arată în Fig. 1): - punctul de inflexiune, - punctul de tangență cu raza de la origine, - punctul maxim. Aceste puncte corespund trei etape de producție. Prima etapă corespunde segmentului și se caracterizează prin superioritatea produsului marginal asupra mediei: Prin urmare, în această etapă, este recomandabil să suportați costuri suplimentare. A doua etapă corespunde segmentului și se caracterizează prin superioritatea produsului mediu față de produsul marginal: (costurile suplimentare nu sunt recomandabile). În a treia etapă, costurile suplimentare duc la efectul opus. Acest lucru se explică prin faptul că aceasta este suma optimă a costurilor și creșterea lor ulterioară este nerezonabilă.

Pentru anumite tipuri de resurse, valorile medii și maxime capătă semnificația indicatorilor economici specifici. Luați în considerare, de exemplu, funcția Cobb-Douglas (1), unde este capital și este muncă. Produse medii

au sens, respectiv, productivitatea medie a muncii și productivitatea medie a capitalului (productivitatea medie a capitalului). Se poate observa că productivitatea medie a muncii scade odată cu creșterea resurse de muncă. Acest lucru este de înțeles, deoarece active de producție(K) rămân neschimbate și, prin urmare, cei nou atrași forta de munca nu este prevazut cu mijloace suplimentare de productie, ceea ce duce la scaderea productivitatii muncii. Un raționament similar este valabil și pentru productivitatea capitalului în funcție de capital.

Pentru funcția (1) produse marginale

au sens în funcție de productivitatea marginală a muncii și productivitatea marginală a capitalului (productivitatea marginală a capitalului). În teoria producției microeconomice, se crede că productivitatea marginală a muncii este egală cu salariile(prețul muncii) și productivitatea marginală a capitalului - la plățile de închiriere (prețul serviciilor bunurilor de capital). Rezultă din condiția că, cu mijloace fixe constante (costurile forței de muncă), o creștere a numărului de lucrători (volumul mijloacelor fixe) duce la o scădere a productivității marginale a muncii (productivitate marginală a capitalului). Se poate observa că pentru funcția Cobb-Douglas produsele marginale sunt proporționale cu produsele medii și sunt mai mici decât acestea.

2.7. Isoquant și tipurile sale

Atunci când se modelează cererea de consum, același nivel de utilitate al diferitelor combinații de bunuri de consum este reprezentat grafic folosind o curbă de indiferență.

În modelele economice și matematice de producție, fiecare tehnologie poate fi reprezentată grafic printr-un punct, ale cărui coordonate reflectă costurile minime necesare ale resurselor K și L pentru producerea unui anumit volum de ieșire. Un set de astfel de puncte formează o linie de ieșire egală sau izocuanta. Astfel, funcția de producție este reprezentată grafic printr-o familie de izocuante. Cu cât izocuanta este mai departe de origine, cu atât este mai mare volumul de producție pe care îl reflectă. Spre deosebire de o curbă de indiferență, fiecare izocuanta caracterizează un volum de ieșire determinat cantitativ.

Fig.2. Izocuante corespunzătoare diferitelor volume de producție

În fig. Figura 2 prezintă trei izocuante corespunzătoare unor volume de producție de 200, 300 și 400 de unități de producție. Putem spune că pentru a produce 300 de unități de producție sunt necesare K 1 unități de capital și L 1 unități de muncă sau K 2 unități de capital și L 2 unități de muncă sau orice altă combinație a acestora din mulțimea reprezentată de izocuanta. Y2 = 300.

În cazul general, în mulțimea X de mulțimi admisibile de factori de producție se identifică o submulțime, numită izocuanta funcției de producție, care se caracterizează prin faptul că pentru orice vector egalitatea

Astfel, pentru toate seturile de resurse corespunzătoare izocuantei, volumele de ieșire se dovedesc a fi egale. În esență, o izocuanta este o descriere a posibilității de înlocuire reciprocă a factorilor în procesul de producție a produselor care asigură un volum constant de producție. În acest sens, se dovedește a fi posibil să se determine coeficientul de înlocuire reciprocă a resurselor folosind raportul diferențial de-a lungul oricărei izocuante.

Prin urmare, coeficientul de înlocuire echivalentă a unei perechi de factori j și k este egal cu:

Relația rezultată arată că dacă resursele de producție sunt înlocuite într-un raport egal cu raportul de productivitate incrementală, atunci cantitatea de producție rămâne neschimbată. Trebuie spus că cunoașterea funcției de producție ne permite să caracterizăm amploarea posibilității de înlocuire reciprocă a resurselor în moduri tehnologice eficiente. Pentru atingerea acestui scop se folosește coeficientul de elasticitate de substituție a resurselor pentru produse

care se calculează de-a lungul izocuantei la un nivel constant al costurilor altor factori de producţie. Valoarea s jk este o caracteristică a modificării relative a coeficientului de înlocuire reciprocă a resurselor atunci când raportul dintre ele se modifică. Dacă raportul resurselor substituibile se modifică cu s jk procente, atunci coeficientul de substituție sjk se va modifica cu un procent. În cazul unei funcții de producție liniare, coeficientul de substituție reciprocă rămâne neschimbat pentru orice raport al resurselor utilizate și, prin urmare, putem presupune că elasticitatea s jk = 1. În consecință, valorile mari ale s jk indică faptul că este posibilă o libertate mai mare. în înlocuirea factorilor de producție de-a lungul izocuantei și, în același timp, principalele caracteristici ale funcției de producție (productivitate, coeficient de schimb) se vor schimba foarte puțin.

Pentru funcțiile de producție a legii puterii pentru orice pereche de resurse interschimbabile, egalitatea s jk = 1 este valabilă În practica calculelor de prognoză și pre-plan, sunt adesea utilizate funcții de elasticitate constantă de substituție (CES), având forma:

Pentru o astfel de funcție, coeficientul de elasticitate al substituției resurselor

și nu se modifică în funcție de volumul și raportul resurselor cheltuite. La valori mici de s jk, resursele se pot înlocui între ele doar într-o măsură nesemnificativă, iar în limita la s jk = 0 își pierd proprietatea de interschimbabilitate și apar în procesul de producție doar într-un raport constant, adică. sunt complementare. Un exemplu de funcție de producție care descrie producția în condițiile utilizării resurselor complementare este funcția de eliberare a costurilor, care are forma

unde a j este coeficientul constant de productivitate a resursei al factorului de producție j. Este ușor de observat că o funcție de producție de acest tip determină producția la blocajul setului de factori de producție utilizați. Diverse cazuri Comportamentul izocuantelor funcțiilor de producție pentru diferite valori ale elasticității coeficienților de substituție este prezentat în grafic (Fig. 3).

Reprezentarea unui set tehnologic eficient folosind o funcție scalară de producție este insuficientă în cazurile în care este imposibil să se descurce cu un singur indicator care descrie rezultatele unității de producție, dar este necesar să se utilizeze mai mulți (M) indicatori de ieșire. În aceste condiții, se poate folosi funcția de producție vectorială

Orez. 3. Diverse cazuri de comportament izocuant

Conceptul important de productivitate marginală (diferențială) este introdus de relația

Toate celelalte caracteristici principale ale funcțiilor de producție scalare permit o generalizare similară.

La fel ca curbele de indiferență, izocuantele sunt, de asemenea, clasificate în diferite tipuri.

Pentru o funcție de producție liniară a formei

unde Y este volumul producției; Parametrii A, b 1, b 2; K, L costurile capitalului și muncii și înlocuirea completă a unei resurse cu alta, izocuanta va avea o formă liniară (Fig. 4).

Pentru o funcție de producție a legii puterii

izocuantele vor arăta ca curbe (Fig. 5).

Dacă o izocuanta reflectă o singură metodă tehnologică de producere a unui produs dat, atunci munca și capitalul sunt combinate în singura combinație posibilă (Fig. 6).

Orez. 6. Izocuanti cu strictă complementaritate a resurselor

Orez. 7. Izocuante sparte

Astfel de izocuante sunt uneori numite izocuante de tip Leontief după economistul american V.V. Leontiev, care a folosit acest tip de izocuanta ca bază pentru metoda inputoutput pe care a dezvoltat-o.

O izocuanta ruptă presupune prezența unui număr limitat de tehnologii F (Fig. 7).

Izocuanții cu o configurație similară sunt utilizați în programarea liniară pentru a fundamenta teoria alocării optime a resurselor. Izocuanții rupti reprezintă cel mai realist capacitățile tehnologice ale multor unități de producție. Cu toate acestea, în teorie economicăîn mod tradițional, folosesc în principal curbe izocuante, care sunt obținute din linii întrerupte cu o creștere a numărului de tehnologii și, în consecință, o creștere a punctelor de întrerupere.

3. APLICAREA PRACTICĂ A FUNCȚIEI DE PRODUCȚIE.

3.1 Modelarea costurilor și profiturilor unei întreprinderi (firme)

Baza construirii modelelor comportamentale ale unui producător (întreprindere individuală sau firmă; asociație sau industrie) este ideea că producătorul se străduiește să atingă o stare în care să i se asigure cel mai mare profit în condițiile actuale de piață, i.e. În primul rând, având în vedere sistemul de prețuri existent.

Cel mai simplu model de comportare optimă a unui producător în condiții de concurență perfectă are următoarea vedere: lăsați întreprinderea (firma) să producă un produs în cantitate y unități fizice. Dacă p dat exogen prețul acestui produs și firma își vinde producția în totalitate, apoi primește venit brut (venit) în valoare

În procesul de creare a acestei cantități de produs, firma suportă costuri de producție de C(y). În același timp, este firesc să presupunem că C"(y) > 0, adică costurile cresc pe măsură ce volumul producției crește. De asemenea, de obicei se crede că C""(y) > 0. Aceasta înseamnă că costul suplimentar (marginal) al producerii fiecărei unități suplimentare de producție crește pe măsură ce crește volumul producției. Această ipoteză se datorează faptului că, cu o producție organizată rațional, se pot folosi volume mici cele mai bune masiniși muncitori cu înaltă calificare care nu vor mai fi disponibili pentru companie atunci când volumul producției crește. Costurile de producție constau din următoarele componente:

1) costuri materiale C m, care include costurile pentru materii prime, materiale, semifabricate etc.

Se numește diferența dintre venitul brut și costurile materiale valoare adaugata(produse conditionat pure):

2) costurile forței de muncă C L ;

Orez. 8. Linii de venituri și costuri ale întreprinderii

3) cheltuielile asociate cu utilizarea și repararea mașinilor și echipamentelor, amortizarea, așa-numita plată pentru servicii de capital C k ;

4) costuri suplimentare C r, legate de extinderea productiei, constructia de noi cladiri, cai de acces, linii de comunicatie etc.

Costuri totale de productie:

Așa cum sa arătat mai sus,

totuși, această dependență de volumul de ieșire ( la) Pentru tipuri diferite costurile variază. Și anume, există:

a) costuri fixe C 0 , de care practic nu depind y, incl. plata personalului administrativ, închirierea și întreținerea clădirilor și spațiilor, amortizarea, dobânzile la împrumuturi, servicii de comunicații etc.;

b) costuri proporționale cu volumul de producție (liniar) C 1, aceasta include costurile materiale C m, remunerarea personalului de producție (part C L), costurile de întreținere a echipamentelor și utilajelor existente (part C k) și așa mai departe.:

Unde A un indicator generalizat al costurilor acestor tipuri pe produs;

c) costuri superproporționale (neliniare). CU 2, care includ achiziția de noi mașini și tehnologii (adică costuri precum CU r), plata orelor suplimentare etc. Pentru o descriere matematică a acestui tip de cost, se utilizează de obicei o relație de lege de putere

Astfel, un model poate fi utilizat pentru a reprezenta costurile totale

(Rețineți că condițiile C"(y) > 0, C""(y) > 0 pentru această funcție sunt îndeplinite.)

Să luăm în considerare posibilele opțiuni pentru comportamentul unei întreprinderi (firme) pentru două cazuri:

1. Întreprinderea are o rezervă destul de mare de capacitate de producție și nu se străduiește să extindă producția, așa că putem presupune că C 2 = 0 și costurile totale sunt funcție liniară volumul de ieșire:

Profitul va fi

Evident, cu volume mici de ieșire

societatea înregistrează pierderi deoarece

Aici y w pragul de rentabilitate (pragul de rentabilitate), determinat de raport

Dacă y> y w, atunci compania realizează profit, iar decizia finală asupra volumului producției depinde de starea pieței pentru produsele produse (vezi Fig. 8).

2. Într-un caz mai general, când CU 2 0, există două puncte de prag de rentabilitate și firma va primi un profit pozitiv dacă volumul producției y satisface conditia

Pe acest segment, în punctul în care se realizează cea mai mare valoare a profitului. Astfel, există o soluție optimă pentru problema maximizării profitului. La punctul A, corespunzătoare costurilor la producție optimă, tangentă la curba costurilor CU paralel cu linia dreaptă a venitului R.

Trebuie menționat că decizia finală a firmei depinde și de starea pieței, dar din punctul de vedere al menținerii intereselor economice, ar trebui recomandată optimizarea valorii producției (Fig. 9).

Orez. 9. Volum optim de ieșire

Prin definiție, profitul este suma

Punctele de prag de rentabilitate sunt determinate din condiția ca profitul să fie egal cu zero, iar valoarea sa maximă este atinsă într-un punct care satisface ecuația

Astfel, volumul optim de producție se caracterizează prin faptul că în această stare venitul brut marginal ( R(y)) este exact egal cu costurile marginale C(y).

De fapt, dacă y R ( y) > C(y), iar apoi producția ar trebui să crească, deoarece venitul suplimentar așteptat va depăși costurile suplimentare așteptate. Dacă y> atunci R(y) C ( y), iar orice creștere a volumului va reduce profiturile, așa că este firesc să recomandăm reducerea volumului producției și ajungerea la o stare y= (Fig. 10).

Orez. 10. Punct maxim de profit și zonă de prag de rentabilitate

Este ușor de observat că odată cu creșterea prețului ( R) producția optimă, precum și creșterea profitului, adică

Acest lucru este valabil și în cazul general, deoarece

Exemplu. Compania produce masini agricole in cantitati la bucăți, iar volumul producției poate varia, în principiu, de la 50 la 220 de bucăți pe lună. În același timp, firește, o creștere a volumului de producție va necesita o creștere a costurilor, atât proporționale, cât și super-proporționale (neliniare), deoarece va fi necesară achiziționarea de noi echipamente și extinderea zonelor de producție.

Într-un exemplu specific, vom presupune că costul total(cost) pentru producerea produselor în cantitate la produsele sunt exprimate prin formula

C(y) = 1000 + 20 y+ 0,1 y 2 (mii de ruble).

Aceasta înseamnă că costurile fixe

C 0 = 1000 (t. rub.),

costuri proporţionale

C 1 = 20 y,

acestea. indicatorul generalizat al acestor costuri pe produs este egal cu: A= 20 de mii de ruble, iar costurile neliniare vor fi C 2 = 0,1 y 2 (b= 0,1).

Formula de mai sus pentru costuri este un caz special formula generala, unde este exponentul h= 2.

Pentru a găsi volumul optim de producție, folosim formula punctului maxim de profit (*), conform căreia avem:

Este destul de evident că volumul producției la care se realizează profitul maxim este foarte semnificativ determinat de prețul de piață al produsului. p.

În tabel Figura 1 prezintă rezultatele calculării volumelor optime pentru diferite valori de preț de la 40 la 60 de mii de ruble per produs.

Prima coloană a tabelului arată volumele posibile de ieșire la, a doua coloană conține date despre costurile totale CU(la), a treia coloană arată costul pe produs:

tabelul 1

Date despre volumele de producție, costuri și profituri

Volume și costuri				Prețuri și profituri
				0
					210
						440
Continuarea tabelului 1
							1250
								1890
									3000

A patra coloană caracterizează valorile costurilor marginale de mai sus DOMNIȘOARĂ, care arată cât costă producerea unui produs suplimentar într-o situație dată. Este ușor de observat că costurile marginale cresc pe măsură ce producția crește, ceea ce este în concordanță cu poziția exprimată la începutul acestui paragraf. Când luați în considerare tabelul, ar trebui să acordați atenție faptului că volumele optime sunt situate exact la intersecția liniei (costuri marginale DOMNIȘOARĂ)și coloana (preț p) cu valorile lor egale, ceea ce se corelează destul de bine cu regula optimității stabilită mai sus.

Analiza de mai sus se referă la o situație de concurență perfectă, când producătorul nu poate influența sistemul de prețuri prin acțiunile sale și deci prețul p pentru bunuri y acţionează în modelul producătorului ca o cantitate exogenă.

În cazul concurenței imperfecte, producătorul poate influența direct prețul. Acest lucru se aplică în special unui producător monopolist al unui produs, care stabilește prețul pe baza rentabilității rezonabile.

Luați în considerare o firmă cu o funcție de cost liniară care își stabilește prețul astfel încât profitul să fie un anumit procent (cota 0

De aici avem

Venitul brut

iar producția prag de rentabilitate, începând cu cele mai mici volume de producție ( y w 0). Este ușor de observat că prețul depinde de volum, adică. p= p(y), și cu o creștere a volumului producției ( la) prețul produsului scade, i.e. p"(y)

Cerința de maximizare a profitului pentru un monopolist are forma

Presupunând ca înainte că >0, avem ecuația pentru găsirea ieșirii optime ():

Este util să rețineți că producția optimă a monopolistului () nu depășește de obicei producția optimă a producătorului competitiv în formula marcată cu un asterisc.

Un model mai realist (dar și mai simplu) al firmei este utilizat pentru a lua în considerare constrângerile de resurse, care joacă un rol foarte mare în activitățile economice ale producătorilor. Modelul evidențiază una dintre cele mai rare resurse (forță de muncă, mijloace fixe, materiale rare, energie etc.) și presupune că întreprinderea nu poate folosi mai mult de Q. Firma poate produce n diverse produse. Lăsa y 1 , ..., y j , ..., y n volumele de producție necesare ale acestor produse; p 1 , ..., p j , ..., p n preturile lor. Lasa si q preţul unitar al unei resurse rare. Atunci venitul brut al firmei este

iar profitul va fi

Este ușor de văzut că pentru fix qȘi Q problema maximizării profitului se transformă în problema maximizării venitului brut.

Să presupunem în continuare că costul resurselor funcţionează pentru fiecare produs C j (y j) are aceleași proprietăți ca cele menționate mai sus pentru funcție CU(la). Prin urmare, C j " (y j) > 0 și C j "" (y j) > 0.

În forma sa finală, modelul comportamentului optim al unei firme cu o resursă limitată este următorul:

Este ușor de observat că într-un caz destul de general, soluția acestei probleme de optimizare se găsește studiind sistemul de ecuații:

observa asta alegere optimă firma depinde de totalitatea prețurilor produselor ( p 1 , ..., p n), iar această alegere este o funcție omogenă a sistemului de prețuri, adică. Când prețurile se modifică simultan de același număr de ori, rezultatele optime nu se modifică. De asemenea, este ușor de observat că din ecuațiile marcate cu asteriscuri (***), rezultă că odată cu creșterea prețului produsului n(cu prețuri constante pentru alte produse), producția sa ar trebui mărită pentru a obține profit maxim, deoarece

iar producţia altor bunuri va scădea, întrucât

Aceste relații împreună arată că în acest model toate produsele sunt în competiție. Formula (***) implică și relația evidentă

acestea. odată cu creșterea volumului resurselor (investiții de capital, forță de muncă etc.), producția optimă crește.

Există un număr de exemple simple, care va ajuta la înțelegerea mai bună a regulii de alegere optimă a unei companii bazate pe principiul profitului maxim:

1) lasa n = 2; p 1 = p 2 = 1; A 1 = A 2 = 1; Q = 0,5; q = 0,5.

Apoi din (***) avem:

0,5; = 0,5; P = 0,75; = 1;

2) lăsați acum toate condițiile să rămână aceleași, dar prețul pentru primul produs s-a dublat: p 1 = 2.

Apoi, planul optim de profit al companiei: = 0,6325; = 0,3162.

Profitul maxim așteptat crește considerabil: P = 1,3312; = 1,58;

3) rețineți că în exemplul anterior 2, firma trebuie să modifice volumele de producție, crescând producția primului produs și scăzând producția celui de-al doilea produs. Să presupunem, totuși, că compania nu urmărește profituri maxime și nu își va modifica producția stabilită, adică. selectați un program y 1 = 0,5; y 2 = 0,5.

Rezultă că în acest caz profitul va fi P = 1,25. Aceasta înseamnă că atunci când prețurile cresc pe piață, o firmă poate obține o creștere semnificativă a profiturilor fără a-și schimba planul de producție.

3.2 Metode de contabilizare a progresului științific și tehnologic

Ar trebui considerat general acceptat că, în timp, într-o întreprindere care menține un număr fix de angajați și un volum constant de active fixe, producția crește. Aceasta înseamnă că, pe lângă factorii obișnuiți de producție asociați intrărilor de resurse, există un factor care este de obicei numit progresul științific și tehnologic (NTP). Acest factor poate fi considerat o caracteristică sintetică care reflectă influența comună asupra creșterii economice a multor fenomene semnificative, printre care trebuie remarcate următoarele:

a) îmbunătățirea în timp a calității forței de muncă datorită calificării sporite a lucrătorilor și stăpânirea acestora a metodelor de utilizare a tehnologiei mai avansate;

b) imbunatatirea calitatii utilajelor si utilajelor conduce la faptul ca o anumita suma de investitii de capital (la preturi constante) permite, in timp, achizitionarea unui utilaj mai eficient;

c) îmbunătățirea multor aspecte ale organizării producției, inclusiv aprovizionarea și vânzările, operațiunile bancare și alte decontări reciproce, dezvoltarea baza de informatii, formarea de diverse tipuri de asociații, dezvoltarea specializării și comerțului internațional etc.

În acest sens, termenul de progres științific și tehnologic poate fi interpretat ca totalitatea tuturor fenomenelor care, cu cantități fixe de factori de producție consumați, fac posibilă creșterea producției de produse de înaltă calitate, competitive. Caracterul foarte vag al acestei definiții duce la faptul că studiul influenței progresului științific și tehnic se realizează doar ca o analiză a acelei creșteri suplimentare a producției care nu poate fi explicată printr-o creștere pur cantitativă a factorilor de producție. Principala abordare a contabilizării progresului științific și tehnic se rezumă la faptul că timpul este introdus în setul de caracteristici ale producției sau costurilor ( t) ca factor de producție independent și are în vedere transformarea în timp a unei funcții de producție sau a unui set tehnologic.

Să ne oprim asupra metodelor de contabilizare a progresului științific și tehnic prin transformarea funcției de producție și vom lua ca bază o funcție de producție cu doi factori:

unde factorii de producție sunt capitali ( LA) și forța de muncă ( L). Funcția de producție modificată în cazul general are forma

iar condiția este îndeplinită

care reflectă faptul creşterii producţiei în timp cu costuri fixe ale forţei de muncă şi capitalului.

Atunci când dezvoltă funcții de producție modificate specifice, acestea se străduiesc de obicei să reflecte natura progresului științific și tehnic în situația observată. În acest caz, se disting patru cazuri:

a) o îmbunătățire semnificativă a calității forței de muncă în timp permite obținerea acelorași rezultate cu mai puține persoane angajate; Acest tip de progres științific și tehnic este adesea numit economie de muncă. Funcția de producție modificată are forma unde este o funcție monotonă l(t) caracterizează creşterea productivităţii muncii;

Orez. 11. Creșterea producției în timp cu costuri fixe ale forței de muncă și capitalului

b) îmbunătățirea primară a calității mașinilor și echipamentelor crește productivitatea capitalului, are loc un progres științific și tehnic care economisește capital și funcția de producție corespunzătoare:

unde este funcția crescătoare k(t) reflectă modificări ale productivității capitalului;

c) dacă există o influență semnificativă a ambelor fenomene menționate, atunci se utilizează o funcție de producție în formă

d) dacă nu este posibilă identificarea influenței progresului științific și tehnic asupra factorilor de producție, atunci funcția de producție se aplică sub forma

Unde A(t) o funcție crescătoare care exprimă creșterea producției la valori constante ale costurilor factorilor. Pentru a studia proprietățile și trăsăturile progresului științific și tehnologic se folosesc unele relații între rezultatele producției și costurile factorilor. Acestea includ:

a) productivitatea medie a muncii

B) productivitatea medie a capitalului

c) raportul capital-muncă angajat

d) egalitatea dintre nivelul salariilor și productivitatea marginală (marginală) a muncii

e) egalitatea dintre productivitatea marginală a capitalului și rata dobânzii bancare

Ei spun că NTP este neutru dacă nu modifică anumite relații între cantitățile date în timp.

1) progresul se numește Hicks neutru dacă raportul dintre capitalul-muncă rămâne neschimbat în timp ( X) și rata marginală de substituție a factorilor ( w/r). În special, dacă w/r=const, atunci înlocuirea muncii cu capital și invers nu va aduce niciun beneficiu și raportul capital-muncă X=K/L va rămâne, de asemenea, constantă. Se poate arăta că în acest caz funcția de producție modificată are forma

iar neutralitatea lui Hicks este echivalentă cu influența progresului științific și tehnic discutat mai sus direct asupra producției de produs. În situația luată în considerare, izocuanta se deplasează în jos spre stânga în timp prin transformarea asemănării, adică. rămâne exact aceeași formă ca în poziția inițială;

2) progresul este numit neutru conform lui Harrod dacă în perioada de timp analizată rata dobânzii bancare ( r) depinde numai de productivitatea capitalului ( k), adică nu este afectat de NTP. Aceasta înseamnă că rentabilitatea maximă a capitalului este stabilită la nivelul ratei dobânzii și o creștere suplimentară a capitalului este impracticabilă. Se poate arăta că acestui tip de progres științific și tehnic corespunde funcției de producție

acestea. progresul tehnologic economisește forța de muncă;

3) progresul este neutru conform lui Solow dacă egalitatea dintre nivelul salariilor rămâne neschimbată ( w) și productivitatea marginală a muncii și o creștere suplimentară a costurilor forței de muncă sunt neprofitabile. Se poate arăta că în acest caz funcția de producție are forma

acestea. NTP se dovedește a economisi fonduri. Să oferim o reprezentare grafică a celor trei tipuri de progres științific și tehnic folosind exemplul unei funcții de producție liniare

În cazul neutralității Hicks, avem o funcție de producție modificată

Unde A(t) funcţia crescătoare t. Aceasta înseamnă că în timp izocuanta Q(segment de linie AB) este deplasat la origine prin translație paralelă (Fig. 12) în poziție A 1 B 1 .

În cazul neutralității Harrod, funcția de producție modificată are forma

Unde l(t) funcţia crescătoare.

Este evident că de-a lungul timpului punctul A rămâne pe loc și izocuanta este deplasată la origine prin rotire în poziție AB 1 (Fig. 13).

Pentru progresul neutru Solow, funcția de producție modificată corespunzătoare

Unde k(t) funcţia crescătoare. Izocuanta este mutată la origine, dar la punctul ÎN nu se mișcă și se rotește în poziție A 1 B(Fig. 14).

Orez. 12. Deplasare izocuanta la NTP neutru conform lui Hicks

Orez. 13. Schimbare izocuantă cu progres științific și tehnic care economisește forța de muncă

Orez. 14. Schimbare izocuantă cu NTP care economisește fonduri

La construirea modelelor de producție ținând cont de progresul științific și tehnic, sunt utilizate în principal următoarele abordări:

a) ideea de progres tehnic exogen (sau autonom), care există și în cazul în care principalii factori de producție nu se modifică. Un caz special al unui astfel de NTP este progresul neutru Hicksian, care este de obicei luat în considerare folosind un multiplicator exponențial, de exemplu:

Aici l > 0 caracterizează rata progresului științific și tehnologic. Este ușor de observat că timpul aici acționează ca un factor independent în creșterea producției, dar acest lucru creează impresia că progresul științific și tehnic se produce de la sine, fără a necesita costuri suplimentare cu forța de muncă și investiții de capital;

b) ideea de progres tehnic, întruchipat în capital, leagă creșterea influenței progresului științific și tehnic cu creșterea investițiilor de capital. Pentru a oficializa această abordare, se ia ca bază modelul de progres neutru Solow:

care se scrie sub forma

Unde K 0 active fixe la începutul perioadei, D K acumularea de capital pe o perioadă egală cu suma investită.

Evident, dacă nu se face nicio investiție, atunci D K= 0 și nu există o creștere a producției datorită progresului științific și tehnic;

c) abordările de modelare a NTP discutate mai sus au o trăsătură comună: progresul acționează ca o valoare dată exogen care afectează productivitatea muncii sau productivitatea capitalului și, prin urmare, afectează creșterea economică.

Cu toate acestea, pe termen lung, progresul științific și tehnic este atât rezultatul dezvoltării, cât și, în mare măsură, cauza acesteia. Pentru că exact dezvoltare economică permite societăților bogate să finanțeze crearea de noi tipuri de tehnologie și apoi să culeagă beneficiile revoluției științifice și tehnologice. Prin urmare, este destul de legitim să abordăm NTP ca pe un fenomen endogen cauzat (indus) de creșterea economică.

Există două direcții principale pentru modelarea progresului științific și tehnic:

1) modelul de progres indus se bazează pe formulă

Mai mult, se presupune că societatea poate distribui investițiile destinate progresului științific și tehnologic între diversele sale direcții. De exemplu, între creșterea productivității capitalului ( k(t)) (îmbunătățirea calității mașinilor) și creșterea productivității muncii ( l(t)) (îmbunătățirea calificărilor lucrătorilor) sau alegerea celei mai bune direcții (optimale) de dezvoltare tehnică pentru un volum dat de investiții de capital alocate;

2) modelul procesului de învățare în timpul producției, propus de K. Arrow, se bazează pe faptul observat al influenței reciproce a creșterii productivității muncii și a numărului de noi invenții. În timpul producției, lucrătorii câștigă experiență, iar timpul de fabricare a unui produs scade, adică. Productivitatea muncii și aportul de muncă în sine depind de volumul producției

La rândul său, creștere factorul muncii, conform funcției de producție

duce la o creștere a producției. Cea mai simplă versiune a modelului folosește formulele:

acestea. productivitatea capitalului crește.

CONCLUZIE

Astfel, în aceasta munca de curs Am considerat multe fapte importante și interesante din punctul meu de vedere. S-a constatat, de exemplu, că funcția de producție este o relație matematică între volumul maxim de producție pe unitatea de timp și combinația de factori care o creează, având în vedere nivelul existent de cunoștințe și tehnologie. În teoria producției, se utilizează în principal o funcție de producție cu doi factori, care vedere generala arată astfel: Q = f(K,L), unde Q este volumul producției; K - capital; L – travaliu. Problema relației dintre costurile factorilor de producție care se înlocuiesc între ei este rezolvată folosind un astfel de concept precum elasticitatea de substituție a factorilor de producție. Elasticitatea substituției este raportul dintre costurile factorilor de producție care se înlocuiesc cu un volum constant de producție. Acesta este un fel de coeficient care arată gradul de eficiență al înlocuirii unui factor de producție cu altul. O măsură a interschimbabilității factorilor de producție este rata marginală de substituție tehnică MRTS, care arată câte unități poate fi redus unul dintre factori prin creșterea unui alt factor cu unul, păstrând producția neschimbată. Rata marginală de substituție tehnică este caracterizată de panta izocuantelor. MRTS este exprimat prin formula: Isocuanta este o curbă care reprezintă toate combinațiile posibile a două costuri care asigură un volum constant de producție dat. Fondurile sunt de obicei limitate. Astfel, combinația optimă de factori pentru o anumită întreprindere este soluția generală a ecuațiilor izocuante.

Bibliografie:

Grebennikov P.I. și alții. Sankt Petersburg, 1996.

Galperin V.M., Ignatiev S.M., Morgunov V.I. Microeconomie: În 2 volume - Sankt Petersburg: Economic School, 2002.T.1. - 349 p.

Nureyev R.M. Fundamentele teoriei economice: microeconomie - M., 1996.

Teoria economică: Manual pentru universități / Ed. Nikolaeva I.P. – M.: Finanstatinform, 2002. – 399 p.

Barr Economie Politică. În 2 volume - M., 1994.

Pindyke R., Rubinfeld D. Microeconomie - M., 1992.

Bemorner Thomas. Managementul întreprinderii. // Probleme de teorie și practică de management, 2001, nr. 2

Varian H.R. Microeconomie. Tutorial pentru universități - M., 1997.

Dolan E.J., Lindsay D.E. Microeconomie - Sankt Petersburg: Peter, 2004. - 415 p.

Mankiw N.G. Principiile economiei. - Sankt Petersburg, 1999.

Fischer S., Dornbusch R., Shmalenzi R. Economie - M., 1993.

Frolova N.L., Chekansky A.N. Microeconomie - M.: TEIS, 2002. - 312 p.

Natura companiei / Ed. Williamson O.I., Winter S.J - M.: Norma, 2001. - 298 p.

Teoria economică: manual pentru studenți. superior manual

instituții / editat de V.D. Kamaev 1-a ed. refăcut si suplimentare – M.: Editura Centrul Umanitar VLADOS, 2003. – 614 p. Golubkov E.P. Studierea concurenților și obținerea de avantaje în competiție

// Marketing în Rusia și în străinătate.-1999, Nr. 2

Lyubimov L.L., Ranneva N.A. Fundamentele cunoaşterii economice - M.: „Vita-Press”, 2002. - 496 p.

Zuev G.M., Zh.V. Samokhvalova Metode și modele economice și matematice. Analiză intersectorială. - Creștere N/A: „Phoenix”, 2002. - 345 p.

Frolova N.L., Chekansky A.N. Microeconomie - M.: TEIS, 2002.

Chechevitsyna L.N. Microeconomie. Economia unei întreprinderi (firmă) – Creștere N/A: „Phoenix”, 2003. – 200 p.

Volsky A. Condiţii pentru îmbunătăţirea managementului economic // Economist. – 2001, nr. 9 Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. funcţie companiilor

1. este o hartă a izocuanților cu diferite niveluri... Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. Productie

   și productivitatea tehnologică a producției

   Drept >> Teorie economică Pentru volume de ieșire relativ scăzute Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. producție companiilor este o hartă a izocuanților cu diferite niveluri... Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. funcţie caracterizată prin randamente crescătoare la scară... pentru fiecare combinaţie specifică de factori de producţie.

2. este o hartă a izocuanților cu diferite niveluri... Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. poate fi reprezentat printr-o serie de izocuante...

   , proprietăți, elasticitate

   ... Rezumat >> Matematică producție funcții Rezumat >> Matematică producțieși principalele caracteristici ……………………………………………………..19 Capitolul II. feluri producție funcții ……………………………………………………..19 Capitolul II. feluri producție ...

3. ……………………………..23 2.1. Definiţia linearly homogeneous este o hartă a izocuanților cu diferite niveluri... Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție.

   Teoria productivității marginale a factorilor de producție.

   Rezumat >> Economie Metode de producție disponibile pentru aceasta companie Rezumat >> Matematică , folosesc economiștii funcţie funcţie este o hartă a izocuanților cu diferite niveluri... Milgrom D.A. Evaluarea competitivității tehnologiilor economice // Marketing în Rusia și în străinătate, 1999, nr. 2. - pp. 44-57 producție. funcţie.2 Conceptul său a fost dezvoltat..., capital relativ puțin și multă muncă.1

A) Seria, poligonul și funcția de distribuție a unei variabile discrete aleatoare

A) Seria, poligonul și funcția de distribuție a unei variabile discrete aleatoare

Autotransformatoare, circuite de bobinaj, eficienta energetica.

Teoria producției studiază relația dintre cantitatea de resurse utilizate și volumul producției. Metodologic, teoria producției este identică cu teoria consumului cu diferența că principalele sale categorii sunt de natură obiectivă și pot fi măsurate în anumite unități de producție. Procesul de producție este identic cu procesul de consum în sensul că poate fi definit ca consum resurse economice. Producător eficient, ca consumator rațional, depuneți eforturi pentru a maximiza profitul utilității. În acest scop, combină resursele în cel mai eficient mod.

Instrumentul principal pentru analiza producției este funcția de producție care descrie relația cantitativă dintre costurile de producție și resurse (muncă și capital). Același volum de ieșire poate fi obținut cu diferite combinații de resurse (tehnologii). Se ia în considerare rezultatul maxim posibil obținut prin utilizarea resurselor disponibile eficient din punct de vedere tehnic . Prin urmare, funcția de producție reflectă ansamblul de eficiente din punct de vedere tehnic metode de producție pentru un anumit volum de producție.

Alegerea celor mai bune dintr-o varietate de tehnici tehnice opțiuni eficiente, presupune utilizarea criteriului eficiență economică . O metodă de producție cu cele mai mici costuri pentru un anumit volum de producție este considerată rentabilă.

În teoria producției, se utilizează în mod tradițional o funcție de producție cu doi factori, în care volumul producției (Q) depinde de volumul resurselor utilizate:

Q = f(L, K) (5.1)

Unde L-valoarea costurilor cu forța de muncă (ore);

K- valoarea costurilor de capital (ora-mașină)

Cea mai comună versiune a funcției de producție este funcția Cobb-Douglas:

Q= L a K b (5.2)

Unde A- coeficientul de elasticitate a producției prin muncă, care arată cum se va schimba producția atunci când aportul forței de muncă se modifică cu 1%;

b- coeficientul de producție a capitalului, care arată modificarea producției atunci când costurile de capital se modifică cu 1%.

Din punct de vedere empiric, pe baza datelor din industria prelucrătoare din SUA din anii 20 ai secolului trecut, au fost determinate valori specifice coeficienților AȘi b, astfel încât funcția să arate astfel:

Q=L 0,73 K 0,27

Un punct caracteristic este faptul că funcția poate fi utilizată pentru a analiza producția atât la o întreprindere individuală, cât și la nivelul economiei în ansamblu, adică la nivel macro. Există și alte tipuri de funcții de producție (Tabelul 5.1.).

Grafic, funcția de producție poate fi reprezentată prin curba de producție egală (izocuanta), reprezentând un set de combinaţii minim necesare de resurse de producţie sau modalităţi eficiente din punct de vedere tehnic de producere a unui anumit volum de producţie. Cu cât izocuanta este mai departe de origine, cu atât este mai mare volumul de ieșire pe care îl reprezintă. În plus, spre deosebire de curbele de indiferență, fiecare izocuanta caracterizează un volum de ieșire determinat cantitativ, exprimat în unități naturale: Q1, Q2, Q3 etc.

Figura 5.1. Linia de ieșire egală este o izocuanta.

Configurația izocuanților poate fi diferită, ținând cont de caracteristicile tehnologiilor utilizate și deci de interschimbabilitatea resurselor utilizate. Dacă substituibilitatea resurselor este limitată la mai multe tehnologii, atunci se utilizează o izocuanta ruptă (Fig. 5.1). Potrivit experților, o izocuanta ruptă reflectă cel mai adecvat dependența producției de resurse, deoarece producția reală implică un set limitat de variații tehnologice. În caz de complementaritate rigidă resurse, atunci când se folosește o singură tehnologie, se folosește o izocuanta de tip Leontief, numită după economistul american V.V. Leontiev, care a folosit acest tip de izocuanta ca bază pentru metoda input-output pe care a dezvoltat-o. Cu cât producția este mai complexă din punct de vedere tehnic, cu atât izocuanta sa este mai apropiată de izocuanta de tip Leontief.

Izocuanta liniară presupune substituibilitatea perfectă resurse de producție, astfel încât o producție dată poate fi obținută folosind fie una, fie cealaltă resursă, fie folosind diferite combinații ale ambelor resurse cu o rată constantă de substituție. Există, de exemplu, un raport constant între cantitatea de muncă feminină și cea masculină (dacă le considerăm resurse interschimbabile), munca migrantă în raport cu munca muncitori locali, manageri și specialiști.

În microanaliză, se folosesc izocuante netede, care pot fi considerate ca un fel de aproximare aproximativă a unei izocuante rupte. Prin creșterea numărului de metode de producție (puncte de întrerupere), este posibil să se reproducă o izocuanta ruptă sub forma unei curbe netede. În consecință, se presupune că funcția de producție a formei (5.2) afișată de aceasta este continuă și diferențiabilă de două ori. Construcția unei izocuante netede presupune divizibilitate nelimitată produse și resurse utilizate în producție.

Varietatea curbelor de ieșire reflectă existența timpilor

O izocuanta are trei caracteristici principale: rata marginală de înlocuire tehnică a unei resurse cu alta ( MRTS LK), elasticitatea substituirii resurselor, intensitatea utilizării lor în producție. Prima caracteristică - MRTS LK (rata marginală de substituție tehnică - Engleză) determină cantitatea necesară de pierdere a unei resurse ( K)în schimbul unei unităţi a alteia ( L) menținând în același timp același volum de ieșire.

Rata marginală de substituție este caracterizată de panta izocuantei pentru orice volum de producție, precum și de curba de indiferență. O creștere a utilizării uneia dintre resurse (de exemplu, forță de muncă ieftină) duce la o scădere MRTS LK. Există o explicație logică pentru asta.

De-a lungul izocuantei, diferența totală a funcției de producție (increment complet) este egală cu zero, deoarece nu există nicio modificare a ieșirii:

De aici obținem o nouă expresie pentru rata marginală de înlocuire tehnologică:

(5.5)

dQ/dL = MPL- produsul marginal al muncii;

dQ/dK = MPK- produsul marginal al capitalului.

Prin urmare, primim : MRTS LK =

În conformitate cu legea rentabilității descrescătoare a unui factor de producție, utilizarea suplimentară a muncii duce la o scădere a produsului său marginal al muncii. Capitalul devine relativ rar, prin urmare, valoarea lui (produsul marginal) crește. Prin urmare, rata marginală a substituției tehnologice scade pe măsură ce utilizarea forței de muncă în producție crește pentru aceeași producție. În cazul complementarității stricte a resurselor, rata de substituție este zero. Pentru resursele care sunt substitute absolute, rata de substituție este constantă.

Rata marginală de substituție depinde de unitățile în care sunt măsurate volumele de resurse utilizate. Indicatorul de elasticitate de substituție nu are un astfel de dezavantaj. Acesta arată cum raportul dintre cantitățile de resurse trebuie să se modifice pentru ca rata marginală de substituție să se modifice cu 1%. Indicatorul de elasticitate de substituție nu depinde de unitățile în care este măsurat LȘi K, deoarece atât numărătorul cât și numitorul (5.6) sunt reprezentați prin mărimi relative.

Elasticitatea substituției (E) este definită ca modificarea procentuală a ratei marginale de substituție tehnică:

E= % / % (5.6)

Indicator de intensitate a aplicației a diverselor resurse dintr-o anumită producție este caracterizată de raportul capital-muncă (K/L). Grafic, corespunde pantei liniei de creștere (Fig. 5.1) pentru diverse tehnologii ( T1, T2, T3). Linii de creștere caracterizarea modalităților posibile din punct de vedere tehnic de extindere a producției, trecerea de la o izocuanta mai mică la una mai mare. Printre posibilele linii de creștere, un loc aparte îl ocupă izoclinele , de-a lungul căruia rata marginală de substituție tehnică a resurselor pentru orice volum de producție este constantă. Pentru o funcție de producție omogenă, izoclinul este reprezentat de o rază trasă de la origine, de-a lungul căreia rata marginală de substituție tehnică și raportul K/L au aceeași valoare.

Tabelul 5.1. Tipuri de funcții de producție

Funcția de producție– dependența volumelor de producție de cantitatea și calitatea factorilor de producție disponibili, exprimată cu ajutorul unui model matematic. Funcția de producție face posibilă identificarea cantității optime de costuri necesare pentru producerea unei anumite porțiuni de mărfuri. În același timp, funcția este întotdeauna destinată unei anumite tehnologii - integrarea noilor dezvoltări atrage după sine necesitatea revizuirii dependenței.

Funcția de producție: formă și proprietăți generale

Funcțiile de producție sunt caracterizate de următoarele proprietăți:

• Creșterea volumelor de producție datorită unui factor de producție este întotdeauna maximă (de exemplu, un număr limitat de specialiști poate lucra într-o cameră).

• Factorii de producție sunt interschimbabili ( resurse umane sunt înlocuite de roboți) și complementare (muncitorii au nevoie de unelte și mașini).

În general, funcția de producție arată astfel:

Q = f (K, M, L, T, N),

Introducere …………………………………………………………………………..3

Capitol eu .4

1.1. Factorii de producţie……………………………………………………….4

1.2. Funcția de producție și conținutul ei economic…………….9

1.3. Elasticitatea substituirii factorilor………………………………………..13

1.4. Elasticitatea funcției de producție și revenirea la scară………16

1.5. Proprietățile funcției de producție și principalele caracteristici ale funcției de producție……………………………………………………..19

Capitolul II. Tipuri de funcții de producție……………………………..23

2.1. Determinarea funcțiilor de producție liniar omogene………23

2.2. Tipuri de funcții de producție liniar omogene………..25

2.3. Alte tipuri de funcții de producție……………………………….28

Anexa……………………………………………………………………………………………..30

Concluzie……………………………………………………………………………………………….32

Lista referințelor……………………………………………………………………...34

Introducere

In conditii societate modernă niciun om nu poate consuma decât ceea ce el însuși produce. Pentru cel mai mult satisfacție deplinăÎn funcție de nevoile lor, oamenii sunt nevoiți să schimbe ceea ce produc. Fără producție constantă nu ar exista consum de bunuri. Prin urmare, este de mare interes să se analizeze modelele care funcționează în procesul de producție a mărfurilor, care ulterior modelează oferta lor pe piață.

Procesul de producție este conceptul de bază și original al economiei. Ce se înțelege prin producție?

Toată lumea știe că producția de bunuri și servicii de la zero este imposibilă. Pentru a produce mobilier, alimente, îmbrăcăminte și alte bunuri este necesar să existe materii prime adecvate, echipamente, spații, o bucată de pământ și specialiști care organizează producția. Tot ceea ce este necesar pentru organizarea procesului de producție se numește factori de producție. În mod tradițional, factorii de producție includ capitalul, munca, pământul și antreprenoriatul.

Pentru a organiza procesul de producție factori necesari producția trebuie să fie prezentă într-o anumită cantitate. Se numește dependența volumului maxim al unui produs produs de costurile factorilor utilizați funcția de producție .

Capitol eu . Funcții de producție, concepte de bază și definiții .

1.1. Factori de productie

Baza materială a oricărei economii este formată din producție. Economia globală a acelei țări depinde de măsura în care producția este dezvoltată într-o țară.

La rândul lor, sursele oricărei producții sunt resursele de care dispune o anumită societate. „Resursele sunt disponibilitatea mijloacelor de muncă, a obiectelor de muncă, a banilor, a bunurilor sau a oamenilor pentru utilizare acum sau în viitor.”

Astfel, factorii de producție sunt un ansamblu al acelor forțe (resurse) naturale, materiale, sociale și spirituale care pot fi utilizate în procesul de creare a bunurilor, serviciilor și a altor valori. Cu alte cuvinte, factorii de producție sunt acele lucruri care au o anumită influență asupra producției în sine.

În teoria economică, resursele sunt de obicei împărțite în trei grupuri:

1. Munca este totalitatea abilităților fizice și mentale ale unei persoane care pot fi utilizate în procesul de fabricare a unui produs sau de furnizare a unui serviciu.

2. Capital (fizic) – clădiri, structuri, mașini, echipamente, vehicule necesare producției.

3. Resurse naturale– pământul și subsolul acestuia, lacurile de acumulare, pădurile etc. Tot ceea ce poate fi folosit în producție într-o formă naturală, neprelucrată.

Prezența sau absența factorilor de producție într-o țară determină dezvoltarea economică a acesteia. Factorii de producție, într-o oarecare măsură, sunt potențialul de creștere economică. Modul în care acești factori sunt utilizați depinde pozitia generala treburile din economia ţării.

Ulterior, dezvoltarea teoriei „trei factori” a condus la o definiție mai extinsă a factorilor de producție. În prezent, acestea includ:

2. teren (resurse naturale);

3. capital;

4. capacitatea antreprenorială;

Trebuie remarcat faptul că toți acești factori sunt strâns legați. De exemplu, productivitatea muncii crește brusc atunci când se utilizează rezultatele progresului științific și tehnologic.

Astfel, factorii de producție sunt factori care au un anumit impact asupra procesului de producție în sine. De exemplu, prin creșterea capitalului prin achiziționarea de noi echipamente de producție, puteți crește volumele de producție și puteți crește veniturile din vânzările de produse.

Este necesar să se ia în considerare mai detaliat factorii de producție existenți.

Munca este o activitate umană cu scop, cu ajutorul căreia el transformă natura și o adaptează la nevoile sale. În teoria economică, munca ca factor de producție se referă la orice efort mental și fizic exercitat de oameni în procesul de activitate economică.

Vorbind despre muncă, este necesar să ne oprim asupra unor concepte precum productivitatea muncii și intensitatea muncii. Intensitatea muncii caracterizează intensitatea muncii, care este determinată de gradul de cheltuire a energiei fizice și mentale pe unitatea de timp. Intensitatea muncii crește pe măsură ce transportorul accelerează, cantitatea de echipamente deservite simultan crește, iar pierderea timpului de lucru scade. Productivitatea muncii arată cât de mult producție este produsă pe unitatea de timp.

Pentru a crește productivitatea muncii, progresul științei și tehnologiei joacă un rol decisiv. De exemplu, introducerea transportoarelor la începutul secolului al XX-lea a dus la o creștere bruscă a productivității muncii. Organizarea producției transportoare s-a bazat pe principiul diviziunii fracționate a muncii.

Revoluția științifică și tehnologică a dus la schimbări în natura muncii. Munca a devenit mai calificată, munca fizică are din ce în ce mai puțină importanță în procesul de producție.

Vorbind despre pământ ca factor de producție, ne referim nu numai la pământul în sine, ci și la apă, aer și alte resurse naturale.

Capitalul ca factor de producție este identificat cu mijloacele de producție. Capitalul este format din bunuri de folosință îndelungată create de sistemul economic pentru producerea altor bunuri. O altă viziune asupra capitalului este legată de forma sa monetară. Capitalul, atunci când este încorporat în finanțe neinvestite încă, este o sumă de bani. Toate aceste definiții au o idee comună, și anume, capitalul se caracterizează prin capacitatea de a genera venituri.

Există capital fizic sau fix, capital de lucru și capital uman. Capitalul fizic este capitalul materializat în clădiri, mașini și echipamente care funcționează în procesul de producție de câțiva ani. Un alt tip de capital, inclusiv materii prime, materiale, resurse energetice, este cheltuit într-unul ciclu de producție. Se numește capital de lucru. Banii cheltuiți pentru capitalul de lucru sunt returnați integral antreprenorului după vânzarea produselor. Costurile de capital fix nu pot fi recuperate atât de repede. Capitalul uman provine din educație, pregătire și sănătate fizică.

Capacitatea antreprenorială este un factor special de producție cu ajutorul căruia alți factori de producție sunt asamblați într-o combinație eficientă.

Progresul științific și tehnologic este un motor important al creșterii economice. Acesta acoperă o întreagă gamă de fenomene care caracterizează îmbunătățirea procesului de producție. Progresul științific și tehnologic include îmbunătățirea tehnologiilor, noi metode și forme de management și organizare a producției. Progresul științific și tehnologic face posibilă combinarea acestor resurse într-un mod nou pentru a crește producția finală a produselor. În acest caz, de regulă, apar industrii noi, mai eficiente. Creșterea eficienței muncii devine principalul factor de producție.

Dar este necesar să înțelegem că nu există o relație directă între factorii de producție și volumul producției. De exemplu, prin angajarea de noi angajați, o întreprindere creează premisele pentru producerea unui volum suplimentar de produse. Dar, în același timp, fiecare nou angajat atras crește costurile cu forța de muncă pentru întreprindere. În plus, nu există nicio garanție că produsele lansate suplimentar vor fi solicitate de cumpărător și că compania va primi venituri din vânzarea acestor produse.

Astfel, vorbind despre relația dintre factorii de producție și volumul producției, este necesar să înțelegem că această relație este determinată de o combinație rezonabilă a acestor factori, ținând cont de cererea existentă de produse fabricate.

Un rol important în înțelegerea problemei combinării factorilor de producție îl joacă așa-numita teorie a utilității marginale și costul marginal, a cărui esență este că fiecare unitate suplimentară a aceluiași tip de bun aduce din ce în ce mai puține beneficii consumatorului și necesită costuri crescânde de la producător. Teoria modernă Producția se bazează pe conceptul de rentabilitate descrescătoare sau de produs marginal și consideră că toți factorii de producție sunt implicați în mod interdependent în crearea unui produs.

Obiectivul principal al oricărei întreprinderi este maximizarea profiturilor. O modalitate de a realiza acest lucru este printr-o combinație judicioasă de factori de producție. Dar cine poate determina ce proporții de factori de producție sunt acceptabile pentru o anumită întreprindere, o anumită industrie? Întrebarea este câți și ce factori de producție ar trebui folosiți pentru a obține profitul maxim posibil.

Această problemă este una dintre problemele rezolvate de economia matematică, iar modalitatea de rezolvare a acesteia este identificarea relației matematice dintre factorii de producție utilizați și volumul producției, adică în construirea unei funcții de producție.

1.2. Funcția de producție și conținutul ei economic

Ce este o funcție din punctul de vedere al științei matematice?

O funcție este dependența unei variabile de alte (alte) variabile, exprimată după cum urmează:

Unde X este variabila independentă și y- dependent de X funcţie.

Schimbarea unei variabile X duce la o schimbare a funcției y .

Funcția a două variabile este exprimată prin dependență: z = f(x,y). Trei variabile: Q = f(x,y,z) și așa mai departe.

De exemplu, aria unui cerc: S ( r )=π r 2 - este o funcție a razei sale, iar cu cât raza este mai mare, cu atât aria cercului este mai mare.

Constatăm că funcția de producție este o relație matematică între volumul maxim de producție pe unitatea de timp și combinația de factori care o creează, având în vedere nivelul existent de cunoștințe și tehnologie. În același timp, sarcina principală a economiei matematice din punct de vedere practic este de a identifica această dependență, adică de a construi o funcție de producție pentru o anumită industrie sau o anumită întreprindere.

În teoria producției, se utilizează în principal o funcție de producție cu doi factori, care este în general scrisă după cum urmează:

Q = f ( K , L ), (1.1)

În același timp, factori precum progresul tehnic și capacitatea antreprenorială sunt considerați neschimbați într-o perioadă relativ scurtă de timp și nu afectează volumul producției, iar factorul „teren” este considerat împreună cu „capital”.

Funcția de producție determină relația dintre producția Q și factorii de producție: capital K, muncă L. Funcția de producție descrie multe modalități eficiente din punct de vedere tehnic de a produce un volum dat de producție. Eficiența tehnică a producției este caracterizată prin utilizarea unei cantități minime de resurse pentru un anumit volum de producție. De exemplu, o metodă de producție este considerată mai eficientă dacă implică utilizarea a cel puțin o resursă în mai puțin și toate celelalte nu în Mai mult decât alte metode. Dacă o metodă presupune utilizarea unor resurse în cantități mai mari și altele în cantități mai mici decât o altă metodă, atunci aceste metode nu sunt comparabile ca eficiență tehnică. În acest caz, ambele metode sunt considerate eficiente din punct de vedere tehnic și sunt comparate folosind eficiență economică. Cel mai eficient mod din punct de vedere al costurilor de a produce un anumit volum de producție este considerat a fi cel în care costul utilizării resurselor este minim.

Grafic, fiecare metodă poate fi reprezentată printr-un punct, ale cărui coordonate caracterizează cantitatea minimă de resurse L și K, iar funcția de producție - printr-o linie de ieșire egală sau izocuanta. Fiecare izocuanta reprezintă setul de modalități eficiente din punct de vedere tehnic de a produce o anumită cantitate de ieșire. Cu cât izocuanta este mai departe de origine, cu atât este mai mare volumul de ieșire pe care îl oferă. În figura 1.1. sunt date trei izocuante corespunzătoare producției de 100, 200 și 300 de unități de producție, deci putem spune că pentru a produce 200 de unități de producție este necesar să luăm fie K 1 unități de capital și L 1 unități de muncă, fie K 2 unități de capital și L 2 unități de muncă sau o combinație a acestora furnizată de izocuanta Q 2 =200.

Q3 =300

Figura 1.1. Izocuante reprezentând diferite niveluri eliberare

Este necesar să se definească concepte precum izocuanta și izocostul.

Izocuanta este o curbă care reprezintă toate combinațiile posibile de două costuri care asigură un anumit volum constant de producție (reprezentat în Figura 1.1 printr-o linie continuă).

Isocost - o linie formată din mai multe puncte care arată câți factori combinați de producție sau resurse pot fi achiziționați având în vedere cantitatea disponibilă bani gheata(în Figura 1.1. reprezentată printr-o linie punctată - tangentă la izocuanta în punctul de combinare a resurselor).

Punctul de tangență dintre izocuanta și izocostul este combinația optimă de factori pentru o anumită întreprindere. Punctul de tangență se găsește prin rezolvarea unui sistem de două ecuații care exprimă izocuanta și izocostul.

Principalele proprietăți ale funcției de producție sunt:

1. Continuitatea funcției, adică graficul acesteia reprezintă o linie continuă, neîntreruptă;

2. Producția nu este posibilă în absența a cel puțin unuia dintre factori;

3. O creștere a costurilor oricăruia dintre factorii cu cantități constante ale celuilalt duce la o creștere a producției;

4. Este posibil să se mențină producția la un nivel constant prin înlocuirea unei anumite cantități a unui factor cu utilizarea suplimentară a altuia. Adică, scăderea utilizării forței de muncă poate fi compensată prin utilizarea suplimentară a capitalului (de exemplu, prin achiziționarea de noi echipamente de producție care este întreținută de mai puțini lucrători).

1.3. Elasticitatea substituției factorilor

Pe baza celor de mai sus, putem concluziona că problema principală a funcției de producție este problema combinației corecte a factorilor de producție la care nivelul producției va fi optim, adică aducând cel mai mare profit. Pentru a găsi combinația optimă, este necesar să răspundem la întrebarea: Cu ce ​​valoare ar trebui crescute costurile unui factor în timp ce costurile altuia sunt reduse cu unul? Problema relaţiei dintre costurile factorilor de producţie substituiţi se rezolvă prin introducerea unui astfel de concept ca

O măsură a interschimbabilității factorilor de producție este rata marginală de substituție tehnică MRTS (rata marginală de substituție tehnică), care arată câte unități poate fi redus unul dintre factori prin creșterea unui alt factor cu unul, păstrând producția neschimbată.

Rata marginală de substituție tehnică este caracterizată de panta izocuantelor. O pantă mai abruptă a izocuantei indică faptul că, pe măsură ce cantitatea de muncă crește cu o unitate, mai multe unități de capital vor trebui renunțate pentru a menține un anumit nivel de producție. MRTS este exprimat prin formula:

MRTS L , K =–DK/DL

Izocuanții pot avea diferite configurații.

Izocuanta liniară din Figura 1.2(a) presupune substituția perfectă a intrărilor, adică o ieșire dată poate fi produsă folosind fie forță de muncă, fie capital, fie o combinație a acestor intrări.

Izocuanta prezentată în Figura 1.2(b) este tipică pentru cazul complementarității stricte a resurselor. În acest caz, este cunoscută o singură metodă de producție eficientă din punct de vedere tehnic. O astfel de izocuanta este uneori numită izocuanta de tip Leontief (vezi mai jos), numită după economistul V.V. Leontiev, care a propus acest tip de izocuanta. Figura 1.2(c) prezintă o izocuanta ruptă, care presupune prezența mai multor metode de producție (P). În acest caz, rata marginală a substituției tehnice scade atunci când se deplasează de-a lungul izocuantei de sus în jos. O izocuanta de configurație similară este utilizată în programarea liniară, o metodă de analiză economică. Izocuanta ruptă reprezintă în mod realist posibilități de producție producție modernă. În cele din urmă, Figura 1.2(d) prezintă o izocuantă, care presupune posibilitatea de substituibilitate continuă, dar nu perfectă, a resurselor.

K a) KQ 2 b)

Figura 1.2. Configurații posibile ale izocuanților.

1.4. Elasticitatea funcției de producție și revenirea la scară.

Produsul marginal al unei anumite resurse caracterizează modificarea absolută a producției unui produs per unitate de modificare a consumului unei anumite resurse, iar modificările sunt presupuse a fi mici. Pentru funcția de producție produsul marginal al i-resursei este egal cu derivata parțială: .

Influența unei modificări relative a consumului factorului i asupra producției unui produs, prezentată și sub formă relativă, se caracterizează prin elasticitatea parțială a producției în raport cu costurile acestui produs:

Pentru simplitate, vom nota . Elasticitatea parțială a funcției de producție este egală cu raportul dintre produsul marginal al unei resurse date și produsul ei mediu.

Sa luam in considerare caz special, când elasticitatea funcției de producție față de un argument este o valoare constantă.

Dacă, în raport cu valorile inițiale ale argumentelor x 1, x 2,...,x n, unul dintre argumente (i-a) se schimbă o dată, iar restul rămân la aceleași niveluri, atunci modificarea în ieșirea produsului este descrisă de o funcție de putere: . Presupunând I=1, aflăm că A=f(x 1 ,…,x n), și deci .

În cazul general, când elasticitatea este o valoare variabilă, egalitatea (1) este aproximativă pentru valorile lui I apropiate de unitate, adică. pentru I=1+e, și cu cât este mai precis, cu atât e/de zero este mai aproape.

Să se modifice acum costurile tuturor resurselor cu factorul I. Aplicând în mod consecvent tehnica descrisă la x 1 , x 2 ,…,x n , putem fi convinși că acum

Suma elasticităților parțiale ale unei funcții asupra tuturor argumentelor sale se numește elasticitatea totală a funcției. Introducând o notație pentru elasticitatea totală a funcției de producție, putem reprezenta rezultatul ca

Egalitatea (2) arată că elasticitatea deplină a funcției de producție permite ca randamentele la scară să primească o expresie numerică. Lăsați consumul tuturor resurselor să crească ușor, menținând toate proporțiile (I>1). Dacă E>1, atunci producția a crescut de mai mult de I ori (creșterea randamentelor la scară) și dacă E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Distingerea perioadelor scurte și lungi atunci când descriem caracteristicile de producție este o schematizare grosieră. Modificarea volumului de consum al diverselor resurse - energie, materiale, forță de muncă, mașini, clădiri etc. - necesită timpuri diferite. Să presupunem că resursele sunt renumerotate în ordinea descrescătoare a mobilității: cea mai rapidă modalitate de schimbare este x 1, apoi x 2 etc., iar schimbarea x n durează cel mai mult. Se poate distinge o perioadă ultra-scurtă sau zero, când nici un singur factor nu se poate schimba; 1a perioadă, când se modifică doar x 1; a 2-a perioadă, permițând modificări în x 1 și x 2 etc.; în cele din urmă, o perioadă lungă sau a n-a, în timpul căreia volumele tuturor resurselor se pot schimba. Există astfel n+1 perioade diferite.

Având în vedere unele intermediare ca mărime, k-a perioadă, se poate vorbi de revenirea la scară corespunzătoare acestei perioade, adică de o modificare proporțională a volumelor acelor resurse care se pot modifica în această perioadă, i.e. x 1, x 2,…, x k. Volumele x k +1, x n, menținând valorile fixe. Revenirea corespunzătoare la scară este e 1 +e 2 +…+e k .

Prin extinderea perioadei, adăugăm următorii termeni la această sumă până când obținem valoarea lui E pentru perioada lungă.

Deoarece funcția de producție crește în fiecare argument, toate elasticitățile parțiale e 1 sunt pozitive. Rezultă că, cu cât perioada este mai lungă, cu atât randamentele la scară sunt mai mari.

1.5. Proprietățile funcției de producție

Pentru fiecare tip de producție, se poate construi propria sa funcție de producție, totuși, fiecare dintre ele va avea următoarele proprietăți fundamentale:

1. Există o limită a creșterii volumului producției, care se realizează prin creșterea utilizării unei resurse, celelalte lucruri fiind egale. Un exemplu este imposibilitatea creșterii volumului producției (la atingerea unei anumite valori) la o anumită întreprindere prin atragerea de noi lucrători cu active fixe date. Este posibil să se ajungă la un punct în care fiecărui muncitor individual nu i se va asigura mijloacele de muncă pentru muncă, un loc de muncă, prezența lui va fi o piedică pentru alți muncitori, iar creșterea producției din angajarea acestui muncitor marginal se va apropia de zero sau chiar deveni negativ.

2. Există o anumită complementaritate reciprocă a factorilor de producție, dar fără o reducere a volumului producției este posibilă și o anumită substituibilitate reciprocă. De exemplu, pentru a obține o anumită cultură, o anumită dimensiune a suprafeței de cultură poate fi cultivată de un număr mare de muncitori manual, fără utilizarea îngrășămintelor și a mijloacelor moderne de producție. În aceeași zonă, mai mulți muncitori care folosesc mașini complexe și o varietate de îngrășăminte pot lucra pentru a produce cantitatea necesară de recoltă. De remarcat că, sub rezerva complementarității, niciuna dintre resursele tradiționale (pământ, forță de muncă, capital) nu poate fi complet înlocuită de altele (nu va exista complementaritate). Mecanismul de substituție reciprocă funcționează pe premisa opusă: un tip de resursă poate fi înlocuit cu altul. Complementaritatea și substituția reciprocă au direcția opusă. Dacă complementaritatea necesită disponibilitatea obligatorie a tuturor resurselor, atunci substituirea reciprocă în forma sa extremă poate duce la excluderea completă a unora dintre ele.

Analiza funcției de producție sugerează necesitatea de a face distincția între perioadele de timp pe termen scurt și cele pe termen lung. În primul caz, ne referim la un interval de timp în care volumul producției poate fi reglat doar prin modificarea numărului de factori variabili utilizați, în timp ce costurile fixe rămân neschimbate. Factorii de producție ale căror costuri nu se modifică pe termen scurt se numesc constanți.

În consecință, factorii de producție, a căror dimensiune se modifică pe termen scurt, sunt variabili. Perioada de timp pe termen lung este considerată ca un interval care este suficient pentru ca întreprinderea să modifice costurile tuturor factorilor de producție. Aceasta înseamnă că în acest caz nu există limite pentru creșterea volumului producției și toți factorii devin variabili. În forma cea mai generală, diferențele dintre intervalele pe termen scurt și cele pe termen lung pot fi reduse la următoarele.

În primul rând, se referă la condițiile de afaceri. Pe termen scurt, o extindere semnificativă a volumului de producție este imposibilă este limitată de capacitatea de producție existentă a companiei. Pe termen lung, o firmă are mai multă libertate de a crește producția, deoarece toți factorii de producție devin variabili.

În al doilea rând, este necesar să se țină cont de specificul costurilor de producție. Perioada de scurtă durată se caracterizează prin prezența costurilor de producție atât fixe, cât și variabile pe termen lung, toate costurile devin constante;

În al treilea rând, perioada de scurtă durată presupune permanența firmelor care operează într-o anumită industrie. Pe termen lung, există o posibilitate reală ca noi concurenți să intre sau să intre în industrie.

În al patrulea rând, este necesar să se determine posibilitățile de extragere a profitului economic în perioadele analizate. Pe termen lung, profitul economic este zero. Pe termen scurt, profitul economic poate fi fie pozitiv, fie negativ.

PF satisface următoarele serii de proprietăți:

1) fără resurse nu există eliberare, adică. f(0,0,a)=0;

2) în absența a cel puțin uneia dintre resurse, nu există eliberare, i.e. ;

3) odată cu creșterea costurilor a cel puțin unei resurse, volumul producției crește;

4) cu o creștere a costurilor unei resurse în timp ce cantitatea unei alte resurse rămâne neschimbată, volumul producției crește, adică dacă x>0, atunci ;

5) cu o creștere a costurilor unei resurse, în timp ce cantitatea unei alte resurse rămâne neschimbată, valoarea creșterii producției pentru fiecare unitate suplimentară a resursei i-a nu crește (legea randamentelor descrescătoare), adică daca atunci ;

6) odată cu creșterea unei resurse, eficiența marginală a unei alte resurse crește, adică dacă x>0, atunci ;

7) PF este o funcție omogenă, i.e. ; când p>1 avem o creștere a eficienței producției dintr-o creștere a scarii producției; la p<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Capitol II . Tipuri de funcții de producție

2.1. Definiția este liniară - funcții de producție omogene

Se spune că o funcție de producție este de grad omogen n dacă, atunci când resursele sunt înmulțite cu un anumit număr k, volumul de producție rezultat va diferi de kn ori de cel inițial. Condițiile de omogenitate a funcției de producție sunt scrise după cum urmează:

Q = f (kL, kK) = knQ

De exemplu, 9 ore de muncă (L) și 9 ore de muncă la mașină (K) sunt cheltuite pe zi. Să presupunem că, cu o combinație dată de factori L și K, compania poate produce produse în valoare de 200 de mii de ruble pe zi. În acest caz, funcția de producție Q = F(L,K) va fi reprezentată prin următoarea egalitate:

Q = F(9; 9) = 200.000, unde F este un anumit tip de formulă algebrică în care sunt înlocuite valorile lui L și T.

Să presupunem că o companie decide să dubleze munca capitalului și utilizarea forței de muncă, ceea ce duce la o creștere a volumului producției la 600 de mii de ruble. Constatăm că înmulțirea factorilor de producție cu 2 duce la o creștere a volumului producției de 3 ori, adică folosind condițiile de omogenitate ale funcției de producție:

Q = f (kL, kK) = knQ, obținem:

Q = f (2L, 2K) = 2×1,5×Q, adică în acest caz avem de-a face cu o funcție de producție omogenă de gradul 1,5.

Exponentul n se numește grad de omogenitate.

Dacă n = 1, atunci se spune că funcția este omogenă de gradul I sau omogenă liniar. O funcție de producție liniar omogenă este interesantă deoarece se caracterizează prin randamente constante, adică pe măsură ce factorii de producție cresc, volumul producției crește constant în aceeași măsură.

Dacă n>1, atunci funcția de producție demonstrează randamente în creștere, adică o creștere a factorilor de producție duce la o creștere și mai mare a volumului producției (de exemplu: o dublare a factorilor duce la o creștere de 2 ori a volumului; un 3 -creșterea de ori duce la o creștere de 6 ori – la o creștere de 12 ori etc.) Dacă n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).

2.2. Tipuri de funcții de producție liniar omogene

Exemple de funcții de producție liniar omogene sunt funcția de producție Cobb-Douglas și elasticitatea constantă a funcției de producție de substituție.

Funcția de producție a fost calculată pentru prima dată în anii 1920 pentru industria de producție din SUA de către economiștii Cobb și Douglas. Cercetările lui Paul Douglas în industria prelucrătoare din SUA și prelucrarea sa ulterioară de către Charles Cobb au condus la apariția unei expresii matematice care descrie impactul utilizării forței de muncă și a capitalului asupra producției în industria prelucrătoare, sub forma egalității:

Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73×Ln(L) + 0,27×Ln(K)

În general, funcția de producție Cobb-Douglas are forma:

Q = AK α L β ν

lnQ = lnA + α lnK + βlnL + lnν

Dacă α+β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, atunci există o rentabilitate crescândă pe scara de utilizare a factorilor de producție (Fig. 1.2.b).

În funcția de producție Cobb-Douglas, coeficienții de putere α și β se adună pentru a exprima gradul de omogenitate al funcției de producție:

Rata maximă de înlocuire tehnică a capitalului cu forță de muncă pentru o anumită tehnologie este determinată de formula:

׀MRTS L , K ׀ =

Dacă te uiți îndeaproape la funcția Cobb-Douglas pentru industria prelucrătoare din SUA, calculată în anii 1920, poți încă o dată, folosind un exemplu specific, să observi că funcția de producție este o expresie matematică (prin o anumită formă algebrică) a dependenței a volumelor de producție (Q) pe volumele de utilizare a factorilor de producție (L și K). Astfel, prin atribuirea unor valori specifice variabilelor L și K, este posibil să se determine volumele așteptate de producție (Q) pentru industria prelucrătoare din SUA în anii 1920.

Elasticitatea substituției în funcția de producție Cobb-Douglas este întotdeauna egală cu 1.

Dar funcția de producție Cobb-Douglas a avut unele neajunsuri. Pentru a depăși limitarea funcției Cobb-Douglas, care este întotdeauna omogenă la primul grad, o funcție de producție cu elasticitate constantă de substituție a fost propusă în 1961 de mai mulți economiști (K. Arrow, H. Chenery, B. Minhas și R. Atat de jos). Aceasta este o funcție de producție liniar omogenă, cu elasticitate constantă a substituției resurselor. Ulterior, a fost propusă și o funcție de producție cu elasticitate variabilă de substituție. Este o generalizare a funcției de producție cu o elasticitate constantă a substituției, permițând ca elasticitatea substituției să se modifice odată cu modificarea relației dintre resursele cheltuite.

O funcție de producție liniar omogenă cu elasticitate constantă a substituției de resurse are următoarea formă:

Q = a -1/b,

Elasticitatea substituției factorilor pentru o funcție de producție dată este determinată de formula:

2.3. Alte tipuri de funcții de producție

Un alt tip de funcție de producție este funcția de producție liniară, care are următoarea formă:

Q(L,K) = aL + bK

Această funcție de producție este omogenă de gradul I, prin urmare, are randamente constante la scară de producție. Grafic, această funcție este prezentată în Figura 1.2, a.

Semnificația economică a unei funcții de producție liniare este că descrie producția în care factorii sunt interschimbabili, adică nu contează dacă folosești doar muncă sau doar capital. Dar în viața reală, o astfel de situație este practic imposibilă, deoarece orice mașină este încă deservită de o persoană.

Coeficienții a și b ai funcției, care se găsesc sub variabilele L și K, arată proporțiile în care un factor poate fi înlocuit cu altul. De exemplu, dacă a=b=1, atunci aceasta înseamnă că 1 oră de muncă poate fi înlocuită cu 1 oră de timp de mașină pentru a produce același volum de producție.

De remarcat că în unele tipuri de activitate economică, munca și capitalul nu se pot înlocui deloc și trebuie utilizate într-o proporție fixă: 1 muncitor - 2 utilaje, 1 autobuz - 1 șofer. În acest caz, elasticitatea înlocuirii factorilor este zero, iar tehnologia de producție este reflectată de funcția de producție Leontief:

Q(L,K) = min(; ),

Dacă, de exemplu, fiecare autobuz de cursă lungă trebuie să aibă doi șoferi, atunci dacă în flota de autobuze sunt 50 de autobuze și 90 de șoferi, doar 45 de rute pot fi deservite simultan:
min(90/2;50/1) = 45.

Aplicație

Exemple de rezolvare a problemelor folosind funcții de producție

Problema 1

O firmă angajată în transportul fluvial folosește forță de transport (L) și feriboturi (K). Funcția de producție are forma . Prețul pe unitatea de capital este 20, prețul pe unitatea de muncă este 20. Care va fi panta izocostului? Câtă muncă și capital trebuie să atragă firma pentru a efectua 100 de transporturi?

3. capital;

4. capacitatea antreprenorială;

5. progresul științific și tehnologic.

Toți acești factori sunt strâns legați.

O funcție de producție este o relație matematică între volumul maxim de producție pe unitatea de timp și combinația de factori care o creează, având în vedere nivelul existent de cunoștințe și tehnologie. Mai mult, sarcina principală a economiei matematice din punct de vedere practic este de a identifica această dependență, adică de a construi o funcție de producție pentru o anumită industrie sau o anumită întreprindere.

În teoria producției, ei folosesc în principal o funcție de producție cu doi factori, care, în general, arată astfel:

Q = f ( K , L ), unde Q este volumul de producție; K - capital; L – travaliu.

Problema relației dintre costurile de substituție a factorilor de producție este rezolvată folosind un astfel de concept ca elasticitatea substituirii factorilor de productie.

Elasticitatea substituției este raportul dintre costurile factorilor de producție care se înlocuiesc cu un volum constant de producție. Acesta este un fel de coeficient care arată gradul de eficiență al înlocuirii unui factor de producție cu altul.

O măsură a interschimbabilității factorilor de producție este rata marginală de substituție tehnică MRTS, care arată câte unități poate fi redus unul dintre factori prin creșterea unui alt factor cu unul, păstrând producția neschimbată.

O izocuanta este o curbă care reprezintă toate combinațiile posibile de două costuri care asigură un volum constant de producție dat.

Fondurile sunt de obicei limitate. O linie formată din mai multe puncte care arată câți factori combinați de producție sau resurse pot fi achiziționați cu fondurile disponibile se numește izocost. Astfel, combinația optimă de factori pentru o anumită întreprindere este soluția generală a ecuațiilor de izocost și izocuanta. Grafic, acesta este punctul de tangență dintre liniile de izocost și izocuanta.

Funcția de producție poate fi scrisă într-o varietate de forme algebrice. De obicei, economiștii lucrează cu funcții de producție liniar omogene.

Lucrarea a examinat, de asemenea, exemple specifice de rezolvare a problemelor cu ajutorul funcțiilor de producție, ceea ce ne-a permis să concluzionam că acestea au o importanță practică deosebită în activitatea economică a oricărei întreprinderi.

Bibliografie

1. Dougherty K. Introducere în econometrie. – M.: Finanțe și Statistică, 2001.

2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. Metode matematice în economie: Manual. – M.: Editura. „DIS”, 1997.

3. Curs de teorie economică: manual. – Kirov: „ASA”, 1999.

4. Microeconomie. Ed. Prof. Yakovleva E.B. – M.: Sankt Petersburg. Căutare, 2002.

5. Salmanov O. Economie matematică. – M.: BHV, 2003.

6. Churakov E.P. Metode matematice de prelucrare a datelor experimentale în economie. – M.: Finanțe și Statistică, 2004.

7. Shelobaev S.I. Metode și modele matematice în economie, finanțe, afaceri. – M.: Unitate-Dana, 2000.

Dicționar comercial mare./Ed. Ryabova T.F. – M.: Război și pace, 1996. P. 241.

funcţia economică costurile rurale

Pentru a descrie comportamentul unei companii este necesar să se știe cât de mult dintr-un produs poate produce folosind resurse în anumite volume. Vom pleca de la ipoteza că firma produce un produs omogen, a cărui cantitate se măsoară în unități naturale - tone, bucăți, metri etc. Dependența cantității de produs pe care o poate produce o firmă de volumul resurselor de intrare se numește funcție de producție.

Dar o întreprindere poate desfășura procesul de producție în moduri diferite, folosind diferite metode tehnologice, diferite opțiuni de organizare a producției, astfel încât cantitatea de produs obținută cu aceeași cheltuială de resurse poate fi diferită. Managerii de firme ar trebui să respingă opțiunile de producție care oferă o producție mai mică dacă se poate obține o producție mai mare cu aceleași costuri pentru fiecare tip de resursă. De asemenea, ar trebui să respingă opțiunile care necesită mai multe intrări de la cel puțin o intrare fără a crește randamentul sau a reduce aportul altor intrări. Opțiunile respinse din aceste motive sunt numite ineficiente din punct de vedere tehnic.

Să presupunem că compania dumneavoastră produce frigidere. Pentru a face corpul, trebuie să tăiați tabla de fier. În funcție de cum este marcată și tăiată o foaie standard de fier, pot fi tăiate mai multe sau mai puține părți din ea; În consecință, pentru a fabrica un anumit număr de frigidere, vor fi necesare mai puține sau mai multe foi standard de fier. În același timp, consumul tuturor celorlalte materiale, forță de muncă, echipamente și energie electrică va rămâne neschimbat. Această opțiune de producție, care ar putea fi îmbunătățită prin tăierea mai rațională a fierului, ar trebui considerată ineficientă din punct de vedere tehnic și respinsă.

Eficiente din punct de vedere tehnic sunt opțiunile de producție care nu pot fi îmbunătățite nici prin creșterea producției unui produs fără creșterea consumului de resurse, fie prin reducerea costurilor oricărei resurse fără reducerea producției și fără creșterea costurilor altor resurse. Funcția de producție ia în considerare doar opțiunile eficiente din punct de vedere tehnic. Valoarea sa este cea mai mare cantitate de produs pe care o poate produce o întreprindere având în vedere volumul consumat de resurse.

Să luăm mai întâi în considerare cel mai simplu caz: o întreprindere produce un singur tip de produs și consumă un singur tip de resursă. Un exemplu de astfel de producție este destul de greu de găsit în realitate. Chiar dacă luăm în considerare o întreprindere care prestează servicii la domiciliul clienților fără utilizarea niciunui echipament și materiale (masaj, tutorat) și folosește doar forța de muncă a muncitorilor, ar trebui să presupunem că lucrătorii se plimbă pe jos în jurul clienților (fără a folosi transportul). servicii) și negociați cu clienții fără ajutorul poștei și telefonului.

Deci, o întreprindere, cheltuind o resursă în cantitatea x, poate produce un produs în cantitatea q. Funcția de producție

stabilește o legătură între aceste cantități. Rețineți că aici, ca și în alte prelegeri, toate mărimile volumetrice sunt mărimi de tip flux: volumul de intrare a resursei este măsurat prin numărul de unități ale resursei pe unitatea de timp, iar volumul de ieșire este măsurat prin numărul de unități. de produs pe unitatea de timp.

În fig. 1 prezintă graficul funcției de producție pentru cazul în cauză. Toate punctele din grafic corespund unor opțiuni eficiente din punct de vedere tehnic, în special punctele A și B. Punctul C corespunde unei opțiuni ineficiente, iar punctul D unei opțiuni de neatins.

Orez. 1.

O funcție de producție de tip (1), care stabilește dependența volumului producției de volumul costurilor unei singure resurse, poate fi folosită nu numai în scopuri ilustrative. De asemenea, este util atunci când consumul unei singure resurse se poate modifica, iar costurile tuturor celorlalte resurse dintr-un motiv sau altul ar trebui considerate ca fiind fixe. În aceste cazuri, este de interes dependența volumului producției de costurile unui singur factor variabil.

O diversitate mult mai mare apare atunci când se consideră o funcție de producție care depinde de volumele a două resurse consumate:

q = f(x 1 , x 2), (2)

Analiza unor astfel de funcții facilitează trecerea la cazul general când numărul de resurse poate fi oricare. În plus, funcțiile de producție a două argumente sunt utilizate pe scară largă în practică atunci când un cercetător este interesat de dependența volumului producției de produse de cei mai importanți factori - costurile forței de muncă (L) și capitalul (K):

q = f(L, K), (3)

Graficul unei funcții a două variabile nu poate fi reprezentat într-un plan. O funcție de producție de tip (2) poate fi reprezentată în spațiu cartezian tridimensional, dintre care două coordonate (x 1 și x 2) sunt reprezentate pe axele orizontale și corespund costurilor cu resursele, iar a treia (q) este reprezentată pe axa verticală și corespunde producției de produs (Fig. 2) . Graficul funcției de producție este suprafața „dealului”, care crește cu fiecare dintre coordonatele x 1 și x 2. Construcția din fig. 1 poate fi considerată o secțiune verticală a „dealului” printr-un plan paralel cu axa x 1 și corespunzătoare unei valori fixe a celei de-a doua coordonate x 2 = x * 2.

Orez. 2.

costuri economice rurale

Secțiunea orizontală a „dealului” combină opțiuni de producție caracterizate printr-o ieșire fixă ​​a produsului q = q* cu diferite combinații de intrări ale primei și celei de-a doua resurse. Dacă secțiunea orizontală a suprafeței „dealului” este descrisă separat pe un plan cu coordonatele x 1 și x 2, se va obține o curbă care combină astfel de combinații de intrări de resurse care fac posibilă obținerea unui anumit volum fix de produs ( Fig. 3). O astfel de curbă se numește izocuanta funcției de producție (din grecescul isoz - același și cuantul latin - cât).

Orez. 3.

Să presupunem că funcția de producție descrie producția în funcție de forța de muncă și de capital. Aceeași cantitate de ieșire poate fi obținută cu diferite combinații de intrări ale acestor resurse. Puteți folosi un număr mic de mașini (adică să vă descurcați cu o investiție mică de capital), dar va trebui să cheltuiți o cantitate mare de muncă; Este posibil, dimpotrivă, să se mecanizeze anumite operații, să se mărească numărul de mașini și prin urmare să se reducă costurile cu forța de muncă. Dacă pentru toate astfel de combinații cea mai mare ieșire posibilă rămâne constantă, atunci aceste combinații sunt reprezentate de puncte situate pe aceeași izocuanta.

Fixând volumul producției de produs la un nivel diferit, obținem o altă izocuanta a aceleiași funcție de producție. După ce am efectuat o serie de secțiuni orizontale la diferite înălțimi, obținem așa-numita hartă izocuantă (Fig. 4) - cea mai comună reprezentare grafică a funcției de producție a două argumente. Este asemănător unei hărți geografice, pe care terenul este reprezentat cu linii de contur (cunoscute și sub numele de izohipse) - linii care leagă punctele situate la aceeași înălțime.

Este ușor de observat că funcția de producție este în multe privințe similară cu funcția de utilitate din teoria consumului, izocuanta cu curba de indiferență și harta izocuanta cu harta indiferenței. Mai târziu vom vedea că proprietățile și caracteristicile funcției de producție au multe analogii în teoria consumului. Și aceasta nu este o chestiune de simplă asemănare. În raport cu resursele, firma se comportă ca un consumator, iar funcţia de producţie caracterizează tocmai această latură a producţiei - producţia ca consum. Acesta sau acel set de resurse este util pentru producție în măsura în care permite obținerea volumului corespunzător de producție al produsului. Putem spune că valorile funcției de producție exprimă utilitatea pentru producerea setului corespunzător de resurse. Spre deosebire de utilitatea de consum, această „utilitate” are o măsură cantitativă complet definită - este determinată de volumul produselor produse.

Orez. 4.

Faptul că valorile funcției de producție se referă la opțiuni eficiente din punct de vedere tehnic și caracterizează cea mai mare producție atunci când se consumă un anumit set de resurse are și o analogie în teoria consumului. Consumatorul poate folosi bunurile achiziționate în diferite moduri. Utilitatea unui set de bunuri achizitionat este determinata de modul in care acestea sunt folosite in care consumatorul primeste cea mai mare satisfactie.

Cu toate acestea, în ciuda tuturor asemănărilor observate între utilitatea consumatorului și „utilitatea” exprimate prin valorile funcției de producție, acestea sunt concepte complet diferite. Consumatorul însuși, bazându-se doar pe propriile preferințe, determină cât de util este pentru el acest sau acel produs - cumpărându-l sau respingându-l. Un set de resurse de producție va fi în cele din urmă util în măsura în care consumatorul acceptă produsul care este produs folosind aceste resurse.

Deoarece funcția de producție are cele mai generale proprietăți ale funcției de utilitate, putem lua în considerare în continuare proprietățile sale principale fără a repeta argumentele detaliate prezentate în partea a II-a.

Vom presupune că o creștere a costurilor uneia dintre resurse, menținând în același timp costurile constante ale celeilalte, ne permite să creștem producția. Aceasta înseamnă că funcția de producție este o funcție crescătoare a fiecăruia dintre argumentele sale. Prin fiecare punct al planului resursei cu coordonatele x 1, x 2 trece o singură izocuanta. Toate izocuantele au o pantă negativă. Izocuanta corespunzătoare unui randament de produs mai mare este situată în dreapta și deasupra izocuantei pentru un randament mai mic. În cele din urmă, vom considera toate izocuantele ca fiind convexe în direcția originii.

În fig. Figura 5 prezintă câteva hărți izocuante care caracterizează diverse situații care apar în timpul consumului de producție a două resurse. Orez. 5a corespunde substituirii reciproce absolute a resurselor. În cazul prezentat în Fig. 5b, prima resursă poate fi complet înlocuită cu a doua: punctele izocuante situate pe axa x2 arată cantitatea din a doua resursă care permite obținerea unui anumit produs fără a utiliza prima resursă. Utilizarea primei resurse vă permite să reduceți costurile celei de-a doua, dar este imposibil să înlocuiți complet a doua resursă cu prima. Orez. 5,c descrie o situație în care ambele resurse sunt necesare și niciuna dintre ele nu poate fi înlocuită complet de cealaltă. În sfârșit, cazul prezentat în fig. 5d, se caracterizează prin complementaritatea absolută a resurselor.

Orez. 5.

Funcția de producție, care depinde de două argumente, are o reprezentare destul de clară și este relativ simplu de calculat. Trebuie remarcat faptul că economia folosește funcțiile de producție ale diferitelor obiecte - întreprinderi, industrii, economii naționale și mondiale. Cel mai adesea acestea sunt funcții de forma (3); uneori se adaugă un al treilea argument - costul resurselor naturale (N):

q = f(L, K, N), (4)

Acest lucru are sens dacă cantitatea de resurse naturale implicate în activitățile de producție este variabilă.

Cercetarea economică aplicată și teoria economică folosesc diferite tipuri de funcții de producție. În calculele aplicate, cerințele de calculabilitate practică ne obligă să ne limităm la un număr mic de factori, iar acești factori sunt considerați lărgiți - „muncă” fără împărțire în profesii și calificări, „capital” fără a lua în considerare compoziția sa specifică etc. . În analiza teoretică a producției, se poate scăpa de dificultățile computabilității practice.

Materiile prime de diferite grade ar trebui considerate ca diferite tipuri de resurse, la fel ca mașinile de diferite mărci sau forța de muncă care diferă în ceea ce privește caracteristicile profesionale și de calificare. Astfel, funcția de producție utilizată în teorie este o funcție a unui număr mare de argumente:

q = f(x 1 , x 2 ,..., x n), (5)

Aceeași abordare a fost folosită și în teoria consumului, unde numărul de tipuri de bunuri consumate nu a fost limitat în niciun fel.

Tot ceea ce s-a spus anterior despre funcția de producție a două argumente poate fi transferat la o funcție de forma (4), desigur, cu rezerve privind dimensionalitatea. Izocuantele funcției (4) nu sunt curbe plane, ci suprafețe n-dimensionale. Cu toate acestea, vom continua să folosim „izocuante plate” - atât în ​​scopuri ilustrative, cât și ca mijloc convenabil de analiză în cazurile în care costurile a două resurse sunt variabile, iar restul sunt considerate fixe.

Tipurile de funcții de producție sunt prezentate în Tabelul 1.

Tabelul 1. Tipuri de funcții de producție

numele PF	PF cu doi factori	Utilizare
1. Funcție cu proporții fixe de factori (Leontief PF)		Conceput pentru modelarea tehnologiilor strict deterministe care nu permit abateri de la standardele tehnologice de utilizare a resurselor pe unitate de productie.
2. Cobb-Douglas PF		Folosit pentru a descrie obiecte la scară medie (de la o asociație industrială la o industrie), caracterizate printr-o funcționare durabilă, stabilă.
3. PF liniar		Este utilizat pentru modelarea sistemelor la scară largă (industria mare, industria în ansamblu), în care producția de produse este rezultatul funcționării simultane a multor tehnologii diferite.
4. PF Allen		Este destinat să descrie procesele de producție în care creșterea excesivă a oricăruia dintre factori are un impact negativ asupra producției. Folosit de obicei pentru a descrie PS-uri la scară mică cu capacități limitate de procesare a resurselor.
5. PF de elasticitate constantă a substituției factorilor (PEZ sau CES)		Este utilizat în cazurile în care nu există informații exacte despre nivelul de interschimbabilitate a factorilor de producție și există motive să presupunem că acest nivel nu se modifică semnificativ atunci când se modifică volumul resurselor implicate.
6. PF cu elasticitate liniară a substituției factorilor (LES)
7. Funcția Solow		Poate fi utilizat în aproximativ aceleași situații ca și PF PEZ, dar premisele care stau la baza acestuia sunt mai slabe decât cele ale PEZ-ului. Recomandat atunci când presupunerea de omogenitate pare nejustificată. Poate simula sisteme de orice scară.

Modelele neoclasice de creștere economică sunt construite pe baza unei funcții de producție și se bazează pe ipotezele de ocupare deplină, flexibilitatea prețurilor pe toate piețele și interschimbabilitatea completă a factorilor de producție. Încercările de a explora măsura în care calitatea factorilor de producție (productivitatea lor) și diferite proporții în combinarea lor afectează creșterea economică au condus la crearea modelului funcției de producție Cobb-Douglas.

Funcția Cobb-Douglas a fost propusă pentru prima dată de Knut Wicksell. În 1928, testat pe date statistice de Charles Cobb și Paul Douglas în lucrarea „A Theory of Production” (mar. 1928). Acest articol a încercat să determine empiric impactul capitalului și al forței de muncă cheltuite asupra volumului producției din producția americană. industrie.

Funcția de producție Cobb-Douglas este dependența volumului producției Q de munca L și capitalul K care îl creează.

Vedere generală a funcției:

unde A este coeficientul tehnologic,

b - coeficientul de elasticitate a muncii, a

c -- coeficientul de elasticitate a capitalului.

Pentru prima dată, funcția Cobb-Douglas a fost obținută ca urmare a unei transformări matematice a celei mai simple funcții de producție cu doi factori y = f(x1, x2), reflectând relația dintre volumul producției y și două tipuri de resurse. : material x1 (costuri cu materii prime, energie, transport și alte resurse) și forță de muncă x2. Funcția Cobb-Douglas arată ce cotă din produsul total este recompensată factorului de producție implicat în crearea acestuia.

Astfel, o determinare cantitativă neechivocă a ponderii fiecărei resurse de producție în produsul final este dificilă, deoarece producția este posibilă numai prin interacțiunea tuturor factorilor, iar influența fiecărui factor depinde atât de volumul utilizării sale, cât și de volumul de utilizarea altor resurse.

Construcția funcțiilor de producție permite, deși nu în mod absolut exact, să se determine influența fiecărei resurse asupra rezultatului producției, să se facă o prognoză privind modificările volumului producției cu modificări ale volumului resurselor, să se determine combinația optimă de resurse pentru a obține o cantitate dată de producție.