Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul mileniului II î.Hr. e. Babilonienii știau să rezolve sisteme de astfel de ecuații cu două variabile. Această zonă a matematicii a atins cea mai mare înflorire în Grecia antică. Sursa principală pentru noi este Aritmetica lui Diofant, care conține diverse tipuri ecuații. În ea, Diophantus (după numele său numele ecuațiilor este ecuații diofantine) anticipează o serie de metode de studiere a ecuațiilor de gradul 2 și 3, care s-au dezvoltat abia în secolul al XIX-lea.
Cele mai simple ecuații diofantine sunt ax + y = 1 (ecuația cu două variabile, gradul I) x2 + y2 = z2 (ecuația cu trei variabile, gradul II)
Cel mai pe deplin studiat ecuații algebrice, decizia lor a fost una dintre cele mai importante sarcini algebra în secolele XVI-XVII.
Până la începutul secolului al XIX-lea, lucrările lui P. Fermat, L. Euler, K. Gauss au investigat o ecuație diofantină de forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c , d, e, f sunt numere; x, y variabile necunoscute.
Aceasta este o ecuație de gradul 2 cu două necunoscute.
K. Gauss a construit teorie generală forme pătratice, care stă la baza rezolvării anumitor tipuri de ecuații cu două variabile (ecuații diofantine). Există număr mare ecuaţii diofantine specifice rezolvate prin metode elementare. /p>
Material teoretic.
În această parte a lucrării se vor descrie conceptele matematice de bază, se vor defini termenii, iar teorema de expansiune va fi formulată folosind metoda coeficienților nedeterminați, care au fost studiate și luate în considerare la rezolvarea ecuațiilor cu două variabile.
Definiția 1: Ecuația de forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere; x, y variabile necunoscute se numesc ecuație de gradul doi cu două variabile.
În cursul școlii de matematică studiem ecuație pătratică ax2+inx+c=0, unde a, b, c numere x variabilă, cu o variabilă. Există mai multe moduri de a rezolva această ecuație:
1. Găsirea rădăcinilor folosind un discriminant;
2. Aflarea rădăcinilor pentru coeficientul par în (conform D1=);
3. Găsirea rădăcinilor folosind teorema lui Vieta;
4. Găsirea rădăcinilor prin izolarea pătratului perfect al unui binom.
Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că acestea nu există.
Definiția 2: Rădăcina unei ecuații este un număr care, atunci când este substituit într-o ecuație, formează o egalitate adevărată.
Definiția 3: Soluția unei ecuații cu două variabile se numește pereche de numere (x, y) atunci când este substituită în ecuație, se transformă într-o egalitate adevărată.
Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații de foarte multe ori constă de obicei în înlocuirea ecuației cu o ecuație echivalentă, dar care este mai simplu de rezolvat. Astfel de ecuații se numesc echivalente.
Definiția 4: Se spune că două ecuații sunt echivalente dacă fiecare soluție a unei ecuații este o soluție a celeilalte ecuații și invers, iar ambele ecuații sunt considerate în același domeniu.
Pentru a rezolva ecuații cu două variabile, folosiți teorema despre descompunerea ecuației într-o sumă de pătrate complete (prin metoda coeficienților nedeterminați).
Pentru ecuația de ordinul doi ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), are loc expansiunea a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Să formulăm condițiile în care are loc expansiunea (2) pentru ecuația (1) a două variabile.
Teorema: Dacă coeficienții a, b, c ecuațiile (1) îndeplinesc condițiile a0 și 4ab – c20, atunci expansiunea (2) este determinată într-un mod unic.
Cu alte cuvinte, ecuația (1) cu două variabile poate fi redusă la forma (2) folosind metoda coeficienților nedeterminați dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei.
Să ne uităm la un exemplu despre cum este implementată metoda coeficienților nedeterminați.
METODA Nr. 1. Rezolvați ecuația folosind metoda coeficienților nedeterminați
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Să verificăm îndeplinirea condițiilor teoremei, a=2, b=1, c=2, ceea ce înseamnă a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Condiţiile teoremei sunt îndeplinite pot fi extinse conform formulei (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, pe baza condițiilor teoremei, ambele părți ale identității sunt echivalente. Să simplificăm partea dreaptă identități.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Echivalăm coeficienții pentru variabile identice cu gradele lor.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Să obținem un sistem de ecuații, să-l rezolvăm și să găsim valorile coeficienților.
7. Înlocuiți coeficienții în (2), apoi ecuația va lua forma
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), această ecuație este echivalentă cu un sistem de două ecuații liniare.
Răspuns: (-1; 1).
Dacă acordați atenție tipului de expansiune (3), veți observa că este identică ca formă cu izolarea unui pătrat complet dintr-o ecuație pătratică cu o variabilă: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Să aplicăm această tehnică atunci când rezolvăm o ecuație cu două variabile. Să rezolvăm, folosind selecția unui pătrat complet, o ecuație pătratică cu două variabile care a fost deja rezolvată folosind teorema.
METODA Nr. 2: Rezolvați ecuația 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Rezolvare: 1. Să ne imaginăm 2x2 ca suma a doi termeni x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Să grupăm termenii în așa fel încât să îi putem plia folosind formula unui pătrat complet.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Selectați pătrate perfecte din expresiile din paranteze.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Această ecuație este echivalentă cu un sistem de ecuații liniare.
Răspuns: (-1;1).
Dacă comparați rezultatele, puteți observa că ecuația rezolvată prin metoda nr. 1 folosind teorema și metoda coeficienților nedeterminați și ecuația rezolvată prin metoda nr. 2 folosind extragerea unui pătrat complet au aceleași rădăcini.
Concluzie: O ecuație pătratică cu două variabile poate fi extinsă într-o sumă de pătrate în două moduri:
➢ Prima metodă este metoda coeficienților nedeterminați, care se bazează pe teorema și expansiunea (2).
➢ A doua modalitate este utilizarea transformări identitare, permițându-vă să selectați pătrate complete secvenţial.
Desigur, la rezolvarea problemelor, a doua metodă este de preferat, deoarece nu necesită memorarea expansiunii (2) și condițiilor.
Această metodă poate fi folosită și pentru ecuații pătratice cu trei variabile. Izolarea unui pătrat perfect în astfel de ecuații necesită mai multă muncă. Voi face acest tip de transformare anul viitor.
Este interesant de observat că o funcție având forma: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f se numește funcţie pătratică două variabile. Funcțiile cuadratice aparțin rol importantîn diferite ramuri ale matematicii:
În programarea matematică (programare pătratică)
În algebră liniară și geometrie (forme pătratice)
În teorie ecuații diferențiale(reducerea unei ecuații liniare de ordinul doi la formă canonică).
Când rezolvați aceste diverse probleme, în esență trebuie să aplicați procedura de izolare a unui pătrat complet dintr-o ecuație pătratică (una, două sau mai multe variabile).
Liniile ale căror ecuații sunt descrise printr-o ecuație pătratică a două variabile se numesc curbe de ordinul doi.
Acesta este un cerc, elipsă, hiperbolă.
Atunci când se construiesc grafice ale acestor curbe, se folosește și metoda de izolare secvențială a unui pătrat complet.
Să vedem cum funcționează metoda de selectare secvențială a unui pătrat complet folosind exemple specifice.
Partea practică.
Rezolvați ecuații folosind metoda izolării secvenţiale a unui pătrat complet.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Răspuns:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Răspuns: (0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Răspuns:(-1;1).
Rezolvarea ecuațiilor:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(reduceți la forma: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Răspuns: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(reduceți la forma: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Răspuns: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(reduceți la forma: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Răspuns: (7; -7)
Concluzie.
In aceasta munca stiintifica au fost studiate ecuaţii cu două variabile de gradul II şi au fost luate în considerare metode de rezolvare a acestora. Sarcina a fost finalizată, a fost formulată și descrisă o metodă mai scurtă de rezolvare, bazată pe izolarea unui pătrat complet și înlocuirea ecuației cu un sistem echivalent de ecuații, drept urmare procedura de găsire a rădăcinilor unei ecuații cu două variabile a fost fost simplificat.
Un punct important al lucrării este că tehnica luată în considerare este utilizată atunci când se rezolvă diverse probleme matematice legate de o funcție pătratică, se construiesc curbe de ordinul doi și se află cea mai mare (cea mai mică) valoare a expresiilor.
Astfel, tehnica descompunerii unei ecuații de ordinul doi cu două variabile într-o sumă de pătrate are cele mai numeroase aplicații în matematică.
La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt, de asemenea, ignorate, deși în Materiale pentru examenul de stat unificat Iar la examenele de admitere se intalnesc tot mai des probleme de acest gen.
Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?
Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.
Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.
Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.
O ecuație cu două necunoscute poate:
O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are singura solutie (0; 0);
b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;
G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.
Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei transformată într-o formă din care se poate obține un sistem de găsire a necunoscutelor.
Factorizarea
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.
Soluţie.
Grupăm termenii în scopul factorizării:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:
y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.
Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.
Egal cu zero nu este numere negative
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Soluţie.
Grupare:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.
Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.
Răspuns: (2/3; 3/2).
Metoda de estimare
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Soluţie.
În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm 
sensul expresiilor din paranteze.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:
(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.
Răspuns: (-1; 2).
Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.
Exemplul 4.
Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Soluţie.
Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.
Răspuns: (3; 4).
Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.
Exemplul 5.
Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Soluţie.
Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.
Răspuns: fără rădăcini.
Exemplul 6.
Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Soluţie.
Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.
Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).
Exemplul 7.
Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.
Soluţie.
Să selectăm pătrate complete:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:
(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.
Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Răspuns: -17.
Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Instrucţiuni
Metoda de substituțieExprimați o variabilă și înlocuiți-o într-o altă ecuație. Puteți exprima orice variabilă la discreția dvs. De exemplu, exprimați y din a doua ecuație:
x-y=2 => y=x-2Apoi înlocuiți totul în prima ecuație:
2x+(x-2)=10 Mutați totul fără „x” în partea dreaptă și calculați:
2x+x=10+2
3x=12 În continuare, pentru a obține x, împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:
x=4 Deci, ați găsit „x. Găsiți „y. Pentru a face acest lucru, înlocuiți „x” în ecuația din care ați exprimat „y”:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Faceți o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile rezultate în ecuații:
2*4+2=10
4-2=2
Necunoscutele au fost găsite corect!
O modalitate de a adăuga sau scădea ecuații Scăpați imediat de orice variabilă. În cazul nostru, acest lucru este mai ușor de făcut cu „y.
Deoarece în „y există un semn „+”, iar în al doilea „-”, atunci puteți efectua operația de adăugare, adică. partea stângă adaugă-l la cel din stânga și adaugă-l pe cel din dreapta în cel din dreapta:
2x+y+(x-y)=10+2Convertire:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Înlocuiți „x” în orice ecuație și găsiți „y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prin prima metodă puteți vedea că au fost găsite corect.
Dacă nu există variabile clar definite, atunci este necesar să se transforme ușor ecuațiile.
În prima ecuație avem „2x”, iar în a doua avem pur și simplu „x”. Pentru ca x să fie redus în timpul adunării, înmulțiți a doua ecuație cu 2:
x-y=2
2x-2y=4Apoi scade a doua din prima ecuație:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Rețineți că, dacă există un minus înainte de paranteză, atunci după deschidere, schimbați-l la opus:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
găsiți y=2x exprimând din orice ecuație, i.e.
x=4
Video pe tema
Sfat 2: Cum se rezolvă o ecuație liniară în două variabile
Ecuaţie, scrisă în formă generală ax+bу+c=0, se numește ecuație liniară cu doi variabile. O astfel de ecuație în sine conține un număr infinit de soluții, așa că în probleme este întotdeauna completată cu ceva - o altă ecuație sau condiții limită. În funcție de condițiile oferite de problemă, rezolvați o ecuație liniară cu două variabile ar trebui în moduri diferite.
vei avea nevoie
- - ecuație liniară cu două variabile;
- - a doua ecuație sau conditii suplimentare.
Instrucţiuni
Având în vedere un sistem de două ecuații liniare, rezolvați-l după cum urmează. Alegeți una dintre ecuațiile în care se află coeficienții variabile mai mic și exprimă una dintre variabile, de exemplu, x. Apoi înlocuiți această valoare care conține y în a doua ecuație. În ecuația rezultată va exista o singură variabilă y, mutați toate părțile cu y în partea stângă și pe cele libere la dreapta. Găsiți y și înlocuiți în oricare dintre ecuațiile originale pentru a găsi x.
Există o altă modalitate de a rezolva un sistem de două ecuații. Înmulțiți una dintre ecuații cu un număr, astfel încât coeficientul uneia dintre variabile, cum ar fi x, să fie același în ambele ecuații. Apoi scădeți una dintre ecuații din cealaltă (dacă partea dreaptă nu este egală cu 0, nu uitați să scădeți laturile din dreapta în același mod). Veți vedea că variabila x a dispărut și rămâne doar o variabilă y. Rezolvați ecuația rezultată și înlocuiți valoarea găsită a lui y în oricare dintre egalitățile inițiale. Găsiți x.
A treia modalitate de a rezolva un sistem de două ecuații liniare este grafică. Desenați un sistem de coordonate și reprezentați grafic două drepte ale căror ecuații sunt date în sistemul dvs. Pentru a face acest lucru, înlocuiți oricare două valori x în ecuație și găsiți y-ul corespunzător - acestea vor fi coordonatele punctelor aparținând dreptei. Cel mai convenabil mod de a găsi intersecția cu axele de coordonate este să înlocuiți pur și simplu valorile x=0 și y=0. Coordonatele punctului de intersecție al acestor două linii vor fi sarcinile.
Dacă există o singură ecuație liniară în condițiile problemei, atunci vi s-au oferit condiții suplimentare prin care puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y indică distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.
Surse:
- cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă
De la sine ecuaţie cu trei necunoscut are multe soluții, așa că cel mai adesea este completat de încă două ecuații sau condiții. În funcție de care sunt datele inițiale, cursul deciziei va depinde în mare măsură.
vei avea nevoie
- - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.
Instrucţiuni
Dacă două dintre cele trei sisteme au doar două din cele trei necunoscute, încercați să exprimați unele variabile în termenii celorlalte și înlocuiți-le în ecuaţie cu trei necunoscut. Scopul tău în acest caz este să-l transformi în normal ecuaţie cu o persoană necunoscută. Dacă aceasta este , soluția ulterioară este destul de simplă - înlocuiți valoarea găsită în alte ecuații și găsiți toate celelalte necunoscute.
Unele sisteme de ecuații pot fi scăzute dintr-o ecuație de alta. Vedeți dacă este posibil să înmulțiți una dintre variabile sau o variabilă, astfel încât două necunoscute să fie anulate simultan. Dacă există o astfel de oportunitate, profitați de ea, cel mai probabil, soluția ulterioară nu va fi dificilă. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți cu un număr, trebuie să înmulțiți atât partea stângă, cât și cea dreaptă. La fel, atunci când scădeți ecuații, trebuie să vă amintiți că și partea dreaptă trebuie scăzută.
Dacă metodele anterioare nu au ajutat, utilizați într-un mod general soluții la orice ecuație cu trei necunoscut. Pentru a face acest lucru, rescrieți ecuațiile sub forma a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Acum creați o matrice de coeficienți pentru x (A), o matrice de necunoscute (X) și o matrice de coeficienți liberi (B). Vă rugăm să rețineți că înmulțind matricea de coeficienți cu matricea de necunoscute, veți obține o matrice de termeni liberi, adică A*X=B.
Găsiți matricea A la puterea (-1) găsind mai întâi , rețineți că nu ar trebui să fie egală cu zero. După aceasta, înmulțiți matricea rezultată cu matricea B, ca urmare veți primi matricea dorită X, indicând toate valorile.
De asemenea, puteți găsi o soluție la un sistem de trei ecuații folosind metoda lui Cramer. Pentru a face acest lucru, găsiți determinantul de ordinul trei ∆ corespunzător matricei sistemului. Apoi găsiți succesiv încă trei determinanți ∆1, ∆2 și ∆3, înlocuind valorile termenilor liberi în locul valorilor coloanelor corespunzătoare. Acum găsiți x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Surse:
- soluții la ecuații cu trei necunoscute
Rezolvarea unui sistem de ecuații este provocatoare și interesantă. Cum sistem mai complex, cu atât este mai interesant să o rezolvi. Cel mai adesea la matematică liceu Există sisteme de ecuații cu două necunoscute, dar la matematica superioară pot exista mai multe variabile. Sistemele pot fi rezolvate folosind mai multe metode.
Instrucţiuni
Cea mai comună metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații este substituția. Pentru a face acest lucru, trebuie să exprimați o variabilă în termenii unei alte și să o înlocuiți în a doua ecuaţie sisteme, conducând astfel ecuaţie la o variabilă. De exemplu, având în vedere următoarele ecuații: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Din a doua expresie este convenabil să exprimați una dintre variabile, mutând totul în partea dreaptă a expresiei, fără a uita să schimbați semnul coeficientului: x = 3-y.
Deschidem parantezele: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Inlocuim valoarea rezultata y in expresia: x=3-y;x=3-1;x=2 .
În prima expresie, toți termenii sunt 2, puteți scoate 2 din paranteză la proprietatea distributivă a înmulțirii: 2*(2x-y-3)=0. Acum ambele părți ale expresiei pot fi reduse cu acest număr și apoi exprimate ca y, deoarece coeficientul de modul al acesteia este egal cu unul: -y = 3-2x sau y = 2x-3.
La fel ca în primul caz, substituim această expresie în al doilea ecuaţieși obținem: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Înlocuiți valoarea rezultată în expresia: y=2x -3;y=4-3=1.
Vedem că coeficientul pentru y este același ca valoare, dar diferit ca semn, prin urmare, dacă adunăm aceste ecuații, vom scăpa complet de y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Înlocuiți valoarea lui x în oricare dintre cele două ecuații ale sistemului și obțineți y=1.
Video pe tema
Biquadratic ecuaţie reprezintă ecuaţie gradul al patrulea, vedere generală care este reprezentată prin expresia ax^4 + bx^2 + c = 0. Rezolvarea lui se bazează pe utilizarea metodei de substituire a necunoscutelor. ÎN în acest caz, x^2 este înlocuit cu o altă variabilă. Astfel, rezultatul este un pătrat obișnuit ecuaţie, care trebuie rezolvat.
Instrucţiuni
Rezolvați pătratica ecuaţie, rezultată din înlocuire. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculați valoarea în conformitate cu formula: D = b^2? 4ac. În acest caz, variabilele a, b, c sunt coeficienții ecuației noastre.
Aflați rădăcinile ecuației biquadratice. Pentru a face acest lucru, luați rădăcina pătrată a soluțiilor obținute. Dacă a existat o soluție, atunci vor fi două - o valoare pozitivă și negativă a rădăcinii pătrate. Dacă ar exista două soluții, ecuația biquadratică va avea patru rădăcini.
Video pe tema
Una dintre metodele clasice de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare este metoda Gauss. Constă în eliminarea secvenţială a variabilelor, atunci când un sistem de ecuaţii folosind transformări simple este transformat într-un sistem treptat, din care se regăsesc secvenţial toate variabilele, începând cu ultimele.
Instrucţiuni
Mai întâi, aduceți sistemul de ecuații într-o formă în care toate necunoscutele sunt într-o ordine strict definită. De exemplu, toate X necunoscute vor apărea mai întâi pe fiecare linie, toate Y vor veni după X, toate Z vor veni după Y și așa mai departe. Nu ar trebui să existe necunoscute în partea dreaptă a fiecărei ecuații. Determinați mental coeficienții din fața fiecărei necunoscute, precum și coeficienții din partea dreaptă a fiecărei ecuații.
Abordarea autorului asupra acestui subiect nu este întâmplătoare. Ecuațiile cu două variabile sunt întâlnite pentru prima dată la cursul de clasa a VII-a. O ecuație cu două variabile are un număr infinit de soluții. Acest lucru este demonstrat clar de graficul unei funcții liniare, dat ca ax + by=c. În cursul școlar, elevii studiază sisteme de două ecuații cu două variabile. Ca urmare, o serie de sarcini scad din vederea profesorului și, prin urmare, a elevului, cu conditii limitate asupra coeficientului ecuației, precum și a metodelor de rezolvare a acestora.
Vorbim despre rezolvarea unei ecuații cu două necunoscute în numere întregi sau naturale.
La școală, numerele naturale și numerele întregi sunt studiate în clasele 4-6. Până la absolvirea școlii, nu toți elevii își amintesc diferențele dintre seturile acestor numere.
Cu toate acestea, o problemă precum „rezolvarea unei ecuații de forma ax + by=c în numere întregi” se găsește din ce în ce mai mult la examenele de admitere la universități și în materialele Unified State Examination.
Rezolvarea ecuațiilor incerte dezvoltă gândirea logică, inteligența și atenția la analiză.
Propun dezvoltarea mai multor lecții pe această temă. Nu am recomandări clare cu privire la momentul acestor lecții. Unele elemente pot fi folosite și în clasa a VII-a (pentru o clasă puternică). Aceste lecții pot fi luate ca bază și dezvoltate un mic curs opțional de formare preprofesională în clasa a IX-a. Și, desigur, acest material poate fi folosit în clasele 10-11 pentru pregătirea examenelor.
Obiectivul lecției:
- repetarea și generalizarea cunoștințelor pe tema „Ecuații de ordinul întâi și al doilea”
- cultivarea interesului cognitiv pentru subiect
- dezvoltarea capacității de analiză, generalizări, transfer de cunoștințe într-o situație nouă
Lecția 1.
Progresul lecției.
1) Org. moment.
2) Actualizarea cunoștințelor de bază.
Definiţie. O ecuație liniară în două variabile este o ecuație de formă
mx + ny = k, unde m, n, k sunt numere, x, y sunt variabile.
Exemplu: 5x+2y=10
Definiţie. O soluție a unei ecuații cu două variabile este o pereche de valori de variabile care transformă ecuația într-o egalitate adevărată.
Ecuațiile cu două variabile care au aceleași soluții se numesc echivalente.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Această ecuație poate avea orice număr de soluții. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice valoare x și să găsiți valoarea y corespunzătoare.
Fie x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Perechi de numere (2;1); (4;-4) – soluții la ecuația (1).
Această ecuație are infinite de soluții.
3) Context istoric
Ecuațiile nedefinite (diofantine) sunt ecuații care conțin mai mult de o variabilă.
În secolul al III-lea. AD – Diophantus din Alexandria a scris „Aritmetica”, în care a extins setul de numere la cele raționale și a introdus simbolismul algebric.
Diophantus a luat în considerare și problemele de rezolvare a ecuațiilor nedefinite și a dat metode de rezolvare a ecuațiilor nedefinite de gradul doi și trei.
4) Studierea materialelor noi.
Definiție: O ecuație diofantină neomogenă de ordinul întâi cu două necunoscute x, y este o ecuație de forma mx + ny = k, unde m, n, k, x, y Z k0
Afirmația 1.
Dacă termenul liber k din ecuația (1) nu este divizibil cu cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor m și n, atunci ecuația (1) nu are soluții întregi.
Exemplu: 34x – 17y = 3.
MCD (34; 17) = 17, 3 nu este divizibil egal cu 17, nu există soluție în numere întregi.
Fie k divizibil cu mcd (m, n). Împărțind toți coeficienții, ne putem asigura că m și n devin relativ primi.
Afirmația 2.
Dacă m și n din ecuația (1) sunt reciproce numere prime, atunci această ecuație are cel puţin o singura solutie.
Afirmația 3.
Dacă coeficienții m și n ai ecuației (1) sunt numere coprime, atunci această ecuație are infinite de soluții:
Unde (; ) este orice soluție a ecuației (1), t Z
Definiţie. O ecuație diofantină omogenă de ordinul întâi cu două necunoscute x, y este o ecuație de forma mx + ny = 0, unde (2)
Afirmația 4.
Dacă m și n sunt numere coprime, atunci orice soluție a ecuației (2) are forma 
5) Tema pentru acasă. Rezolvați ecuația în numere întregi:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Mai mulți copii culeseau mere. Fiecare băiat a adunat 21 kg, iar fata a strâns 15 kg. În total au adunat 174 kg. Câți băieți și câte fete au cules mere?
Comentariu. Această lecție nu oferă exemple de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. De aceea teme pentru acasă copiii decid pe baza afirmației 1 și a selecției.
Lecția 2.
1) Moment organizatoric
2) Verificarea temelor
1) 9x – 18y = 5
5 nu este divizibil cu 9 nu există soluții în numere întregi.
Folosind metoda de selecție puteți găsi o soluție
Răspuns: (0;0), (2;2)
3) Să facem o ecuație:
Fie băieții x, x Z și fetele y, y Z, atunci putem crea ecuația 21x + 15y = 174
Mulți elevi, după ce au scris o ecuație, nu o vor putea rezolva.
Răspuns: 4 băieți, 6 fete.
3) Învățarea de materiale noi
Când s-au confruntat cu dificultăți în finalizarea temelor, elevii s-au convins de necesitatea de a-și învăța metodele de rezolvare a ecuațiilor incerte. Să ne uităm la unele dintre ele.
I. Metoda de considerare a resturilor de divizare.
Exemplu. Rezolvați ecuația în numere întregi 3x – 4y = 1.
Partea stângă a ecuației este divizibilă cu 3, prin urmare partea dreaptă trebuie să fie divizibilă. Să luăm în considerare trei cazuri.
Răspuns: unde m Z.
Metoda descrisă este convenabilă de utilizat dacă numerele m și n nu sunt mici, dar pot fi descompuse în factori simpli.
Exemplu: Rezolvați ecuații în numere întregi.
Fie y = 4n, apoi 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) se împarte la 4.
y = 4n+1, atunci 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nu este divizibil cu 4.
y = 4n+2, atunci 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nu este divizibil cu 4.
y = 4n+3, apoi 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nu este divizibil cu 4.
Deci y = 4n, atunci
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Răspuns: , unde n Z.
II. Ecuații incerte gradul 2
Astăzi, în lecție, vom atinge doar soluția ecuațiilor diofantine de ordinul doi.
Și dintre toate tipurile de ecuații, vom lua în considerare cazul în care putem aplica formula diferenței de pătrate sau o altă metodă de factorizare.
Exemplu: Rezolvați o ecuație în numere întregi.
13 este un număr prim, deci poate fi factorizat doar în patru moduri: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Să luăm în considerare aceste cazuri
Răspuns: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Tema pentru acasă.
Exemple. Rezolvați ecuația în numere întregi:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | nu se potriveste | nu se potriveste |
| 2x = -4 | nu se potriveste | nu se potriveste |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Răspuns: (-2;0), (2;0).
Răspunsuri: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Răspuns: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Rezultate. Ce înseamnă să rezolvi o ecuație în numere întregi?
Ce metode de rezolvare a ecuațiilor incerte cunoașteți?
Aplicație:
Exerciții pentru antrenament.
1) Rezolvați în numere întregi.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Găsiți soluții întregi nenegative ale ecuației.
Subiect:Funcția liniară
Lecţie:Ecuație liniară cu două variabile și graficul acesteia
Ne-am familiarizat cu conceptele de axa de coordonate și plan de coordonate. Știm că fiecare punct din plan definește în mod unic o pereche de numere (x; y), primul număr fiind abscisa punctului, iar al doilea fiind ordonata.
Foarte des vom întâlni o ecuație liniară în două variabile, a cărei soluție este o pereche de numere care pot fi reprezentate pe planul de coordonate.
Ecuația de formă:
Unde a, b, c sunt numere și 
Se numește ecuație liniară cu două variabile x și y. Soluția unei astfel de ecuații va fi orice astfel de pereche de numere x și y, înlocuind-o în ecuație, vom obține egalitatea numerică corectă.
O pereche de numere va fi reprezentată pe planul de coordonate ca punct.
Pentru astfel de ecuații vom vedea multe soluții, adică multe perechi de numere, iar toate punctele corespunzătoare se vor afla pe aceeași dreaptă.
Să ne uităm la un exemplu:
Pentru a găsi soluții la această ecuație, trebuie să selectați perechile corespunzătoare de numere x și y:
Fie , atunci ecuația inițială se transformă într-o ecuație cu o necunoscută:
,
Adică prima pereche de numere care este o soluție a unei ecuații date (0; 3). Am obținut punctul A(0; 3)
Lasă . Obținem ecuația inițială cu o variabilă: 
, de aici, avem punctul B(3; 0)
Să punem perechile de numere în tabel:
Să trasăm punctele pe grafic și să desenăm o linie dreaptă: 
Rețineți că orice punct de pe o dreaptă dată va fi o soluție a ecuației date. Să verificăm - luați un punct cu o coordonată și folosiți graficul pentru a găsi a doua coordonată. Este evident că în acest moment. Să înlocuim această pereche de numere în ecuație. Obținem 0=0 - o egalitate numerică corectă, ceea ce înseamnă că un punct situat pe o dreaptă este o soluție.
Deocamdată, nu putem demonstra că orice punct situat pe dreapta construită este o soluție a ecuației, așa că acceptăm acest lucru ca fiind adevărat și îl vom demonstra mai târziu.
Exemplul 2 - reprezentați grafic ecuația:
Să facem un tabel, avem nevoie doar de două puncte pentru a construi o linie dreaptă, dar vom lua un al treilea pentru control:
În prima coloană am luat una convenabilă, o vom găsi din:
, ,
În a doua coloană am luat una convenabilă, să găsim x:
, , ,
Să verificăm și să găsim:
, ,
Să construim un grafic:
Să înmulțim ecuația dată cu două:
Dintr-o astfel de transformare, setul de soluții nu se va schimba și graficul va rămâne același.
Concluzie: am învățat să rezolvăm ecuații cu două variabile și să construim graficele acestora, am învățat că graficul unei astfel de ecuații este o dreaptă și că orice punct de pe această dreaptă este o soluție a ecuației
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi altele Algebra 7. ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. şi alţii Algebra 7.M.: Iluminismul. 2006
2. Portal pentru vizionarea familiei ().
Sarcina 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 960, Art. 210;
Sarcina 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 961, Art. 210;
Sarcina 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 962, Art. 210;
