Metode de descompunere. Cum se factorizează o ecuație algebrică

Formulele de înmulțire abreviate sunt un instrument foarte convenabil pentru operațiile cu polinoame. De obicei, acest lucru vă permite să reduceți construcțiile polinomiale complexe la o expresie mică reprezentată de un binom. Sau, într-o ordine diferită, un binom compact este ușor derivat din produsul a două polinoame.

Asemenea acțiuni sunt necesare atunci când se rezolvă ecuații și inegalități triviale, precum și pentru diferite probleme probatorii.

În lecțiile video anterioare ne-am uitat la formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi. Să încercăm să derivăm o formulă de un ordin și mai mare - să aflăm cu ce este egală diferența de expresii cu puterea a patra:

Această expresie este relativ ușor de transformat prin înlocuirea în loc de x 4 și y 4 expresii pătratice identice (x 2) 2 și (y 2) 2:

x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2

Ca rezultat, obținem diferența de pătrate, care poate fi reprezentată folosind un FSU elementar ca:

(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)

Pe de altă parte, a doua paranteză a expresiei rezultate conțin diferența de pătrate, care poate fi ușor convertită:

(x 2 + y 2)(x 2 - y 2) = (x 2 + y 2)((x + y)(x - y))

Rezultă că:

x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)

Să lăsăm fundamentalul parte comună(x - y), înmulțiți celelalte două expresii dintre paranteze:

x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y) = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

De ce este necesar să selectați (x - y) va fi afișat mai târziu. Deci, am găsit o altă formulă pentru diferență expresii de putere. Această egalitate este destul de dificil de exprimat - cu toate acestea, merită să înțelegem că se încadrează destul de logic într-un număr de formule similare pentru a determina diferența dintre pătrate și cuburi. Să comparăm aceste formule între ele pentru a găsi modele generale:

x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)

x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + 2xy + y 2)

x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

Videoclipul arată clar că diferențele de variabile în diferite grade au unele regularități. Toate expresiile de partea dreaptă egalitățile constau din produsul a două polinoame, iar unul dintre ele are întotdeauna forma x - y (diferența inițială a expresiilor). Al doilea este format dintr-un anumit polinom complex, al cărui număr de monomii crește odată cu gradul.

Pentru a elimina formula generala, care va ajuta la transformarea diferenței de variabile cu orice grad într-un produs de polinoame, este important să înțelegem tendințele generale ale egalităților de ordin inițial. Rețineți că al doilea polinom din produsul nostru este suma produselor în perechi a două expresii. Mai mult, gradele variabilelor sunt într-o relație inversă. Pentru a facilita înțelegerea acestor modele, să rescriem egalitatea pentru diferența de expresii de gradul al patrulea în acest fel:

x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)

Orice număr la puterea zero este în mod necesar egal cu unu. Prin urmare, puteți adăuga în siguranță o construcție cu un grad zero la orice variabilă reală. De asemenea, ne amintim că orice variabilă are un grad - dacă nu este specificată, este egală cu unu. Aceste reguli de gestionare a diplomelor au făcut posibilă prezentarea egalității într-o formă mai înțeleasă.

Vă rugăm să rețineți că numărul de termeni din polinomul celei de-a doua paranteze este egal cu gradul principal (pe care îl au variabilele din diferență). Conform seriei unui polinom, gradul unei expresii scade algebric, iar gradul celei de-a doua crește. În acest caz, punctele extreme pentru grade sunt 0 și gradul cel mai înalt al diferenței inițiale a expresiilor.

Folosind aceste considerații, derivăm o formulă pentru a găsi diferența de expresii de gradul cinci:

x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)

Pentru început, scriem primul factor (x - y) fără modificări. Al doilea polinom va reprezenta suma a cinci elemente (la cel mai înalt grad). Elementele, la rândul lor, sunt formate din produsul variabilelor cu modificări algebrice, inverse și interdependente ale puterilor. Într-un polinom:

x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4

x scade puterea de la 4 la 0, y crește de la 0 la 4. Pentru autotest, este util de știut că suma puterilor oricărui monom, în în acest caz,, va fi egal cu aceeași putere maximă - 5.

Tot ce rămâne este să scrieți corect formula, scăpând de zero grade:

x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)

ÎN în termeni generali, pentru orice grad n egalitatea este adevărată:

(x) n - (y) n = (x - y)((x) n + (x) n-1 y...+x(y) n - 1 + y n)

Formula universală pentru găsirea sumei a două expresii cu a n-a diferență este derivată printr-o transformare a formei:

x n + y n = x n - (-y n)

Folosind formula pentru diferența de expresii obținută mai sus, obținem egalitatea:

x n + y n = x n - (-y n) = (x + y)((x) n-1 - (x) n-2 y…- x(y) n - 2 + y n-1)

Datorită faptului că pătratul oricărei expresii îi elimină negativitatea, este imposibil mijloacele disponibile reprezentați suma pătratelor (sau a oricăror puteri par) ale variabilelor ca produs a două polinoame.

Având în vedere înmulțirea polinoamelor, am reținut câteva formule și anume: formule pentru (a + b)², pentru (a – b)², pentru (a + b) (a – b), pentru (a + b)³ și pentru (a – b)³.

Dacă un anumit polinom se dovedește a coincide cu una dintre aceste formule, atunci va fi posibil să-l factorizeze. De exemplu, polinomul a² – 2ab + b², știm, este egal cu (a – b)² [sau (a – b) · (a – b), adică am reușit să factorăm a² – 2ab + b² în 2 factori ]; Asemenea

Să ne uităm la al doilea dintre aceste exemple. Vedem că polinomul dat aici se potrivește cu formula obținută prin pătrarea diferenței a două numere (pătratul primului număr, minus produsul a doi cu primul număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr): x 6 este pătratul primului număr și, prin urmare, primul număr însuși este x 3, pătratul celui de-al doilea număr este ultimul termen al polinomului dat, adică 1, al doilea număr însuși este, prin urmare, tot 1; produsul a doi cu primul număr și al doilea este termenul –2x 3, deoarece 2x 3 = 2 x 3 1. Prin urmare, polinomul nostru a fost obținut prin pătrarea diferenței numerelor x 3 și 1, adică este egal cu (x 3 – 1) 2. Să ne uităm la un al 4-lea exemplu. Vedem că acest polinom a 2 b 2 – 25 poate fi considerat ca diferența dintre pătratele a două numere, și anume pătratul primului număr este a 2 b 2, prin urmare, primul număr în sine este ab, pătratul al doilea număr este 25, de ce al doilea număr în sine este 5. Prin urmare, polinomul nostru poate fi considerat ca obținut din înmulțirea sumei a două numere cu diferența lor, i.e.

(ab + 5) (ab – 5).

Uneori se întâmplă ca într-un polinom dat termenii să nu fie aranjați în ordinea cu care suntem obișnuiți, de exemplu.

9a 2 + b 2 + 6ab – mental putem rearanja al doilea și al treilea termen și atunci ne va deveni clar că trinomul nostru = (3a + b) 2.

... (rearanjam mental primul si al doilea termen).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 etc.

Să luăm în considerare un alt polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vedem că primul său termen este pătratul numărului a și al treilea termen este pătratul numărului 2b, dar al doilea termen nu este produsul a doi cu primul număr și al doilea - un astfel de produs ar fi egal cu 2 a 2b = 4ab. Prin urmare, este imposibil să se aplice formula pentru pătratul sumei a două numere la acest polinom. Dacă cineva a scris că a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, atunci acest lucru ar fi incorect - trebuie să luați în considerare cu atenție toți termenii polinomului înainte de a-i aplica factorizarea folosind formule.

40. O combinație a ambelor tehnici. Uneori, atunci când factorizați polinoame, trebuie să combinați atât tehnica de a scoate factorul comun din paranteze, cât și tehnica de utilizare a formulelor. Iată exemple:

1. 2a 3 – 2ab 2. Să scoatem mai întâi factorul comun 2a din paranteze și obținem 2a (a 2 – b 2). Factorul a 2 – b 2, la rândul său, este descompus conform formulei în factori (a + b) și (a – b).

Uneori trebuie să utilizați tehnica de descompunere a formulei de mai multe ori:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Vedem că primul factor a 2 + b 2 nu se potrivește cu niciuna dintre formulele familiare; Mai mult, amintind cazuri speciale de împărțire (articolul 37), vom stabili că a 2 + b 2 (suma pătratelor a două numere) nu poate fi deloc factorizat. Al doilea dintre factorii rezultați a 2 – b 2 (diferența prin pătratul a două numere) se descompune în factori (a + b) și (a – b). Aşa,

41. Aplicație ocazii speciale diviziuni. Pe baza paragrafului 37, putem scrie imediat că, de exemplu,

Să ne uităm la exemple concrete, cum se factorizează un polinom.

Vom extinde polinoamele în conformitate cu .

Factorizați polinoamele:

Să verificăm dacă există un factor comun. da, este egal cu 7cd. Să-l scoatem din paranteze:

Expresia dintre paranteze este formată din doi termeni. Nu mai există un factor comun, expresia nu este o formulă pentru suma cuburilor, ceea ce înseamnă că descompunerea este completă.

Să verificăm dacă există un factor comun. Nu. Polinomul este format din trei termeni, așa că verificăm dacă există o formulă pentru un pătrat complet. Doi termeni sunt pătrate ale expresiilor: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², al treilea termen este egal cu de două ori produs dintre aceste expresii: 2∙5x∙3y=30xy. Aceasta înseamnă că acest polinom este pătrat perfect. Deoarece produsul dublu are semnul minus, acesta este:

Verificăm dacă este posibil să scoatem factorul comun din paranteze. Există un factor comun, este egal cu a. Să-l scoatem din paranteze:

Sunt doi termeni între paranteze. Verificăm dacă există o formulă pentru diferența de pătrate sau diferența de cuburi. a² este pătratul lui a, 1=1². Aceasta înseamnă că expresia dintre paranteze poate fi scrisă folosind formula diferenței de pătrate:

Există un factor comun, este egal cu 5. Să-l scoatem din paranteze:

între paranteze sunt trei termeni. Verificăm dacă expresia este un pătrat perfect. Doi termeni sunt pătrate: 16=4² și a² - pătratul lui a, al treilea termen este egal cu produsul dublu al lui 4 și a: 2∙4∙a=8a. Prin urmare, este un pătrat perfect. Deoarece toți termenii au semnul „+”, expresia dintre paranteze este pătratul perfect al sumei:

Scoatem multiplicatorul general -2x din paranteze:

Între paranteze este suma a doi termeni. Verificăm dacă această expresie este o sumă de cuburi. 64=4³, x³- cub x. Aceasta înseamnă că binomul poate fi extins folosind formula:

Există un multiplicator comun. Dar, deoarece polinomul este format din 4 termeni, vom scoate mai întâi și abia apoi factorul comun din paranteze. Să grupăm primul termen cu al patrulea, iar al doilea cu al treilea:

Din primele paranteze scoatem factorul comun 4a, din al doilea - 8b:

Nu există încă un multiplicator comun. Pentru a-l obține, scoatem „-“ din a doua paranteză și fiecare semn din paranteze se schimbă în opus:

Acum să luăm factorul comun (1-3a) din paranteze:

În a doua paranteză există un factor comun 4 (acesta este același factor pe care nu l-am scos dintre paranteze la începutul exemplului):

Deoarece polinomul este format din patru termeni, efectuăm gruparea. Să grupăm primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea:

În primele paranteze nu există un factor comun, dar există o formulă pentru diferența de pătrate, în a doua paranteză factorul comun este -5:

A apărut un multiplicator comun (4m-3n). Să-l scoatem din paranteze.

Factorizarea unei ecuații este procesul de găsire a acelor termeni sau expresii care, atunci când sunt înmulțite, conduc la ecuația inițială. Factorizarea este abilitate utilă pentru rezolvarea problemelor algebrice de bază și devine practic necesar atunci când se lucrează cu ecuații pătratice și alte polinoame. Factorizarea este utilizată pentru a simplifica ecuațiile algebrice pentru a le face mai ușor de rezolvat. Factorizarea vă poate ajuta să eliminați anumite răspunsuri posibile mai repede decât ați face-o prin rezolvarea manuală a unei ecuații.

Pași

Factorizarea numerelor și a expresiilor algebrice de bază

1. Factorizarea numerelor. Conceptul de factorizare este simplu, dar în practică, factorizarea poate fi o provocare (dacă este dată o ecuație complexă). Prin urmare, mai întâi, să ne uităm la conceptul de factorizare folosind numerele ca exemplu și să continuăm cu ecuații simple, apoi treceți la ecuații complexe. Factorii unui număr dat sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 12 sunt numerele: 1, 12, 2, 6, 3, 4, deoarece 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De asemenea, vă puteți gândi la factorii unui număr ca fiind divizorii săi, adică numerele cu care numărul este divizibil.
   • Găsiți toți factorii numărului 60. Folosim adesea numărul 60 (de exemplu, 60 de minute într-o oră, 60 de secunde într-un minut etc.) și acest număr are destul de număr mare multiplicatori.
     • 60 de multiplicatori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

2. Amintiți-vă: termenii unei expresii care conțin un coeficient (număr) și o variabilă pot fi de asemenea factorizați. Pentru a face acest lucru, găsiți factorii coeficienți ai variabilei. Știind cum să factorizați termenii ecuațiilor, puteți simplifica cu ușurință această ecuație.

   • De exemplu, termenul 12x poate fi scris ca produsul dintre 12 și x. De asemenea, puteți scrie 12x ca 3(4x), 2(6x), etc., împărțind 12 în factorii care funcționează cel mai bine pentru dvs.
     • Puteți trata de 12 ori de mai multe ori la rând. Cu alte cuvinte, nu ar trebui să vă opriți la 3(4x) sau 2(6x); continuați expansiunea: 3(2(2x)) sau 2(3(2x)) (evident 3(4x)=3(2(2x)), etc.)

3. Aplicați proprietatea distributivă a înmulțirii la factorizarea ecuațiilor algebrice.Știind cum să factorizați numerele și termenii de expresie (coeficienți cu variabile), puteți simplifica ecuații algebrice simple prin găsirea factorului comun al unui număr și al unui termen de expresie. De obicei, pentru a simplifica o ecuație, trebuie să găsiți cel mai mare factor comun (GCD). Această simplificare este posibilă datorită proprietății distributive a înmulțirii: pentru orice numere a, b, c, egalitatea a(b+c) = ab+ac este adevărată.

   • Exemplu. Factorizați ecuația 12x + 6. Mai întâi, găsiți mcd-ul lui 12x și 6. 6 este cel mai mare număr, care împarte atât 12x, cât și 6, astfel încât să puteți factoriza această ecuație în: 6(2x+1).
   • Acest proces este valabil și pentru ecuațiile care au termeni negativi și fracționari. De exemplu, x/2+4 poate fi factorizat în 1/2(x+8); de exemplu, -7x+(-21) poate fi factorizat în -7(x+3).

   Factorizarea ecuațiilor pătratice

   1. Asigurați-vă că ecuația este dată în formă pătratică (ax 2 + bx + c = 0). Ecuațiile pătratice au forma: ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c - cote numerice altul decât 0. Dacă vi se oferă o ecuație cu o variabilă (x) și acea ecuație are unul sau mai mulți termeni cu o variabilă de ordinul doi, puteți muta toți termenii ecuației într-o parte a ecuației și o puteți seta egală. la zero.

      • De exemplu, având în vedere ecuația: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Aceasta poate fi convertită în ecuația x 2 + 6x + 9 = 0, care este o ecuație pătratică.
      • Ecuații cu variabila x de ordine mare, de exemplu, x 3, x 4 etc. nu sunt ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații cubice, ecuații de ordinul al patrulea și așa mai departe (cu excepția cazului în care astfel de ecuații pot fi simplificate în ecuații pătratice cu variabila x ridicată la puterea lui 2).

   2. Ecuațiile cuadratice, unde a = 1, sunt extinse în (x+d)(x+e), unde d*e=c și d+e=b. Dacă ecuația pătratică care ți-a fost dată are forma: x 2 + bx + c = 0 (adică coeficientul lui x 2 este 1), atunci o astfel de ecuație poate (dar nu este garantată) să fie extinsă în factorii de mai sus. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite, dau „c”, iar când sunt adăugate, „b”. Odată ce găsiți aceste două numere (d și e), înlocuiți-le în următoarea expresie: (x+d)(x+e), care, la deschiderea parantezelor, duce la ecuația inițială.

      • De exemplu, având în vedere o ecuație pătratică x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 și 3+2=5, deci puteți factoriza această ecuație în (x+3)(x+2).
      • Pentru termeni negativi, faceți următoarele modificări minore în procesul de factorizare:
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx+c, atunci se extinde în: (x-_)(x-_).
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx-c, atunci se extinde în: (x+_)(x-_).
      • Notă: spațiile pot fi înlocuite cu fracții sau numere zecimale. De exemplu, ecuația x 2 + (21/2)x + 5 = 0 este extinsă în (x+10)(x+1/2).

   3. Factorizarea prin încercare și eroare. Necomplicat ecuații pătratice poate fi factorizat prin simpla înlocuire a numerelor în solutii posibile pana gasesti decizia corectă. Dacă ecuația are forma ax 2 +bx+c, unde a>1, soluțiile posibile se scriu sub forma (dx +/- _)(ex +/- _), unde d și e sunt coeficienți numerici nenuli , care la înmulțire dau a. Fie d sau e (sau ambii coeficienți) pot fi egali cu 1. Dacă ambii coeficienți sunt egali cu 1, atunci utilizați metoda descrisă mai sus.

      • De exemplu, având în vedere ecuația 3x 2 - 8x + 4. Aici 3 are doar doi factori (3 și 1), deci soluțiile posibile sunt scrise ca (3x +/- _)(x +/- _). În acest caz, înlocuind spațiile cu -2, veți găsi răspunsul corect: -2*3x=-6x și -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x și -2*-2=4, adică o astfel de extindere la deschiderea parantezelor va duce la termenii ecuației inițiale.

Ce să faci dacă, în procesul de rezolvare a unei probleme de la Examenul Unificat de Stat sau la un examen de admitere la matematică, ai primit un polinom care nu poate fi factorizat metode standard pe care ai invatat-o ​​la scoala? În acest articol, un profesor de matematică vă va spune despre o metodă eficientă, al cărei studiu depășește scopul programa școlară, dar cu ajutorul căruia nu va fi dificil să factorizezi polinomul. Citiți acest articol până la sfârșit și urmăriți tutorialul video atașat. Cunoștințele pe care le dobândești te vor ajuta la examen.

Factorizarea unui polinom folosind metoda diviziunii

În cazul în care ați primit un polinom mai mare decât gradul doi și ați putut ghici valoarea variabilei la care acest polinom devine egal cu zero (de exemplu, această valoare este egală cu ), știți! Acest polinom poate fi împărțit la .

De exemplu, este ușor de observat că un polinom de gradul al patrulea dispare la . Aceasta înseamnă că poate fi împărțit fără rest la , obținând astfel un polinom de gradul trei (mai puțin cu unu). Adică, prezentați-l sub forma:

Unde O, B, CŞi D- unele numere. Să extindem parantezele:

Deoarece coeficienții pentru aceleași grade trebuie să fie aceiași, obținem:

Deci, avem:

Să mergem mai departe. Este suficient să treci prin mai multe numere întregi mici pentru a vedea că polinomul de gradul trei este din nou divizibil cu . Rezultă un polinom de gradul doi (mai puțin cu unu). Apoi treceți la o nouă intrare:

Unde E, FŞi G- unele numere. Deschidem din nou parantezele și ajungem la următoarea expresie:

Din nou, din condiția de egalitate a coeficienților pentru aceleași grade, obținem:

Apoi obținem:

Adică, polinomul original poate fi factorizat după cum urmează:

În principiu, dacă se dorește, folosind formula diferenței de pătrate, rezultatul poate fi reprezentat și în următoarea formă:

Atât de simplu și mod eficient factorizarea polinoamelor. Ține minte, ți-ar putea fi util la un examen sau la un concurs de matematică. Verificați dacă ați învățat cum să utilizați această metodă. Încercați să rezolvați singur următoarea sarcină.

Factorizați polinomul:

Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii.

Material pregătit de Serghei Valerievich