Acest articol vă va arăta cum să găsiți aria unei forme delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul integralelor definite tocmai a fost încheiat și este timpul să începem o interpretare geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.
Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:
- Abilitatea de a construi desene cu competență;
- Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
- Abilitatea de a „vedea” o soluție mai avantajoasă - adică să înțelegeți cum în acest caz sau acela va fi mai convenabil să se efectueze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
- Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:
1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie într-o cușcă, cu o scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat vizibil ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.
2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.
3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcției, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să luăm în considerare diferite exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.
3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Este o figură plată delimitată de axa x. (y = 0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b... În plus, această cifră nu este negativă și este situată nu sub axa absciselor. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită calculată prin formula Newton-Leibniz:
Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Care sunt liniile care delimitează figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3 care se află deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole sunt pozitive. Mai departe, liniile drepte x = 1și x = 3 care merg paralel cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale formei din stânga și din dreapta. Bine y = 0, este axa x, care limitează figura de jos. Forma rezultată este umbrită așa cum se vede în imaginea din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. Avem în fața noastră un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.
3.2. În paragraful anterior 3.1, am analizat cazul în care trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai departe cum să rezolvăm o problemă similară.
Exemplul 2 ... Calculați aria unei forme delimitate de linii y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
În acest exemplu, avem o parabolă y = x2 + 6x + 2 care provine de sub ax OH, Drept x = -4, x = -1, y = 0... Aici y = 0 delimitează forma dorită de sus. Direct x = -4și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula o integrală definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este încă continuă pe interval. [-4; -1] ... Ce nu înseamnă pozitiv? După cum puteți vedea din figură, figura, care se află în x-ul specificat, are coordonate exclusiv „negative”, pe care trebuie să le vedem și să le amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.
Articolul este incomplet.
Cum se inserează formule matematice într-un site web?
Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă versatilă va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului dvs. în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și, cred, va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.
Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.
Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă, care este mai complicată și consumatoare de timp, va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte, dintr-un motiv oarecare, devine temporar indisponibil, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.
Puteți conecta scriptul bibliotecii MathJax de la un server la distanță folosind două versiuni ale codului preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:
Una dintre aceste variante de cod trebuie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete
și sau imediat după etichetă ... Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în tabloul de bord al site-ului dvs., adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum, aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs. web.
Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp este numit o iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea buretelui Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente sunt îndepărtate din acesta. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set, format deja din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu este nevoie de atât de multă cunoaștere a integralei nedefinite și definite. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen Prin urmare, cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai presantă. În acest sens, este utilă reîmprospătarea memoriei graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, a putea construi o dreaptă și o hiperbolă.
Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și un grafic al unei funcții continue pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin axa absciselor:
Atunci aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu integrala definită... Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.
Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Acesta este, o integrală definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare o integrală definită. Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o formulare tipică a misiunii. Primul și cel mai important punct al soluției este construcția desenului... Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiești un desen, recomand următoarea ordine: primul este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Atunci- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punctual.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm un desen (rețineți că ecuația definește axa):
Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:
Răspuns:
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți planul și să estimați dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărul. Este destul de clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - cifra luată în considerare clar nu se potrivește cu 20 de celule, cel mult zece. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 3
Calculați aria unei forme delimitate de linii și axe de coordonate.
Soluţie: Hai să executăm desenul:
Dacă se află trapezul curbat sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare un minus în formula luată în considerare.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii,.
Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme pe o zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Aflați punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:
Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Este mai bine să nu folosiți această metodă, dacă este posibil..
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiți liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării devin clare, parcă, „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie aplicată uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare, sau construcția precisă nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Revenind la problema noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să executăm desenul:
Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment vreo funcţie continuă mai mare sau egal a unei anumite funcții continue, atunci aria figurii, delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula: 
Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, este important ce program este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:
Figura necesară este delimitată de o parabolă în partea de sus și de o linie dreaptă în partea de jos.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
Exemplul 4
Calculați aria figurii delimitată de liniile,,,.
Soluţie: Mai întâi, să executăm desenul:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - de ce este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii, care este umbrită în verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite.
Într-adevăr:
1) Un grafic cu linii este situat pe segmentul de deasupra axei;
2) Graficul hiperbolei este situat pe segmentul de deasupra axei.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.
Integrala dublă este numeric egală cu aria unei figuri plate (regiune de integrare). Aceasta este cea mai simplă formă de integrală dublă, când funcția a două variabile este egală cu una:.
Să luăm mai întâi în considerare problema în termeni generali. Acum vei fi surprins cât de simplu este cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe segment. Aria acestei figuri este numeric egală cu:
Să desenăm zona din desen: 
Să alegem primul mod de a traversa zona: 
În acest fel: 
Și imediat un truc tehnic important: integralele iterate pot fi considerate separat... Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Această metodă este foarte recomandată pentru începătorii în materie de ceainice.
1) Calculăm integrala internă, în timp ce integrarea se realizează peste variabila „joc”: 
Integrala nedefinită este cea mai simplă aici, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numerele, ci funcțiile... În primul rând, limita superioară a fost înlocuită în „joc” (funcția antiderivată), apoi - limita inferioară
2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă: 
O înregistrare mai compactă a întregii soluții arată astfel:
Formula rezultată 
Este exact formula de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plate folosind integrala definită „obișnuită”! Urmăriți lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este ea la fiecare pas!
Acesta este, problema de calcul a ariei folosind integrală dublă nu mult diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită! De fapt, sunt același lucru!
În consecință, nu ar trebui să apară dificultăți! Voi lua în considerare nu foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâlnit în mod repetat această sarcină.
Exemplul 9
Soluţie: Să desenăm zona din desen: 
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a regiunii: 
În continuare, nu mă voi opri asupra modului de efectuare a traversării zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.
În acest fel: 
După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat și voi urma aceeași metodă:
1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă: 
2) Rezultatul obținut la prima etapă este înlocuit în integrala exterioară: 
Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plate folosind o integrală definită.
Răspuns:
Iată o sarcină atât de stupidă și naivă.
Un exemplu interesant pentru o soluție independentă:
Exemplul 10
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plate delimitate de linii,
O mostră aproximativă a proiectului final al soluției la sfârșitul lecției.
În exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosiți prima modalitate de a parcurge zona; cititorii curioși, apropo, pot schimba ordinea traversării și pot calcula zonele în al doilea mod. Dacă nu greșești, atunci, firește, se vor dovedi aceleași valori ale zonelor.
Dar, într-un număr de cazuri, a doua metodă de ocolire a zonei este mai eficientă și, în încheierea cursului unui tânăr tocilar, luați în considerare câteva exemple pe acest subiect:
Exemplul 11
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plate delimitate de linii,
Soluţie: așteptăm cu nerăbdare două parabole cu o ciudată, care se află pe o parte. Nu trebuie să zâmbești, lucruri similare în integrale multiple sunt comune.
Care este cel mai simplu mod de a face un desen?
Reprezentăm parabola sub forma a două funcții:
- ramura superioară și - ramura inferioară.
În mod similar, reprezentăm parabola sub formă de sus și de jos 
ramuri.
În continuare, reguli de graficare punct cu punct, în urma cărora se obține o cifră atât de bizară: 
Calculăm aria figurii folosind o integrală dublă cu formula:
Ce se întâmplă dacă alegem prima cale de a traversa zona? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine foarte tristă: 
... Integralele, desigur, nu sunt de un nivel super-complicat, dar... există o veche zicală matematică: cei care sunt prietenoși cu rădăcinile nu au nevoie de un test.
Prin urmare, dintr-o neînțelegere dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse: 
Funcțiile inverse din acest exemplu au avantajul că stabilesc întreaga parabolă simultan, fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.
Conform celei de-a doua metode, parcurgerea zonei va fi după cum urmează: 
În acest fel: 
Simțiți diferența, așa cum se spune.
1) Tratează cu integrala internă:
Înlocuiți rezultatul în integrala exterioară:
Integrarea cu variabila „igrek” nu ar trebui să fie jenantă, dacă ar exista o literă „siu”, ar fi grozav să se integreze peste ea. Deși cine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de revoluție, nu mai traieste nici cea mai mica stangacie cu integrarea dupa „joc”.
Fiți atenți și la primul pas: integrandul este par, iar segmentul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecție. Metode eficiente de calcul a unei integrale definite.
Ce să adaugi…. Tot!
Răspuns:
Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați ... Răspunsul ar trebui să fie exact același.
Exemplul 12
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plate delimitate de linii 
Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Este interesant de remarcat că, dacă încercați să utilizați prima metodă de parcurgere a zonei, atunci figura va trebui să fie împărțită nu în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obțineți trei perechi de integrale iterate. Uneori se întâmplă.
Clasa de master s-a încheiat și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează integrala dublă? Exemple de soluții... Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)
Îți doresc succes!
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 2:Soluţie:
Să desenăm zona in desen:
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a regiunii:
În acest fel: 
Să trecem la funcțiile inverse:
În acest fel: 
Răspuns:
Exemplul 4:Soluţie:
Să trecem la funcțiile directe:
Să executăm desenul:
Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:
Răspuns:
În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [a; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [a; b].
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. ca y = f (x) sau x = g (y).
TeoremaFie definite și continue pe segmentul [a] funcțiile y = f 1 (x) și y = f 2 (x); b] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare a lui x din [a; b]. Apoi formula de calcul a ariei figurii G mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va avea forma S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.
Dovada
Să luăm în considerare trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea aditivității ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Putem face ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, următoarea egalitate este valabilă: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să ne întoarcem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.
Punctele de intersecție vor fi notate cu x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Aceste puncte despart segmentul [a; b] în n părţi x i - 1; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Și acum să trecem la o analiză a exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt mărginite de liniile y = f (x) și x = g (y).
Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă trasarea graficelor și a formelor pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea privind funcțiile atomice de bază, transformarea geometrică a graficelor de funcții și reprezentarea grafică în timp ce explorați o funcție.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este delimitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Soluţie
Să desenăm liniile pe grafic într-un sistem de coordonate carteziene.
Pe segmentul [1; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale determinate după formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S (G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este mărginită de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.
Soluţie
În acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa absciselor. Acesta este x = 7. Acest lucru ne cere să găsim singuri a doua limită de integrare.
Să construim un grafic și să desenăm pe el liniile date în enunțul problemei.
Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:
y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că coordonatele intersecției liniilor sunt întotdeauna cel mai bine calculate analitic.
Pe intervalul [2; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru calcularea suprafeței:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să trasăm linii pe diagramă.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Vă puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, consultați secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este inclusă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria formei:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.
Soluţie
Să punem toate liniile pe diagramă. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x, dacă îl aranjam simetric față de axa absciselor și îl ridicăm cu o unitate. Ecuația de abscisă este y = 0.
Să marchem punctele de intersecție ale liniilor.
După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se datorează faptului că x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, prin urmare graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1. În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.
O soluție ulterioară presupune mai multe opțiuni.
Opțiunea numărul 1
Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia centrală pe segmentul x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.
Opțiunea numărul 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei absciselor și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Rezolvați ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 pentru x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este mărginită de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Soluţie
Cu linia roșie, desenați pe diagramă linia specificată de funcția y = x. Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și trageți linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Să marchem punctele de intersecție.
Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu am o soluție x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 Am o soluție ⇒ (9; 3) punct de intersecție y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nici o soluție
Aflați intersecția dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda numărul 1
Să ne imaginăm aria figurii necesare ca suma ariilor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este egală cu:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda numărul 2
Zona formei originale poate fi considerată ca suma celorlalte două forme.
Apoi vom rezolva ecuația dreptei în raport cu x și numai după aceea vom aplica formula pentru calcularea ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8
Astfel, aria este egală cu:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri, care este delimitată de liniile date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție, să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune opțiuni de activitate.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter
