Serviciul online de rezolvare a ecuațiilor vă va ajuta să rezolvați orice ecuație. Folosind site-ul nostru, nu numai că veți primi răspunsul la ecuație, dar veți și vedea solutie detaliata, adică o afișare pas cu pas a procesului de obținere a rezultatului. Serviciul nostru va fi util elevilor de liceu și părinților acestora. Elevii se vor putea pregăti pentru teste și examene, își vor testa cunoștințele, iar părinții vor putea monitoriza rezolvarea ecuațiilor matematice de către copiii lor. Abilitatea de a rezolva ecuații - cerință obligatorie la şcolari. Serviciul vă va ajuta să vă educați și să vă îmbunătățiți cunoștințele în domeniul ecuațiilor matematice. Cu ajutorul lui poți rezolva orice ecuație: pătratică, cubică, irațională, trigonometrică etc. Beneficiu serviciu onlineși este neprețuit, deoarece pe lângă răspunsul corect, primești o soluție detaliată pentru fiecare ecuație. Beneficiile rezolvării ecuațiilor online. Puteți rezolva orice ecuație online pe site-ul nostru absolut gratuit. Serviciul este complet automat, nu trebuie să instalați nimic pe computer, trebuie doar să introduceți datele și programul vă va oferi o soluție. Sunt excluse orice erori de calcul sau greșeli de scriere. Cu noi, rezolvarea oricărei ecuații online este foarte ușoară, așa că asigurați-vă că folosiți site-ul nostru pentru a rezolva orice fel de ecuații. Trebuie doar să introduceți datele și calculul va fi finalizat în câteva secunde. Programul funcționează independent, fără intervenție umană și primești un răspuns precis și detaliat. Rezolvarea ecuației în vedere generală. Într-o astfel de ecuație, coeficienții variabili și rădăcinile dorite sunt interconectate. Cea mai mare putere a unei variabile determină ordinea unei astfel de ecuații. Pe baza acestui lucru, pentru ecuații utilizați diverse metodeși teoreme pentru găsirea soluțiilor. Rezolvarea ecuațiilor de acest tipînseamnă găsirea rădăcinilor necesare în formă generală. Serviciul nostru vă permite să rezolvați chiar și cea mai complexă ecuație algebrică online. Puteți obține atât o soluție generală a ecuației, cât și una particulară pentru valorile numerice ale coeficienților pe care îi specificați. Pentru a rezolva o ecuație algebrică pe site, este suficient să completați corect doar două câmpuri: părțile din stânga și din dreapta ecuației date. U ecuații algebrice cu coeficienți variabili există un număr infinit de soluții, iar prin stabilirea anumitor condiții se selectează cele private din setul de soluții. Ecuație cuadratică. Ecuația pătratică are forma ax^2+bx+c=0 pentru a>0. Rezolvarea ecuațiilor pătratice implică găsirea valorilor lui x la care este valabilă egalitatea ax^2+bx+c=0. Pentru a face acest lucru, găsiți valoarea discriminantă folosind formula D=b^2-4ac. Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci ecuația nu are rădăcini reale (rădăcinile sunt din câmpul numerelor complexe), dacă este egal cu zero, atunci ecuația are o rădăcină reală, iar dacă discriminantul este mai mare decât zero , atunci ecuația are două rădăcini reale, care se găsesc prin formula: D = -b+-sqrt/2a. Pentru a rezolva o ecuație pătratică online, trebuie doar să introduceți coeficienții ecuației (numere întregi, fracții sau zecimale). Dacă într-o ecuație există semne de scădere, trebuie să puneți semnul minus în fața termenilor corespunzători ai ecuației. Decide ecuație pătratică online și în funcție de parametru, adică de variabilele din coeficienții ecuației. Serviciul nostru online pentru găsirea de soluții generale face față bine acestei sarcini. Ecuații liniare. Pentru a rezolva ecuații liniare (sau sisteme de ecuații), în practică sunt utilizate patru metode principale. Vom descrie fiecare metodă în detaliu. Metoda de înlocuire. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda substituției necesită exprimarea unei variabile în termenii celorlalte. După aceasta, expresia este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. De aici denumirea metodei soluției, adică în loc de variabilă, expresia acesteia este substituită prin variabilele rămase. În practică, metoda necesită calcule complexe, deși este ușor de înțeles, așa că rezolvarea unei astfel de ecuații online va ajuta la economisirea de timp și la ușurarea calculelor. Trebuie doar să indicați numărul de necunoscute din ecuație și să completați datele din ecuațiile liniare, apoi serviciul va face calculul. metoda Gauss. Metoda se bazează pe cele mai simple transformări ale sistemului pentru a ajunge la un sistem triunghiular echivalent. Din ea, necunoscutele sunt determinate unul câte unul. În practică, este necesar să rezolvi o astfel de ecuație online cu descriere detaliată, datorită căruia veți avea o bună înțelegere a metodei gaussiene pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Scrieți sistemul de ecuații liniare în formatul corect și țineți cont de numărul de necunoscute pentru a rezolva corect sistemul. metoda lui Cramer. Această metodă rezolvă sisteme de ecuații în cazurile în care sistemul singura solutie. Principal operatie matematica aici este calculul determinanților matricei. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Cramer se realizează online, rezultatul îl primiți instantaneu cu o descriere completă și detaliată. Este suficient doar să umpleți sistemul cu coeficienți și să selectați numărul de variabile necunoscute. Metoda matricei. Această metodă constă în colectarea coeficienților necunoscutelor din matricea A, a necunoscutelor în coloana X și a termenilor liberi în coloana B. Astfel, sistemul de ecuații liniare se reduce la o ecuație matriceală de forma AxX = B. Această ecuație are o soluție unică numai dacă determinantul matricei A este diferit de zero, în caz contrar sistemul nu are soluții, sau un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuațiilor metoda matricei constă în găsirea matricei inverse A.
Ecuații liniare. Soluție, exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ecuații liniare.
Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)
De obicei, o ecuație liniară este definită ca o ecuație de forma:
topor + b = 0 Unde a și b– orice numere.
2x + 7 = 0. Aici a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Aici a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Aici a=12, b=1/2
Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi și te gândești nepăsător la asta?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:
Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, O b=5, Acesta se dovedește a fi ceva complet absurd:
Ceea ce este enervant și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales în timpul examenelor. Dar din aceste expresii ciudate trebuie să găsiți și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța să facem asta. În această lecție.
Cum să recunoaștem o ecuație liniară după aspectul ei? Depinde de ce aspect.) Trucul este că nu numai ecuațiile de formă sunt numite ecuații liniare topor + b = 0 , dar și orice ecuații care pot fi reduse la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă scade sau nu?)
O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să zicem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi și numere. Și în ecuație nu există fracții împărțite la necunoscut , asta este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - binevenit! De exemplu:
Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, cub etc. și nici x în numitori, adică. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația
nu poate fi numit liniar. Aici X-urile sunt toate de gradul I, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară, o ecuație pătratică sau orice doriți.
Se pare că este imposibil să recunoști ecuația liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Acest lucru este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? Sarcinile cer ecuații decide. Acest lucru mă face fericit.)
Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.
Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (două dintre ele!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, soluția orice ecuația începe chiar cu aceste transformări. În cazul ecuațiilor liniare, aceasta (soluția) se bazează pe aceste transformări și se termină cu un răspuns complet. Are sens să urmați linkul, nu?) Mai mult decât atât, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare acolo.
Mai întâi, să ne uităm la cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație.
x - 3 = 2 - 4x
Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate în prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu contează pentru noi ce fel de ecuație este. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu X în partea stângă a ecuației, totul fără X (numerele) în dreapta.
Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x în partea stângă, cu o schimbare de semn, desigur, și - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuaţiilor. Surprins? Asta înseamnă că nu ai urmat linkul, dar în zadar...) Primim:
x + 4x = 2 + 3
Iată altele asemănătoare, luăm în considerare:
De ce avem nevoie pentru fericirea deplină? Da, ca să fie un X pur în stânga! Cinci este în cale. Scapa de cei cinci cu ajutorul a doua transformare identică a ecuaţiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata:
Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru încălzire.) Nu este foarte clar de ce mi-am amintit transformări identice aici? BINE. Să luăm taurul de coarne.) Să hotărâm ceva mai solid.
De exemplu, iată ecuația:
De unde începem? Cu X - la stânga, fără X - la dreapta? Este posibil. Pași mici de-a lungul unui drum lung. Sau o poți face imediat, într-un mod universal și puternic. Dacă, desigur, aveți transformări identice de ecuații în arsenalul dvs.
Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?
95 din 100 de persoane vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Prin urmare, începem imediat cu a doua transformare a identităţii. Cu ce aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, la 3. Și în dreapta? Prin 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum putem ieși? Să înmulțim ambele părți cu 12! Aceste. la un numitor comun. Atunci atât cele trei, cât și cele patru vor fi reduse. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:
Extinderea parantezelor:
Fiţi atenți! Numărător (x+2) L-am pus intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, întregul numărător este înmulțit! Acum puteți reduce fracțiile:
Extindeți parantezele rămase:
Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum să ne amintim o vrajă din școala elementară: cu un X - la stânga, fără un X - la dreapta!Și aplicați această transformare:
Iată câteva asemănătoare:
Și împărțiți ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:
Asta este. Răspuns: X=0,16
Vă rugăm să rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă frumoasă, am folosit două (doar două!) transformări identitare– translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a unei ecuații cu același număr. Aceasta este o metodă universală! Vom lucra în acest fel cu orice ecuatii! Absolut oricine. De aceea repet obositor despre aceste transformări identice tot timpul.)
După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm folosind transformări identice până când obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, nu în principiul soluției.
Dar... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare, încât te pot duce într-o puternică stupoare...) Din fericire, nu pot exista decât două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.
Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.
Prima surpriză.
Să presupunem că întâlniți o ecuație foarte simplă, ceva de genul:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Puțin plictisit, o mutăm cu un X la stânga, fără un X - la dreapta... Cu schimbare de semn totul este perfect... Obținem:
2x-5x+3x=5-2-3
Numărăm și... hopa!!! Primim:
Această egalitate în sine nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X lipsește! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este x egal? Altfel, soluția nu contează, nu...) Blocaj?
Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale vă vor salva. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Acest lucru înseamnă, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.
Dar avem egalitate adevărată deja a funcționat! 0=0, cu cât mai precis?! Rămâne să ne dăm seama ce x se întâmplă asta. În ce valori ale lui X pot fi înlocuite original ecuația dacă aceste x vor fi totusi reduse la zero? Haide?)
Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Pe care le vrei? Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori ale lui X în original ecuație și calculează. Tot timpul vei obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.
Iată răspunsul tău: x - orice număr.
Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.
A doua surpriză.
Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:
Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară și am obținut o egalitate ciudată. În termeni matematici, am primit falsă egalitate.Și vorbind într-un limbaj simplu, acest lucru nu este adevărat. Rave. Dar, cu toate acestea, această prostie este un motiv foarte bun pentru decizia corectă ecuații.)
Din nou gândim pe baza reguli generale. Ce x, atunci când sunt substituite în ecuația originală, ne vor da adevărat egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de X-uri. Indiferent ce ai pune, totul se va reduce, vor rămâne doar prostii.)
Iată răspunsul tău: nu exista solutii.
Acesta este, de asemenea, un răspuns complet complet. În matematică, astfel de răspunsuri sunt adesea găsite.
Ca aceasta. Acum, sper că dispariția lui X în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deruta deloc. Aceasta este deja o chestiune familiară.)
Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, vei putea înțelege în cel mai înțeles mod.
De exemplu, trebuie să rezolvați ecuația simplă x/b + c = d.
O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece Numitorul conține doar numere.
Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se anulează.
De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25
Un alt exemplu când necunoscutul este la numitor:
Ecuațiile de acest tip se numesc fracțional-rațional sau pur și simplu fracțional.
Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-o ecuație liniară sau pătratică, care poate fi rezolvată în mod obișnuit. Trebuie doar să luați în considerare următoarele puncte:
- valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
- Nu puteți împărți sau înmulți o ecuație cu expresia =0.
Aici intră în vigoare conceptul de regiune a valorilor permise (ADV) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.
Astfel, atunci când rezolvați ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Sunt excluse din răspuns acele rădăcini care nu corespund ODZ-ului nostru.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:
Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în în acest caz,: x – orice valoare, alta decât zero.
Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x
Și rezolvăm ecuația obișnuită
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Răspuns: x = 1/3
Să rezolvăm o ecuație mai complicată:
ODZ este prezent și aici: x -2.
Când rezolvăm această ecuație, nu vom muta totul într-o parte și vom reduce fracțiile la numitor comun. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va anula toți numitorii simultan.
Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x+2 și partea dreaptă cu 2. Aceasta înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2(x+2):
Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.
Să scriem aceeași ecuație, dar ușor diferit
Partea stângă se reduce cu (x+2), iar cea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:
x = 4 – 2 = 2, care corespunde ODZ-ului nostru
Răspuns: x = 2.
Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol am arătat acest lucru cu exemple. Dacă aveți dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce s-a întâmplat ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Acest lucru este important.
Poftim exemple de ecuații exponențiale:
3 x 2 x = 8 x+3
Fiţi atenți! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. ÎN indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Dacă, brusc, un X apare în ecuație în altă parte decât un indicator, de exemplu:
aceasta va fi o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.
De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom lua în considerare.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.
Mai întâi, să rezolvăm ceva foarte simplu. De exemplu:
Chiar și fără teorii, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nicio altă valoare a lui X nu funcționează. Acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:
Ce am făcut? Noi, de fapt, am aruncat pur și simplu aceleași baze (triple). Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit în cui!
Într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta identic numere în orice putere, aceste numere pot fi eliminate și exponenții pot fi egalați. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?)
Cu toate acestea, să ne amintim cu fermitate: Puteți elimina bazele numai atunci când numerele de bază din stânga și dreapta sunt într-o izolare splendidă! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:
2 x +2 x+1 = 2 3 sau
doi nu pot fi eliminati!
Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.
„Acestea sunt vremurile!” - spui tu. „Cine ar da o lecție atât de primitivă despre teste și examene!?”
Trebuie să fiu de acord. Nimeni nu o va da. Dar acum știi unde să țintești atunci când rezolvi exemple dificile. Este necesar să-l aduceți la forma în care același număr de bază este în stânga și în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este un clasic al matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit S.U.A minte. După regulile matematicii, desigur.
Să ne uităm la exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Să-i numim simplu ecuații exponențiale.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt acţiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.
La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Așa că le căutăm în exemplu în formă explicită sau criptată.
Să vedem cum se face acest lucru în practică?
Să ni se dea un exemplu:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prima privire atentă este la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a te descuraja. Este timpul să ne amintim asta
Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:
8 x+1 = (2 3) x+1
Dacă ne amintim formula din operații cu grade:
(a n) m = a nm ,
asta merge grozav:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Exemplul original a început să arate astfel:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Ne transferăm 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii!), obținem:
2 2x = 2 3(x+1)
Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:
Rezolvăm acest monstru și obținem
Acesta este răspunsul corect.
În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificateîn opt există un criptat doi. Această tehnică (criptare temeiuri comune sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile exponențiale! Da, și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe hârtie, și atât. De exemplu, oricine poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 va merge dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci invers... Aflați ce număr în ce măsură este ascuns în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu vă va ajuta aici.
Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, nu... Să exersăm?
Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Răspunsuri (în mizerie, desigur!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mult mai multe răspunsuri decât sarcini! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 - asta sunt tot 64.
Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre familiaritatea cu numerele.) Permiteți-mi să vă reamintesc și că pentru a rezolva ecuații exponențiale folosim toate stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv cei din clasele junioare și mijlocii. Nu ai mers direct la liceu, nu?)
De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze ajută adesea (bună ziua a 7-a!). Să ne uităm la un exemplu:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Și din nou, prima privire este către fundații! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz dorința este complet împlinită!) Pentru că:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Folosind aceleași reguli pentru tratarea diplomelor:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Este grozav, o poți scrie:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Am dat un exemplu din aceleași motive. Si ce mai departe!? Nu poți să arunci trei... O fundătură?
Deloc. Amintiți-vă de cea mai universală și puternică regulă de decizie toată lumea sarcini de matematica:
Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!
Uite, totul se va rezolva).
Ce este în această ecuație exponențială Can do? Da, în partea stângă se roagă doar să fie scos din paranteze! Multiplicatorul general de 3 2x indică clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplul este din ce în ce mai bun!
Ne amintim că pentru a elimina temeiuri avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Cifra 70 ne deranjeaza. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:
Hopa! Totul a devenit mai bine!
Acesta este răspunsul final.
Se întâmplă, totuși, ca rulajul pe același teren să funcționeze, dar eliminarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în alte tipuri de ecuații exponențiale. Să stăpânim acest tip.
Înlocuirea unei variabile în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Să rezolvăm ecuația:
4 x - 3 2 x +2 = 0
În primul rând - ca de obicei. Să trecem la o singură bază. La un doi.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Obtinem ecuatia:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Și aici stăm. Trucuri anterioare nu va funcționa, indiferent cât de greu ai arăta. Va trebui să scoatem din arsenalul nostru o altă metodă puternică și universală. Se numește înlocuire variabilă.
Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x) scriem alta, mai simplă (de exemplu - t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!
Asa ca lasa
Atunci 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
În ecuația noastră înlocuim toate puterile cu x cu t:
Ei bine, ți se pare?) Ai uitat încă ecuațiile pătratice? Rezolvând prin discriminant, obținem:
Principalul lucru aici este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Să revenim la X, adică. facem o înlocuire inversă. Mai întâi pentru t 1:
Prin urmare,
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
Hm... 2 x în stânga, 1 în dreapta... Problemă? Deloc! Este suficient să ne amintim (din operațiuni cu puteri, da...) că o unitate este orice număr la puterea zero. Orice. Orice este nevoie, îl vom instala. Avem nevoie de doi. Mijloace:
Asta e acum. Avem 2 rădăcini:
Acesta este răspunsul.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, uneori, ajungi cu un fel de expresie incomodă. Tip:
Șapte nu pot fi convertiți în doi printr-o simplă putere. Nu sunt rude... Cum putem fi? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:
Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” la examenul unificat de stat. Acolo este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” este ușor.
Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să subliniem punctele principale.
1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Ne întrebăm dacă este posibil să le facem identic. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ acţiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără x pot fi, de asemenea, convertite în puteri!
2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când în stânga și în dreapta sunt identic numere în orice putere. Noi folosim acţiuni cu gradeŞi factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în cifre, noi numărăm.
3. Dacă al doilea sfat nu funcționează, încercați să utilizați înlocuirea variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care poate fi rezolvată cu ușurință. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la pătrat.
4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere.
Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să te hotărăști puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.
Rezolvați ecuații exponențiale:
Mai dificil:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Găsiți produsul rădăcinilor:
2 3 + 2 x = 9
A funcționat?
Ei bine, atunci cel mai complicat exemplu(hotărât, totuși, în minte...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de atras de dificultate crescută. Permiteți-mi să vă sugerez că, în acest exemplu, ceea ce vă salvează este ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor problemelor matematice.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un exemplu mai simplu, pentru relaxare):
9 2 x - 4 3 x = 0
Și pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da, da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. De ce să le luați în considerare, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, ai nevoie de ingeniozitate... Și să te ajute clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).
Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):
1; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.
Este totul reușit? Mare.
Ceva probleme? Nicio întrebare! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicatii detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu doar acestea.)
O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Ce este o ecuație?
O ecuație este unul dintre conceptele fundamentale ale tuturor matematicii. Atât învățământul școlar, cât și cel superior. Are sens să-ți dai seama, nu? În plus, acesta este un concept foarte simplu. Vedeți singuri mai jos. :) Deci care este ecuația?
Faptul că acest cuvânt are aceeași rădăcină cu cuvintele „egal”, „egalitate”, cred că nu ridică nicio obiecție din partea nimănui. O ecuație este două expresii matematice legate printr-un semn egal „=”. Dar... nu oricare. Și cele în care (cel puțin unul) conține cantitate necunoscută . Sau într-un alt fel cantitate variabila . Sau pur și simplu „variabil” pe scurt. Pot exista una sau mai multe variabile. La matematica școlară, ecuații cu unul variabilă. Care este de obicei notat cu literax . Sau alte ultimele litere ale alfabetului latin -y , z , t și așa mai departe.
Deocamdată vom lua în considerare și ecuațiile cu o variabilă. Cu două sau mai multe variabile - într-o lecție specială.
Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?
Să mergem mai departe. Variabila din expresiile incluse în ecuație poate lua orice valoare validă. De aceea este variabilă. :) Pentru unele valori ale variabilei se obține egalitatea corectă, dar pentru altele nu este. Rezolvați ecuația- aceasta înseamnă găsirea tuturor acestor valori ale variabilei, atunci când le înlocuiți în original se dovedește ecuația adevărata egalitate . Sau, mai stiintific, identitate. De exemplu, 5=5, 0=0, -10=-10. Și așa mai departe. :) Sau dovediți că astfel de valori variabile nu există.
Mă concentrez în mod special pe cuvântul „original”. De ce va deveni clar mai jos.
Chiar aceste valori ale variabilei, la înlocuirea cărora ecuația se transformă într-o identitate, sunt numite foarte frumos - rădăcinile ecuației. Dacă se dovedește că nu există astfel de valori, atunci în acest caz se spune că ecuația nu are rădăcini.
De ce sunt necesare ecuații?
De ce avem nevoie de ecuații? În primul rând, ecuațiile sunt un instrument foarte puternic și cel mai versatil pentru rezolvarea problemelor . Foarte diferit. :) La școală, de regulă, se lucrează cu probleme cu cuvintele. Acestea sunt sarcini de mișcare, de muncă, de procente și multe, multe altele. Cu toate acestea, utilizarea ecuațiilor nu se limitează la problemele școlare despre piscine, țevi, trenuri și scaune. :)
Fără capacitatea de a compune și rezolva ecuații, este imposibil să rezolvi orice problemă științifică serioasă - fizică, inginerească sau economică. De exemplu, calculați unde va lovi o rachetă. Sau răspundeți la întrebarea dacă o structură importantă (un lift sau un pod, de exemplu) va rezista sau nu la sarcină. Sau preziceți vremea, creșterea (sau scăderea) prețurilor sau a veniturilor...
În general, ecuația este o figură cheie în rezolvarea unei game largi de probleme de calcul.
Care sunt ecuațiile?
Există nenumărate ecuații în matematică. Cele mai multe diferite tipuri. Cu toate acestea, toate ecuațiile pot fi împărțite în doar 4 clase:
1) Linear,
2) pătrat,
3) Fracționar (sau fracționar-rațional),
4) Alții.
Diferite tipuri de ecuații necesită și abordare diferită la soluția lor: ecuații liniare se rezolvă într-un fel, pătratele în altul, fracționale într-o treime, trigonometrice, logaritmice, exponențiale și altele sunt de asemenea rezolvate prin metode proprii.
Există, desigur, mai multe alte ecuații. Acestea sunt ecuații iraționale, trigonometrice, exponențiale, logaritmice și multe alte ecuații. Și chiar ecuații diferențiale(pentru studenți), unde necunoscutul nu este un număr, ci funcţie. Sau chiar o întreagă familie de funcții. :) În lecțiile corespunzătoare vom analiza în detaliu toate aceste tipuri de ecuații. Și aici avem tehnici de bază care sunt aplicabile pentru rezolvare absolut orice(da, orice!) ecuații. Aceste tehnici sunt numite transformări echivalente ale ecuațiilor . Sunt doar doi dintre ei. Și nu există nicio cale de a le ocoli. Deci haideți să facem cunoștință!
Cum se rezolvă ecuațiile? Transformări identice (echivalente) ale ecuațiilor.
Soluţie orice ecuația constă într-o transformare pas cu pas a expresiilor incluse în ea. Dar nu orice transformări, ci astfel încât esența întregii ecuații nu s-a schimbat. În ciuda faptului că după fiecare transformare ecuația se va schimba și în cele din urmă devine complet diferită de cea originală. Astfel de transformări în matematică se numesc echivalent sau identic . Dintre întreaga varietate de transformări identice ale ecuațiilor, una iese în evidență două de bază. Vom vorbi despre ele. Da, da, doar doi! Și fiecare dintre ele merită o atenție specială. Aplicarea acestor două transformări identice într-o ordine sau alta garantează succesul în rezolvarea a 99% din toate ecuațiile.
Așadar, să ne cunoaștem!
Prima transformare de identitate:
Puteți adăuga (sau scădea) orice număr (dar identic!) sau expresie (inclusiv cele cu o variabilă) de ambele părți ale ecuației.
Esența ecuației va rămâne aceeași. Aplicați această transformare peste tot, gândindu-vă naiv că transferați niște termeni dintr-o parte a ecuației în alta, schimbând semnul. :)
De exemplu, această ecuație grozavă:
Nu e nimic de gândit aici: mutați minusul trei la dreapta, schimbând minusul într-un plus:
Dar ce se întâmplă cu adevărat? Dar în realitate tu adăugați trei la ambele părți ale ecuației! Ca aceasta:
Esența întregii ecuații nu se schimbă atunci când se adună trei la ambele părți. În stânga rămâne un X pur (care este ceea ce noi, de fapt, încercăm să realizăm), iar în dreapta - orice s-ar întâmpla.
Transferarea termenilor dintr-o parte în alta este versiunea scurtată prima transformare a identităţii. Singura greșeală pe care o poți face aici este să uiți să schimbi semnul la transfer. De exemplu, această ecuație:
Nu este o chestiune complicată. Lucrăm direct după vrajă: cu X la stânga, fără X la dreapta. Ce termen cu X este în dreapta? Ce? 2x? Greşit! În dreapta avem -2x (minus două x-uri)! Prin urmare, acest termen va fi transferat în partea stângă cu un plus :
Jumătate din bătălie este încheiată, X-urile au fost adunate în stânga. Tot ce rămâne este să mutați unitatea spre dreapta. Din nou întrebarea este - cu ce semn? Nu este nimic scris în stânga înaintea unității, ceea ce înseamnă că este menit să fie precedat de plus. Prin urmare, 1 se va deplasa la dreapta cu un minus:
Asta e aproape tot. În stânga le prezentăm asemănătoare, iar în dreapta le numărăm. Și obținem:
Acum să analizăm mașinațiunile noastre cu termeni de transfer. Ce am făcut când ne-am mutat -2x la stânga? Da! Noi adăugat la ambele părți a ecuației noastre malefice expresia este 2x. Ți-am spus că avem dreptul să adunăm (scădem) orice număr și chiar o expresie cu X! Atâta timp cât este același lucru. :) Si cand ai mutat 1 la dreapta? Absolut corect! Noi scade din ambele părți ale ecuației unul. Asta-i tot.) Acesta este scopul primei transformări echivalente.
Sau acest exemplu pentru elevii de liceu:
Ecuația este logaritmică. Şi ce dacă? Cui îi pasă? Oricum, primul pas este să facem o transformare de bază a identității - mutăm termenul cu variabila (adică -log 3 x) la stânga și expresie numerică jurnalul 3 4 muta la dreapta. Cu o schimbare de semn, desigur:
Asta este. Oricine este familiarizat cu logaritmii va completa ecuația din capul lui și va obține:
Ce? Vrei sinusuri? Vă rog, iată sinusurile:
Efectuăm din nou prima transformare identică - transferăm sin x la stânga (cu un minus) și mutați -1/4 la dreapta (cu un plus):
Am obținut cea mai simplă ecuație trigonometrică cu sinus, care nu este greu de rezolvat pentru cei cunoscători.
Vezi cât de universală este prima transformare echivalentă! Se găsește peste tot și peste tot și nu există nicio modalitate de a o ocoli. Prin urmare, trebuie să puteți face acest lucru automat. Principalul lucru este să nu uitați să schimbați semnul la transfer! Continuăm să ne familiarizăm cu transformările identice ale ecuațiilor.)
A doua transformare de identitate:
Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr sau expresie diferită de zero.
De asemenea, folosim constant această transformare identică atunci când unii coeficienți din ecuație interferează cu noi și vrem să scăpăm de ei. Sigur pentru ecuația în sine. :) De exemplu, această ecuație rea:
Este clar pentru toată lumea de aici că x = 3. Cum ai ghicit? L-ai ridicat? Sau ai îndreptat cu degetul spre cer și ai ghicit?
Pentru a nu selecta și ghici (suntem până la urmă matematicieni, nu ghicitori :)), trebuie să înțelegi că ești pur și simplu împărțit ambele părți ale ecuației pentru un patru. Ceea ce ne deranjează.
Ca aceasta:
Acest stick de divizare înseamnă că sunt împărțiți la patru. ambele părți ecuația noastră. Toate partea stângăși toată partea dreaptă:
În stânga, patrusele sunt reduse în siguranță, iar x-ul rămâne într-o izolare splendidă. Și în dreapta, la împărțirea 12 la 4, rezultatul este, firește, trei. :)
Sau această ecuație:
Ce să faci cu o șapte? Mișcă-te corect? Nu, nu poți! O șapte este asociată cu înmulțirea x. Coeficientul, înțelegi. :) Nu puteți separa coeficientul și îl mutați separat de X. Doar întreaga expresie (1/7)x. Dar nu este nevoie. :) Să ne amintim din nou de înmulțire/împărțire. Ce ne oprește? Fracția este 1/7, nu-i așa? Deci hai să scăpăm de el. Cum? Și în urma cărei acțiuni pierdem fracția? Fracția noastră dispare când multiplicare printr-un număr egal cu numitorul său! Deci, să înmulțim ambele părți ale ecuației noastre cu 7:
În stânga, șaptele vor fi reduse și va rămâne doar un X singuratic, iar în dreapta, dacă vă amintiți tabla înmulțirii, obțineți 21:
Acum un exemplu pentru elevii de liceu:
Pentru a ajunge la x și a rezolva astfel ecuația noastră trigonometrică diabolică, trebuie mai întâi să obținem un cosinus pur în stânga, fără coeficienți. Dar zeul iese în cale. :) Deci împărțim toată partea stângă la 2:
Dar atunci partea dreaptă va trebui, de asemenea, să împărțiți la două: acest lucru este deja cerut de MATEMATICĂ. Împărțiți:
Am primit valoarea tabelului cosinusului din dreapta. Și acum ecuația este rezolvată pentru sufletul dulce.)
Este totul clar cu înmulțirea/împărțirea? Mare! Dar… Atenţie!În această transformare, cu toată simplitatea ei, stă o sursă de erori foarte enervante! Se numește pierderea rădăcinilor Şi dobândirea de rădăcini străine .
Am spus deja mai sus că ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu orice număr sau expresie cu x. Dar cu un avertisment important: expresia prin care înmulțim (împărțim) trebuie să fie diferit de zero . Acest punct, pe care mulți pur și simplu îl ignoră la început, duce la astfel de greșeli nefericite. De fapt, sensul acestei restricții este clar: înmulțirea cu zero este o prostie, iar împărțirea nu este în general permisă. Să ne dăm seama ce este ce? Să începem cu împărțirea și pierderea rădăcinii .
Să presupunem că avem această ecuație:
Aici sunteți foarte dornic să luați și să împărțiți ambele părți ale ecuației printr-o paranteză comună (x-1):
Să presupunem că sarcina Unified State Exam spune să găsim suma rădăcinilor acestei ecuații. Ce vom scrie ca răspuns? Trei? Dacă decizi că este un trei, atunci tu au fost pândiți în ambuscadă. Denumită „pierderea rădăcinii”. :) Ce s-a întâmplat?
Să deschidem parantezele din ecuația originală și să colectăm totul din stânga:
Avem ecuația pătratică clasică. Rezolvăm prin discriminant (sau prin teorema lui Vieta) și obținem două rădăcini:
Prin urmare, suma rădăcinilor este 1+3 = 4. Patru, nu trei! Unde a „dispărut” rădăcina noastră?
x = 1
Cu prima solutie? Iar cel al nostru a dispărut tocmai când împărțeam ambele părți prin paranteze (x-1). De ce sa întâmplat asta? Și totul pentru că la x = 1 acest parantez (x-1) este resetat la zero. Și avem dreptul să ne împărțim doar prin expresie diferită de zero! Cum ar putea fi evitată pierderea acestei rădăcini? Și pierderea rădăcinilor în general? Pentru a face acest lucru, în primul rând, înainte de a împărți la o expresie cu un x, adăugăm întotdeauna condiția ca această expresie să fie diferită de zero. Și găsim zerourile acestei expresii. În felul acesta (folosind ecuația noastră ca exemplu):
Și în al doilea rând, pentru ca unele rădăcini să nu dispară în timpul procesului de împărțire, trebuie să verificăm separat ca candidați pentru rădăcini Toate zerouri ale expresiei noastre (cea cu care împărțim). Cum? Doar pune-le înăuntru ecuația originalăși numără. În cazul nostru, verificăm unul:
Totul este corect. Deci, una este rădăcina!
În general, în viitor, încercați întotdeauna să evitați diviziuni la expresia cu un X. Pierderea rădăcinilor este un lucru foarte periculos și enervant! Folosiți orice alte metode - deschiderea parantezelor și mai ales factorizarea. Factorizarea este cea mai simplă și mod sigur evita pierderea rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, colectăm totul din stânga, apoi scoatem factorul comun (pe care vrem să-l „reducem”) din paranteze, îl factorăm în factori și apoi echivalăm fiecare factor rezultat cu zero. De exemplu, ecuația noastră ar putea fi rezolvată destul de inofensiv nu numai prin reducerea la un pătrat, ci și prin factorizare. Vedeți singuri:
Mutați întreaga expresie (x-1) la stânga. Cu semnul minus:
Scoatem (x-1) din paranteze ca factor comun și îl factorizăm:
Produsul este zero când cel puțin unul dintre factori este zero. Acum echivalăm (în mintea noastră!) fiecare paranteză cu zero și obținem cele două rădăcini legale:
Și nici măcar o rădăcină nu s-a pierdut!
Să ne uităm acum la situația opusă - dobândirea de rădăcini străine. Această situație apare atunci când multiplicare ambele părți ale ecuației la expresia cu x. Apare adesea la rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale. De exemplu, această ecuație simplă:
Este o chestiune familiară - înmulțim ambele părți cu numitorul pentru a scăpa de fracție și a obține o ecuație riglă:
Echivalăm fiecare factor cu zero și obținem două rădăcini:
Totul pare să fie bine. Dar să încercăm să facem o verificare de bază. Și dacă la x = 0 totul va crește împreună frumos, obținem identitatea 2=2, apoi când x = 1 Acest lucru va duce la împărțirea la zero. Ceea ce absolut nu poți face. Una nu este potrivită ca rădăcină a ecuației noastre. În astfel de cazuri se spune că x = 1- așa-zis rădăcină străină . Una este rădăcina noii noastre ecuații fără o fracție x(x-1) = 0, Dar nu este rădăcină original ecuație fracțională. Cum apare această rădăcină străină? Apare atunci când ambele părți sunt înmulțite cu numitorul x-1. care la x = 1 pur si simplu merge la zero! Și avem dreptul să înmulțim doar cu o altă expresie decât zero!
Cum poate fi asta? Nu te înmulți deloc? Atunci nu vom putea rezolva absolut nimic. Ar trebui să verific de fiecare dată? Can. Dar este adesea laborioasă dacă ecuația inițială este prea complicată. În astfel de cazuri, trei litere magice vin în ajutor - ODZ. DESPRE zonă D omis Z realizări. Și pentru a exclude apariția rădăcinilor străine, atunci când înmulțiți cu o expresie cu X, trebuie întotdeauna să notați suplimentar ODZ. In cazul nostru:
Acum, cu această limitare, puteți înmulți în siguranță ambele părți cu numitor. Toate efecte nocive vom exclude din această înmulțire (adică rădăcinile străine) conform ODZ. Și îl vom arunca fără milă pe cel al nostru.
Deci, apariția rădăcinilor străine nu este la fel de periculoasă ca pierderea: ODZ este un lucru puternic. Și dur. Ea va elimina întotdeauna tot ce nu este necesar. :) Eu și ODZ vom fi prieteni și ne vom cunoaște mai detaliat într-o lecție separată.
Sunt toate transformările identice.) Numai două. Cu toate acestea, un student fără experiență poate avea unele dificultăți asociate cu secvenţă aplicațiile lor: în unele exemple încep cu înmulțirea (sau împărțirea), în altele - cu transferul. De exemplu, această ecuație liniară:
De unde să încep? Puteți începe cu transferul:
Sau puteți mai întâi să împărțiți ambele părți la cinci, apoi să le transferați. Atunci numerele vor deveni mai simple și va fi mai ușor de numărat:
După cum vedem, ambele moduri sunt posibile. Așadar, se pune întrebarea pentru unii studenți: „Care este corect?” Răspuns: „Corect din toate punctele de vedere!” Oricare este mai convenabil pentru tine. :) Atâta timp cât acțiunile tale nu contrazic regulile matematicii. Și succesiunea acestor acțiuni depinde numai de preferințele și obiceiurile personale ale celui care decide. Cu toate acestea, cu experiență, astfel de întrebări vor dispărea de la sine, iar în cele din urmă nu matematica va fi cea care vă va comanda, ci voi veți comanda matematica. :)
În concluzie, aș vrea să spun separat despre așa-numitul conditionat transformări identitare , valabil pentru unele conditii. De exemplu, ridicarea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere. Sau extragerea rădăcinii din ambele părți. Dacă exponentul este impar, atunci nu există restricții - construiți și extrageți fără teamă. Dar dacă este uniformă, atunci o astfel de transformare va fi identică numai dacă ambele părți ale ecuației sunt nenegative. Despre aceste capcane vom vorbi în detaliu în subiectul despre ecuațiile iraționale.
