Pentru a rezolva sistemul ecuații liniare cu două variabile folosind metoda substituției procedăm astfel:

1) exprimă o variabilă prin alta într-una dintre ecuațiile sistemului (x prin y sau y prin x);

2) substituim expresia rezultată într-o altă ecuație a sistemului și obținem o ecuație liniară cu o variabilă;

3) rezolvați ecuația liniară rezultată cu o variabilă și găsiți valoarea acestei variabile;

4) înlocuim valoarea găsită a variabilei în expresia (1) pentru o altă variabilă și găsim valoarea acestei variabile.

Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției.

Să ne exprimăm X prin y din prima ecuație. Se obține: x=7+y. Să înlocuim expresia (7+y). Xîn a doua ecuație a sistemului.

Obținem ecuația: 3 · (7+y)+2y=16. Aceasta este o ecuație cu o variabilă la. Să rezolvăm. Să deschidem parantezele: 21+3y+2y=16. Colectarea termenilor cu o variabilă laîn partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă. Când transferăm un termen dintr-o parte a egalității în alta, schimbăm semnul termenului în opus.

Se obține: 3y+2y=16-21. Prezentăm termeni similari în fiecare parte a egalității. 5y=-5. Împărțim ambele părți ale egalității la coeficientul variabilei. y=-5:5; y=-1. Înlocuiți această valoare laîn expresia x=7+y și găsiți X. Se obține: x=7-1; x=6. O pereche de valori variabile x=6 și y=-1 este o soluție pentru acest sistem.

Notează: (6; -1). Răspuns: (6; -1). Este convenabil să scrieți aceste argumente așa cum se arată mai jos, adică. sisteme de ecuații - în stânga unul sub celălalt. În dreapta sunt calcule, explicații necesare, verificarea soluției etc.

1. Metoda de înlocuire: din orice ecuație a sistemului exprimăm o necunoscută prin alta și o înlocuim în a doua ecuație a sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie. Din prima ecuație a sistemului exprimăm la prin Xși înlocuiți-l în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul echivalent cu cel original.

După aducerea unor termeni similari, sistemul va lua forma:

Din a doua ecuație găsim: . Înlocuind această valoare în ecuație la = 2 - 2X, primim la= 3. Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere.

2. Metodă adunare algebrică : Prin adăugarea a două ecuații, obțineți o ecuație cu o variabilă.

Sarcină. Rezolvați ecuația sistemului:

Soluţie.Înmulțind ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu 2, obținem sistemul echivalent cu cel original. Adunând cele două ecuații ale acestui sistem, ajungem la sistem

După aducerea unor termeni similari, acest sistem va lua forma: Din a doua ecuație găsim . Înlocuind această valoare în ecuația 3 X + 4la= 5, obținem , unde . Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere.

3. Metoda de introducere a noilor variabile: căutăm câteva expresii repetate în sistem, pe care le vom denota prin variabile noi, simplificând astfel aspectul sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie. Să scriem acest sistem diferit:

Lasă x + y = u, xy = v. Apoi obținem sistemul

Să o rezolvăm folosind metoda substituției. Din prima ecuație a sistemului exprimăm u prin vși înlocuiți-l în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul aceste.

Din a doua ecuație a sistemului găsim v 1 = 2, v 2 = 3.

Înlocuirea acestor valori în ecuație u = 5 - v, primim u 1 = 3,
u 2 = 2. Atunci avem două sisteme

Rezolvând primul sistem, obținem două perechi de numere (1; 2), (2; 1). Al doilea sistem nu are soluții.

Exerciții pentru munca independentă

1. Rezolvați sisteme de ecuații folosind metoda substituției.

Folosind asta program de matematică Puteți rezolva un sistem de două ecuații liniare în două variabile folosind metoda substituției și metoda adunării.

Programul nu oferă doar răspunsul la problemă, ci oferă și soluție detaliată cu explicații ale etapelor soluției în două moduri: metoda substituției și metoda adunării.

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu din școlile secundare în pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Reguli pentru introducerea ecuațiilor
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. La introducerea ecuațiilor poti folosi paranteze
. În acest caz, ecuațiile sunt mai întâi simplificate.

Ecuațiile după simplificări trebuie să fie liniare, adică. de forma ax+by+c=0 cu precizia ordinii elementelor. numere fracționare sub formă de zecimale și fracții ordinare.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părți întregi și fracționale în zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu: 2,1n + 3,5m = 55

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
La intrare fracție numerică Numătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Toată parte este separat de fracție printr-un ampersand: &

Exemple.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Rezolvarea sistemului de ecuații

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Metoda de înlocuire

Secvența de acțiuni la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției:
1) exprimă o variabilă dintr-o ecuație a sistemului în termenii alteia;
2) înlocuiți expresia rezultată într-o altă ecuație a sistemului în locul acestei variabile;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Să exprimăm y în termeni de x din prima ecuație: y = 7-3x. Înlocuind expresia 7-3x în a doua ecuație în loc de y, obținem sistemul:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Este ușor de demonstrat că primul și al doilea sistem au aceleași soluții. În cel de-al doilea sistem, a doua ecuație conține o singură variabilă. Să rezolvăm această ecuație:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Înlocuind numărul 1 în loc de x în egalitatea y=7-3x, găsim valoarea corespunzătoare a lui y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Perechea (1;4) - soluția sistemului

Se numesc sisteme de ecuații din două variabile care au aceleași soluții echivalent. Sistemele care nu au soluții sunt de asemenea considerate echivalente.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin adunare

Să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva sistemele de ecuații liniare - metoda adunării. Atunci când rezolvăm sisteme în acest fel, precum și când rezolvăm prin substituție, trecem de la acest sistem la altul, echivalent, în care una dintre ecuații conține o singură variabilă.

Secvența de acțiuni la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării:
1) înmulțiți ecuațiile termenului de sistem cu termen, selectând factori astfel încât coeficienții uneia dintre variabile să devină numere opuse;
2) se adaugă laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor sistemului termen cu termen;
3) rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă;
4) găsiți valoarea corespunzătoare a celei de-a doua variabile.

Exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

În ecuațiile acestui sistem, coeficienții lui y sunt numere opuse. Adunând laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor termen cu termen, obținem o ecuație cu o variabilă 3x=33. Să înlocuim una dintre ecuațiile sistemului, de exemplu prima, cu ecuația 3x=33. Să luăm sistemul
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Din ecuația 3x=33 aflăm că x=11. Înlocuind această valoare x în ecuația \(x-3y=38\) obținem o ecuație cu variabila y: \(11-3y=38\). Să rezolvăm această ecuație:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Astfel, am găsit soluția sistemului de ecuații prin adunare: \(x=11; y=-9\) sau \((11;-9)\)

Profitând de faptul că în ecuațiile sistemului coeficienții lui y sunt numere opuse, am redus soluția acestuia la soluția unui sistem echivalent (prin însumarea ambelor părți ale fiecăreia dintre ecuațiile sistemului original), în care dintre ecuații conține o singură variabilă.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și ale examenului de stat unificat online Jocuri, puzzle-uri Trasarea graficelor funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților rusești Lista a sarcinilor
Să analizăm două tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului folosind metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii prin metoda substitutiei trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Express. Din orice ecuație exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea rezultata intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

Pentru a decide sistem prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen trebuie să:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face coeficienți identici.
2. Adunăm sau scădem ecuații, rezultând o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului o reprezintă punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, ceea ce înseamnă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2.După ce am exprimat-o, înlocuim 3+10y în prima ecuație în loc de variabila x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (deschideți parantezele)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații sunt punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y Să găsim x, în primul punct în care l-am exprimat, înlocuim y acolo .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm folosind metoda adunării (scăderii) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Alegem o variabilă, să presupunem că alegem x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fără glumă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.