Rezolvați o ecuație liniară folosind metoda Gaussiană. Metoda Gauss: descrierea algoritmului de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare, exemple, soluții

29.09.2019

Adenoide

Dat calculator online găsește o soluție la sistem ecuații liniare(SLN) prin metoda Gaussiană. Se oferă o soluție detaliată. Pentru a calcula, selectați numărul de variabile și numărul de ecuații. Apoi introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Reprezentarea numărului:

Numere întregi și/sau fracții comune
Numere întregi și/sau zecimale

Numărul de locuri după separatorul zecimal

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

metoda Gauss

Metoda Gauss este o metodă de tranziție de la sistemul original de ecuații liniare (folosind transformări echivalente) la un sistem care este mai ușor de rezolvat decât sistemul original.

Transformările echivalente ale unui sistem de ecuații liniare sunt:

schimbând două ecuații în sistem,
înmulțind orice ecuație din sistem cu un număr real diferit de zero,
adunând la o ecuație o altă ecuație înmulțită cu un număr arbitrar.

Luați în considerare un sistem de ecuații liniare:

(1)

Să scriem sistemul (1) sub formă de matrice:

Ax=b

(2)

(3)

O- numită matricea coeficienților sistemului, b− partea dreaptă a restricțiilor, x− vector de variabile de găsit. Lasă clasarea ( O)=p.

Transformările echivalente nu modifică rangul matricei coeficienților și rangul matricei extinse a sistemului. De asemenea, setul de soluții al sistemului nu se modifică în cazul transformărilor echivalente. Esența metodei Gauss este reducerea matricei de coeficienți O la diagonală sau în trepte.

Să construim o matrice extinsă a sistemului:

În etapa următoare, resetăm toate elementele coloanei 2, sub element. Dacă acest element zero, atunci acest rând este schimbat cu rândul aflat sub acest rând și având un element diferit de zero în a doua coloană. Apoi, resetați toate elementele coloanei 2 sub elementul principal o 22. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 3, ... m cu șirul 2 înmulțit cu − o 32 /o 22 , ..., −o m2/ o 22, respectiv. Continuând procedura, obținem o matrice de formă diagonală sau în trepte. Fie ca matricea extinsă rezultată să aibă forma:

(7)

Deoarece rangA=rang(A|b), atunci mulțimea soluțiilor (7) este ( n−p)− varietate. Prin urmare n−p necunoscutele pot fi alese arbitrar. Necunoscutele rămase din sistemul (7) sunt calculate după cum urmează. Din ultima ecuație pe care o exprimăm x p prin variabilele rămase și introduceți în expresiile anterioare. În continuare, din penultima ecuație pe care o exprimăm x p−1 prin variabilele rămase și inserați în expresiile anterioare etc. Să luăm în considerare metoda Gauss folosind exemple specifice.

Exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Exemplul 1. Găsiți solutie generala sisteme de ecuații liniare prin metoda Gauss:

Să notăm prin o ij elemente i-a linia și j a coloana.

o 1 1 . Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -2/3, respectiv -1/2:

Tip de înregistrare matrice: Ax=b, Unde

Să notăm prin o ij elemente i-a linia și j a coloana.

Să excludem elementele primei coloane a matricei de sub element o 11. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -1/5, respectiv -6/5:

Împărțim fiecare rând al matricei la elementul conducător corespunzător (dacă elementul principal există):

Unde x 3 , x

Înlocuind expresiile superioare în cele inferioare, obținem soluția.

Apoi soluția vectorială poate fi reprezentată după cum urmează:

Unde x 3 , x 4 sunt numere reale arbitrare.

Aici puteți rezolva gratuit un sistem de ecuații liniare Metoda Gauss online dimensiuni mariîn numere complexe cu o soluţie foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemele obișnuite de ecuații liniare definite, cât și nedefinite folosind metoda Gaussiană, care are un număr infinit de soluții. În acest caz, în răspuns vei primi dependența unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru consecvența online, folosind soluția Gauss.

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda online Gauss se efectuează următorii pași.

Scriem matricea extinsă.
De fapt, soluția este împărțită în pași înainte și înapoi ai metodei gaussiene. Abordarea directă a metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Reversul metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
Este important de reținut că, atunci când se rezolvă folosind metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu un NU zero partea dreaptă(coloana membrilor liberi) indică incompatibilitatea sistemului. În acest caz, o soluție pentru sistemul liniar nu există.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „soluție foarte detaliată” și vizualizați soluția sa online.

metoda Gauss perfect pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice(SLAU). Are o serie de avantaje în comparație cu alte metode:

în primul rând, nu este nevoie să examinăm mai întâi sistemul de ecuații pentru consecvență;
în al doilea rând, metoda Gauss poate rezolva nu numai SLAE-uri în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și matricea principală a sistemului este nesingulară, ci și sisteme de ecuații în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau determinantul matricei principale este egal cu zero;
în al treilea rând, metoda Gauss conduce la rezultate cu un număr relativ mic de operații de calcul.

Scurtă prezentare generală a articolului.

În primul rând, dăm definițiile necesare și introducem notații.

În continuare, vom descrie algoritmul metodei Gauss pentru cel mai simplu caz, adică pentru sisteme de ecuații algebrice liniare, numărul de ecuații în care coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este nu este egal cu zero. Când se rezolvă astfel de sisteme de ecuații, esența metodei Gauss este cel mai clar vizibilă, care este eliminarea secvențială a variabilelor necunoscute. Prin urmare, metoda Gaussiană este numită și metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor. Vă vom arăta soluții detaliate mai multe exemple.

În concluzie, vom lua în considerare soluția prin metoda Gauss a sistemelor de ecuații algebrice liniare, a căror matrice principală este fie dreptunghiulară, fie singulară. Soluția pentru astfel de sisteme are câteva caracteristici, pe care le vom examina în detaliu folosind exemple.

Navigare în pagină.

Definiții și notații de bază.

Considerăm un sistem de p ecuații liniare cu n necunoscute (p poate fi egal cu n):

Unde sunt variabile necunoscute, sunt numere (reale sau complexe) și sunt termeni liberi.

Dacă , atunci sistemul de ecuații algebrice liniare se numește omogen, altfel - eterogen.

Se numește setul de valori ale variabilelor necunoscute pentru care toate ecuațiile sistemului devin identități decizia SLAU.

Dacă există cel puțin o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare, atunci se numește comun, altfel - nearticulată.

Dacă SLAE are singura solutie, atunci se numește anumit. Dacă există mai multe soluții, atunci sistemul este apelat nesigur.

Ei spun că sistemul este scris forma de coordonate, dacă are forma
.

Acest sistem în formă matriceală records are forma unde - matricea principală a SLAE, - matricea coloanei de variabile necunoscute, - matricea termenilor liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea extinsă este indicată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată linie verticală din coloanele rămase, adică

Matricea pătrată A se numește degenera, dacă determinantul său este zero. Dacă , atunci se numește matricea A nedegenerate.

Trebuie remarcat următorul punct.

Dacă procedăm cu un sistem de ecuaţii algebrice liniare pașii următori

schimbați două ecuații,
înmulțiți ambele părți ale oricărei ecuații cu un număr real (sau complex) arbitrar și diferit de zero k,
la ambele părți ale oricărei ecuații adăugați părțile corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un număr arbitrar k,

apoi obțineți un sistem echivalent care are aceleași soluții (sau, la fel ca cel original, nu are soluții).

Pentru o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare, aceste acțiuni vor însemna efectuarea de transformări elementare cu rândurile:

schimbând două linii,
înmulțind toate elementele oricărui rând al matricei T cu un număr diferit de zero k,
adunând la elementele oricărui rând al unei matrice elementele corespunzătoare ale altui rând, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Acum putem trece la descrierea metodei Gauss.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și matricea principală a sistemului este nesingulară, folosind metoda Gauss.

Ce am face la școală dacă ni s-ar da sarcina de a găsi o soluție la un sistem de ecuații? .

Unii ar face asta.

Rețineți că adăugarea în partea stângă a celei de-a doua ecuații partea stângă mai întâi, și în partea dreaptă - cea dreaptă, puteți scăpa de variabilele necunoscute x 2 și x 3 și puteți găsi imediat x 1:

Înlocuim valoarea găsită x 1 =1 în prima și a treia ecuație a sistemului:

Dacă înmulțim ambele părți ale celei de-a treia ecuații a sistemului cu -1 și le adăugăm la părțile corespunzătoare ale primei ecuații, scăpăm de variabila necunoscută x 3 și putem găsi x 2:

Înlocuim valoarea rezultată x 2 = 2 în a treia ecuație și găsim variabila necunoscută rămasă x 3:

Alții ar fi procedat altfel.

Să rezolvăm prima ecuație a sistemului în raport cu variabila necunoscută x 1 și să substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație a sistemului pentru a exclude această variabilă din ele:

Acum să rezolvăm a doua ecuație a sistemului pentru x 2 și să înlocuim rezultatul obținut în a treia ecuație pentru a elimina variabila necunoscută x 2 din aceasta:

Din a treia ecuație a sistemului este clar că x 3 =3. Din a doua ecuație găsim , iar din prima ecuație obținem .

Soluții familiare, nu?

Cel mai interesant lucru aici este că a doua metodă de soluție este în esență metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, adică metoda Gauss. Când am exprimat variabilele necunoscute (prima x 1, la următoarea etapă x 2) și le-am substituit în ecuațiile rămase ale sistemului, le-am exclus astfel. Am efectuat eliminarea până când a rămas o singură variabilă necunoscută în ultima ecuație. Procesul de eliminare secvenţială a necunoscutelor se numeşte metoda Gaussiană directă. După finalizarea mișcării înainte, avem posibilitatea de a calcula variabila necunoscută găsită în ultima ecuație. Cu ajutorul ei, din penultima ecuație găsim următoarea variabilă necunoscută și așa mai departe. Se numește procesul de găsire secvențială a variabilelor necunoscute în timp ce treceți de la ultima ecuație la prima inversa metodei gaussiene.

Trebuie remarcat faptul că atunci când exprimăm x 1 în termeni de x 2 și x 3 în prima ecuație și apoi substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație, următoarele acțiuni conduc la același rezultat:

Într-adevăr, o astfel de procedură face posibilă și eliminarea variabilei necunoscute x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului:

Nuanțe cu eliminarea variabilelor necunoscute folosind metoda Gaussiană apar atunci când ecuațiile sistemului nu conțin unele variabile.

De exemplu, în SLAU în prima ecuație nu există o variabilă necunoscută x 1 (cu alte cuvinte, coeficientul din fața acesteia este zero). Prin urmare, nu putem rezolva prima ecuație a sistemului pentru x 1 pentru a elimina această variabilă necunoscută din ecuațiile rămase. Calea de ieșire din această situație este schimbarea ecuațiilor sistemului. Deoarece luăm în considerare sisteme de ecuații liniare ale căror determinanți ai matricelor principale sunt diferiți de zero, există întotdeauna o ecuație în care variabila de care avem nevoie este prezentă și putem rearanja această ecuație la poziția de care avem nevoie. Pentru exemplul nostru, este suficient să schimbați prima și a doua ecuație a sistemului , atunci puteți rezolva prima ecuație pentru x 1 și o puteți exclude din ecuațiile rămase ale sistemului (deși x 1 nu mai este prezent în a doua ecuație).

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Să descriem Algoritmul metodei gaussiene.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n necunoscute variabile ale formei , și fie determinantul matricei sale principale să fie diferit de zero.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3 și acționăm în mod similar cu partea din sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Să ne uităm la algoritm folosind un exemplu.

Exemplu.

metoda Gauss.

Soluţie.

Coeficientul a 11 este diferit de zero, deci să trecem la progresia directă a metodei gaussiene, adică la excluderea variabilei necunoscute x 1 din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, la stânga și la dreapta celei de-a doua, a treia și a patra ecuație, adăugați părțile stânga și dreapta ale primei ecuații, înmulțite cu , respectiv. Si:

Variabila necunoscută x 1 a fost eliminată, să trecem la eliminarea x 2 . La laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului adunăm laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu respectiv Şi :

Pentru a finaliza progresia înainte a metodei gaussiene, trebuie să eliminăm variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Să adăugăm la stânga și la dreapta celei de-a patra ecuații, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia ecuații, înmulțite cu :

Puteți începe inversul metodei gaussiene.

Din ultima ecuație avem ,
din a treia ecuație obținem,
din a doua,
din prima.

Pentru a verifica, puteți înlocui valorile obținute ale variabilelor necunoscute în sistemul original de ecuații. Toate ecuațiile se transformă în identități, ceea ce indică faptul că soluția folosind metoda Gauss a fost găsită corect.

Răspuns:

Acum să dăm o soluție aceluiași exemplu folosind metoda Gaussiană în notație matriceală.

Exemplu.

Găsiți soluția sistemului de ecuații metoda Gauss.

Soluţie.

Matricea extinsă a sistemului are forma . În partea de sus a fiecărei coloane se află variabilele necunoscute care corespund elementelor matricei.

Abordarea directă a metodei Gaussiene aici implică reducerea matricei extinse a sistemului la o formă trapezoidală folosind transformări elementare. Acest proces este similar cu eliminarea variabilelor necunoscute pe care am făcut-o cu sistemul sub formă de coordonate. Acum vei vedea asta.

Să transformăm matricea astfel încât toate elementele din prima coloană, începând de la a doua, să devină zero. Pentru a face acest lucru, la elementele din a doua, a treia și a patra linie adăugăm elementele corespunzătoare primei linii înmulțite cu , si in consecinta:

În continuare, transformăm matricea rezultată astfel încât în a doua coloană toate elementele, începând de la a treia, să devină zero. Aceasta ar corespunde eliminării variabilei necunoscute x 2 . Pentru a face acest lucru, la elementele din al treilea și al patrulea rând adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând al matricei, înmulțite cu respectiv Şi :

Rămâne să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la elementele ultimului rând din matricea rezultată adăugăm elementele corespunzătoare din penultimul rând, înmulțite cu :

Trebuie remarcat faptul că această matrice corespunde unui sistem de ecuații liniare

care a fost obţinut mai devreme după o mişcare înainte.

E timpul să te întorci. În notația matriceală, inversul metodei gaussiene presupune transformarea matricei rezultate în așa fel încât matricea marcată în figură

a devenit diagonală, adică a luat forma

unde sunt niste numere.

Aceste transformări sunt asemănătoare transformărilor directe ale metodei gaussiene, dar sunt efectuate nu de la prima linie la ultima, ci de la ultima la prima.

Adăugați elementelor din a treia, a doua și prima linie elementele corespunzătoare din ultima linie, înmulțite cu , și mai departe respectiv:

Acum adăugați elementelor din a doua și din prima linie elementele corespunzătoare din a treia linie, înmulțite cu și, respectiv, cu:

La ultimul pas al metodei gaussiene inverse, la elementele primului rând adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu:

Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații , de unde găsim variabilele necunoscute.

Răspuns:

VĂ RUGĂM SĂ REȚINEȚI.

Când se utilizează metoda Gauss pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare, calculele aproximative ar trebui evitate, deoarece acest lucru poate duce la rezultate complet incorecte. Vă recomandăm să nu rotunjiți zecimale. Mai bine de la zecimale du-te la fracții obișnuite.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de trei ecuații folosind metoda Gauss .

Soluţie.

Rețineți că în acest exemplu variabilele necunoscute au o denumire diferită (nu x 1, x 2, x 3, ci x, y, z). Să trecem la fracțiile obișnuite:

Să excludem necunoscutul x din a doua și a treia ecuație a sistemului:

În sistemul rezultat, variabila necunoscută y este absentă în a doua ecuație și y este prezentă în a treia ecuație, prin urmare, să schimbăm a doua și a treia ecuație:

Aceasta completează progresia directă a metodei Gauss (nu este nevoie să excludem y din a treia ecuație, deoarece această variabilă necunoscută nu mai există).

Să începem mișcarea inversă.

Din ultima ecuație găsim ,
din penultimul

din prima ecuație pe care o avem

Răspuns:

X = 10, y = 5, z = -20.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară, folosind metoda Gauss.

Sistemele de ecuații, a căror matrice principală este dreptunghiulară sau pătrat singular, pot să nu aibă soluții, pot avea o singură soluție sau pot avea un număr infinit de soluții.

Acum vom înțelege cum metoda Gauss ne permite să stabilim compatibilitatea sau inconsecvența unui sistem de ecuații liniare și, în cazul compatibilității acestuia, să determinăm toate soluțiile (sau o singură soluție).

În principiu, procesul de eliminare a variabilelor necunoscute în cazul unor astfel de SLAE rămâne același. Cu toate acestea, merită să intrați în detaliu despre unele situații care pot apărea.

Să trecem la etapa cea mai importantă.

Deci, să presupunem că sistemul de ecuații algebrice liniare, după finalizarea progresiei înainte a metodei Gauss, ia forma și nici o singură ecuație nu a fost redusă la (în acest caz am concluziona că sistemul este incompatibil). Apare o întrebare logică: „Ce să faci în continuare”?

Să notăm variabilele necunoscute care apar pe primul loc în toate ecuațiile sistemului rezultat:

În exemplul nostru, acestea sunt x 1, x 4 și x 5. Pe partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm doar acei termeni care conțin variabilele necunoscute scrise x 1, x 4 și x 5, termenii rămași sunt transferați în partea dreaptă a ecuațiilor cu semnul opus:

Să dăm variabilelor necunoscute care se află în partea dreaptă a ecuațiilor valori arbitrare, unde - numere arbitrare:

După aceasta, părțile din dreapta tuturor ecuațiilor SLAE conțin numere și putem trece la inversul metodei gaussiene.

Din ultima ecuație a sistemului pe care o avem, din penultima ecuație găsim, din prima ecuație obținem

Soluția unui sistem de ecuații este un set de valori ale variabilelor necunoscute

Dând numere sensuri diferite, vom obține diferite soluții ale sistemului de ecuații. Adică, sistemul nostru de ecuații are infinite de soluții.

Răspuns:

Unde - numere arbitrare.

Pentru a consolida materialul, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Rezolvați un sistem omogen de ecuații algebrice liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la stânga și la dreapta celei de-a doua ecuații, adăugăm, respectiv, părțile stânga și dreapta ale primei ecuații, înmulțite cu , iar la stânga și dreapta celei de-a treia ecuații, adăugăm laturile stânga și părțile drepte ale primei ecuații, înmulțite cu:

Acum să excludem y din a treia ecuație a sistemului de ecuații rezultat:

SLAE rezultat este echivalent cu sistemul .

Lăsăm în partea stângă a ecuațiilor sistemului doar termenii care conțin variabilele necunoscute x și y și mutam termenii cu variabila necunoscută z în partea dreaptă:

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă”

Catedra de Matematică Superioară

Orientări

pentru a studia tema „Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de liniare

ecuații" de către studenții Facultății de Contabilitate de Educație prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Sisteme echivalente de ecuații

Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte. Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare constă în transformarea secvențială a acestuia într-un sistem echivalent folosind așa-numitul transformări elementare , care sunt:

1) rearanjarea oricăror două ecuații ale sistemului;

2) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a sistemului cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la orice ecuație a unei alte ecuații înmulțite cu orice număr;

4) tăierea unei ecuații constând din zerouri, adică ecuații ale formei

eliminarea gaussiană

Luați în considerare sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:

Esența metodei gaussiene sau a metodei de eliminare secvențială a necunoscutelor este următoarea.

În primul rând, folosind transformări elementare, necunoscutul este eliminat din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Astfel de transformări de sistem se numesc Etapa de eliminare gaussiană . Necunoscutul este numit variabilă de activare la primul pas de transformare. Se numeste coeficientul factor de rezoluție , se numește prima ecuație ecuația de rezolvare , iar coloana de coeficienți la coloana de permisiuni .

Când efectuați un pas de eliminare gaussiană, trebuie să utilizați următoarele reguli:

1) coeficienții și termenul liber al ecuației de rezolvare rămân neschimbate;

2) coeficienții coloanei de rezoluție situate sub coeficientul de rezoluție devin zero;

3) toți ceilalți coeficienți și termeni liberi la efectuarea primului pas se calculează conform regulii dreptunghiului:

, Unde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Vom efectua transformări similare pe a doua ecuație a sistemului. Acest lucru va duce la un sistem în care necunoscutul va fi eliminat în toate ecuațiile, cu excepția primelor două. Ca urmare a unor astfel de transformări asupra fiecărei ecuații ale sistemului (progresia directă a metodei gaussiene), sistemul original este redus la un sistem în trepte echivalent de unul dintre următoarele tipuri.

Metoda Gaussiană inversă

Sistem de trepte

are aspect triunghiular și atât (i=1,2,…,n). Un astfel de sistem are o soluție unică. Necunoscutele se determină pornind de la ultima ecuație (reversul metodei gaussiene).

Sistemul pas are forma

unde, adica numărul de ecuații ale sistemului este mai mic sau egal cu numărul de necunoscute. Acest sistem nu are soluții, deoarece ultima ecuație nu va fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilei.

Sistem tip pas

are nenumarate solutii. Din ultima ecuație, necunoscutul este exprimat prin necunoscute . Apoi, în penultima ecuație, în loc de necunoscut, expresia ei este substituită prin necunoscute. . Continuând inversul metodei gaussiene, necunoscutele poate fi exprimat în termeni de necunoscute . În acest caz, necunoscutele sunt numite gratuit și poate lua orice valoare, și necunoscut de bază.

Când rezolvăm sisteme în practică, este convenabil să efectuați toate transformările nu cu un sistem de ecuații, ci cu o matrice extinsă a sistemului, constând din coeficienți pentru necunoscute și o coloană de termeni liberi.

Exemplul 1. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului și să efectuăm transformări elementare:

În matricea extinsă a sistemului, numărul 3 (este evidențiat) este coeficientul de rezoluție, primul rând este rândul de rezoluție, iar prima coloană este coloana de rezoluție. Când treceți la următoarea matrice, rândul de rezoluție nu se modifică toate elementele coloanei de rezoluție de sub elementul de rezoluție sunt înlocuite cu zerouri. Și toate celelalte elemente ale matricei sunt recalculate conform regulii patrulaterului. În locul elementului 4 din a doua linie scriem , în locul elementului -3 din a doua linie se va scrie etc. Astfel, se va obține a doua matrice. Elementul de rezoluție al acestei matrice va fi numărul 18 din al doilea rând. Pentru a forma următoarea (a treia matrice), lăsați al doilea rând neschimbat, scrieți zero în coloana de sub elementul de rezolvare și recalculați celelalte două elemente: în loc de numărul 1, scrieți , iar în locul numărului 16 scriem .