Rezolvați sistemul folosind formule gaussiene. Metoda gaussiană online

1. Sistem de ecuații algebrice liniare

1.1 Conceptul de sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații este o condiție constând în executarea simultană a mai multor ecuații în raport cu mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (denumit în continuare SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute se numește sistem de forma:

unde numerele a ij sunt numite coeficienți ai sistemului, numerele b i sunt numite termeni liberi, a ijŞi b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezintă câteva numere cunoscute, iar x 1,…, x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i desemnează numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Numerele x n trebuie găsite. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă de matrice compactă: AX=B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matrice principală;

– vector coloană de necunoscute xj.
este un vector coloană de termeni liberi bi.

Produsul matricelor A*X este definit, deoarece există atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).

Matricea extinsă a unui sistem este matricea A a sistemului, completată de o coloană de termeni liberi

1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare

Soluția unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), la înlocuirea acestora în loc de variabile, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

O soluție a unui sistem este n valori ale necunoscutelor x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, prin înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului devin egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o matrice coloane

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Un sistem consistent se numește determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale se numește o soluție particulară a sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau inconsecvent. Dacă sistemul este consistent, găsiți soluția generală.

Două sisteme se numesc echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers.

O transformare, a cărei aplicare transformă un sistem într-un nou sistem echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente includ următoarele transformări: schimbarea a două ecuații ale unui sistem, schimbarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a unui sistem cu un număr diferit de zero.

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece x1=x2=x3=…=xn=0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește zero sau trivială.

2. Metoda de eliminare gaussiană

2.1 Esența metodei gaussiene de eliminare

Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor - metoda gaussiana(se mai numeste si metoda de eliminare gaussiana). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

Procesul de rezolvare folosind metoda Gauss constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.

1. Lovitură directă.

În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus la o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, se selectează unul diferit de zero, acesta este mutat în poziția cea mai de sus prin rearanjarea rândurilor, iar primul rând obținut după rearanjare se scade din rândurile rămase, înmulțindu-l. cu o sumă egală cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.

După ce transformările indicate au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.

În prima etapă (cursă directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Sistemul de mai jos are o formă în trepte:

,

Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (principale) ale sistemului.

(dacă a11=0, rearanjați rândurile matricei astfel încât o 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul ei este egal cu zero și sistemul este inconsecvent).

Să transformăm sistemul eliminând necunoscuta x1 în toate ecuațiile cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu

și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau din a doua ecuație scădeți termen cu termen cu prima, înmulțit cu ). Apoi înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adunăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia o scădem pe prima înmulțită cu ). Astfel, înmulțim secvenţial prima linie cu un număr și adăugăm la i a linia, pentru i= 2, 3, …,n.

Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:

– noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele m-1 ecuații ale sistemului, care sunt determinate de formulele:

Astfel, la prima etapă, toți coeficienții aflați sub primul element conducător a 11 sunt distruși.

0, în a doua etapă elementele aflate sub cel de-al doilea element conducător a 22 (1) sunt distruse (dacă a 22 (1) 0), etc. Continuând acest proces în continuare, în final, la pasul (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică. egalități de forma 0=0, acestea sunt aruncate. Dacă apare o ecuaţie a formei

atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

Aici se termină progresul direct al metodei lui Gauss.

2. Cursa inversă.

În a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și de a construi un sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază , apoi exprimă numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare.

Această procedură începe cu ultima ecuație, din care se exprimă variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și se substituie în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”.

Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.

Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației la a11).

2.2 Exemple de rezolvare a SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană

În această secțiune, folosind trei exemple diferite, vom arăta cum metoda Gaussiană poate rezolva SLAE-urile.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE de ordinul 3.

Să resetam coeficienții la

în rândurile a doua și a treia. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și, respectiv, 1 și adăugați-le la prima linie:

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Can rearanja pe alocuri.

2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să şterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscutul x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua. ecuație (coeficienți pentru necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”).

Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să facem asta: 1 pas

. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul). . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie. Prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, rezultatul a fost un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

iti doresc succes! Ne vedem la clasa! Tutore.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

De la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică pur și simplu nu ar exista fără aceste cunoștințe. Au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare pentru a rezolva probleme complexe, ecuații liniare și funcții. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Cum este ea? Acesta este un set de m ecuații cu n cantități necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1, x 2 ... x n sau alte simboluri. Rezolvarea unui sistem dat folosind metoda Gauss înseamnă găsirea tuturor necunoscutelor necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE-urilor

În instituțiile de învățământ din învățământul secundar sunt studiate diverse metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, așa că orice metodă existentă pentru a găsi răspunsul la ele nu va dura mult timp. Aceasta poate fi ca o metodă de substituție, când o alta este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau metoda scăderii și adunării termen cu termen. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică specială este considerată rațională? Este simplu. Lucrul bun despre metoda matricei este că nu necesită rescrierea simbolurilor inutile de mai multe ori ca necunoscute, este suficient să efectuați operații aritmetice asupra coeficienților - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE-urilor sunt punctele de intersecție a liniilor de pe graficele funcțiilor. În era noastră de computere de înaltă tehnologie, oamenii care sunt strâns asociați cu dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă programe speciale de calculatoare de algebră liniară, care include și un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAU

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, să reprezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că unele dintre simboluri nu sunt complet clare, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații, în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei extinse. Ce este rangul? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienți localizați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții aflați în spatele semnului „=” se potrivesc de asemenea în matricea extinsă.

De ce pot fi reprezentate SLAE-urile sub formă de matrice?

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei Gauss, puteți rezolva matricea și puteți obține un singur răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, trebuie să știți ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor lor. Există mai multe transformări elementare:

• Rescriind sistemul sub formă de matrice și rezolvându-l, puteți înmulți toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a transforma matricea în formă canonică, puteți schimba două rânduri paralele. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin unu, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate unele la altele.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene folosind metoda Gaussiană este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația este rezolvată foarte simplu prin metoda Gauss. Este necesar să se noteze coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută sub formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, va trebui să scrieți matricea extinsă. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale seriei între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui să fie setat la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice extinsă.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unele de-a lungul diagonalei principale. Deci, transferând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile rezultate în procesul de rezolvare.

1. Prima acțiune la rezolvarea unei matrice extinse va fi următoarea: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și adăugat elemente corespunzătoare celui de-al doilea rând pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss implică reducerea matricei la formă canonică, atunci este necesar să se efectueze aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Este același lucru.

După cum putem vedea, sistemul nostru a fost rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de soluție SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gaussiană face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, puteți trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma sa canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți din prima coloană un element de unitate și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm această primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele primului rând cu -2 și adăugați-le la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, l-am primit pe primul la începutul diagonalei principale a matricei și cu zerourile rămase. Încă câțiva pași, iar sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să efectuați operații pe alte elemente ale rândurilor. A treia și a patra acțiune pot fi combinate într-una singură. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele minus de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. Apoi aducem a doua linie la forma canonică. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând cu -3 și adăugați-le la al doilea rând al matricei. Din rezultat este clar că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai efectuăm câteva operații și să eliminați coeficienții necunoscutelor din prima linie.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al unui rând, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv va fi adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. În acest fel obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate folosind metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienții pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul însuși va calcula pas cu pas rezultatul necesar, descriind în detaliu fiecare acțiune.

Instrucțiunile pas cu pas pentru rezolvarea unui astfel de exemplu sunt descrise mai jos.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice extinsă pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma sa canonică. Este necesar să înțelegem că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă din spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să-i aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE-urilor cunoscute de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori la rezolvarea SLAE-urilor

Când se rezolvă sisteme liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților în formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc dintr-una dintre ecuații, atunci când se transferă date într-o matrice extinsă, acestea pot fi pierdute. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală majoră poate fi scrierea greșită a rezultatului final. Este necesar să înțelegem clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită acesteia, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit când rezolvăm SLAE-uri.

Metoda Gaussiană, numită și metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, este următoarea. Folosind transformări elementare, un sistem de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursă directă a metodei gaussiene, denumită în continuare pur și simplu cursă dreaptă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția sa este în figura de mai sus.

Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită fără ambiguitate. Valoarea acestei variabile este apoi înlocuită în ecuația anterioară ( inversa metodei gaussiene , apoi doar invers), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.

Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yŞi x, iar a doua ecuație este variabila x .

După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să înțelegeți problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.

Avantajele metodei:

1. la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu mai mult de trei ecuații și necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece rezolvarea cu metoda Gauss necesită mai puține calcule;
2. metoda Gauss poate rezolva sisteme nedeterminate de ecuații liniare, adică cele care au o soluție generală (și le vom analiza în această lecție), iar folosind metoda Cramer, putem afirma doar că sistemul este nedeterminat;
3. poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
4. Metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.

Pentru ca toată lumea să înțeleagă simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, în trepte), prezentăm o soluție pentru un astfel de sistem folosind mișcarea inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind inversul:

Soluţie. În acest sistem trapezoidal variabila z poate fi găsit în mod unic din a treia ecuație. Inlocuim valoarea acesteia in a doua ecuatie si obtinem valoarea variabilei y:

Acum știm valorile a două variabile - zŞi y. Le substituim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei x:

Din pașii anteriori scriem soluția sistemului de ecuații:

Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesar să folosim o cursă înainte asociată cu transformările elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.

Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare

Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor unui sistem, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se mai poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, substituind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gaussiană, putem folosi mai multe tipuri de transformări.

Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cea pe care ai văzut-o în prima animație și te-ai convins că este ușor să găsești din ea valorile tuturor necunoscutelor. Cum se realizează o astfel de transformare și, desigur, exemple vor fi discutate în continuare.

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului Can:

1. rearanjați liniile (acest lucru a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
2. dacă alte transformări rezultă în rânduri egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția unuia;
3. eliminați rândurile „zero” în care toți coeficienții sunt egali cu zero;
4. înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un anumit număr;
5. la orice linie adăugați o altă linie, înmulțită cu un anumit număr.

În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.

Algoritm și exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului folosind metoda Gauss

Să considerăm mai întâi rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.

Exemplul 2. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit una dintre ecuații termen cu termen, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează similar.

Pentru a simplifica aspectul soluției să creăm o matrice extinsă a sistemului:

În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea liniei verticale, iar termenii liberi sunt situați în dreapta după linia verticală.

Pentru comoditatea împărțirii coeficienților pentru variabile (pentru a obține împărțirea la unitate) Să schimbăm primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu acesta, deoarece într-un sistem de ecuații liniare ecuațiile pot fi interschimbate:

Folosind noua prima ecuație elimina variabila x din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea rând al matricei adăugăm primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ), la al treilea rând - primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Acest lucru este posibil pentru că

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adunăm la toate ecuațiile ulterioare prima linie, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luate cu semnul minus.

Ca urmare, obținem o matrice echivalentă cu acest sistem a unui nou sistem de ecuații, în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă x :

Pentru a simplifica a doua linie a sistemului rezultat, o înmulțim cu și din nou obținem matricea sistemului de ecuații echivalent cu acest sistem:

Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al treilea rând al matricei sistemului adăugăm al doilea rând, înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adăugăm o a doua linie la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem din nou matricea unui sistem echivalent cu acest sistem de ecuații liniare:

Am obținut un sistem trapezoidal echivalent de ecuații liniare:

Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în ​​exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.

Vom găsi soluția „de la sfârșit” - mișcarea inversă. Pentru aceasta din ultima ecuație pe care o determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, vom găsi y:

Din prima ecuație vom găsi x:

Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații este .

: în acest caz se va da același răspuns dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci acesta va fi răspunsul și acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.

Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, apoi uitați-vă la soluție

Aici avem din nou un exemplu de sistem consistent și definit de ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.

Exemplul 4. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Să facem lucrările pregătitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți unul în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți a treia din a doua linie și înmulțiți a doua linie rezultată cu -1.

Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie, înmulțită cu , la a treia linie și a doua, înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu . Obținem o matrice trapezoidală extinsă.

Am obținut un sistem de ecuații cu care sistemul dat este echivalent:

În consecință, sistemele rezultate și date sunt compatibile și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație putem exprima direct valoarea variabilei „x patra”:

Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem

,

,

În sfârșit, înlocuirea valorii

Prima ecuație dă

,

unde găsim „x primul”:

Răspuns: acest sistem de ecuații are o soluție unică .

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Rezolvarea problemelor aplicate folosind metoda Gauss folosind exemplul unei probleme pe aliaje

Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale din lumea fizică. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - aliajele. Probleme similare sunt probleme legate de amestecuri, costul sau ponderea bunurilor individuale într-un grup de mărfuri și altele asemenea.

Exemplul 5. Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. Mai mult, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună este cu 28,4 kg mai puțin cupru decât în ​​primul aliaj, iar în al treilea aliaj este cu 6,2 kg mai puțin cupru decât în ​​al doilea. Aflați masa fiecărei piese din aliaj.

Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:

Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:

Creăm o matrice extinsă a sistemului:

Atenție, drept înainte. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului apar următoarele transformări:

Mișcarea directă s-a încheiat. Am obținut o matrice trapezoidală extinsă.

Aplicăm mișcarea inversă. Soluția o găsim de la final. Vedem asta.

Din a doua ecuație găsim

Din a treia ecuație -

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Simplitatea metodei lui Gauss este dovedită de faptul că matematicianului german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru a o inventa. În plus față de metoda numită după el, din lucrările lui Gauss se cunoaște zicala „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” - un fel de scurtă instrucțiune despre a face descoperiri.

În multe probleme aplicate s-ar putea să nu existe o a treia constrângere, adică o a treia ecuație, atunci trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații cu trei necunoscute folosind metoda Gaussiană sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații. Vom începe acum să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.

Folosind metoda Gauss, puteți determina dacă orice sistem este compatibil sau incompatibil n ecuații liniare cu n variabile.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții

Următorul exemplu este un sistem consistent, dar nedeterminat de ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.

După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (rearanjarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea altuia la un rând), rânduri precum

Dacă în toate ecuaţiile având forma

Termenii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este incert, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și le excludem din sistem.

Exemplul 6.

Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua, a treia și a patra rânduri primul, înmulțit cu:

Acum să adăugăm a doua linie la a treia și a patra.

Ca urmare, ajungem la sistem

Ultimele două ecuații s-au transformat în ecuații de formă. Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.

Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată în mod unic: . Din prima ecuație se găsește și valoarea pentru: .

Atât sistemul dat, cât și ultimul sunt consistente, dar incerte, și formulele

pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile unui sistem dat.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare fără soluții

Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică unul care nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.

După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor, rândurile formularului ar putea apărea în matricea extinsă a sistemului

corespunzătoare unei ecuaţii de formă

Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții și soluția sa este completă.

Exemplul 7. Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie înmulțită cu la a doua linie, prima linie înmulțită cu a treia linie și prima linie înmulțită cu a patra linie.

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.

Pentru a exclude a treia și a patra ecuație, o adăugăm pe a doua înmulțită cu , la a treia linie, iar pe a doua înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu .

Prin urmare, sistemul dat este echivalent cu următorul:

Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un număr diferit de zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la treptat , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o secvenţială, pornind de la ultimul număr variabil, determinarea necunoscutelor din sistemul de trepte rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuaţiile cu excepţia primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

,

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități de formă
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
.
Dacă la

Dacă apare o ecuație de formă care nu are soluții, atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului. În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat
prin toate celelalte necunoscute care sunt numite . gratuit Apoi expresia variabilă
din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile , exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază

(dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare. Pentru a găsi soluție privată
sisteme, liber necunoscut
.

în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor

.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului
Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
.

nu este egal cu numărul de ecuații
Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei
și matrice extinsă si aplica .

Teorema Kronecker-Capelli Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) opus primei linii și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrice, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice aflate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Şi
în prima ecuație, găsim


.