Cum se face o ecuație. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale la matematică

În acest videoclip vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi combinați similar
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aici sunt mai multe paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, pur și simplu sunt precedate de semne diferite. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Efectuăm ultimul pas - împărțim totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și ceilalți;

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui simplu fapt te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de lucruri este luat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula în mod necesar.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga, iar cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze care conțin mai mult de un termen, acest lucru se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc algoritmul nostru:

1. Deschideți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga, cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți funcții pătratice undeva, cel mai probabil, acestea vor fi reduse în procesul de transformări ulterioare;
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt și ele ignorate, deși probleme de acest gen se găsesc din ce în ce mai des în materialele Unified State Examination și la examenele de admitere.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate:

O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);

b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;

G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În etapa de pregătire pentru testul final, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească temeinic teoria, să-și amintească formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de problemă, absolvenții pot conta pe scoruri mari la promovarea Examenului de stat unificat la matematică.

Pregătește-te pentru testarea examenului cu Shkolkovo!

La trecerea în revistă a materialelor pe care le-au abordat, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare pentru rezolvarea ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, veți putea identifica lacunele în cunoștințe și veți putea acorda atenție acelor sarcini care provoacă cele mai multe dificultăți.

Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului de stat unificat în cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Teoretică”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor. Examinați cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați să efectuați sarcini în secțiunea „Directoare”. Puteți începe cu cele mai ușoare probleme sau puteți merge direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care v-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. În acest fel, le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul dumneavoastră.

Pentru a promova cu succes examenul de stat unificat, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Calculatorul gratuit pe care îl aducem în atenție are un arsenal bogat de posibilități pentru calcule matematice. Vă permite să utilizați calculatorul online în diverse domenii de activitate: educativ, profesionalŞi comercial. Desigur, utilizarea unui calculator online este deosebit de populară printre elevilorŞi şcolari, le este mult mai ușor să efectueze o varietate de calcule.

În același timp, calculatorul poate deveni un instrument util în unele domenii de afaceri și pentru oameni de diferite profesii. Desigur, nevoia de a folosi un calculator în afaceri sau în muncă este determinată în primul rând de tipul de activitate în sine. Dacă afacerea și profesia dvs. sunt asociate cu calcule și calcule constante, atunci merită să încercați un calculator electronic și să evaluați gradul de utilitate al acestuia pentru o anumită sarcină.

Acest calculator online poate

• Efectuați corect funcțiile matematice standard scrise pe o singură linie, cum ar fi - 12*3-(7/2) și poate procesa numere mai mari decât putem număra numere uriașe într-un calculator online Nici măcar nu știm cum să numim corect un astfel de număr (. sunt 34 de caractere și aceasta nu este deloc limita).
• Cu excepţia tangentă, cosinus, sinusși alte funcții standard - calculatorul acceptă operațiuni de calcul arctangent, arccotangent si altele.
• Disponibil în Arsenal logaritmi, factorialeși alte caracteristici interesante
• Acest calculator online știe să construiască grafice!!!

Pentru a reprezenta grafice, serviciul folosește un buton special (graficul este desenat cu gri) sau o reprezentare cu litere a acestei funcție (Plot). Pentru a construi un grafic într-un calculator online, trebuie doar să scrieți funcția: plot(tan(x)),x=-360..360.

Am luat cel mai simplu grafic pentru tangentă, iar după virgulă zecimală am indicat intervalul variabilei X de la -360 la 360.

Puteți construi absolut orice funcție, cu orice număr de variabile, de exemplu aceasta: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) sau chiar mai complex cu care poți veni. Acordați atenție comportamentului variabilei X - intervalul de la și până este indicat cu două puncte.

Singurul negativ (deși este dificil să-l numim un dezavantaj) al acestui calculator online este că nu poate construi sfere și alte figuri tridimensionale - doar avioane.

Cum se utilizează Calculatorul de matematică

1. Afișajul (ecranul de calcul) afișează expresia introdusă și rezultatul calculului acesteia în simboluri obișnuite, așa cum scriem pe hârtie. Acest câmp este pur și simplu pentru vizualizarea tranzacției curente. Intrarea apare pe ecran pe măsură ce introduceți o expresie matematică în linia de introducere.

2. Câmpul de introducere a expresiei este destinat pentru înregistrarea expresiei care trebuie calculată. Trebuie remarcat aici că simbolurile matematice folosite în programele de calculator nu sunt întotdeauna aceleași cu cele pe care le folosim de obicei pe hârtie. În prezentarea generală a fiecărei funcții de calculator, veți găsi denumirea corectă pentru o anumită operație și exemple de calcule în calculator. Pe această pagină de mai jos este o listă cu toate operațiunile posibile din calculator, indicând și ortografia lor corectă.

3. Bara de instrumente - acestea sunt butoanele calculatorului care înlocuiesc introducerea manuală a simbolurilor matematice care indică operația corespunzătoare. Unele butoane ale calculatorului (funcții suplimentare, convertor de unități, matrice de rezolvare și ecuații, grafice) completează bara de activități cu câmpuri noi în care sunt introduse date pentru un anumit calcul. Câmpul „Istoric” conține exemple de scriere a expresiilor matematice, precum și cele mai recente șase intrări ale tale.

Vă rugăm să rețineți că atunci când apăsați butoanele pentru apelarea funcțiilor suplimentare, un convertor de unități, rezolvarea matricelor și ecuațiilor și trasarea graficelor, întregul panou al calculatorului se mișcă în sus, acoperind o parte a afișajului. Completați câmpurile obligatorii și apăsați tasta „I” (evidențiată cu roșu în imagine) pentru a vedea afișajul la dimensiune completă.

4. Tastatura numerică conține numere și simboluri aritmetice. Butonul „C” șterge întreaga intrare din câmpul de introducere a expresiei. Pentru a șterge caracterele unul câte unul, trebuie să utilizați săgeata din dreapta liniei de introducere.

Încercați să închideți întotdeauna parantezele la sfârșitul unei expresii. Pentru majoritatea operațiunilor acest lucru nu este critic; calculatorul online va calcula totul corect. Cu toate acestea, în unele cazuri pot apărea erori. De exemplu, atunci când se ridică la o putere fracțională, parantezele neînchise vor face ca numitorul fracției din exponent să intre în numitorul bazei. Paranteza de închidere este afișată cu gri deschis pe afișaj și ar trebui să fie închisă când înregistrarea este completă.

Cheie	Simbol	Operațiunea
pi	pi	pi constantă
e	e	numărul Euler
%	%	La sută
()	()	Deschide/Închide Paranteze
,	,	Virgulă
păcat	păcat(?)	Sinusul unghiului
cos	ca(?)	Cosinus
bronzat	bronzat(y)	Tangentă
sinh	sinh()	Sinus hiperbolic
cosh	cosh()	Cosinus hiperbolic
tanh	tanh()	Tangenta hiperbolica
păcatul -1	asin()	Sinus invers
cos -1	acos()	Cosinus invers
bronzat -1	atan()	tangentă inversă
sinh -1	asinh()	Sinus hiperbolic invers
cosh -1	acosh()	Cosinus hiperbolic invers
tanh -1	atanh()	tangentă hiperbolică inversă
x 2	^2	Pătrare
x 3	^3	Cub
x y	^	Exponentiație
10 x	10^()	Exponentiație la baza 10
e x	exp()	Exponentiarea numarului lui Euler
vx	sqrt(x)	Rădăcină pătrată
3 vx	sqrt3(x)	a 3-a rădăcină
yvx	sqrt(x,y)	Extracția rădăcinilor
log 2 x	log2(x)	Logaritm binar
jurnal	log(x)	Logaritm zecimal
ln	ln(x)	Logaritmul natural
log y x	log(x,y)	Logaritm
I/II		Restrânge/Apelează funcții suplimentare
Unitate		Convertor de unitate
Matrice		Matrici
Rezolva		Ecuații și sisteme de ecuații
		Grafic
Funcții suplimentare (apel cu tasta II)
mod	mod	Împărțire cu rest
!	!	Factorială
i/j	i/j	Unitate imaginară
Re	Re()	Izolarea întregii părți reale
Im	Im()	Excluzând partea reală
|x|	abs()	Modulul numeric
Arg	arg()	Argumentul funcției
nCr	ncr()	Coeficient binominal
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
sumă	sumă()	Valoarea totală a tuturor deciziilor
fac	factorizați()	Factorizarea prime
dif	diff()	Diferenţiere
deg		Grade
Rad		Radiani