Calculul ariei unui triunghi conform figurii. Cum se găsește aria unui triunghi

18.10.2019

Laringită

După cum vă puteți aminti din programa școlară de geometrie, un triunghi este o figură formată din trei segmente de linie conectate prin trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Triunghiul formează trei colțuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei colțuri, răspunsul este și el corect. Triunghiurile sunt împărțite la numărul de laturi egale și la unghiurile din figuri. Deci, astfel de triunghiuri se disting ca isoscel, echilateral și versatil, precum și dreptunghiular, acut-unghi și respectiv obtuz-unghi.

Există o mulțime de formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, adică ce formulă să folosești, doar tu. Dar merită menționat doar o parte din notația care este utilizată în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Așa că amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este un semi-perimetru.

Iată câteva notații de bază pe care le-ați putea găsi utile dacă v-ați uitat complet cursul de geometrie. Mai jos vor fi oferite cele mai ușor de înțeles și mai complicate opțiuni pentru calcularea zonei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și vă va fi util atât pentru dvs. acasă, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm aria unui triunghi la fel de ușor ca decojirea perei:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 mp Cm. Amintiți-vă că aria este măsurată în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghiular și aria acestuia.

Un triunghi unghiular este un triunghi cu un unghi egal cu 90 de grade (de aceea se numește unghi drept). Un unghi drept este format din două linii perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi unghiular, poate exista un singur unghi drept, deoarece suma tuturor unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade. Se pare că celelalte 2 unghiuri trebuie să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, ți-ai amintit principalul lucru, rămâne să afli cum să găsești aria unui triunghi unghiular. Imaginați-vă că avem un astfel de triunghi unghiular în față și trebuie să găsim zona sa S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi unghiular este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria unui triunghi unghiular este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 mp Cm.

În principiu, nu mai este necesară reconcilierea zonei triunghiului în alte moduri, deoarece în viața de zi cu zi, numai aceasta va fi utilă și ajutătoare. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri acute.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecați singuri, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariilor unui triunghi unghiular pe care îl puteți utiliza în continuare:

Am decis să folosim prima formulă și cu pete mici (am desenat într-un caiet și am folosit vechea riglă și raportor), dar am obținut calculul corect:

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Am obținut următoarele rezultate 3.6 = 3.7, dar ținând cont de schimbarea celulelor, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria acestuia.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula pentru un triunghi isoscel, atunci cel mai simplu mod este să îl utilizați pe cel principal și, așa cum se consideră, formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, vom afla ce fel de figură este. Un triunghi isoscel este un triunghi cu două laturi de aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laturi laterale, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu unul echilateral, adică un triunghi regulat cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi, nu există tendințe speciale pentru unghiuri, mai exact, pentru dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă, rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute:

Uneori în viață există situații în care trebuie să te adânci în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați aria unui teren în formă de triunghi, sau a venit rândul pentru următoarea reparație într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât de mult material va merge pentru o suprafață cu o formă triunghiulară. A fost un moment în care puteai rezolva o astfel de problemă în câteva minute, dar acum încerci cu disperare să îți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu vă faceți griji! La urma urmei, este destul de normal când creierul uman decide să transfere cunoștințele neutilizate de multă vreme undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extrageți. Pentru a nu trebui să suferiți cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode care facilitează găsirea zonei necesare a unui triunghi.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat de numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri prin conectarea vârfurilor sale cu segmente care nu-i intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria de aproape orice formă.

Dintre toate triunghiurile posibile care se găsesc în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiular.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre colțurile sale este drept, adică în cazul unui triunghi unghiular. Este ușor de văzut că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor, care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea triunghiului, căzut de la unul din vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2 * b * h, în care

S este aria necesară a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va împărți partea opusă și poate fi ușor măsurată. Dacă zona este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturi care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt bineînțeles bune, dar cum să stabilim dacă unul dintre colțurile unui triunghi este corect sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci puteți utiliza un colț de clădire, un triunghi de desen, o carte poștală sau alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: măsurați din partea de sus a unghiului drept presupus pe o parte o distanță multiplă de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă parte măsurați în aceeași proporție o distanță multiplă de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele finale ale acestor două linii. Dacă valoarea este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci se poate argumenta că unghiul este drept.

Dacă știți lungimea fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca aceasta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, numită semi-perimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, înjumătățite. După calcularea semiperimetrului, puteți începe să determinați aria folosind formula:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)), unde

sqrt - rădăcină pătrată;

p este valoarea semiperimetrului (p = (a + b + c) / 2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul este neregulat? Există două modalități posibile aici. Primul dintre ei este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri unghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă cunoașteți unghiul dintre cele două laturi și dimensiunea acestor laturi, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a, b - laturile triunghiului;

c - valoarea unghiului dintre aceste laturi.

Ultimul caz este rar în practică, dar cu toate acestea, totul este posibil în viață, astfel încât formula de mai sus nu va fi de prisos. Noroc cu calculele tale!

Instrucțiuni

Petreceri iar colțurile sunt considerate elemente de bază A... Un triunghi este complet definit de oricare dintre următoarele elemente de bază: fie de trei laturi, fie de o parte și două colțuri, fie de două laturi și un unghi între ele. Pentru existență triunghi definit de trei laturi a, b, c, este necesar și suficient pentru a satisface inegalitățile, numite inegalități triunghi:
a + b> c,
a + c> b,
b + c> a.

Pentru construire triunghi pe trei laturi a, b, c, este necesar din punctul C al segmentului CB = a cum se trasează un cerc de rază b cu o busolă. Apoi, în același mod, desenați un cerc din punctul B cu o rază egală cu latura c. Punctul lor de intersecție A este al treilea vârf al doritului triunghi ABC, unde AB = c, CB = a, CA = b - laturi triunghi... Problema are dacă laturile a, b, c satisfac inegalitățile triunghi specificate în pasul 1.

Zona S construită în acest fel triunghi ABC cu laturile cunoscute a, b, c, se calculează după formula lui Heron:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
unde a, b, c - laturile triunghi, p este un semiperimetru.
p = (a + b + c) / 2

Dacă un triunghi este echilateral, adică toate laturile sale sunt egale (a = b = c). triunghi calculat după formula:
S = (a ^ 2 v3) / 4

Dacă triunghiul este dreptunghiular, adică unul dintre colțurile sale este de 90 °, iar laturile care îl formează sunt picioare, a treia parte este hipotenuză. În acest caz pătrat este egal cu produsul picioarelor împărțit la două.
S = ab / 2

A găsi pătrat triunghi, puteți utiliza una dintre numeroasele formule. Alegeți formula în funcție de ce date sunt deja cunoscute.

Vei avea nevoie

cunoașterea formulelor pentru găsirea ariei unui triunghi

Instrucțiuni

Dacă cunoașteți magnitudinea uneia dintre laturi și magnitudinea înălțimii coborâte în această parte din colțul opus, atunci puteți găsi aria prin următoarele: S = a * h / 2, unde S este aria Triunghiul, a este una dintre laturile triunghiului, și h - înălțimea, pe partea a.

Există o modalitate cunoscută de a determina aria unui triunghi dacă sunt cunoscute cele trei laturi ale acestuia. Este formula lui Heron. Pentru a simplifica înregistrarea sa, se introduce o valoare intermediară - un semi-perimetru: p = (a + b + c) / 2, unde a, b, c -. Atunci formula lui Heron este următoarea: S = (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ exponențiere.

Să presupunem că cunoașteți una dintre laturile unui triunghi și trei unghiuri. Atunci este ușor să găsești aria triunghiului: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), unde β este unghiul opus laturii a, iar α și γ sunt unghiurile adiacente laterale.

Videoclipuri similare

Notă

Cea mai generală formulă potrivită pentru toate cazurile este formula Heron.

Surse:

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi pe trei laturi

Găsirea ariei unui triunghi este una dintre cele mai frecvente sarcini în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale și triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimile a două și respectiv a unei laturi.

Vei avea nevoie

lungimile laturilor triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instrucțiuni

Formula Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Dacă pictăm semiperimetrul p, obținem: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

De asemenea, puteți obține o formulă pentru aria unui triunghi din considerații, de exemplu, aplicând teorema cosinusului.

Prin teorema cosinusului, AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Folosind denumirile introduse, acestea pot fi, de asemenea, sub forma: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Prin urmare, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Aria unui triunghi se găsește și prin formula S = a * c * sin (ABC) / 2 prin două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat în termeni ai acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Înlocuind sinusul în formula zonei și scriindu-l în jos, puteți veni cu formula pentru aria unui triunghi ABC.

Videoclipuri similare

Pentru lucrări de reparații, poate fi necesară măsurarea pătrat ziduri. Acest lucru facilitează calcularea cantității necesare de vopsea sau tapet. Pentru măsurători, cel mai bine este să folosiți o bandă de măsurare sau o bandă de centimetru. Măsurătorile trebuie efectuate după ziduri au fost aliniate.

Vei avea nevoie

-ruletă;
-scară.

Instrucțiuni

A număra pătrat pereți, trebuie să cunoașteți înălțimea exactă a tavanelor, precum și să măsurați lungimea de-a lungul podelei. Acest lucru se face după cum urmează: luați un centimetru, așezați-l deasupra plintei. De obicei, un centimetru nu este suficient pentru întreaga lungime, așa că fixați-l în colț, apoi relaxați-vă la lungimea maximă. În acest moment, marcați cu un creion, notați rezultatul obținut și efectuați alte măsurători în același mod, începând de la ultimul punct de măsurare.

Plafoane standard în tipic - 2 metri 80 centimetri, 3 metri și 3 metri 20 centimetri, în funcție de casă. Dacă casa a fost construită înainte de anii 50, atunci, cel mai probabil, înălțimea reală este puțin mai mică decât cea indicată. Dacă calculezi pătrat pentru lucrări de reparații, atunci un stoc mic nu va afecta - luați în considerare pe baza standardului. Dacă tot trebuie să cunoașteți înălțimea reală - luați măsurători. Principiul este similar cu măsurarea lungimii, dar este necesară o scară.

Înmulțiți indicatorii obținuți - acesta este pătrat ta ziduri... Adevărat, atunci când pictați sau pentru aceasta este necesar să deduceți pătrat deschiderile ușilor și ferestrelor. Pentru a face acest lucru, așezați un centimetru de-a lungul deschiderii. Dacă vorbim despre o ușă pe care urmează să o schimbați ulterior, atunci cheltuiți cu rama ușii îndepărtată, luând în considerare numai pătrat direct deschiderea în sine. Aria ferestrei este calculată de-a lungul perimetrului cadrului său. După pătrat fereastra și ușa sunt calculate, scădeți rezultatul din suprafața totală a camerei obținute.

Vă rugăm să rețineți că măsurătorile de lungime și lățime ale camerei se efectuează împreună, astfel încât este mai ușor să fixați un centimetru sau o bandă măsurătoare și, în consecință, să obțineți un rezultat mai precis. Efectuați aceeași măsurare de mai multe ori pentru a vă asigura că cifrele obținute sunt exacte.

Videoclipuri similare

Găsirea volumului unui triunghi este într-adevăr o sarcină non-banală. Ideea este că un triunghi este o figură bidimensională, adică se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu puteți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Se poate face următoarea presupunere - volumul unei figuri bidimensionale este aria sa. Vom căuta aria triunghiului.

Vei avea nevoie

foaie de hârtie, creion, riglă, calculator

Instrucțiuni

Desenați pe o bucată de hârtie folosind o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, vă puteți asigura că într-adevăr nu, deoarece este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: lăsați o parte să fie o latură, cealaltă parte b și a treia parte c. Etichetați vârfurile triunghiului cu A, B și C.

Măsurați fiecare parte a triunghiului cu o riglă și notați rezultatul. După aceea, restabiliți perpendiculara pe partea măsurată din vârful opus, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, "h" perpendicular este restabilit pe partea "c" din vârful "A". Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și înregistrați măsurarea.

Se poate întâmpla să vă fie greu să reconstruiți perpendicularul exact. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. Apoi calculați semiperimetrul triunghiului „p” adăugând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor la jumătate. Având la dispoziție valoarea unui jumătate de perimetru, puteți folosi formula Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să extrageți rădăcina pătrată a următoarelor: p (p-a) (p-b) (p-c).

Ați obținut aria necesară a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar așa cum am menționat mai sus, volumul nu este. Puteți găsi volumul, care este în esență un triunghi într-o lume tridimensională. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru original a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale de aria triunghiului pe care l-am obținut.

Notă

Calculele vor fi cu atât mai precise, cu cât faceți mai atent măsurătorile.

Surse:

Calculator All to All - Portal de valori de referință
volumul triunghiului în 2019

Trei puncte care definesc în mod unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile sale. Cunoscând poziția lor față de fiecare dintre axele de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei cifre plate, inclusiv cel limitat de perimetrul acesteia. pătrat... Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Folosiți formula lui Heron pentru a calcula suprafața triunghi... Folosește dimensiunile celor trei laturi ale formei, așa că începeți calculul cu. Lungimea fiecărei părți trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axele de coordonate. Dacă notăm coordonatele A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) și C (X₃, Y₃, Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate ca: AB = √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC = √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC = √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semi-perimetru (P). Deoarece aceasta este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Triunghiul este o figură bine cunoscută pentru toată lumea. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Rectangular, echilateral, acut unghiular, isoscel, obtuz unghiular. Fiecare dintre ele este diferit într-un fel. Dar pentru oricine, trebuie să cunoașteți aria unui triunghi.

Formule comune tuturor triunghiurilor care folosesc lungimi sau înălțimi laterale

Denumiri adoptate în acestea: laturi - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare n a, n v, n s.

1. Aria unui triunghi este calculată ca produsul ½, latura și înălțimea căzute pe el. S = ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formulele pentru celelalte două părți.

2. Formula Heron, în care apare semi-perimetrul (se obișnuiește să o denotăm cu o literă mică p, spre deosebire de perimetrul complet). Semiperimetrul trebuie calculat după cum urmează: adăugați toate laturile și împărțiți-le la 2. Formula semiperimetrului: p = (a + b + c) / 2. Apoi egalitatea pentru aria figura arată astfel: S = √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semi-perimetru, atunci o astfel de formulă este utilă în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Este ceva mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți un semi-perimetru.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Denumiri care sunt necesare pentru a citi formulele: α, β, γ - unghiuri. Se află laturile opuse a, b, c, respectiv.

1. Conform acestuia, jumătate din produsul celor două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. În mod similar, ar trebui să scrieți formulele pentru celelalte două cazuri.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o parte și din trei unghiuri cunoscute. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există, de asemenea, o formulă cu o latură cunoscută și două colțuri adiacente. Arată astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai ușoare. Este destul de dificil să le amintim.

Formule generale pentru o situație în care sunt cunoscute razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R - raze. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă, care este utilizată pentru a calcula aria unui triunghi, este asociată cu un semiperimetru. S = p * r. Într-un alt mod, poate fi scris astfel: S = ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți pe raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literali, arată astfel: S = (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație face posibil să se facă fără a cunoaște laturile, dar sunt necesare valorile celor trei unghiuri. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghiular

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar cunoașterea lungimilor ambelor picioare. Acestea sunt desemnate prin literele latine a și b. Aria unui triunghi unghiular este egală cu jumătate din aria dreptunghiului completat cu acesta.

Matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Este cea mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, doar mai există o fracție care denotă jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece cele două părți ale sale sunt egale, unele formule pentru aria sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care este utilizată pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Dacă îl transformați, atunci va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √ (4 * a 2 - b 2).

Formula ariei pare oarecum mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar dacă laturile și unghiul dintre ele sunt cunoscute. S = ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, se cunoaște o problemă despre el sau se poate afla cumva despre asta. Atunci formula prin care se găsește aria unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme pentru găsirea zonei, dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi unghiular este desenat astfel încât picioarele sale să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi, trebuie doar să numărați numărul de celule care se încadrează în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la două.

Când triunghiul este unghi acut sau unghi obtuz, trebuie trasat într-un dreptunghi. Apoi figura rezultată va avea 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Determinați suprafețele celor două din urmă prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din acesta cele calculate pentru cele auxiliare. A fost determinată aria triunghiului.

Mult mai complicată este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi, trebuie să fie înscris în dreptunghi, astfel încât vârfurile formei originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri auxiliare dreptunghiulare.

Un exemplu de problemă pentru formula Heron

Condiție. Un triunghi are laturi cunoscute. Acestea sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Este necesar să se afle aria acestuia.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată este produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică aria este √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Dacă nu este necesară mai multă precizie, atunci rădăcina pătrată de 14. Este egală cu 3,74. Atunci aria va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S = 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Exemplu de problemă cu un triunghi unghiular

Condiție. Un picior al unui triunghi unghiular este cu 31 cm mai mare decât al doilea. Este necesar să se cunoască lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Va trebui să rezolvăm un sistem de două ecuații. Primul este legat de zonă. Al doilea - cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
În primul rând, valoarea „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se pare: 180 = ½ (în + 31) * în. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După extinderea parantezelor, se obține o ecuație pătratică: la 2 + 31 la - 360 = 0. Oferă două valori pentru "la": 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns, deoarece lungimea a laturii unui triunghi nu poate fi negativă.

Rămâne să calculați a doua etapă: adăugați 31 la numărul rezultat. Se dovedește 40. Acestea sunt valorile necesare în problemă.

Răspuns. Picioarele triunghiului sunt de 9 și 40 cm.

Problema găsirii unei laturi prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm 2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură are 15 cm și unghiul dintre ele este de 30 °.

Soluţie. Pe baza desemnărilor acceptate, partea dorită „a”, cunoscută „b”, unghiul dat „γ”. Apoi, formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi dreptunghiular

Condiție. Partea superioară a unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Celelalte două se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm. Care este aria unui triunghi unghiular?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe binecunoscutul picior al triunghiului original. Sunt similare, deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii drepte paralele.

Atunci relația picioarelor lor este egală. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (piciorul dat este de 42 cm, scade latura pătratului de 24 cm). Picioarele corespunzătoare ale triunghiului mare sunt 42 cm și x cm. Acest "x" este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 = 24 / x, adică x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul de 56 și 42 împărțit la două, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața necesară este de 1176 cm 2.

Conceptul pătrat

Conceptul de zonă a oricărei figuri geometrice, în special un triunghi, va fi asociat cu o astfel de figură ca un pătrat. Pentru aria unității oricărei figuri geometrice, vom lua aria unui pătrat, a cărui latură este egală cu una. Pentru completitudine, să ne amintim două proprietăți de bază pentru conceptul de zone de forme geometrice.

Proprietatea 1: Dacă formele geometrice sunt egale, atunci și valorile ariilor lor sunt egale.

Proprietatea 2: Orice formă poate fi împărțită în mai multe forme. Mai mult, aria figurii originale este egală cu suma valorilor ariilor tuturor figurilor sale constitutive.

Să vedem un exemplu.

Exemplul 1

Evident, una dintre laturile triunghiului este diagonala unui dreptunghi, a cărui latură are o lungime de 5 $ (din celule 5 $), iar cealaltă 6 $ (din celule 6 $). În consecință, aria acestui triunghi va fi egală cu jumătate dintr-un astfel de dreptunghi. Aria dreptunghiului este

Atunci aria triunghiului este

Răspuns: 15 $.

În continuare, vom lua în considerare mai multe metode pentru găsirea ariilor triunghiurilor, și anume utilizarea înălțimii și bazei, folosind formula lui Heron și aria unui triunghi echilateral.

Cum se găsește aria unui triunghi în termeni de înălțime și bază

Teorema 1

Aria unui triunghi poate fi găsită ca jumătate din produsul lungimii unei laturi de înălțimea trasată pe acea parte.

Matematic, arată așa

$ S = \ frac (1) (2) αh $

unde $ a $ este lungimea laturii, $ h $ este înălțimea atrasă de ea.

Dovadă.

Luați în considerare un triunghi $ ABC $ cu $ AC = α $. Înălțimea $ BH $ este atrasă de această parte, care este egală cu $ h $. Să-l construim până la pătratul $ AXYC $ ca în Figura 2.