Memoria omenirii nu ne-a păstrat și nici nu ne-a transmis numele inventatorului roții sau al roții olarului. Acest lucru nu este surprinzător: au trecut mai bine de 10 mii de ani de când oamenii s-au ocupat serios de agricultură, creșterea vitelor și producția de bunuri simple. Este și mai imposibil să numim geniul care a pus primul întrebarea „cât?”

În epoca de piatră, când oamenii strângeau fructe, pescuiau și vânau animale, nevoia de a număra a apărut la fel de firesc ca și nevoia de a face foc. Acest lucru este dovedit de descoperirile arheologilor pe siturile oamenilor primitivi. De exemplu, în 1937, în Moravia, pe locul unuia dintre aceste situri, a fost găsit un os de lup cu 55 de crestături adânci. Mai târziu, în alte locuri, oamenii de știință au găsit obiecte de piatră la fel de vechi cu puncte și liniuțe, grupate în 3 sau 5 Acestea erau cele mai vechi sisteme de înregistrare a numerelor - sisteme de numere.

Sisteme numerice din cele mai vechi timpuri până în zilele noastre.

Cel mai vechi sistem de scriere a numerelor se numește unitate, deoarece orice număr din el se formează prin repetarea unui semn, simbolizând unul. Grupările și pictogramele auxiliare sunt folosite doar pentru a facilita percepția numere mari.

Sistemul unitar de numere al oamenilor primitivi care desenau bețe pe pereții peșterilor sau făceau crestături pe oasele de animale și ramurile copacilor nu a fost uitat nici astăzi. Cum să aflați ce curs învață un cadet al școlii militare? Numără câte dungi sunt cusute pe mâneca uniformei sale. Numărul de avioane inamice doborâte de un as în luptele aeriene este indicat de numărul de stele pictate pe fuselajul aeronavei sale.

Mai târziu, au apărut multe sisteme de numere diferite, iată cele mai faimoase dintre ele.

În jurul anilor 3-2,5 mii de ani î.Hr., egiptenii antici au venit cu propriul lor sistem numeric. În ea, numerele cheie: 1, 10, 100 etc. au fost reprezentate cu icoane hieroglifice speciale. Egiptenii le-au sculptat pe pereții camerelor funerare și le-au scris cu un stilou de trestie pe suluri de papirus.

Printre numeroasele sisteme de numere hieroglifice care au existat în timpuri diferiteîntre diferite popoare, doar unul este încă în uz. Numerele sale sunt familiare tuturor, deși au deja aproximativ 2,5 mii de ani. Aceste numere se găsesc pe cadranele ceasurilor, frontoanele clădirilor antice și moderne, pe monumente și pe paginile cărților. Ei bine, desigur, vorbim despre sistemul de numere roman.

Cum se citesc cifrele romane? Una dintre regulile de scriere a numerelor romane spune: „dacă o cifră mai mare vine înaintea uneia mai mici, atunci se adaugă, dar dacă una mai mică vine înaintea uneia mai mari (în acest caz, cifra mai mică nu se poate repeta), atunci cel mai mic se scade din cel mai mare.”

În zilele noastre, este interzis să scrieți oricare dintre cifrele romane într-un număr de mai mult de trei ori la rând. În acest sens, expresiile VIII, XXXX etc. sunt considerate incorecte. Cu toate acestea, vechii romani nu știau nimic despre o astfel de restricție, iar numărul 1995 ar fi scris cel mai probabil astfel: MDCCCCLXXXXV.

Pe lângă cele egiptene și romane, sistemele de numere hieroglifice includ fenicia, palmira, cretană, siriană, greacă atică sau erodiană (din mesajul gramaticianului Herodian, care a trăit în secolele 2-3, istoricii europenii de vest pentru prima dată). aflat despre existența sa). Sunt cunoscute și sistemele hieroglifice vechi chinezești, indiene vechi și aztece. În ele, ca și în sistemele egipteană și romană, sunt introduse numere cheie, pentru a desemna ce hieroglife speciale sunt folosite. Toate celelalte numere sunt formate prin adăugarea altor numere cheie pe o parte sau alta a numărului cheie, eventual cu unele repetări.

Este interesant de observat că multe popoare au folosit același simbol pentru a desemna numărul 1 - o liniuță verticală. Acesta este cel mai vechi număr din istoria omenirii. A apărut dintr-o linie simplă pe pământ, dintr-o crestătură dintr-un copac sau dintr-un os.

Alături de sistemele hieroglifice, sistemele în care numerele erau reprezentate prin litere ale alfabetului au fost utilizate pe scară largă în timpurile străvechi. Exact asta era numerotarea alfabetică grecească, numită ionică. A înlocuit sistemul atic în secolul al III-lea î.Hr. e. Împreună cu creștinismul și scrisul, această numerotare a venit la slavi - mai întâi spre sud, apoi spre est.

Sisteme de numere similare, în care literele alfabetului se dublau ca numere, erau folosite în antichitate de arabi, evrei, georgieni și armeni.

Intrările de numere în numerotarea alfabetică sunt mai scurte decât în ​​numerotarea hieroglifică. Dar ambele sisteme de reprezentare a numerelor au un dezavantaj foarte semnificativ: operațiile aritmetice pe astfel de numere sunt o sarcină foarte intensă de muncă. Sistemele poziționale nu au acest inconvenient. Ideea de a atribui numerelor diferite valori în funcție de poziția lor în înregistrarea numerelor a apărut pentru prima dată în mileniul III î.Hr. Hei. în Mesopotamia (Interfluve) printre vechii oameni talentați - sumerienii. De la ei a trecut la babilonieni - noii stăpâni ai Mesopotamiei, motiv pentru care a intrat în istorie ca sistem de numere babilonian.

Sistemul sexagesimal a fost utilizat pe scară largă în calculele astronomice până la Renaștere.

Indienii mayași care locuiau pe teritoriu America Centrală, la început nouă eră reprezentau numerele aproximativ la fel ca vechii sumerieni. Mayașii au inventat un sistem de numere similar, dar cu baze diferite - cinci cifre-douăzeci.

Cea mai veche intrare cunoscută în sistemul zecimal pozițional a fost descoperită în India și datează din 595. Apariția binecunoscutului zero a fost pregătită de sistemele numerice care au fost folosite de mult timp nu numai în India, ci și în China antică. Aceste sisteme antice foloseau aceleași simboluri pentru a scrie același număr de unități, zeci, sute sau mii, dar au marcat suplimentar cifra în care apăreau. Treptat, am observat că, chiar dacă nu indicați numele cifrelor, numărul poate fi totuși citit, deoarece fiecare cifră are propriul „scaun” - poziție. Și dacă poziția este goală, atunci trebuie să fie marcată cu o pictogramă specială - zero. Un astfel de semn a început să apară în textele babiloniene de mai târziu, dar nu a fost niciodată pus la sfârșitul unui număr. Abia în India în secolul al IX-lea și-a luat în sfârșit locul zero în numerotare, care s-a răspândit apoi în întreaga lume.

Numerotarea indiană a venit pe primul loc țările arabe, și apoi în Europa de Vest. Matematicianul din Asia Centrală al-Khwarizmi a vorbit despre asta în detaliu. Regulile simple și convenabile pentru adunarea și scăderea numerelor arbitrar mari scrise în sistemul pozițional l-au făcut deosebit de popular. Și deoarece opera lui al-Khorezmi a fost scrisă în limba comună a lumii musulmane - arabă, numerotarea indiană din Europa a primit un nume greșit - „araba”.

În sistemul zecimal există doar 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Se mai spune că aceste cifre reprezintă coeficienții de expansiune a unui număr dat în puteri de 10 , iar numărul 10 însuși se numește baza sistemului Reckoning. „Greutatea” unei cifre în notația zecimală a unui număr este determinată de poziția sa: cu cât o anumită poziție este mai departe de cifra cea mai din dreapta a unităților, cu atât „soliditatea” și „greutatea” este mai mare. De aceea sistem adoptatînregistrarea numerelor se numește sistem numeric pozițional zecimal.

Un sistem de numere poziționale în care puterile lui 2 sunt alese ca numere de bază se numește sistem de numere pozițional binar. Pentru a distinge numerele scrise în diferite sisteme numerice, acestea sunt incluse între paranteze, iar baza sistemului numeric este indicată în dreapta jos. De exemplu, intrarea (1100)2 înseamnă același număr ca și intrarea (12)10. Deoarece folosim cu toții sistemul numeric zecimal, baza zecimală nu este de obicei indicată: (1100)2=12.

Sistemul de numere binare a devenit una dintre sursele enormei revoluții informatice care a avut loc în secolul al XX-lea. Din punct de vedere tehnic, este ușor să reproduci două numere: unul - curentul curge în elementul semiconductor, zero - nu curge curent. Stările elementului „curent trece” și „curent nu trece” se pot înlocui reciproc în perioade foarte scurte de timp - milioanemi de secundă. Acest lucru vă permite să efectuați operații aritmetice pe cifre binare la o viteză incredibilă.

În comparație cu tabelele voluminoase de înmulțire și adunare din sistemul zecimal, tabelele de înmulțire și adunare pentru numerele binare sunt miniaturale.

Operațiunile sunt simple, iar computerul le realizează impecabil. Dar uneori apare un fel de defecțiune în mașină sau în programul care solicită computerului să efectueze calcule conține o eroare. Apoi programatorii trebuie să se verifice de două ori pe ei înșiși și pe computer, deci fără cunoștințe despre întreaga bucătărie de computer care „gătește” numere binare, un bun specialist nu există nicio cale de ocolire.

Dezavantajele sistemului binar includ doar înregistrarea „lungă” a numerelor (cu cât sunt mai puține cifre în sistem, cu atât numărul va fi scris mai lung). Conversia la un sistem binar este puțin probabil să se facă mental, așa că au început să fie folosite sisteme care sunt legate de sistemul de numere binar, în care scrierea unui număr pe hârtie este mai scurtă decât în ​​binar, iar algoritmii de translație nu necesită calcule complexe.

Există 8 cifre în sistemul octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cifra 1 scrisă în cifra cea mai puțin semnificativă înseamnă - la fel ca într-un număr zecimal, doar unul și în următorul cifra înseamnă 8, în următorul - 64 etc.

Scrierea unui număr în sistemul octal este destul de compactă, dar este și mai compactă în sistemul hexazecimal. Pentru primele zece cifre se folosesc numerele uzuale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, iar pentru celelalte șase cifre se folosesc primele litere ale alfabetului latin: A -10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Ca și în sistemul octal, cifra 1, scrisă cu cifra cea mai puțin semnificativă, înseamnă unu. În următoarea cifră, același număr 1 înseamnă 16, în următorul – 256 etc. cifra F scrisă în cifra cea mai puțin semnificativă înseamnă 15, în următoarea cifră – 15∙16 etc.

Astfel, în modern tehnologia de informațieîn timp ce creează software Sistemul de numere binare este utilizat în principal, deoarece este mai ușor pentru un computer să opereze cu un număr mare de elemente simple decât cu un număr mic de elemente complexe.

Concluzie

În realitatea modernă, oamenii folosesc multe sisteme numerice. Uneori nici noi înșine nici nu observăm că, de exemplu, folosim sistemul sexagesimal în ceasuri, duozecimal în calendar etc. Nu le observăm în jurul nostru, dar nu ne putem imagina viața fără ele. Istoria a sortat aceste sisteme, iar unele dintre ele au dispărut fără urmă, dar acum sisteme diferite unde este mai convenabil să le folosești. De exemplu, este mai ușor pentru o persoană să perceapă numere zecimale scurte și este mai convenabil pentru un computer să lucreze cu o cantitate mare semnale simple în numere binare. In spate pentru o lungă perioadă de timp Avantajele și dezavantajele diferitelor sisteme de numere au fost dezvăluite, iar acum sunt folosite exact acolo unde sunt necesare.

După ce ați studiat acest subiect, veți învăța și veți repeta:

Ce sisteme numerice există;
- cum se convertesc numerele dintr-un sistem numeric în altul;
- cu ce sisteme numerice lucreaza calculatorul;
- cum sunt reprezentate diferite numere în memoria computerului.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu problema desemnării (codării) informațiilor numerice.

Copiii mici își arată vârsta pe degete. Un pilot a doborât un avion, primește un asterisc pentru el, Robinson Crusoe a numărat zilele cu crestături.

Numărul desemna niște obiecte reale ale căror proprietăți erau aceleași. Când numărăm sau relatăm ceva, parcă depersonalizăm obiectele, adică. dam de înțeles că proprietățile lor sunt aceleași. Dar cea mai importantă proprietate a unui număr este prezența unui obiect, adică. unitatea și absența acesteia, adică zero.

Ce este un număr?

Acesta este alfabetul numerelor, un set de simboluri cu care codificăm numerele. Numerele – alfabetul numeric.

Numerele și numerele sunt două lucruri diferite! Să considerăm două numere 5 2 și 2 5. Numerele sunt aceleași - 5 și 2.

Cum sunt diferite aceste numere?

În ordinea numerelor? - Da! Dar este mai bine să spunem - poziția cifrei în număr.

Să ne gândim ce este un sistem numeric?

Asta scrie numere? Da! Dar nu putem scrie așa cum ne place - alții trebuie să ne înțeleagă. Prin urmare, este și necesar să se utilizeze anumite reguliînregistrările lor.

Conceptul de sistem numeric

Numerele sunt folosite pentru a înregistra informații despre numărul de obiecte. Numerele sunt scrise folosind sisteme speciale de semne numite sisteme numerice. Alfabetul sistemelor numerice este format din simboluri numite cifre. De exemplu, în sistemul numeric zecimal, numerele sunt scrise folosind zece cifre binecunoscute: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Un sistem numeric este un sistem cu semne în care numerele sunt scrise conform anumitor reguli folosind simboluri ale unui anumit alfabet numit cifre.

Toate sistemele numerice sunt împărțite în două grupuri mari: pozițional și non-pozițional sisteme de numere. În sistemele de numere poziționale, valoarea unei cifre depinde de poziția sa în număr, dar în sistemele de numere non-poziționale nu depinde.

Sistemele de numere non-poziționale au apărut mai devreme decât cele poziționale, așa că vom lua în considerare mai întâi diverse sisteme de numere non-poziționale.

Sisteme numerice non-poziționale

Un sistem numeric nepozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre nu depinde de locația acesteia în înregistrarea numerelor.

Sistemele nepoziționale includ: sistemul numeric roman, sistemele numerice alfabetice și altele.

La început, oamenii pur și simplu distingeau între UN obiect din fața lor sau nu. Dacă erau mai multe articole, ei spuneau „MULTE”.

Primele concepte ale matematicii au fost „mai puțin”, „mai mult”, „la fel”.

Dacă un trib schimba peștele prins cu cuțite de piatră făcute de oameni dintr-un alt trib, nu era nevoie să numărăm câți pești și câte cuțite aduceau. A fost suficient să așezi câte un cuțit lângă fiecare pește pentru ca schimbul dintre triburi să aibă loc.

Contul a apărut atunci când o persoană trebuia să-și informeze colegii de trib despre numărul de obiecte pe care le-a găsit.

Și, deoarece multe popoare din antichitate nu comunicau între ele, popoare diferite au dezvoltat sisteme de numere și reprezentări diferite ale numerelor și numerelor.

Cifrele în multe limbi indică faptul că instrumentele de numărare ale omului primitiv erau în primul rând degetele.

Degetele s-au dovedit a fi o mașină de calcul excelentă. Cu ajutorul lor, se putea număra până la 5, iar dacă iei două mâini, atunci până la 10. În antichitate, oamenii mergeau desculți. Prin urmare, își puteau folosi degetele de la mâini și de la picioare pentru a număra. Există încă triburi în Polinezia care folosesc sistemul numeric al 20-lea.

Cu toate acestea, sunt cunoscute popoare ale căror unități de numărare nu erau degetele, ci articulațiile lor.

Sistemul numeric duozecimal era destul de răspândit. Originea sa este legată de numărarea pe degete. Ei au crezut deget mare falanga mâinilor celor patru degete rămase: sunt 12 în total.

Elemente ale sistemului numeric duozecimal s-au păstrat în Anglia în sistemul de măsuri (1 picior = 12 inci) și în sistemul monetar (1 șiling = 12 pence). Adesea, în viața de zi cu zi întâlnim sistemul numeric duozecimal: seturi de ceai și masă pentru 12 persoane, un set de batiste - 12 piese.

Numerele în Limba engleză de la unu la doisprezece au propriul nume, numerele ulterioare sunt compuse:

Pentru numerele de la 13 la 19, finalul cuvintelor este adolescent. De exemplu, 15 -- cincisprezece.

Numărarea degetelor a fost păstrată în unele locuri până astăzi. De exemplu, la cea mai mare bursă de cereale din lume din Chicago, ofertele și cererile, precum și prețurile, sunt anunțate de brokeri pe degete fără un singur cuvânt.

Era dificil să-și amintească numerele mari, așa că au început să adauge brațe și picioare la „mașina de numărat”. diverse dispozitive. Era nevoie să scriem numerele.

Numărul de obiecte a fost reprezentat prin desenarea liniuțelor sau serifilor pe orice suprafață tare: piatră, lut...

Sistem de numere de unitate („stick”)

Nevoia de a scrie numere a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte era înfățișat prin trasarea de linii sau serifi pe orice suprafață tare: piatră, lut, lemn (inventarea hârtiei era încă foarte, foarte departe). Fiecare obiect dintr-o astfel de înregistrare corespundea unei linii. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor de straturi culturale datând din perioada paleolitică (10 - 11 mii de ani î.Hr.).

Oamenii de știință au numit această metodă de scriere a numerelor sistem de numere de unitate („stick”). În ea, a fost folosit un singur tip de semn pentru a înregistra numere - „stick”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind o linie formată din bastoane, al căror număr era egal cu numărul desemnat. Peruvenii foloseau snururi multicolore cu noduri legate pentru a-și aminti numerele. Un mod interesant de a scrie numere a fost folosit de civilizațiile indiene în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Au folosit „scrierea nodurilor” - fire legate între ele. Simbolurile de pe aceste fire erau noduri, adesea cu pietre sau scoici țesute în ele. Înregistrarea înnodată a numerelor permitea incașilor să transmită informații despre numărul de războinici, să indice numărul de decese sau nașteri într-o anumită provincie și așa mai departe.

În jurul anului 1100 d.Hr e. Regele englez Henric I a inventat unul dintre cele mai neobișnuite sisteme monetare din istorie, numit sistemul „tijă de măsurare”. Acest sistem monetar a durat 726 de ani și a fost abolit în 1826.

O fâșie de lemn lustruit cu crestături care indică denumirea a fost despicată pe toată lungimea ei pentru a păstra crestăturile.

Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările aplicării lui sunt evidente: cu cât numărul care trebuie scris este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Da și la înregistrare un numar mare Este ușor să faci o greșeală aplicând prea multe bețișoare sau, dimpotrivă, neterminându-le.

Sistemul de numere zecimal egiptean antic (2,5 mii î.Hr.)

În jurul mileniului III î.Hr., vechii egipteni au venit cu propriul sistem numeric, în care numerele cheie erau 1, 10, 100 etc. au fost folosite icoane speciale – hieroglife.

Toate celelalte numere au fost compuse din aceste numere cheie folosind operația de adunare. Notaţie Egiptul antic este zecimal, dar nepozițional și aditiv.

Cifrele numărului au fost înregistrate începând de la valori mariși terminând cu altele mai mici. Dacă nu existau zeci, unități sau altă cifră, atunci am trecut la următoarea cifră.

Încercați să adăugați aceste două numere, știind că nu puteți utiliza mai mult de 9 hieroglife identice și veți înțelege imediat că este nevoie de o persoană specială pentru a lucra cu acest sistem. Pentru o persoană obișnuită Acest lucru nu este posibil.

Sistemul numeric zecimal roman (2 mii de ani î.Hr. până în prezent)

Cel mai comun dintre sistemele de numere nepoziționale este sistemul roman.

Principala problemă cu cifrele romane este că înmulțirea și împărțirea sunt dificile. Un alt dezavantaj al sistemului roman este: Scrierea numerelor mari necesită introducerea de noi simboluri. A numere fracționare poate fi scris doar ca raport de două numere. Cu toate acestea, ele au fost de bază până la sfârșitul Evului Mediu. Dar în vremea noastră se mai folosesc.

Îți amintești unde?

Semnificația unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

De exemplu, în numărul XXX (30), numărul X apare de trei ori și în fiecare caz indică aceeași valoare - numărul 10, trei numere de 10 însumează 30.

Mărimea unui număr în sistemul numeric roman este definită ca suma sau diferența cifrelor din număr. Dacă numărul mai mic este la stânga celui mai mare, atunci se scade, dacă la dreapta se adună.

Amintiți-vă: 5, 50, 500 nu se repetă!

Care se pot repeta?

Dacă există o cifră minoră la stânga cifrei majore, se scade. Dacă cifra cea mai mică este în dreapta celei mai înalte, atunci se adaugă - I, X, C, M pot fi repetate de până la 3 ori.

De exemplu:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (O sută este C, patruzeci este XL și nouă este IX) = CXLIX

De exemplu, scrierea numărului zecimal 1998 în sistemul numeric roman ar arăta ca în felul următor: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Sisteme numerice alfabetice
slavă chirilică alfabetică zecimală

Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru a traduce cărțile biblice sacre pentru slavi de către călugării greci, frații Chiril și Metodie, în secolul al IX-lea. Această formă de scriere a numerelor a devenit larg răspândită datorită faptului că era complet asemănătoare cu notația greacă a numerelor. Până în secolul al XVII-lea, această formă de înregistrare a numerelor era oficială pe teritoriu Rusia modernă, Belarus, Ucraina, Bulgaria, Ungaria, Serbia și Croația. Până acum, cărțile bisericești ortodoxe folosesc această numerotare.

Numerele erau scrise din cifre în același mod de la stânga la dreapta, de la mare la mic. Numerele de la 11 la 19 au fost scrise cu două cifre, unitatea fiind înainte de zece:

Citim literal „paisprezece” - „patru și zece”. După cum auzim, scriem: nu 10+4, ci 4+10, - patru și zece. Numerele de la 21 și mai sus au fost scrise invers, cu semnul zecilor scris primul.

Notația numerică folosită de slavi este aditivă, adică folosește doar adunarea:

= 800+60+3

Pentru a nu confunda literele cu cifrele, s-au folosit titluri - linii orizontale deasupra numerelor, pe care le vedem în figură.

Pentru a indica numere mai mari de 900, au fost folosite pictograme speciale care au fost adăugate la literă. Așa s-au format numerele:

Numerotarea slavă a existat până la sfârșitul secolului al XVII-lea, până când sistemul de numere zecimale poziționale a venit în Rusia din Europa odată cu reformele lui Petru I.

Sistemele de numere indiene antice

Sistemul de numere Kharoshti a fost folosit în India între secolul al VI-lea î.Hr. și secolul al III-lea d.Hr. Acesta a fost un sistem de numere aditiv non-pozițional. Se știu puține despre ea, deoarece puține documente scrise din acea epocă au supraviețuit. Sistemul Kharoshti este interesant prin faptul că numărul patru este ales ca pas intermediar între unu și zece. Numerele erau scrise de la dreapta la stânga.

Alături de acest sistem, a existat un alt sistem de numere Brahmi în India.

Numerele Brahmi au fost scrise de la stânga la dreapta. Cu toate acestea, ambele sisteme aveau destul de multe în comun. În special, primele trei cifre sunt foarte asemănătoare. Lucrul comun era că până la o sută se folosea metoda aditivă, iar după aceea se folosea metoda multiplicativă. O diferenta importanta Numerele Brahmi erau că numerele de la 4 la 90 erau reprezentate de un singur semn. Această caracteristică a numerelor Brahmi a fost folosită mai târziu pentru a crea un sistem zecimal pozițional în India.

ÎN India antică Exista și un sistem verbal de numere. Era multiplicativ și pozițional. Semnul zero a fost pronunțat ca „gol”, „cer” sau „gaură”. Unitatea este ca „lună” sau „pământ”. Doi este ca „gemeni”, sau „ochi”, sau „nări”, sau „buze”. Patru ca „oceane”, „direcții cardinale”. De exemplu, numărul 2441 a fost pronunțat astfel: ochii oceanelor sunt direcțiile cardinale ale lunii.

Dezavantajele sistemelor numerice non-poziționale:

1. Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.

2. Este imposibil de reprezentat fracționar și numere negative.

3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor. În special, toate națiunile, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca abacul nostru.

Până la sfârșitul Evului Mediu, nu a existat un sistem universal de înregistrare a numerelor. Numai cu dezvoltarea matematicii, fizicii, tehnologiei, comerțului, sistem financiar Era nevoie de un singur sistem de numere universal, deși chiar și acum multe triburi, națiuni și naționalități folosesc alte sisteme de numere.

Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

Sisteme numerice poziționale

Un sistem numeric pozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre depinde de locația acesteia în notația numărului.

Orice sistem numeric pozițional este caracterizat de baza sa.

Baza sistemului numeric pozițional - numărul de cifre diferite utilizate pentru a reprezenta numere într-un sistem de numere dat.

Orice număr natural poate fi luat ca bază - doi, trei, patru, ..., formând un nou sistem pozițional: binar, ternar, cuaternar etc.

zecimal/sexagezimal babilonian

În Babilonul antic, în jurul mileniului al II-lea î.Hr., exista un astfel de sistem de numere - numerele mai mici de 60 erau indicate cu două semne: pentru unu și pentru zece. Aveau un aspect în formă de pană, deoarece babilonienii scriau pe tăblițe de lut cu bețe formă triunghiulară. Aceste semne au fost repetate de numărul necesar de ori, de exemplu

Se crede că sumerienii aveau un sistem zecimal, iar după ce au fost cuceriți de semiți, sistemul lor a fost adaptat la sistemul sexagesimal al semiților.

Notația hexazecimală a numerelor întregi nu a funcționat răspândităîn afara regatului asiro-babilonian, dar fracțiile sexagesimale sunt încă folosite în măsurarea timpului. De exemplu, un minut = 60 de secunde, o oră = 60 de minute.

zecimală chineză veche

Acest sistem este unul dintre cele mai vechi și mai progresive, deoarece conține aceleași principii ca și cel modern „arab” pe care îl folosim. Acest sistem a apărut acum aproximativ 4.000 de mii de ani în China.

Numerele din acest sistem, la fel ca al nostru, au fost scrise de la stânga la dreapta, de la cel mai mare la cel mai mic. Dacă nu erau zeci, unități sau altă cifră, atunci la început nu au pus nimic și au trecut la următoarea cifră. (În timpul dinastiei Ming, a fost introdus un semn pentru o cifră goală - un cerc - un analog al zeroului nostru). Pentru a nu se încurca cifrele, s-au folosit mai multe hieroglife de serviciu, scrise după hieroglifa principală, și care arată ce valoare ia cifra hieroglifă într-o cifră dată.

Aceasta este notație multiplicativă deoarece folosește înmulțirea. Este zecimal, are semnul zero, iar pe lângă acesta este pozițional. Acestea. aproape corespunde sistemului de numere „arabe”.

Sistemul de numere zecimal Maya sau numărare lungă

Acest sistem este foarte interesant deoarece dezvoltarea lui nu a fost influențată de nicio civilizație din Europa și Asia. Acest sistem a fost folosit pentru observații calendaristice și astronomice. Trăsătură caracteristică a ei era prezența unui zero (o imagine a unei scoici). Baza acestui sistem a fost numărul 20, deși urmele sistemului de cinci ori sunt puternic vizibile. Primele 19 numere au fost obținute prin combinarea punctelor (unu) și liniuțelor (cinci).

Numărul 20 era înfățișat cu două cifre, zero și una în partea de sus și se numea uinalu. Numerele au fost notate într-o coloană, cu cele mai mici cifre în jos și cele mai mari în sus, rezultând o „biblioteca” cu rafturi. Dacă numărul zero a apărut fără o unitate în partea de sus, aceasta însemna că nu existau unități pentru această cifră. Dar, dacă cel puțin o unitate a fost în această cifră, atunci semnul zero a dispărut, de exemplu, numărul 21, acesta va fi . De asemenea, în sistemul nostru de numere: 10 – cu zero, 11 – fără el. Iată câteva exemple de numere:

Există o excepție de la sistemul de numărare baza-20 al anticului Maya: dacă adăugați doar o unitate de ordinul întâi la numărul 359, această excepție intră imediat în vigoare. Esența sa se rezumă la următoarele: 360 este un număr inițial de ordinul al treilea și locul lui nu mai este pe al doilea, ci pe al treilea raft.

Dar apoi se dovedește că numărul inițial al celui de-al treilea ordin nu este de douăzeci de ori mai mare decât numărul inițial al celui de-al doilea (20x20 = 400, nu 360!), ci doar optsprezece! Aceasta înseamnă că principiul de douăzeci de ori a fost încălcat! Asta e corect. Aceasta este excepția.

Faptul este că, printre indienii mayași, 20 de zile rude au format o lună sau uinal. 18 luni-uinaluri formate pe an sau ton (360 de zile pe an) și așa mai departe:

K"in = 1 zi. Vinal = 20 k"in = 20 zile. Tun = 18 Vinal = 360 zile = aproximativ 1 an. K"atun = 20 tun = 7200 zile = aproximativ 20 ani. Bak"tun = 20 k"atun = 144.000 zile = aproximativ 400 ani. Pictun = 20 bak"tun = 2.880.000 zile = aproximativ 8.000 ani. Kalabtun = 20 pictuns = 57.600.000 de zile = aproximativ 160.000 de ani. K"inchiltun = 20 kalabtun = 1152000000 zile = aproximativ 3200000 ani. Alavtun = 20 k"inchiltun = 23040000000 zile = aproximativ 64000000 ani.

E dragut un sistem complex notația era folosită în principal de preoți pentru observații astronomice, un alt sistem mayaș era aditiv, asemănător cu cel egiptean și era folosit în viața de zi cu zi.

Istoria numerelor „arabe”.

Istoria numerelor noastre familiare „arabe” este foarte confuză. Este imposibil să spunem exact și sigur cum s-au întâmplat. Iată o versiune a acestei povești de origine. Un lucru este cert: datorită vechilor astronomi, și anume calculelor lor precise, avem numerele noastre.

După cum știm deja, în sistemul numeric babilonian există un semn care indică cifrele lipsă. În jurul secolului al II-lea î.Hr. Astronomii greci (de exemplu, Claudius Ptolemeu) s-au familiarizat cu observațiile astronomice ale babilonienilor. Ei și-au adoptat sistemul de numere pozițional, dar au notat numerele întregi nu folosind pene, ci în propria lor numerotare alfabetică și fracții în sistemul numeric sexagesimal babilonian. Dar pentru a indica valoarea zero a cifrei, astronomii greci au început să folosească simbolul „0” (prima literă a cuvântului grecesc Ouden - nimic).

Între secolele al II-lea și al VI-lea d.Hr. Astronomii indieni s-au familiarizat cu astronomia greacă. Au adoptat sistemul sexagesimal și zeroul grecesc rotund. Indienii au combinat principiile numerotării grecești cu sistemul multiplicativ zecimal preluat din China. De asemenea, au început să desemneze numere cu un singur semn, așa cum era obișnuit în vechea numerotare indiană Brahmi. Acesta a fost pasul final în crearea sistemului numeric zecimal pozițional.

Lucrarea genială a matematicienilor indieni a fost adoptată de matematicienii arabi, iar Al-Khwarizmi în secolul al IX-lea a scris cartea „Arta indiană a numărării”, în care descrie sistemul numeric pozițional zecimal. Reguli simple și convenabile pentru adăugarea și scăderea unor numere arbitrar mari scrise în sistemul pozițional l-au făcut deosebit de popular în rândul comercianților europeni.

În secolul al XII-lea Juan din Sevilla a tradus cartea „Arta indiană a numărării” în latină, iar sistemul de numărare indian s-a răspândit pe scară largă în toată Europa. Și din moment ce lucrarea lui Al-Khwarizmi a fost scrisă arabic, apoi numele incorect „Araba” a fost atribuit numerotării indiene în Europa. Dar arabii înșiși numesc numerele indiene, iar aritmetica bazată pe sistemul zecimal - numărarea indiană.

Forma numerelor „arabe” s-a schimbat foarte mult de-a lungul timpului. Forma în care le scriem a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

Chiar și Pușkin și-a propus propria versiune a formei numerelor arabe. El a decis că toate cele zece cifre arabe, inclusiv zero, se potrivesc într-un pătrat magic.

Sistem de numere poziționale zecimale

Oamenii de știință indieni au făcut una dintre cele mai importante descoperiri în matematică - au inventat sistemul de numere poziționale, care este folosit acum de întreaga lume. Al-Khwarizmi a descris aritmetica indiană în detaliu în cartea sa.

Muhammad bin Musa al-Khorezm

În jurul anului 850 d.Hr. a scris o carte despre reguli generale rezolvarea de probleme aritmetice folosind ecuații. Se numea „Kitab al-Jabr”. Această carte și-a dat numele științei algebrei.

Trei sute de ani mai târziu (în 1120) această carte a fost tradusă în limba latină, și a devenit primul manual de aritmetică „indiană” pentru toate orașele europene.

Istoria lui zero.

Zero poate fi diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a indica un loc gol; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece nu poți împărți cu zero și atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este necesar zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă scădeți 5 din 5?

Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem numeric babilonian, a fost folosit pentru a indica cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a servit ca spațiu în text.

Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale în locul semnului spațiului există litera greacă omicron, care amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii. Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. Prima dată când apare simbolul zero este la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima desemnare general acceptată pentru semnul zero modern. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri ale sale. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și operații cu zero. Dar el a susținut că un număr împărțit la zero este zero, ceea ce este desigur o eroare, dar o adevărată îndrăzneală matematică care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când este împărțit la zero. El scrie: „o cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero.” Această fracție se numește infinit.

Leonardo Fibonacci, în lucrarea sa „Liber abaci” (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine de la cuvântul indian sunya, adică gol, care a servit drept nume pentru zero. Din cuvântul zephirum provine cuvânt francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, din arabă provine cuvântul as-sifr cuvânt rusesc număr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit special pentru a se referi la zero. Cuvântul latin nullus (nimic) a intrat în uz pentru a însemna zero în secolul al XVI-lea.

Zero este un semn unic. Zero este un concept pur abstract, una dintre cele mai mari realizări ale omului. Nu se găsește în natura din jurul nostru. Puteți face cu ușurință fără zero în calculele mentale, dar este imposibil să faceți fără înregistrarea cu precizie a numerelor. În plus, zero este în contrast cu toate celelalte numere și simbolizează lumea infinită. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!

Baze folosite astăzi:

10 - sistemul de numere zecimal obișnuit (zece degete pe mâini). Alfabetul: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - inventat în Babilonul Antic: împărțirea unei ore în 60 de minute, a minutelor în 60 de secunde și a unui unghi în 360 de grade.

12 - răspândit de anglo-saxoni: sunt 12 luni într-un an, două perioade de 12 ore într-o zi, 12 inci într-un picior

7 - folosit pentru a număra zilele săptămânii

Introducere

De-a lungul vieții, întâlnim numere și efectuăm operații aritmetice asupra lor. Acest lucru nu ne surprinde. Luăm acest lucru ca pe un fapt, ca pe un lucru firesc. De unde au apărut numerele și numărarea? Ce este un sistem numeric? Unde îi întâlnim acum? Am devenit foarte interesat și am decis să studiez acest subiect.

Acest subiect este, de asemenea, interesant pentru mine pentru că în prezent sistemul de numere binar a dobândit mare importanțăîn legătură cu utilizarea sa în calculatoarele electronice. Sistemele de numere de bază 8 și de bază 16 sunt utilizate în programare diverse proceseîn tehnologia calculatoarelor.

Mi-am propus un scop: să fac cunoștință cu istoria apariției sistemelor de numărare și numere, să studiez sistemele de numere utilizate în calcul, sistemele de numere poziționale și nepoziționale și operațiile aritmetice în diverse sisteme. În această lucrare, vor fi luate în considerare diferite sisteme de numere.

Istoria creării sistemelor numerice

În cele mai vechi timpuri, oamenii trebuiau să numere pe degete. Pe lângă degete, multe obiecte au trebuit să fie numărate mai mulți participanți; Unul a numărat unitățile, a doua - zeci, a treia - sute. Evident, un astfel de cont a stat la baza sistemului numeric adoptat de aproape toate națiunile, se numește sistem zecimal. Numărarea cu o bază zece era folosită și de slavii estici.

Acolo unde oamenii mergeau desculți, era ușor să numere până la 20 pe degete. De exemplu, în limba franceza Numărul 80 tradus literal în rusă sună ca „de patru ori douăzeci”.

Numărarea pe zeci era, de asemenea, obișnuită, adică numărarea în care a fost folosit sistemul de bază 12. Originea sa este asociată cu 12 falange pe cele patru degete ale mâinii (cu excepția degetului mare). Chiar și acum, unele articole sunt considerate a fi în zeci. Tacâmurile sunt formate din o jumătate de duzină sau o duzină de seturi.

ÎNÎn Babilonul antic, unde matematica era foarte dezvoltată, exista un sistem de numere sexagesimal foarte complex. În zilele noastre folosim și acest sistem. De exemplu: 1 ora=60 minute; 1 minut=60 secunde.

Cel mai vechi dintre sistemele numerice cu degete este considerat a fi de cinci ori. Acest sistem a apărut și a devenit cel mai răspândit în America. Crearea sa datează din epoca în care oamenii numărau pe degetele unei mâini. Până de curând, unele triburi încă păstrau sistemul numeric în cinci ori în forma sa pură.

Astfel, toate sistemele (chinar, duozecimal, zecimal) sunt asociate cu un mod sau altul de numărare pe degete (sau mâini și picioare). Trecerea omului la numărarea degetelor a dus la crearea diferitelor sisteme de numere /1/.

Acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea pe numere.

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional.

Sisteme nepoziționale ale antichității

Un studiu efectuat de arheologi despre „însemnări” din timpul paleoliticului pe os, piatră și lemn a arătat că oamenii au căutat să grupeze semnele de 3, 5, 7 și 10 piese. Această grupare a făcut numărarea mai ușoară. Oamenii au învățat să numere nu numai în unu, ci și în trei, cinci, etc. De la prima instrument de calcul oamenii aveau degete, așa că numărarea se făcea cel mai adesea în grupuri de 5 sau 10 articole.

Mai târziu, zece zeci (sute), zece sute (mii) etc. au primit numele pentru ușurința înregistrării, astfel de numere cheie au început să fie desemnate cu pictograme speciale - numere. Dacă, la numărarea obiectelor, erau încă 2 sute, 5 zeci și încă 4 obiecte, atunci la înregistrarea acestei valori, semnul sutelor a fost repetat de două ori, semnul zecilor de cinci ori, iar unitățile semnează de patru ori.

În astfel de sisteme numerice, poziția semnului în înregistrarea numerică nu depinde de valoarea pe care o denotă; de aceea se numesc sisteme numerice nepoziționale.

Sistemele non-poziționale au fost folosite de vechii egipteni, greci, romani și alte câteva popoare din antichitate.

numere mayașe

Cu sistemul de numere zecimal pozițional cu care sunteți familiarizat copilărie timpurie, dar poate că nu știau că se numește așa.

Ce înseamnă proprietatea pozițională a unui sistem numeric este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr zecimal cu mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei. Aceeași cifră, în funcție de poziția sa în notația numerică, denotă semnificații diferite.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Alt exemplu:

32.478 = 3 10 000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 = 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0.

Din aceasta este clar că orice numar decimal poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare de zece. Același lucru este valabil și pentru zecimale.

26.387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Evident, numărul „zece” nu este singura bază posibilă pentru sistemul pozițional. Celebrul matematician rus N. N. Luzin a spus-o astfel: „Avantajele sistemului zecimal nu sunt matematice, ci zoologice. Dacă am avea opt degete în loc de zece pe mâini, atunci omenirea ar folosi sistemul octal.”

Orice număr natural mai mare decât 1 poate fi luat ca bază a sistemului de numere poziționale Sistemul babilonian menționat mai sus avea o bază de 60. Urmele acestui sistem au supraviețuit până astăzi în ordinea numărării unităților de timp (1 oră =. 60 de minute, 1 minut = 60 de secunde).

Pentru a scrie numere în sistemul pozițional de bază n, trebuie să aveți un alfabet de n cifre. De obicei în acest scop când n < 10 folosește primele n cifre arabe, iar când n > 10, litere sunt adăugate celor zece cifre arabe.

Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Baza sistemului căruia îi aparține un număr este de obicei indicată printr-un indice la acel număr:

101101 2, 3671 8, ЗВ8F 16.

Cum este construit seria? numere naturaleîn diferite sisteme de numere poziționale? Acest lucru se întâmplă după același principiu ca și în sistemul zecimal. Mai întâi sunt numere cu o singură cifră, apoi numere cu două cifre, apoi numere cu trei cifre etc. d. Cel mai mare număr dintr-o singură cifră din sistemul zecimal este 9. Apoi vin numerele din două cifre - 10, 11,12, ... Cel mai mare număr de două cifre este 99, apoi 100, 101, 102 etc. la 999, apoi 1000 etc. .d.

De exemplu, luați în considerare sistemul de cinci ori. În ea, o serie de numere naturale arată astfel:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Se poate observa că aici numărul de cifre „crește” mai repede decât în ​​sistemul zecimal. Numărul de cifre crește cel mai rapid în sistemul de numere binar. Următorul tabel compară începuturile seriei naturale de numere zecimale și binare:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Pe scurt despre principalul lucru

Un sistem numeric este un mod specific de a scrie numere și regulile corespunzătoare pentru operarea numerelor.

Sistemele numerice pot fi poziționale sau nepoziționale. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul numeric roman.

Într-un sistem de numere poziționale, valoarea cantitativă a fiecărei cifre depinde de poziția cifrei în număr.

Alfabetul unui sistem numeric este setul de numere folosit în acesta. Baza sistemului numeric este egală cu puterea alfabetului (numărul de cifre).

Cea mai mică bază posibilă a unui sistem de numere pozițional este 2. Un astfel de sistem se numește binar.

Sistemul de numere arabe este zecimal și pozițional.

Întrebări și sarcini

1. Ce este un sistem numeric?
2. Care este principala diferență dintre sistemele de numere poziționale și nepoziționale?
3. Care este baza sistemului numeric?
4. De ce sistemul numeric arab se numește pozițional zecimal?
5. Care este cea mai mică bază pentru un sistem pozițional?
6. Care sunt următoarele numere scrise cu cifre romane egale cu sistemul zecimal:
XI; IX; LX; CLX; MDXLVIII?
7. Scrie cu cifre romane numerele egale cu următoarele zecimale:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Notați o succesiune de douăzeci de numere în seria naturală, începând de la unu, pentru sistemele poziționale cu bazele 2, 3, 5, 8. Prezentați rezultatele sub forma unui tabel:

n = 10	1	2	3	...	19	20
n=2
n=3
n = 5
n = 8

9. Construiți tabele de înmulțire pentru numere cu o singură cifră în sisteme de numere binare și ternare.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Informatica, clasa a IX-a
Trimis de cititori de pe site-uri de internet

Colecție de note de lecție de informatică, program de antrenament la informatică, clasa a 9-a, materiale de pregătire pentru lecții, teme gata făcute

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, poze, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție,