Cu acest serviciu puteți găsiți cea mai mare și cea mai mică funcție O variabilă f (x) cu decorarea soluției în cuvânt. Dacă este specificată funcția F (X, Y), este necesar să găsiți funcția extremum a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervale de creștere și descendentă a funcției.
Reguli pentru introducerea funcțiilor:
Condiția extrem de extremă a funcției unei variabile
Ecuația F "0 (x *) \u003d 0 este starea necesară a funcției extremum a unei variabile, adică la punctul X * prima funcție derivată trebuie să fie în zero. Aceasta evidențiază punctele staționare x C, în care funcția nu crește și nu scade.O condiție suficientă a funcțiilor extremum ale unei variabile
Fie F 0 (X) dublu diferența de x, aparținând setului d. Dacă condiția este satisfăcută la punctul X *:F "0 (x *) \u003d 0
F "" 0 (x *)\u003e 0
Acest punct x * este funcția minimă locală (globală).
Dacă condiția este satisfăcută la punctul X *:
F "0 (x *) \u003d 0
f "" 0 (x *)< 0
Apoi punctul X * - maxim (global) maxim.
Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Decizie. 
Punctul critic este unul x 1 \u003d 2 (F '(x) \u003d 0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul X \u003d 0 nu este critic, ca 0∉).
Calculați valorile funcției la capetele segmentului și la un punct critic.
f (1) \u003d 9, f (2) \u003d 5/2, f (3) \u003d 3 8/81
Răspuns: F min \u003d 5/2 la x \u003d 2; f max \u003d 9 la x \u003d 1
Exemplul nr. 2. Utilizarea derivaților de ordine mai mari pentru a găsi funcția extremum y \u003d x-2sin (x).
Decizie.
Găsiți o funcție derivată: y '\u003d 1-2COS (x). Vom găsi puncte critice: 1-cos (x) \u003d 2, cos (x) \u003d ½, x \u003d ± π / 3 + 2πk, k∈z. Găsim Y '' \u003d 2sin (x), calculați, înseamnă X \u003d π / 3 + 2πk, k∈z - punctele minime ale funcției; 
SO x \u003d - π / 3 + 2πk, k∈z - punctele funcției maxime.
Exemplu numărul 3. Explorați extremumul FCCSCAȚIONAL în vecinătatea punctului X \u003d 0.
Decizie. Aici este necesar să găsiți funcții extrem de. Dacă extremumul X \u003d 0, apoi aflați tipul (minim sau maxim). Dacă nu există x \u003d 0 printre punctele găsite, calculați valoarea funcției F (x \u003d 0).
Trebuie remarcat faptul că, atunci când derivatul din fiecare parte a acestui punct nu își schimbă marca, situațiile posibile nu sunt epuizate chiar și pentru funcții diferențiate: se poate întâmpla ca pentru un cartier arbitrar mic conform unei părți a punctului X 0 sau Pe ambele părți, semnul de instrumente derivate. La aceste puncte trebuie să utilizați alte metode pentru cercetarea funcțiilor la extremum.
Care este funcția extremum și care este condiția extrem de extremă?
Funcția extremă este numită funcție maximă și minimă.
Condiția prealabilă a funcției maxime și minime (extremum) este după cum urmează: Dacă funcția F (x) are un extremum la punctul X \u003d A, atunci în acest moment derivatul este fie zero, fie infinit sau nu există.
Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivatul la punctul X \u003d sau poate contacta zero, în infinit sau să nu existe fără funcția de a avea un extremum în acest moment.
Care este condiția suficientă a funcției extremum (maxim sau minim)?
Prima condiție:
Dacă în imediata apropiere a punctului X \u003d un derivat f? (X) este pozitiv la stânga a și negativ la dreapta a, apoi la punctul în sine x \u003d și funcția f (x) are maxim
Dacă în imediata vecinătate a punctului X \u003d și derivatul F? (X) este negativ din partea stângă a A și pozitivă la dreapta a A, apoi la punctul în sine x \u003d și funcția F (x) are minim Cu condiția ca funcția F (x) să fie continuă aici.
În schimb, puteți utiliza a doua condiție suficientă pentru funcția extremum:
Lăsați la punctul X \u003d un prim derivat f? (X) se referă la zero; Dacă al doilea derivat F? (A) este negativ, atunci funcția F (x) are la punctul X \u003d un maxim, dacă este cel puțin pozitiv.
Ce este o funcție critică și cum să o găsiți?
Aceasta este valoarea argumentului funcției, în care funcția are un extremum (adică maxim sau minim). Pentru a găsi, aveți nevoie găsiți un derivat Funcții F? (X) și echivalează la zero, rezolvați ecuația f? (x) \u003d 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și punctele în care nu există nici un derivat al acestei funcții sunt puncte critice, adică valorile argumentului la care ar putea fi extremumul. Ele pot fi ușor definite prin căutarea la graficul derivat: Suntem interesați de acele valori ale argumentului, în care graficul funcției traversează axa Abscisa (axa OH) și cele în care graficele tolerează pauze.
De exemplu, găsiți extreme Parabolla..
Funcția y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50.
Funcția derivată: Y? (X) \u003d 6x + 2
Rezolvăm ecuația: Y? (X) \u003d 0
6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3
În acest caz, punctul critic este x0 \u003d -1 / 3. Este cu sensul argumentului că funcția are extremum.. Astfel încât a găsi, Înlocuim o expresie pentru o funcție în loc de numărul "X" găsit:
y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333.
Cum să determinați valoarea maximă și minimă a funcției, adică Cele mai mari și mai mici sensuri?
Dacă semnul derivatului în timpul tranziției prin punctul critic X0 se schimbă de la "plus" la "minus", atunci X0 este punct maxim; Dacă semnul derivatelor se schimbă cu un minus pe plus, atunci x0 este punct de minim; Dacă semnul nu se schimbă, atunci la punctul X0, nici un nivel maxim, nu minim.
Pentru exemplul considerat:
Luăm o valoare arbitrară a argumentului în partea stângă a punctului critic: X \u003d -1
La X \u003d -1, valoarea derivatului ar fi? (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (adică semnul este "minus").
Acum luați o valoare arbitrară a argumentului în partea dreaptă a punctului critic: x \u003d 1
La X \u003d 1, valoarea derivatului va fi (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (adică semnul este "plus").
După cum vedem, derivatul în timpul tranziției prin punctul critic a schimbat semnul cu un minus pe plus. Deci, cu o valoare critică x0, avem un punct minim.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției la intervalul (Pe segment) se găsesc de-a lungul aceleiași proceduri, luând în considerare faptul că, probabil, toate punctele critice se vor afla în interiorul intervalului specificat. Aceste puncte critice care sunt pentru gama de intervale trebuie să fie excluse din considerație. Dacă un singur punct critic este în interiorul intervalului - acesta va fi fie maxim, fie cel puțin. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și mai mici valori ale funcțiilor, luăm în considerare și valorile funcției la capetele intervalului.
De exemplu, găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției.
y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5x
la intervale:
Deci, funcția derivată -
y? (x) \u003d 3COS (x) - 0,5
Rezolvăm ecuația 3COS (x) - 0,5 \u003d 0
cos (x) \u003d 0,5 / 3 \u003d 0,16667
x \u003d ± Arccos (0,16667) + 2πK.
Găsim puncte critice la interval [-9; nouă]:
x \u003d ArcCOS (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (care nu sunt incluse în interval)
x \u003d -Cracos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d ArcCOS (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -Accos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d ArcCOS (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -Accos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4.88
x \u003d ArcCOS (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -Cracos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (care nu sunt incluse în interval)
Noi găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:
y (-7,687) \u003d 3COS (-7,687) - 0,5 \u003d 0,885
y (-4,88) \u003d 3COS (-4,88) - 0,5 \u003d 5,398
y (-1,403) \u003d 3COS (-1,403) - 0,5 \u003d -2,256
y (1.403) \u003d 3COS (1.403) - 0,5 \u003d 2,256
y (4,88) \u003d 3COS (4,88) - 0,5 \u003d -5,398
y (7,687) \u003d 3COS (7,687) - 0,5 \u003d -0,885
Se poate observa că în intervalul [-9; 9] Cea mai mare valoare a funcției are la x \u003d -4,88:
x \u003d -4,88, y \u003d 5,398,
Și cel mai mic - la x \u003d 4.88:
x \u003d 4,88, y \u003d -5,398.
Pe intervalul [-6; -3] Avem doar un punct critic: x \u003d -4,88. Valoarea funcției la X \u003d -4,88 este egală cu y \u003d 5.398.
Considerăm valoarea funcției la capetele intervalului:
y (-6) \u003d 3COS (-6) - 0,5 \u003d 3,838
y (-3) \u003d 3COS (-3) - 0,5 \u003d 1,077
Pe intervalul [-6; -3] au cea mai mare valoare a funcției
y \u003d 5.398 la x \u003d -4.88
cea mai mică valoare este
y \u003d 1,077 la x \u003d -3
Cum să găsiți funcții grafice de inflexiune ale punctelor și să determine părțile de bulge și concave?
Pentru a găsi toate punctele de cliperie ale liniei y \u003d f (x), este necesar să găsiți al doilea derivat, să-l echivaleze la zero (rezolvați ecuația) și să experimentați toate aceste valori x pentru care cel de-al doilea derivat este zero , infinit sau nu există. Dacă în timpul tranziției printr-una dintre aceste valori, al doilea derivat modifică semnul, apoi graficul funcției are în acest moment. Dacă nu se schimbă, atunci infleția nu este.
Rădăcini ecuația f? (x) \u003d 0, precum și punctele posibile de rupere a funcției și al doilea derivat împărți zona de determinare a funcției la o serie de intervale. Bulgeul la fiecare dintre intervalele lor este determinat de semnul celui de-al doilea derivat. Dacă al doilea derivat la punctul de pe intervalul de studiu este pozitiv, atunci linia y \u003d f (x) se confruntă aici concave în sus și dacă negativ este cartea.
Cum să găsiți extreme de două variabile?
Pentru a găsi funcția extrem de F (x, y), diferențiată în zona sarcinii sale, aveți nevoie de:
1) Găsiți puncte critice și pentru acest lucru - rezolva sistemul de ecuații
fX? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0
2) Pentru fiecare punct critic P0 (A; B) pentru a explora dacă semnul diferenței rămâne neschimbat
pentru toate punctele (x; y), aproape de P0. Dacă diferența păstrează un semn pozitiv, atunci la punctul P0 avem minimum, dacă negativ este maximul. Dacă diferența nu salvează semnul, atunci nu există extremum la P0.
În mod similar, sunt determinate extremurile funcției cu un număr mai mare de argumente.
Cum se introduce formulele matematice pe site?
Dacă trebuie să adăugați vreodată una sau două formule matematice pe o pagină web, este mai ușor să faceți acest lucru, așa cum este descris în articol: Formulele matematice sunt ușor introduse în locul sub formă de imagini care generează automat alfa tungsten. În plus față de simplitate, acest mod universal va contribui la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și, cred că va funcționa pentru totdeauna), dar depășită moral.
Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați Mathjax - o bibliotecă specială JavaScript care afișează denumiri matematice în browserele web utilizând Mathml, Latex sau Asciimathml Markup.
Există două modalități de a începe să utilizați Mathjax: (1) Cu ajutorul unui cod simplu, puteți conecta rapid scriptul Mathjax pe site-ul dvs., care va fi automat încărcat automat de la serverul de la distanță la cel dorit; (2) Descărcați scriptul Mathjax de pe un server de la distanță la serverul dvs. și conectați-vă la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complicată și lungă - va accelera descărcarea paginilor site-ului dvs. și dacă serverul parent Mathjax din anumite motive devine temporar indisponibil, acesta nu va afecta propriul dvs. site web. În ciuda acestor avantaje, am ales prima cale ca o simplă, rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmați exemplul meu, iar după 5 minute puteți utiliza toate caracteristicile Mathjax pe site-ul dvs. Web.
Puteți conecta scriptul Bibliotecii Mathjax de pe un server de la distanță utilizând două opțiuni de cod realizate pe site-ul principal al lui Mathjax sau pe pagina de documentare:
Unul dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiat și inserat în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete
și sau imediat după etichetă . Conform primei versiuni, Mathjax este încărcată mai repede și încetinește pagina. Dar a doua opțiune urmărește automat și încarcă cele mai recente versiuni Mathjax. Dacă introduceți primul cod, va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile vor fi încărcate mai lent, dar nu veți avea nevoie să monitorizați în mod constant actualizările Mathjax.Conectați Mathjax este cea mai ușoară cale spre blogger sau WordPress: Adăugați un widget pentru introducerea unui cod JavaScript terț pentru a introduce prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo , nu este deloc necesar deoarece scriptul Mathjax este încărcat în mod asincron). Asta e tot. Acum citiți sintaxa Mathml, Latex și Asciimathml Markup și sunteți gata să introduceți formule matematice pe paginile web ale site-ului dvs.
Orice fractal se bazează pe o regulă specifică care este aplicată în mod consecvent unui număr nelimitat de ori. Toată lumea se numește iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea buretelui de îmbinare este destul de simplu: cubul sursă cu o latură 1 este împărțit la avioane paralele cu fețele sale, pe 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente sunt îndepărtate din ea. Se obține un set format din 20 de cuburi mai mici mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set, constând deja din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces infinit, obținem un burete de Menger.
Din punct de vedere practic, utilizarea derivatului pentru găsirea celei mai mari și mai mici funcții a funcției este cea mai mare interes. Cu ce \u200b\u200beste legat? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcării optime a echipamentelor ... cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvați problemele de optimizare a oricărui parametri. Și aceasta este sarcinile de a găsi cea mai mare și cea mai mică funcție a funcției.
Trebuie remarcat faptul că cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției este de obicei căutată la un anumit interval x, care este fie întreaga funcție a determinării funcției, fie a părții zonei de definiție. Intervalul X în sine poate fi un segment, un interval deschis 
, Gap infinit.
În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții specifice specificate a unei variabile y \u003d f (x).
Navigarea paginii.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției este definițiile, ilustrația.
Concentrați-vă pe scurt pe definițiile de bază.
Cea mai mare valoare funcțională 
Ce pentru oricine 
Inegalitate echitabilă.
Cea mai mică valoare a funcției y \u003d f (x) pe intervalul de x apel o astfel de valoare 
Ce pentru oricine Inegalitate echitabilă.
Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare valoare (cea mai mică) a funcției este cea mai mare valoare (mică) de la intervalul examinat în timpul abscisa.
Puncte staționare - Acestea sunt valorile argumentului în care funcția derivată este trasă la zero.
De ce avem puncte staționare atunci când găsim cele mai mari și mai mici valori? Răspunsul la această întrebare dă teorema fermei. Din această teoremă rezultă că, dacă funcția diferențială are un extremum (maximum local sau local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția are adesea cea mai mare valoare (cea mai mică) valoare la intervalul x într-unul din punctele staționare din acest decalaj.
De asemenea, cea mai mare și cea mai mică funcție poate dura la punctele în care nu există primul derivat al acestei funcții, iar funcția în sine este definită.
Răspunde imediat una dintre cele mai frecvente întrebări de pe acest subiect: "Puteți determina întotdeauna cea mai mare (cea mai mică) funcție"? Nu întotdeauna. Uneori limitele decalajului X coincid cu limitele funcției de determinare a funcției sau intervalului x sunt infinite. Iar unele funcții pe infinit și pe limitele zonei de definiție pot dura ca valori infinit și infinit de mici. În aceste cazuri, nimic nu se poate spune despre cea mai mare și cea mai mică valoare funcțională.
Pentru claritate, dați o ilustrare grafică. Uită-te la desene - și multe vor deveni mai clare.
La tăiere
În primul desen, funcția are cea mai mare (maximă y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare în interiorul segmentului [-6; 6].
Luați în considerare cazul descris în al doilea desen. Schimbați segmentul. În acest exemplu, cea mai mică funcție a funcției este realizată într-un punct staționar și cel mai mare - la un punct cu un abscisaj corespunzător limitei drepte a intervalului.
Figura 2, punctele de graniță ale segmentului [-3; 2] sunt abscoarcerea punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori ale funcției.
Interval deschis
În cel de-al patrulea desen, funcția are cea mai mare (maximă y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare din interiorul intervalului deschis (-6; 6).
La interval, nu puteți face nicio concluzie cu privire la cea mai mare valoare.
Pe infinit
În exemplul prezentat în modelul al șaptelea, funcția necesită cea mai mare valoare (max y) în punctul staționar cu Abscissa X \u003d 1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. Pe infinitatea minus, valorile funcției sunt apropiate asimptotic la y \u003d 3.
La interval, funcția nu atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare. Când X \u003d 2 se străduiește în dreapta, valorile funcției tind la minus infinit (X \u003d 2 este asimptota verticală) și când abscisa se străduiește în plus de infinit, valorile Funcția de abordare asimptotică y \u003d 3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura nr. 8.
Algoritmul pentru găsirea celei mai mari și mai mici funcții continue pe segment.
Scriem algoritmul care vă permite să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.
- Găsiți o funcție de determinare a funcției și verificați dacă conține întregul segment.
- Noi găsim toate punctele în care nu există primul derivat și care sunt conținute în segment (de obicei, astfel de puncte sunt utilizate în funcțiile cu argumentul sub semnul modulului și funcțiile de alimentare cu un indicator rațional fracționat). Dacă nu există astfel de puncte, atunci mergeți la următorul articol.
- Definim toate punctele staționare care se încadrează într-un segment. Pentru aceasta, îl echivalăm la zero, rezolvăm ecuația obținută și alegem rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau nici unul dintre ele nu intră în segment, atunci ne întoarcem la următorul articol.
- Calculați valorile funcției din punctele staționare selectate (dacă există), la punctele în care nu există primul derivat (dacă există), precum și cu X \u003d A și X \u003d b.
- Din valorile obținute ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică - vor fi cele mai faimoase și cele mai mici valori ale funcției, respectiv.
Vom analiza algoritmul atunci când rezolvăm un exemplu pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică funcție a funcției de pe segment.
Exemplu.
Găsiți cea mai mare și cea mai mică funcție
- pe segment;
- pe segmentul [-4; -1].
Decizie.
Zona de definiție a câmpului este toate numerele valide, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în zona de definiție.
Găsiți o funcție derivată de către: 
Evident, funcția derivată există în toate punctele de segmente și [-4; -1].
Puncte staționare Definim din ecuație. Singura rădăcină valabilă este X \u003d 2. Acest punct staționar intră în primul segment.
Pentru primul caz, calculați valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică la x \u003d 1, x \u003d 2 și x \u003d 4: 
Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției 
realizat la x \u003d 1 și cea mai mică valoare 
- la x \u003d 2.
Pentru un al doilea caz, calculați valorile funcției numai la capetele segmentului [-4; -1] (deoarece nu conține un singur punct staționar): 
Uneori sarcinile B15 se întâlnesc cu funcțiile "rele" pentru care este dificil să se găsească un derivat. Anterior, a fost doar pe sonde, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru acest EGE.
În acest caz, alte tehnici funcționează, dintre care una - monotone..
Funcția F (X) se numește Monotonic Creșterea pe segment, dacă pentru orice puncte X 1 și X2 din acest segment sunt urmate:
x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.) < f (x 2.).
Funcția f (x) se numește în mod monoton în mod monoton în segment, dacă pentru orice puncte X 1 și X2 din acest segment sunt urmate:
x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.)\u003e F ( x 2.).
Cu alte cuvinte, pentru o funcție tot mai mare, mai mare x, cu atât mai mult f (x). Pentru scăderea funcției, cealaltă este: cu atât mai mult x, mai puțin f (x).
De exemplu, logaritmul crește monotonic dacă baza este un\u003e 1 și scade în mod monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)
Pătratul aritmetic (și nu numai pătrat) rădăcină monotonic crește în întreaga zonă de definiție:
Funcția indicativă se comportă în mod similar cu logaritmul: crește la un\u003e 1 și scade la 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) \u003d a x (a\u003e 0)
În cele din urmă, gradul cu un indicator negativ. Le puteți înregistra ca o fracțiune. Au un punct de pauză în care monotonia este spartă.
Toate aceste funcții nu sunt niciodată în formă pură. Acestea adaugă polinomii, fracții și alte prostii, din cauza căreia devine greu de luat în considerare derivatul. Ce se întâmplă - acum vom examina.
Coordonatele parabolei Vertex
Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu pătrat trichlen. Vizualizare y \u003d ax 2 + bx + C. Programul său este o parabolă standard în care suntem interesați de:
- Ramurile parabolice - pot merge în sus (la un\u003e 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Partea superioară a parabolei este un punct extremum al unei funcții patrate, în care această funcție ia cel mai mic (pentru un\u003e 0) sau cel mai mare (a< 0) значение.
Cel mai mare interes este top Parabolia.A cărei abscisă este calculată prin formula:
Deci, am găsit punctul extremum al unei funcții patrate. Dar dacă funcția inițială a monotonnei, pentru aceasta, punctul X 0 va fi, de asemenea, un punct extremum. Astfel, formulăm regula principală:
Punctele extremumului de o funcție pătrată și complexă în care intră, coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru pătrat trei fotografii și pentru a înscrie funcția.
Din raționamentul de mai sus rămâne incomprehensibil, care punct de a obține: un maxim sau un minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt compilate special, astfel încât să nu conteze. Judecăți pentru tine:
- Segmentul lipsește în starea problemei. Prin urmare, nu este necesar să se calculeze f (a) și f (b). Rămâne să ia în considerare numai punctele extremum;
- Dar doar un singur punct sunt partea de sus a parabolei x 0, ale căror coordonate sunt calculate literalmente pe cale orală și fără derivați.
Astfel, soluția la problema este simplificată brusc și se reduce la două etape:
- Scrieți ecuația parabolla y \u003d ax 2 + bx + c și găsește-o vârful cu formula: x 0 \u003d -b / 2a;
- Găsiți valoarea funcției sursă în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.
La prima vedere, acest algoritm și rațiunea lui pot părea complexe. În mod intenționat, nu postez schema "goală" a deciziei, deoarece aplicarea fără gândiri a unor astfel de reguli este plină de erori.
Luați în considerare sarcinile reale din examenul de încercare în matematică - există ca această tehnică să fie găsită cel mai adesea. În același timp, vom vedea că în acest fel multe sarcini B15 devin aproape orale.
Sub rădăcina există o funcție patrată y \u003d x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este ramurile parabolice sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0.
Top Parabola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2,1) \u003d -6/2 \u003d -3
Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, la punctul X 0 \u003d -3, funcția y \u003d x 2 + 6x + 13 ia cea mai mică valoare.
Rădăcina crește monotonic, ceea ce înseamnă X 0 - punctul minim al întregii funcții. Avem:
O sarcină. Găsiți cea mai mică funcție a funcției:
y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)
Sub logaritmul, o funcție patrată: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafic - ramuri parabola sus, pentru că A \u003d 1\u003e 0.
Top Parabola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2,1) \u003d -2/2 \u003d -1
Deci, la punctul X 0 \u003d -1, funcția patrată ia cea mai mică valoare. Dar funcția y \u003d log 2 x este monotonă, deci:
y min \u003d y (-1) \u003d log 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3
Indicatorul este funcția patrată y \u003d 1 - 4x - x 2. Rescrieți-l în formă normală: y \u003d -x 2 - 4x + 1.
Evident, programul acestei funcții este parabola, ramurile în jos (A \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2
Funcția sursă este indicativă, este monotonne, astfel încât cea mai mare valoare va fi în punctul X 0 \u003d -2:
Cititorul atent va observa probabil că nu am scris zona de valori admise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu era necesar: în interiorul funcțiilor de care sunt întotdeauna pozitive.
Consecințele din funcția de determinare a funcției
Uneori, pentru a rezolva problema B15 nu este suficientă pentru a găsi doar partea de sus a parabolei. Valoarea dorită poate minți la sfârșitul tăierii, și deloc la punctul extremum. Dacă sarcina nu specifică deloc un segment, ne uităm la zona de valori admise Funcția sursă. Și anume:
Fiți atenți din nou: zero poate fi bine sub rădăcină, dar într-un logaritm sau denomoter, niciodată. Să vedem cum funcționează pe exemple specifice:
O sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:
Sub rădăcină, funcția patrată: y \u003d 3 - 2x - x 2. Graficul său - parabola, dar ramurile în jos, deoarece a \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Noi scriem zona de valori admise (OTZ):
3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; unu]
Acum găsim partea de sus a parabolei:
x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1
Punctul X 0 \u003d -1 aparține segmentului OTZ - și acest lucru este bun. Acum considerăm valoarea funcției la punctul X 0, precum și la capetele OTZ:
y (-3) \u003d y (1) \u003d 0
Deci, au primit numerele 2 și 0. Suntem rugați să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.
O sarcină. Găsiți cea mai mică funcție a funcției:
y \u003d log 0.5 (6x - x 2 - 5)
În interiorul logaritului costă funcția patratic y \u003d 6x - x 2 - 5. Aceasta este o ramură de parabola în jos, dar nu pot exista numere negative în logaritm, așa că scriem ...
6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât scopurile nu aparțin OTZ. Acest logaritm este diferit de rădăcină, unde capetele segmentului sunt destul de potrivite.
Căutăm partea de sus a parabolei:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3
Partea superioară a parabolei este potrivită pentru ODZ: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Dar, din moment ce scopurile segmentului nu ne interesează, luați în considerare valoarea funcției numai la punctul X 0:
y min \u003d y (3) \u003d log 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0.5 4 \u003d -2
