Een rechte lijn in de ruimte kan altijd worden gedefinieerd als een snijlijn van twee niet-parallelle vlakken. Als de vergelijking van één vlak de vergelijking van het tweede vlak is, dan wordt de vergelijking van de rechte lijn gegeven als
hier 
niet-collineair 
. Deze vergelijkingen worden genoemd algemene vergelijkingen
rechte lijn in de ruimte.
Canonieke vergelijkingen van de rechte lijn
Elke vector die niet nul is en die op een bepaalde lijn of evenwijdig daaraan ligt, wordt een richtingsvector van deze lijn genoemd.
Als het punt bekend is 
lijn en zijn richting vector 
, dan hebben de canonieke vergelijkingen van de lijn de vorm:
.
(9)
Parametrische vergelijkingen van een rechte lijn
Laat de canonieke vergelijkingen van de lijn worden gegeven
.
Vanaf hier verkrijgen we de parametrische vergelijkingen van de rechte lijn:
(10)
Deze vergelijkingen zijn nuttig voor het vinden van het snijpunt van een lijn en een vlak.
Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat 
en 
lijkt op:
.
Hoek tussen lijnen
Hoek tussen lijnen
en 
gelijk is aan de hoek tussen hun richtingsvectoren. Daarom kan het worden berekend met formule (4):
Conditie van parallelle lijnen:
.
Voorwaarde van loodrechtheid van vlakken:
Afstand van een punt tot een rechte lijn
P 
gegeven punt 
en direct
.
Uit de canonieke vergelijkingen van de lijn is het punt bekend 
, behorend tot de lijn, en zijn richtingsvector 
. Dan de puntafstand 
van een rechte lijn is gelijk aan de hoogte van een parallellogram gebouwd op vectoren 
en 
. Vervolgens,
.
Voorwaarde lijnkruising
Twee niet-parallelle lijnen
,
snijden als en slechts als
.
Onderlinge rangschikking van een rechte lijn en een vlak.
Laat de rechte lijn 
en plat. Hoek 
tussen hen kan worden gevonden door de formule
.
Probleem 73. Schrijf de canonieke vergelijkingen van de lijn
(11)
Oplossing. Om de canonieke vergelijkingen van de lijn (9) op te schrijven, is het noodzakelijk om elk punt dat bij de lijn hoort en de richtingsvector van de lijn te kennen.
Laten we de vector vinden 
evenwijdig aan de gegeven lijn. Omdat het loodrecht moet staan op de normaalvectoren van deze vlakken, d.w.z.
,
, dan
.
Uit de algemene vergelijkingen van de rechte lijn hebben we dat: 
,
. Dan
.
sinds het punt 
elk punt van de lijn, dan moeten de coördinaten voldoen aan de vergelijkingen van de lijn, en een ervan kan worden gespecificeerd, bijvoorbeeld, 
, vinden we de andere twee coördinaten van het systeem (11):
Vanaf hier, 
.
De canonieke vergelijkingen van de gewenste lijn hebben dus de vorm:
of 
.
Probleem 74.
en 
.
Oplossing. Uit de canonieke vergelijkingen van de eerste regel zijn de coördinaten van het punt bekend 
die bij de lijn horen, en de coördinaten van de richtingsvector 
. Uit de canonieke vergelijkingen van de tweede lijn zijn ook de coördinaten van het punt bekend 
en richting vectorcoördinaten 
.
De afstand tussen evenwijdige lijnen is gelijk aan de afstand van een punt 
vanaf de tweede lijn. Deze afstand wordt berekend met de formule
.
Laten we de coördinaten van de vector vinden 
.
Bereken het vectorproduct 
:
.
Probleem 75. Zoek een punt 
symmetrisch punt 
relatief recht
.
Oplossing. We schrijven de vergelijking van het vlak loodrecht op de gegeven lijn en door het punt 
. Als zijn normale vector 
we kunnen de richtingsvector als een rechte lijn nemen. Dan 
. Vervolgens,
Laten we een punt vinden 
het snijpunt van de gegeven lijn en het vlak P. Om dit te doen, schrijven we de parametrische vergelijkingen van de lijn, met behulp van vergelijkingen (10), we verkrijgen
Vervolgens, 
.
Laten 
punt symmetrisch ten opzichte van punt 
over deze lijn. dan het punt: 
middelpunt 
. De coördinaten van een punt vinden 
we gebruiken de formules voor de coördinaten van het midden van het segment:
,
,
.
Dus, 
.
Probleem 76. Schrijf de vergelijking voor een vlak dat door een rechte lijn gaat 
en
a) door een punt 
;
b) loodrecht op het vlak.
Oplossing. Laten we de algemene vergelijkingen van deze rechte lijn opschrijven. Om dit te doen, overweeg dan twee gelijkheden:
Dit betekent dat het gewenste vlak behoort tot een potlood van vlakken met generatoren en de vergelijking kan worden geschreven in de vorm (8):
a) vind 
en 
van de voorwaarde dat het vlak door het punt gaat 
daarom moeten de coördinaten voldoen aan de vergelijking van het vlak. Vervang de coördinaten van het punt 
in de vergelijking van een straal van vlakken:
Gevonden waarde 
vervangen we in vergelijking (12). we verkrijgen de vergelijking van het gewenste vlak:
b) vind 
en 
van de voorwaarde dat het gewenste vlak loodrecht op het vlak staat. De normaalvector van een bepaald vlak 
, de normaalvector van het gewenste vlak (zie de vergelijking voor een bundel vlakken (12)).
Twee vectoren staan loodrecht dan en slechts dan als hun puntproduct nul is. Vervolgens,
Vervang de gevonden waarde 
in de vergelijking van een straal van vlakken (12). We verkrijgen de vergelijking van het gewenste vlak:
Taken voor onafhankelijke oplossing
Probleem 77. Breng de vergelijkingen van lijnen naar de canonieke vorm:
1)
2)
Probleem 78. Schrijf parametrische vergelijkingen van een rechte lijn 
, als:
1)
,
;
2)
,
.
Probleem 79. Schrijf een vergelijking voor een vlak dat door een punt gaat 
loodrecht op de lijn 
Probleem 80. Schrijf de vergelijkingen van een rechte lijn die door een punt gaat 
loodrecht op het vlak.
Probleem 81. Zoek de hoek tussen lijnen:
1)
en 
;
2)
en 
Probleem 82. Bewijs evenwijdige lijnen:
en 
.
Probleem 83. Bewijs loodrechtheid van lijnen:
en 
Probleem 84. Puntafstand berekenen 
van recht:
1)
;
2)
.
Probleem 85. Bereken de afstand tussen evenwijdige lijnen:
en 
.
Probleem 86. In lineaire vergelijkingen 
parameter definiëren 
zodat deze lijn de lijn snijdt en het punt van hun snijpunt vindt.
Probleem 87. Laat zien dat het eerlijk is 
evenwijdig aan het vliegtuig 
, en de rechte lijn 
ligt in dit vlak.
Probleem 88. Zoek een punt 
symmetrisch punt 
ten opzichte van het vliegtuig 
, als:
1)
,
;
2)
,
;.
Probleem 89. Schrijf de vergelijking voor een loodlijn die uit een punt valt 
direct 
.
Probleem 90. Zoek een punt 
symmetrisch punt 
relatief recht 
.
Oh-oh-oh-oh-oh ... nou, het is blikkerig, alsof je de zin voor jezelf leest =) Maar dan zal ontspanning helpen, vooral omdat ik vandaag geschikte accessoires heb gekocht. Laten we daarom doorgaan naar het eerste deel, ik hoop dat ik aan het einde van het artikel een opgewekte bui zal behouden.
Onderlinge rangschikking van twee rechte lijnen
Het geval wanneer de zaal in koor meezingt. Twee lijnen kunnen:
1) overeenkomen;
2) parallel zijn: ;
3) of snijden op een enkel punt: .
Hulp voor dummies : onthoud het wiskundige teken van de kruising, het zal heel vaak voorkomen. De invoer betekent dat de lijn de lijn op het punt snijdt.
Hoe de relatieve positie van twee lijnen bepalen?
Laten we beginnen met het eerste geval:
Twee lijnen vallen samen als en slechts als hun respectieve coëfficiënten proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is zo'n getal "lambda" dat de gelijkheden
Laten we eens kijken naar rechte lijnen en drie vergelijkingen samenstellen uit de corresponderende coëfficiënten: . Uit elke vergelijking volgt dat deze lijnen dus samenvallen.
Inderdaad, als alle coëfficiënten van de vergelijking 
vermenigvuldig met -1 (verander tekens), en alle coëfficiënten van de vergelijking 
verminderen met 2, krijg je dezelfde vergelijking: .
Het tweede geval wanneer de lijnen evenwijdig zijn:
Twee lijnen zijn evenwijdig als en slechts dan als hun coëfficiënten bij de variabelen evenredig zijn: 
, maar.
Beschouw als voorbeeld twee rechte lijnen. We controleren de evenredigheid van de overeenkomstige coëfficiënten voor de variabelen: 
Het is echter duidelijk dat.
En het derde geval, wanneer de lijnen elkaar kruisen:
Twee lijnen snijden elkaar dan en slechts als hun coëfficiënten van de variabelen NIET proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is NIET zo'n waarde van "lambda" dat aan de gelijkheden is voldaan 
Dus voor rechte lijnen zullen we een systeem samenstellen: 
Uit de eerste vergelijking volgt dat , en uit de tweede vergelijking: , dus het systeem is inconsistent(geen oplossingen). De coëfficiënten bij de variabelen zijn dus niet proportioneel.
Conclusie: lijnen kruisen elkaar
Bij praktische problemen kan het zojuist overwogen oplossingsschema worden gebruikt. Trouwens, het lijkt erg op het algoritme voor het controleren van vectoren op collineariteit, dat we in de les hebben besproken. Het concept van lineaire (on)afhankelijkheid van vectoren. vector basis. Maar er is een meer beschaafd pakket:
voorbeeld 1
Ontdek de relatieve positie van de lijnen: 
Oplossing gebaseerd op de studie van het richten van vectoren van rechte lijnen:
a) Uit de vergelijkingen vinden we de richtingsvectoren van de lijnen: 
.
, dus de vectoren zijn niet collineair en de lijnen snijden elkaar.
Voor het geval dat, ik zal een steen met wijzers op het kruispunt plaatsen:
De rest springt over de steen en gaat rechtdoor naar Kashchei the Deathless =)
b) Zoek de richtingsvectoren van de lijnen: 
De lijnen hebben dezelfde richtingsvector, wat betekent dat ze evenwijdig of hetzelfde zijn. Hier is de determinant niet nodig.
Het is duidelijk dat de coëfficiënten van de onbekenden proportioneel zijn, terwijl .
Laten we eens kijken of de gelijkheid waar is: 
Op deze manier,
c) Zoek de richtingsvectoren van de lijnen: 
Laten we de determinant berekenen, samengesteld uit de coördinaten van deze vectoren: 
, daarom zijn de richtingsvectoren collineair. De lijnen zijn evenwijdig of vallen samen.
De evenredigheidsfactor "lambda" is gemakkelijk direct te zien aan de verhouding van collineaire richtingsvectoren. Het kan echter ook worden gevonden via de coëfficiënten van de vergelijkingen zelf: 
.
Laten we nu eens kijken of de gelijkheid waar is. Beide vrije termen zijn nul, dus:
De resulterende waarde voldoet aan deze vergelijking (elk getal voldoet er in het algemeen aan).
De lijnen vallen dus samen.
Antwoorden:
Al snel leer je (of heb je het zelfs al geleerd) om het beschouwde probleem letterlijk in enkele seconden verbaal op te lossen. In dit opzicht zie ik geen reden om iets voor een onafhankelijke oplossing aan te bieden, het is beter om nog een belangrijke steen in de geometrische basis te leggen:
Hoe teken je een lijn evenwijdig aan een gegeven?
Voor onwetendheid over deze eenvoudigste taak, straft de Nachtegaal de Rover streng.
Voorbeeld 2
De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking . Schrijf een vergelijking voor een parallelle lijn die door het punt gaat.
Oplossing: Geef de onbekende regel aan met de letter . Wat zegt de voorwaarde erover? De lijn gaat door het punt. En als de lijnen evenwijdig zijn, dan is het duidelijk dat de richtingsvector van de lijn "ce" ook geschikt is om de lijn "te" te construeren.
We halen de richtingsvector uit de vergelijking:
Antwoorden:
De geometrie van het voorbeeld ziet er eenvoudig uit: 
Analytische verificatie bestaat uit de volgende stappen:
1) We controleren of de lijnen dezelfde richtingsvector hebben (als de vergelijking van de lijn niet goed vereenvoudigd is, dan zullen de vectoren collineair zijn).
2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking.
Analytische verificatie is in de meeste gevallen eenvoudig mondeling uit te voeren. Kijk naar de twee vergelijkingen en velen van jullie zullen snel ontdekken hoe de lijnen parallel lopen zonder enige tekening.
Voorbeelden voor zelfoplossend vermogen vandaag zullen creatief zijn. Omdat je nog steeds moet concurreren met Baba Yaga, en zij, weet je, is een liefhebber van allerlei raadsels.
Voorbeeld 3
Schrijf een vergelijking voor een lijn die door een punt evenwijdig aan de lijn gaat als
Er is een rationele en niet erg rationele manier om op te lossen. De kortste weg is aan het einde van de les.
We hebben wat met parallelle lijnen gewerkt en komen daar later op terug. Het geval van samenvallende lijnen is van weinig belang, dus laten we eens kijken naar een probleem dat u welbekend is uit het schoolcurriculum:
Hoe vind je het snijpunt van twee lijnen?
als hetero 
snijden in het punt , dan zijn de coördinaten de oplossing stelsels lineaire vergelijkingen 
Hoe het snijpunt van lijnen te vinden? Los het systeem op.
Hier is voor jou geometrische betekenis van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden zijn twee elkaar snijdende (meestal) rechte lijnen in een vlak.
Voorbeeld 4
Vind het snijpunt van lijnen
Oplossing: Er zijn twee manieren om op te lossen - grafisch en analytisch.
De grafische manier is om eenvoudig de gegeven lijnen te tekenen en het snijpunt rechtstreeks uit de tekening te achterhalen: 
Hier is ons punt: . Om dit te controleren, moet je de coördinaten in elke vergelijking van een rechte lijn vervangen, ze moeten zowel daar als daar passen. Met andere woorden, de coördinaten van een punt zijn de oplossing van het systeem . In feite hebben we een grafische manier overwogen om op te lossen stelsels lineaire vergelijkingen met twee vergelijkingen, twee onbekenden.
De grafische methode is natuurlijk niet slecht, maar er zijn merkbare nadelen. Nee, het gaat er niet om dat de brugklassers zo beslissen, het gaat erom dat het tijd kost om een juiste en EXACTE tekening te maken. Bovendien zijn sommige lijnen niet zo eenvoudig te construeren, en het snijpunt zelf kan ergens in het dertigste koninkrijk buiten het notitieboekje liggen.
Daarom is het handiger om het snijpunt te zoeken met de analytische methode. Laten we het systeem oplossen: 
Om het systeem op te lossen, werd de methode van termsgewijze optelling van vergelijkingen gebruikt. Bezoek de les om de relevante vaardigheden te ontwikkelen Hoe een stelsel vergelijkingen op te lossen?
Antwoorden:
De verificatie is triviaal - de coördinaten van het snijpunt moeten voldoen aan elke vergelijking van het systeem.
Voorbeeld 5
Zoek het snijpunt van de lijnen als ze elkaar snijden.
Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. De taak kan gemakkelijk in verschillende fasen worden verdeeld. Analyse van de aandoening suggereert dat het nodig is:
1) Schrijf de vergelijking van een rechte lijn.
2) Schrijf de vergelijking van een rechte lijn.
3) Ontdek de relatieve positie van de lijnen.
4) Als de lijnen elkaar snijden, zoek dan het snijpunt.
De ontwikkeling van een actie-algoritme is typerend voor veel geometrische problemen, en daar zal ik me herhaaldelijk op richten.
Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial:
Een paar schoenen is nog niet versleten, want we kwamen aan bij het tweede deel van de les:
Evenwijdige lijnen. De afstand van een punt tot een lijn.
Hoek tussen lijnen
Laten we beginnen met een typische en zeer belangrijke taak. In het eerste deel leerden we hoe we een rechte lijn evenwijdig aan de gegeven lijn konden bouwen, en nu zal de hut op kippenpoten 90 graden draaien:
Hoe teken je een lijn loodrecht op een gegeven?
Voorbeeld 6
De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking . Schrijf een vergelijking voor een loodrechte lijn die door een punt gaat.
Oplossing: Het is bekend door aanname dat . Het zou leuk zijn om de richtingsvector van de rechte lijn te vinden. Omdat de lijnen loodrecht staan, is de truc eenvoudig:
Uit de vergelijking "verwijderen" we de normaalvector: , die de richtingsvector van de rechte lijn zal zijn.
We stellen de vergelijking van een rechte lijn op door een punt en een richtende vector:
Antwoorden: 
Laten we de geometrische schets ontvouwen:
Hmmm... Oranje lucht, oranje zee, oranje kameel.
Analytische verificatie van de oplossing:
1) Extraheer de richtingsvectoren uit de vergelijkingen 
en met de hulp puntproduct van vectoren we concluderen dat de lijnen inderdaad loodrecht staan: .
Trouwens, je kunt normale vectoren gebruiken, het is nog eenvoudiger.
2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking 
.
Verificatie is wederom eenvoudig verbaal uit te voeren.
Voorbeeld 7
Vind het snijpunt van loodlijnen, als de vergelijking bekend is 
en punt.
Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Er zijn verschillende acties in de taak, dus het is handig om de oplossing punt voor punt te ordenen.
Onze spannende reis gaat verder:
Afstand van punt tot lijn
Voor ons ligt een rechte strook van de rivier en het is onze taak om deze via de kortste weg te bereiken. Er zijn geen obstakels en de meest optimale route is beweging langs de loodlijn. Dat wil zeggen, de afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodrechte segment.
De afstand in de meetkunde wordt traditioneel aangeduid met de Griekse letter "ro", bijvoorbeeld: - de afstand van het punt "em" tot de rechte lijn "de".
Afstand van punt tot lijn 
wordt uitgedrukt door de formule
Voorbeeld 8
Vind de afstand van een punt tot een lijn 
Oplossing: u hoeft alleen de getallen zorgvuldig in de formule te vervangen en de berekeningen uit te voeren:
Antwoorden: 
Laten we de tekening uitvoeren: 
De gevonden afstand van het punt tot de lijn is precies de lengte van het rode segment. Als je een tekening maakt op ruitjespapier op schaal 1 eenheid. \u003d 1 cm (2 cellen), dan kan de afstand worden gemeten met een gewone liniaal.
Overweeg een andere taak volgens dezelfde tekening:
De taak is om de coördinaten van het punt te vinden, dat symmetrisch is met het punt ten opzichte van de lijn 
. Ik stel voor om de acties zelf uit te voeren, maar ik zal het oplossingsalgoritme schetsen met tussenresultaten:
1) Zoek een lijn die loodrecht op een lijn staat.
2) Zoek het snijpunt van de lijnen: 
.
Beide acties worden in deze les uitgebreid besproken.
3) Het punt is het middelpunt van het segment. We kennen de coördinaten van het midden en een van de uiteinden. Door formules voor de coördinaten van het midden van het segment vind .
Het is niet overbodig om te controleren of de afstand ook gelijk is aan 2,2 eenheden.
Er kunnen zich hier moeilijkheden voordoen bij berekeningen, maar in de toren helpt een microcalculator veel, zodat je gewone breuken kunt tellen. Heb vaak geadviseerd en zal het opnieuw aanbevelen.
Hoe vind je de afstand tussen twee evenwijdige lijnen?
Voorbeeld 9
Vind de afstand tussen twee evenwijdige lijnen
Dit is een ander voorbeeld van een onafhankelijke oplossing. Een kleine hint: er zijn oneindig veel manieren om op te lossen. Nabespreking aan het einde van de les, maar probeer het zelf maar te raden, ik denk dat je je vindingrijkheid goed hebt weten te verspreiden.
Hoek tussen twee lijnen
Wat de hoek ook is, dan de stijl: 
In de meetkunde wordt de hoek tussen twee rechte lijnen genomen als de KLEINERE hoek, waaruit automatisch volgt dat deze niet stomp kan zijn. In de afbeelding wordt de hoek aangegeven door de rode boog niet beschouwd als de hoek tussen elkaar snijdende lijnen. En zijn "groene" buurman of tegengesteld georiënteerd karmozijnrode hoek.
Als de lijnen loodrecht staan, kan elk van de 4 hoeken worden genomen als de hoek ertussen.
Hoe verschillen de hoeken? Oriëntatie. Ten eerste is de richting van het "scrollen" van de hoek van fundamenteel belang. Ten tweede wordt een negatief georiënteerde hoek geschreven met een minteken, bijvoorbeeld als .
Waarom zei ik dit? Het lijkt erop dat je kunt rondkomen met het gebruikelijke concept van een hoek. Het feit is dat in de formules waarmee we de hoeken zullen vinden, gemakkelijk een negatief resultaat kan worden verkregen, en dit zou u niet moeten verrassen. Een hoek met een minteken is niet slechter en heeft een heel specifieke geometrische betekenis. In de tekening voor een negatieve hoek is het noodzakelijk om de richting (met de klok mee) aan te geven met een pijl.
Hoe vind je de hoek tussen twee lijnen? Er zijn twee werkformules:
Voorbeeld 10
Zoek de hoek tussen lijnen
Oplossing en Methode één:
Beschouw twee rechte lijnen gegeven door vergelijkingen in algemene vorm: 
als hetero niet loodrecht, dan georiënteerd de hoek ertussen kan worden berekend met behulp van de formule: 
Laten we goed op de noemer letten - dit is precies scalair product richtingsvectoren van rechte lijnen:
Als , dan verdwijnt de noemer van de formule en zijn de vectoren orthogonaal en staan de lijnen loodrecht. Daarom is een voorbehoud gemaakt bij de niet-loodrechtheid van de lijnen in de formulering.
Op basis van het voorgaande wordt de oplossing handig geformaliseerd in twee stappen:
1) Bereken het scalaire product van sturende vectoren van rechte lijnen:
dus de lijnen staan niet loodrecht.
2) We vinden de hoek tussen de lijnen met de formule:
Met behulp van de inverse functie is het gemakkelijk om de hoek zelf te vinden. In dit geval gebruiken we de eigenaardigheid van de boogtangens (zie Fig. Grafieken en eigenschappen van elementaire functies):
Antwoorden: 
In het antwoord geven we de exacte waarde aan, evenals de geschatte waarde (bij voorkeur zowel in graden als in radialen), berekend met een rekenmachine.
Nou, min, dus min, het is oké. Hier is een geometrische illustratie: 
Het is niet verwonderlijk dat de hoek een negatieve oriëntatie bleek te hebben, omdat in de toestand van het probleem het eerste getal een rechte lijn is en het "draaien" van de hoek precies daaruit begon.
Als je echt een positieve hoek wilt krijgen, moet je de rechte lijnen omwisselen, dat wil zeggen, de coëfficiënten uit de tweede vergelijking nemen 
, en neem de coëfficiënten van de eerste vergelijking . Kortom, je moet beginnen met een direct 
.
In juli 2020 lanceert NASA een expeditie naar Mars. Het ruimtevaartuig zal Mars een elektronische drager bezorgen met de namen van alle geregistreerde leden van de expeditie.
Als dit bericht je probleem heeft opgelost of je het gewoon leuk vond, deel dan de link ernaar met je vrienden op sociale netwerken.
Een van deze code-opties moet worden gekopieerd en geplakt in de code van uw webpagina, bij voorkeur tussen de tags
en of direct na de tag . Volgens de eerste optie laadt MathJax sneller en vertraagt de pagina minder. Maar de tweede optie volgt en laadt automatisch de nieuwste versies van MathJax. Als u de eerste code invoert, moet deze periodiek worden bijgewerkt. Als u de tweede code plakt, worden de pagina's langzamer geladen, maar u hoeft MathJax-updates niet constant in de gaten te houden.De eenvoudigste manier om verbinding te maken met MathJax is in Blogger of WordPress: voeg in het configuratiescherm van de site een widget toe die is ontworpen om JavaScript-code van derden in te voegen, kopieer de eerste of tweede versie van de hierboven weergegeven laadcode en plaats de widget dichterbij naar het begin van de sjabloon (dit is trouwens helemaal niet nodig, aangezien het MathJax-script asynchroon wordt geladen). Dat is alles. Leer nu de MathML-, LaTeX- en ASCIIMathML-opmaaksyntaxis en u bent klaar om wiskundige formules in uw webpagina's in te sluiten.
Weer een oudejaarsavond... ijzig weer en sneeuwvlokken op de ruit... Dit alles bracht me ertoe om opnieuw te schrijven over... fractals, en wat Wolfram Alpha ervan weet. Bij deze gelegenheid is er een interessant artikel waarin voorbeelden staan van tweedimensionale fractale structuren. Hier zullen we meer complexe voorbeelden van driedimensionale fractals bekijken.
Een fractal kan visueel worden weergegeven (beschreven) als een geometrische figuur of lichaam (wat betekent dat beide een verzameling zijn, in dit geval een verzameling punten), waarvan de details dezelfde vorm hebben als de oorspronkelijke figuur zelf. Dat wil zeggen, het is een structuur die op zichzelf lijkt, gezien de details waarvan we, wanneer vergroot, dezelfde vorm zullen zien als zonder vergroting. Terwijl we in het geval van een regelmatige geometrische figuur (geen fractal), wanneer we inzoomen, details zien die een eenvoudiger vorm hebben dan de originele figuur zelf. Bij een voldoende hoge vergroting ziet een deel van een ellips er bijvoorbeeld uit als een recht lijnsegment. Dit gebeurt niet met fractals: bij elke toename ervan zullen we opnieuw dezelfde complexe vorm zien, die bij elke toename keer op keer zal worden herhaald.
Benoit Mandelbrot, de grondlegger van de wetenschap van fractals, schreef in zijn artikel Fractals and Art for Science: "Fractals zijn geometrische vormen die even complex zijn in hun details als in hun algemene vorm. Dat wil zeggen, als een deel van de fractal wil vergroot worden tot de grootte van het geheel, zal het eruit zien als het geheel, of precies, of misschien met een lichte vervorming.
