Bij het schrijven van de bewegingsvergelijkingen van gekoppelde lichamen is het noodzakelijk om in gedachten te houden dat de tweede wet van Newton is geformuleerd voor lichaam(één) massa M. Bijgevolg moet bij het beschrijven van de beweging van verbonden lichamen de bewegingsvergelijking voor elk lichaam afzonderlijk worden geschreven, en wordt de werking van de lichamen op elkaar bepaald door de reactiekracht van de steun, de spanning van de draad, enz.
Probleem 10. Op de tafel ligt een klein houten blok van 290 g, waaraan een draad is bevestigd, over een gewichtloos blok gegooid dat aan de rand van de tafel is bevestigd. Aan het tweede uiteinde van de draad is een last van 150 g bevestigd. Met welke versnelling zullen deze lichamen bewegen als de wrijvingscoëfficiënt van het hout op de tafel 0,32 is?
|
Gegeven:
|
|
Oplossing. |
|
|
Het blok (Fig. 10), dat zich uiteraard op de tafel bevindt (zie probleem 8), wordt beïnvloed door vier krachten: de zwaartekracht; grondreactiekracht; draadspanning en wrijvingskracht. Het is duidelijk dat (zie Probleem 7) twee krachten inwerken op een last die hangt aan een draad die over een blok wordt geworpen: de zwaartekracht en de spankracht van de draad. voor elk van deze lichamen, ervan uitgaande dat hun omvang in dit probleem kan worden verwaarloosd:
Coördinaatassen kunnen voor elk lichaam afzonderlijk worden geselecteerd, omdat na het nemen van de projecties alleen de modules van de vectoren (hun lengtes) in de formules achterblijven, die in alle coördinatensystemen hetzelfde zijn. Laten we de projecties van de vectoren op de coördinaatassen nemen, de formule voor de wrijvingskracht toevoegen en het volgende krijgen:
Omdat bewegende lichamen met elkaar verbonden zijn, zullen ze in dezelfde tijd dezelfde afstand afleggen. Hieruit volgt dat de versnellingsmodules waarmee deze lichamen bewegen hetzelfde zijn. De spankrachten van de draad die op het blok en op de belasting worden uitgeoefend, ontstaan als resultaat van de interactie van deze lichamen en zijn in grootte gelijk aan elkaar (een meer gedetailleerde uitleg van de gelijkheid van de modules van deze krachten zal worden gegeven wanneer het bestuderen van de rotatiebeweging van lichamen).
We lossen het stelsel vergelijkingen in de volgende volgorde op: vanuit de tweede vergelijking drukken we de steunreactiekracht uit en vervangen deze in de derde vergelijking, en vervangen de resulterende uitdrukking voor de wrijvingskracht in de eerste:
Laten we de linker- en rechterkant van de vergelijkingen van het systeem optellen, terwijl aan de rechterkant van de resulterende uitdrukking de onbekende spankracht van de draad elkaar zal opheffen, en dan de versnelling zal uitdrukken:
;
Antwoord: lichamen zullen met versnelling bewegen 
.
Beweging onder invloed van variabele krachten
Als de krachten die tijdens zijn beweging op een lichaam inwerken in de loop van de tijd veranderen, zal de versnelling waarmee het lichaam beweegt niet constant blijven. Deze omstandigheid maakt het onmogelijk om de formules van de kinematica van uniform versnelde beweging te gebruiken en vereist het gebruik van differentiële en differentiële en versnelde bewegingen. integraalrekening bij het oplossen van dit soort problemen.
Probleem 11. Een jetski van 160 kg (zonder bestuurder) beweegt zich door kalm water. Nadat de bestuurder in een scherpe bocht was gevallen en de motor automatisch stopte, nam de snelheid van de motorfiets terwijl deze in een rechte lijn bleef rijden, in 4,5 seconden tien keer af. Gezien de weerstandskracht tegen beweging evenredig aan de snelheid ( 
), zoek de weerstandscoëfficiënt 
.
|
Gegeven:
| |
|
|
D 
de beweging van een jetski na het stoppen van de motor vindt plaats onder invloed van drie krachten: de zwaartekracht verticaal naar beneden gericht, de kracht van Archimedes naar boven gericht, en de weerstandskracht gericht tegen de snelheid. Op basis van de tweede wet van Newton schrijven we de bewegingsvergelijking:
.
Laten we een as selecteren Os langs de bewegingsrichting. Vervolgens kan voor deze as de vergelijking worden herschreven, rekening houdend met het feit dat de projecties van de zwaartekracht en de Archimedeskracht op de horizontale as gelijk zijn aan nul, en de projectie van de weerstandskracht 
:
.
Uit de vergelijking blijkt dat de versnelling waarmee de jetski beweegt niet constant blijft in de tijd, maar verandert naarmate de snelheid verandert. Per definitie kunnen we voor versnelling in eendimensionale beweging en de willekeurige aard van de afhankelijkheid van versnelling van tijd schrijven:
(dit is de reden waarom de projecties van snelheid en versnelling niet in de vergelijking worden opgenomen).
Door de formule in de vergelijking te vervangen, verkrijgen we een differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen, waarin het onbekende de functie is van snelheid versus tijd:
.
Laten we de variabelen scheiden en beide kanten van de vergelijking integreren, ervan uitgaande dat de stopwatch was ingeschakeld toen de motor werd uitgeschakeld:
.
Rekening houdend met de Newton-Leibniz-formule en de potentiëringsregels, verkrijgen we:
.
Als het nodig is om de snelheidsafhankelijkheid van de tijd te bepalen, moet men de exponent van beide kanten van de uitdrukking nemen en de logaritmische basisidentiteit op de linkerkant toepassen. In dit probleem drukken we de gewenste waarde rechtstreeks uit de formule:
;
.
Antwoord: bewegingsweerstandscoëfficiënt 
.
Les oplossen van problemen “Beweging van verbonden lichamen”
Graad 10
Docent Smirnova S.G.
Saransk, gemeentelijke onderwijsinstelling "Lukhovsky Lyceum"
Lestype : Workshoples.
Het doel van de les: Het vermogen bijbrengen om de wetten van Newton toe te passen bij het oplossen van gecombineerde rekenproblemen
Lesdoelstellingen:
Leerzaam: herhaal de wetten van Newton en zorg voor het vermogen om de resultante van krachten te bepalen bij het bewegen langs een hellend vlak. Bij het verplaatsen van verbonden lichamen.
Leerzaam: ontwikkel aandacht en spraak, verbeter de vaardigheden van zelfstandig werken en werken in paren.
Leerzaam een holistisch beeld van studenten vormen over de wereld (natuur, samenleving en zichzelf), over de rol en plaats van de natuurkunde in het systeem van de wetenschappen.
Apparatuur: computer van de leraar, multimediaprojector, natuurkunde 7-11 Bibliotheek met elektronische visuele hulpmiddelen. ‘Cyrillus en Methodius.’
Tijdens de lessen
1. Organisatorisch moment
2. Het organiseren van de aandacht van studenten
Het onderwerp van onze les: Problemen oplossen "Beweging van verbonden lichamen"
3. Basiskennis actualiseren
Voordat ik verder ga met het oplossen van problemen, raad ik aan om na te gaan in hoeverre u hier klaar voor bent.
Frontaal onderzoek:
Geef de wetten van Newton weer
Teken een hellend vlak, toon alle krachten die op het lichaam inwerken bij het omhoog trekken van het lichaam
Bepaal de projecties van deze krachten op de door u gekozen coördinaatassen
3. Probleemoplossing.
Z taak 1. Een massa van 1 kg die op een tafel ligt, wordt door een lichte, niet-rekbare draad die over een ideaal blok wordt geworpen, verbonden met een massa van 0,25 kg. Op de eerste belasting wordt een horizontale constante kracht F uitgeoefend, die qua modulus gelijk is aan 1 N (zie figuur). In dit geval beweegt de tweede last met een versnelling van 0,8 m/s2, naar beneden gericht. Wat is de glijwrijvingscoëfficiënt van de eerste belasting op het tafeloppervlak?
Oplossing.
Twee gewichten zijn met elkaar verbonden door een niet-rekbare draad door een blok. Op de eerste belasting wordt een kracht uitgeoefendN en wrijvingskracht, gericht in de tegenovergestelde richting van de beweging van de last. De tweede belasting wordt alleen beïnvloed door de zwaartekracht, gelijk aanN. De resultante van deze lichamen is gelijk aan de kracht
, waardoor het systeem van twee lasten met versnelling beweegt. Dan kunnen we volgens de tweede wet van Newton schrijven:
Waar- massa's van respectievelijk de eerste en tweede lading. Vanaf hier vinden we de wrijvingskracht:
en de wrijvingscoëfficiënt is
.
Antwoord: 0,05.
Taak 2. Massalasten M = 1 kg en m zijn verbonden door een lichte, niet-rekbare draad die over een blok wordt geworpen waarlangs de draad zonder wrijving kan glijden (zie figuur). Een last met massa M bevindt zich op een ruw hellend vlak (hellingshoek van het vlak ten opzichte van de horizon α = 30°, wrijvingscoëfficiënt µ = 0,3). Wat is de maximale waarde van massa m waarbij het lastenstelsel de initiële rusttoestand nog niet verlaat?
Oplossing.
1. Als de massa m groot genoeg is, maar de lasten nog in rust zijn, dan is de statische wrijvingskracht die op de last van massa M inwerkt, langs het hellende vlak naar beneden gericht (zie figuur).
2. We zullen het referentiesysteem dat bij het hellende vlak hoort, als traagheid beschouwen. Laten we de tweede wet van Newton voor elk van de lichamen in rust schrijven in projecties op de assen van het geïntroduceerde coördinatensysteem:
Laten we er rekening mee houden dat T1 = T2 = T (de draad is licht, er is geen wrijving tussen het blok en de draad),(statische wrijvingskracht). Dan T = mg,
,
, en we komen bij de ongelijkheidmet een oplossing
. Dus,
kg.
Taak 3. In de in de figuur getoonde opstelling is gewicht A verbonden door een draad die door een blok wordt geworpen met blok B dat op het horizontale oppervlak van een op een tafel gemonteerde tribometer ligt. Het gewicht wordt opzij verplaatst, tot een hoogte h gebracht, en losgelaten. De lengte van het hangende deel van de draad is gelijk aan L. Welke waarde moet de massa van het gewicht overschrijden om het blok van zijn plaats te laten bewegen op het moment dat het gewicht het laagste punt van het traject passeert? De massa van het blok is M, de wrijvingscoëfficiënt tussen het blok en het oppervlak is µ. Verwaarloos de wrijving in het blok, evenals de afmetingen van het blok.
Het blok beweegt van zijn plaats op voorwaarde dat de kracht die erop inwerkt vanaf de draad groter wordt dan de maximale statische wrijvingskracht:, . De tweede wet van Newton voor een gewicht in de lagere positie:
. (1)
Wet van behoud van mechanische energie:
, . (2)
Zoek de versnelling van een massa van €3 miljoen in een systeem bestaande uit een vast blok en een bewegend blok. Verwaarloos de massa van de blokken en de wrijving in hun assen. Een draad die over blokken wordt geworpen, is gewichtloos en niet rekbaar. Zwaartekrachtversnelling $g$.
Oplossing
Laten we een referentiesysteem kiezen dat is gekoppeld aan een vast blok. We kiezen het coördinatensysteem zoals weergegeven in de afbeelding (de coördinatenas $Oy$ is rood gemarkeerd). Het is een inertiaal referentiekader omdat het stationair is ten opzichte van de aarde. Daarin worden de wetten van Newton vervuld.
1) Laten we de krachten tekenen die inwerken op een lichaam met massa $m$ (blauw aangegeven in de figuur): $m\vec(g_())$ - de zwaartekracht, altijd verticaal naar beneden gericht; $\vec(T_())$ is de spankracht van de draad, gericht langs de draad, weg van het lichaam.
2) Laten we de krachten tekenen die inwerken op een systeem dat bestaat uit een lichaam met een massa $3m$ en een bewegend blok (aangegeven in het groen in de figuur): $3m\vec(g_())$ - zwaartekracht; $\vec(T_())$ is de spankracht van de draad, gericht langs de draad, weg van het lichaam.
Laten we aannemen dat de gewichten bewegen zoals weergegeven in de figuur. De versnelling van een last met massa $3m$ noteren we als $\vec(a_1)$, en die van een last met massa $m$ als $\vec(a_2)$.
3) Volgens de tweede wet van Newton voor een lichaam met massa $m$: $\,\vec(R_2)=m\vec(a_2)$, dat wil zeggen $m\vec(g_())+\vec(T_ ( ) )= m\vec(a_2)$.
In projectie op de $Oy$-as:
$T-mg=ma_2\,\, (1). $
4) Volgens de tweede wet van Newton voor een lichaam met massa $3m$: $\,\vec(R_1)=3m\vec(a_1)$, is dat $3m\vec(g_())+2\vec(T_ ( ) ) =3m\vec(a_1)$.
In projectie op de $Oy$-as:
$2T-3mg=-3ma_1\,\, (2).$
5) Om het verband tussen de versnellingen $a_1$ en $a_2$ te vinden, moet je de kinematische verbinding van de lichamen begrijpen. Het beweegbare blok geeft een dubbele krachtwinst. Volgens de gouden regel van de mechanica is het aantal keren dat we winnen bij inspanning hetzelfde aantal keren dat we verliezen bij afstand. Dit betekent dat als een lichaam met massa $3m$ over een afstand $x$ valt, een lichaam met massa $m$ dus met $2x$ zal stijgen.
Het doel van de les: breid de oplossing van de directe en omgekeerde problemen van de mechanica uit tot het geval van beweging van een lichaam onder invloed van verschillende krachten en de beweging van gekoppelde lichamen.
Lestype: gecombineerd.
Lesplan: 1. Inleidend deel 1-2 min.
2. Onderzoek 15 min.
3. Uitleg 25 min.
4. Huiswerkopdracht 2-3 min.
II. Fundamentele vraag: Beweging onder invloed van wrijving.
Taken:
1. Wat moet de minimale wrijvingscoëfficiënt zijn tussen de banden van de twee achterste aandrijfwielen en het oppervlak van een hellende weg met een helling van 30 0 zodat een auto erlangs kan rijden met een versnelling van 0,6 m/s 2 ? De belasting op de wielen wordt gelijkmatig verdeeld. Verwaarloos de afmetingen van de auto.
2. Een blok met massa m vanuit een rusttoestand onder invloed van een kracht F gericht langs een horizontale tafel begint langs zijn oppervlak te bewegen. Na een tijd Δt 1 stopt de werking van de kracht F en na een tijd Δt 2 daarna stopt het blok. Wat is de wrijvingskracht die tijdens beweging op het blok inwerkt? Hoe ver zal het blok tijdens de gehele beweging bewegen?
3. Twee ballen met dezelfde diameter, met een massa van 1 kg en 2 kg, zijn met elkaar verbonden door een lichte en lange, niet-rekbare draad. De bal werd van een vrij grote hoogte boven de aarde gedropt. Zoek de spanning in de draad wanneer de ballen gestaag vallen.
Vragen:
- Hoe kunnen we verklaren dat wanneer de wielen van een diesellocomotief of auto slippen, de trekkracht aanzienlijk afneemt?
- Is de tijd die het kost om een verticaal gegooide steen te laten stijgen gelijk aan de tijd die nodig is om te vallen?
- Is het mogelijk om de gemiddelde windsnelheid te meten door een licht voorwerp vanaf een bepaalde hoogte te gooien? Een stukje watten bijvoorbeeld?
- Als de locomotief een zware trein niet van zijn plaats kan verplaatsen, gebruikt de machinist de volgende techniek: hij rijdt achteruit en duwt de trein een beetje achteruit en rijdt dan vooruit. Uitleggen.
- Het kraken van deurscharnieren en het zingen van een viool worden verklaard door het feit dat de maximale statische wrijvingskracht groter is dan de glijdende wrijvingskracht. Is dat zo?
- Waarom is de snelheid van regendruppels niet afhankelijk van de hoogte van de wolken en sterk van de grootte van de druppels?
- De valsnelheid van druppels uit één douche kan 10 keer variëren. Waarom?
- Waarom stijgt en landt een vliegtuig altijd tegen de wind in?
- Een steen wordt verticaal naar boven gegooid. Op welke punten in het traject zal de steen de maximale versnelling hebben als de luchtweerstand toeneemt met toenemende snelheid van de steen? Hoe zal de snelheid van de steen veranderen?
III. Leg uit met voorbeelden van problemen die door de leraar zijn opgelost.
Taken:
1. Met welke versnelling beweegt het blok langs een hellend vlak met een hellingshoek van 30° met een wrijvingscoëfficiënt van 0,2? Onder welke omstandigheden zal het blok verschuiven (tg α ≥ μ )? Beschouw beide gevallen: beweging naar boven, beweging naar beneden.
2. Het apparaat getoond in Fig. 1, waarbij twee gewichten worden ondersteund door een blok, wordt een Atwood-machine genoemd. Ervan uitgaande dat het blok geen massa of wrijving heeft, bereken dan: a) de versnelling van het systeem; b) draadspanning. Het controleren van de geldigheid van de tweede wet van Newton en het meten van de versnelling van de zwaartekracht met behulp van de Atwood-machine.
