Sinus scherpe hoek α van een rechthoekige driehoek is de verhouding tegenovergestelde been tot hypotenusa.
Het wordt als volgt aangegeven: sin α.
Cosinus De scherpe hoek α van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen het aangrenzende been en de hypotenusa.
Het wordt als volgt aangeduid: cos α.
Raaklijn scherpe hoek α is de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde.
Het wordt als volgt aangeduid: tg α.
Cotangens scherpe hoek α is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de tegenoverliggende zijde.
Het wordt als volgt aangeduid: ctg α.
De sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een hoek zijn alleen afhankelijk van de grootte van de hoek.
Reglement:
Basis trigonometrische identiteiten in een rechthoekige driehoek:
(α – scherpe hoek tegenover het been B en grenzend aan het been A . Kant Met – hypotenusa. β – tweede scherpe hoek).
B | zonde 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
B | 1 | |
A | 1 1 | |
zonde α |
Naarmate de scherpe hoek groter wordtzonde α entan α toename, encos α neemt af.
Voor elke scherpe hoek α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Voorbeeld-uitleg:
Teken een rechthoekige driehoek ABC
AB = 6,
BC = 3,
hoek A = 30º.
Laten we de sinus van hoek A en de cosinus van hoek B bepalen.
Oplossing .
1) Eerst vinden we de waarde van hoek B. Alles is hier eenvoudig: aangezien in een rechthoekige driehoek de som van de scherpe hoeken 90º is, dan is hoek B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Laten we zonde A berekenen. We weten dat de sinus gelijk is aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa. Voor hoek A is de tegenoverliggende zijde zijde BC. Dus:
BC 3 1
zonde A = -- = - = -
AB6 2
3) Laten we nu cos B berekenen. We weten dat de cosinus gelijk is aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Voor hoek B is het aangrenzende been dezelfde zijde BC. Dit betekent dat we BC opnieuw moeten delen door AB - dat wil zeggen, dezelfde acties moeten uitvoeren als bij het berekenen van de sinus van hoek A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB6 2
Het resultaat is:
zonde A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Hieruit volgt dat in een rechthoekige driehoek de sinus van de ene scherpe hoek gelijk is aan de cosinus van de andere scherpe hoek - en omgekeerd. Dit is precies wat onze twee formules betekenen:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Laten we hier nog eens voor zorgen:
1) Stel α = 60º. Als we de waarde van α in de sinusformule vervangen, krijgen we:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Stel α = 30º. Als we de waarde van α in de cosinusformule vervangen, krijgen we:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Zie de sectie Algebra voor meer informatie over trigonometrie)
Sinus en cosinus zijn oorspronkelijk ontstaan uit de noodzaak om hoeveelheden in rechthoekige driehoeken te berekenen. Het viel ons op dat als de graadmaat van de hoeken in een rechthoekige driehoek niet wordt veranderd, de aspectverhouding, ongeacht hoeveel deze zijden in lengte veranderen, altijd hetzelfde blijft.
Dit is hoe de concepten sinus en cosinus werden geïntroduceerd. De sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa, en de cosinus is de verhouding van de zijde grenzend aan de hypotenusa.
Stellingen van cosinussen en sinussen
Maar cosinussen en sinussen kunnen voor meer dan alleen rechthoekige driehoeken worden gebruikt. Om de waarde van een stompe of scherpe hoek of zijde van een driehoek te vinden, volstaat het om de stelling van cosinus en sinus toe te passen.
De cosinusstelling is vrij eenvoudig: “Het kwadraat van een zijde van een driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden minus tweemaal het product van die zijden en de cosinus van de hoek daartussen.”
Er zijn twee interpretaties van de sinusstelling: klein en uitgebreid. Volgens de minderjarige: “In een driehoek zijn de hoeken evenredig met de tegenoverliggende zijden.” Deze stelling wordt vaak uitgebreid vanwege de eigenschap van de omgeschreven cirkel van een driehoek: "In een driehoek zijn de hoeken evenredig met de tegenoverliggende zijden, en hun verhouding is gelijk aan de diameter van de omgeschreven cirkel."
Derivaten
De afgeleide is een wiskundig hulpmiddel dat laat zien hoe snel een functie verandert ten opzichte van een verandering in zijn argument. Derivaten worden gebruikt in de meetkunde en in een aantal technische disciplines.
Bij het oplossen van problemen moet u de tabelwaarden kennen van de afgeleiden van trigonometrische functies: sinus en cosinus. De afgeleide van een sinus is een cosinus, en een cosinus is een sinus, maar met een minteken.
Toepassing in de wiskunde
Sinus en cosinus worden vooral vaak gebruikt bij het oplossen van rechthoekige driehoeken en daarmee samenhangende problemen.
Het gemak van sinus en cosinus zie je ook terug in de techniek. Hoeken en zijden waren gemakkelijk te evalueren met behulp van de cosinus- en sinusstellingen, waardoor complexe vormen en objecten in ‘eenvoudige’ driehoeken werden opgedeeld. Ingenieurs die zich vaak bezighouden met berekeningen van aspectverhoudingen en gradenmetingen, hebben veel tijd en moeite besteed aan het berekenen van de cosinus en sinus van niet-tabelvormige hoeken.
Toen kwamen Bradis-tabellen te hulp, met daarin duizenden waarden van sinussen, cosinussen, raaklijnen en cotangensen van verschillende hoeken. In de Sovjettijd dwongen sommige leraren hun leerlingen om pagina's van Bradis-tabellen uit het hoofd te leren.
Radiaal is de hoekwaarde van een boog waarvan de lengte gelijk is aan de straal of 57,295779513° graden.
Graad (in geometrie) - 1/360ste deel van een cirkel of 1/90ste deel van een rechte hoek.
π = 3,141592653589793238462… (geschatte waarde van Pi).
Wat sinus, cosinus, raaklijn, cotangens van een hoek is, zal je helpen een rechthoekige driehoek te begrijpen.
Hoe heten de zijden van een rechthoekige driehoek? Dat klopt, hypotenusa en benen: de hypotenusa is de zijde die tegenover de rechte hoek ligt (in ons voorbeeld is dit de zijde \(AC\)); benen zijn de twee overgebleven zijden \(AB\) en \(BC\) (die grenzen aan de rechte hoek), en als we de benen beschouwen ten opzichte van de hoek \(BC\), dan is been \(AB\) het aangrenzende been, en been \(BC\) ligt er tegenover. Laten we nu de vraag beantwoorden: wat zijn sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek?
Sinus van hoek– dit is de verhouding van het tegenovergestelde (verre) been tot de hypotenusa.
In onze driehoek:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus van hoek– dit is de verhouding van het aangrenzende (nabije) been tot de hypotenusa.
In onze driehoek:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Raaklijn van de hoek– dit is de verhouding van de tegenoverliggende (verre) zijde tot de aangrenzende (dichtbij).
In onze driehoek:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangens van hoek– dit is de verhouding tussen het aangrenzende (dichtbij) been en het tegenovergestelde (ver).
In onze driehoek:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Deze definities zijn noodzakelijk herinneren! Om het gemakkelijker te maken om te onthouden welk been je in wat moet verdelen, moet je dat duidelijk begrijpen raaklijn En cotangens alleen de benen zitten en de hypotenusa verschijnt alleen in sinus En cosinus. En dan kun je een keten van associaties bedenken. Deze bijvoorbeeld:
Cosinus → aanraking → aanraking → aangrenzend;
Cotangent → aanraking → aanraking → aangrenzend.
Allereerst moet je onthouden dat sinus, cosinus, raaklijn en cotangens, aangezien de verhoudingen van de zijden van een driehoek niet afhankelijk zijn van de lengtes van deze zijden (onder dezelfde hoek). Niet geloven? Zorg er dan voor dat je naar de foto kijkt:
Beschouw bijvoorbeeld de cosinus van de hoek \(\beta \) . Per definitie, vanuit een driehoek \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), maar we kunnen de cosinus van de hoek \(\beta \) berekenen uit de driehoek \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Zie je, de lengtes van de zijden zijn verschillend, maar de waarde van de cosinus van één hoek is hetzelfde. De waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn dus uitsluitend afhankelijk van de grootte van de hoek.
Als je de definities begrijpt, ga je gang en consolideer ze!
Voor de driehoek \(ABC \) in onderstaande figuur vinden we \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matrix) \)
Nou, heb je het begrepen? Probeer het dan zelf: bereken hetzelfde voor de hoek \(\beta \) .
Antwoorden: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Eenheid (trigonometrische) cirkel
Omdat we de concepten graden en radialen begrepen, overwogen we een cirkel met een straal gelijk aan \(1\) . Zo’n cirkel heet enkel. Het zal erg handig zijn bij het bestuderen van trigonometrie. Laten we het daarom wat gedetailleerder bekijken.
Zoals je kunt zien, is deze cirkel geconstrueerd in het Cartesiaanse coördinatensysteem. De straal van de cirkel is gelijk aan één, terwijl het middelpunt van de cirkel op de oorsprong van de coördinaten ligt, de beginpositie van de straalvector ligt vast langs de positieve richting van de \(x\)-as (in ons voorbeeld is dit is de straal \(AB\)).
Elk punt op de cirkel komt overeen met twee getallen: de coördinaat langs de \(x\)-as en de coördinaat langs de \(y\)-as. Wat zijn deze coördinaatnummers? En wat hebben ze in het algemeen met het onderwerp te maken? Om dit te doen, moeten we ons de beschouwde rechthoekige driehoek herinneren. In de afbeelding hierboven zie je twee hele rechthoekige driehoeken. Beschouw de driehoek \(ACG\) . Het is rechthoekig omdat \(CG\) loodrecht staat op de \(x\)-as.
Wat is \(\cos \ \alpha \) uit de driehoek \(ACG \)? Dat is juist \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bovendien weten we dat \(AC\) de straal is van de eenheidscirkel, wat betekent \(AC=1\) . Laten we deze waarde vervangen door onze formule voor cosinus. Dit is wat er gebeurt:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Waar is \(\sin \ \alpha \) uit de driehoek \(ACG \) gelijk aan? Ja natuurlijk, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Vervang de waarde van de straal \(AC\) in deze formule en krijg:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Kun je dus vertellen welke coördinaten het punt \(C\) dat bij de cirkel hoort heeft? Nou ja, echt niet? Wat als je beseft dat \(\cos \ \alpha \) en \(\sin \alpha \) slechts getallen zijn? Met welke coördinaat komt \(\cos \alpha \) overeen? Nou ja, natuurlijk, de coördinaat \(x\)! En met welke coördinaat komt \(\sin \alpha \) overeen? Dat klopt, coördinaat \(y\)! Dus het punt \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Waar zijn \(tg \alpha \) en \(ctg \alpha \) dan gelijk aan? Dat klopt, laten we de overeenkomstige definities van raaklijn en cotangens gebruiken en die achterhalen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Wat als de hoek groter is? Bijvoorbeeld zoals op deze foto:
Wat is er veranderd in dit voorbeeld? Laten we het uitzoeken. Om dit te doen, gaan we opnieuw naar een rechthoekige driehoek. Beschouw een rechthoekige driehoek \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : hoek (aangrenzend aan hoek \(\beta \) ). Wat is de waarde van sinus, cosinus, tangens en cotangens voor een hoek \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\bèta \ \)? Dat klopt, we houden ons aan de overeenkomstige definities van trigonometrische functies:
\(\begin(matrix)(l)\sin \hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\hoek ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrix) \)
Zoals je kunt zien, komt de waarde van de sinus van de hoek nog steeds overeen met de coördinaat \(y\) ; de waarde van de cosinus van de hoek - coördinaat \(x\) ; en de waarden van raaklijn en cotangens met de overeenkomstige verhoudingen. Deze relaties zijn dus van toepassing op elke rotatie van de straalvector.
Er is al vermeld dat de beginpositie van de straalvector langs de positieve richting van de \(x\)-as ligt. Tot nu toe hebben we deze vector tegen de klok in geroteerd, maar wat gebeurt er als we hem met de klok mee draaien? Niets bijzonders, je krijgt ook een hoek van een bepaalde waarde, maar deze is alleen negatief. Wanneer we de straalvector tegen de klok in draaien, krijgen we dus positieve hoeken, en bij draaien met de klok mee – negatief.
We weten dus dat de hele omwenteling van de straalvector rond de cirkel \(360()^\circ \) of \(2\pi \) is. Is het mogelijk om de straalvector te roteren met \(390()^\circ \) of met \(-1140()^\circ \)? Nou, natuurlijk kan dat! In het eerste geval, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dus de straalvector zal één volledige omwenteling maken en stoppen op de positie \(30()^\circ \) of \(\dfrac(\pi )(6) \) .
In het tweede geval \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), dat wil zeggen dat de straalvector drie volledige omwentelingen zal maken en zal stoppen op de positie \(-60()^\circ \) of \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Uit de bovenstaande voorbeelden kunnen we dus concluderen dat hoeken die verschillen met \(360()^\circ \cdot m \) of \(2\pi \cdot m \) (waarbij \(m \) een geheel getal is), corresponderen met dezelfde positie van de straalvector.
De onderstaande figuur toont de hoek \(\beta =-60()^\circ \) . Hetzelfde beeld komt overeen met de hoek \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) enz. Deze lijst kan voor onbepaalde tijd worden voortgezet. Al deze hoeken kunnen worden geschreven met de algemene formule \(\beta +360()^\circ \cdot m\) of \(\beta +2\pi \cdot m \) (waarbij \(m \) een geheel getal is)
\(\begin(matrix)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Nu u de definities van de fundamentele trigonometrische functies kent en de eenheidscirkel gebruikt, probeert u te beantwoorden wat de waarden zijn:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Hier is een eenheidscirkel om je te helpen:
Heeft u problemen? Laten we het dan uitzoeken. Dus we weten dat:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(matrix)\)
Vanaf hier bepalen we de coördinaten van de punten die overeenkomen met bepaalde hoekmetingen. Laten we in volgorde beginnen: de hoek in \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) komt overeen met een punt met coördinaten \(\left(0;1 \right) \) , dus:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 90()^\circ \)- bestaat niet;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Verder ontdekken we, volgens dezelfde logica, dat de hoeken naar binnen gaan \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponderen met punten met coördinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \rechts) \) respectievelijk. Als je dit weet, is het eenvoudig om de waarden van trigonometrische functies op de overeenkomstige punten te bepalen. Probeer het eerst zelf en controleer dan de antwoorden.
Antwoorden:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rechtspijl \text(ctg)\ \pi \)- bestaat niet
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 270()^\circ \)- bestaat niet
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(ctg)\ 2\pi \)- bestaat niet
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 450()^\circ \)- bestaat niet
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Zo kunnen we de volgende tabel maken:
Het is niet nodig om al deze waarden te onthouden. Het is voldoende om de correspondentie te onthouden tussen de coördinaten van punten op de eenheidscirkel en de waarden van trigonometrische functies:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Je moet het onthouden of kunnen weergeven!! \) !}
Maar de waarden van de trigonometrische functies van hoeken in en \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) zoals weergegeven in de onderstaande tabel, moet u het volgende onthouden:
Wees niet bang, nu laten we je een voorbeeld zien van een vrij eenvoudige memorisatie van de overeenkomstige waarden:
Om deze methode te gebruiken, is het essentieel om de sinuswaarden voor alle drie hoekmetingen te onthouden ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), evenals de waarde van de tangens van de hoek in \(30()^\circ \) . Als u deze \(4\)-waarden kent, is het vrij eenvoudig om de hele tabel te herstellen - de cosinuswaarden worden overgedragen in overeenstemming met de pijlen, dat wil zeggen:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\einde(matrix)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Als u dit weet, kunt u de waarden voor herstellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). De teller "\(1 \)" komt overeen met \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) en de noemer "\(\sqrt(\text(3)) \)" komt overeen met \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Cotangenswaarden worden overgedragen volgens de pijlen aangegeven in de figuur. Als u dit begrijpt en het diagram met de pijlen onthoudt, is het voldoende om alleen \(4\)-waarden uit de tabel te onthouden.
Coördinaten van een punt op een cirkel
Is het mogelijk om een punt (de coördinaten) op een cirkel te vinden, terwijl je de coördinaten van het middelpunt van de cirkel, de straal en de rotatiehoek kent? Nou ja, natuurlijk kan dat! Laten we een algemene formule afleiden voor het vinden van de coördinaten van een punt. Hier ziet u bijvoorbeeld een cirkel voor ons:
Dat punt is ons gegeven \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- middelpunt van de cirkel. De straal van de cirkel is \(1.5\) . Het is noodzakelijk om de coördinaten van het punt \(P\) te vinden, verkregen door het punt \(O\) met \(\delta \) graden te draaien.
Zoals uit de figuur blijkt, komt de coördinaat \(x\) van het punt \(P\) overeen met de lengte van het segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . De lengte van het segment \(UK\) komt overeen met de coördinaat \(x\) van het middelpunt van de cirkel, dat wil zeggen, het is gelijk aan \(3\) . De lengte van het segment \(KQ\) kan worden uitgedrukt met behulp van de definitie van cosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Pijl naar rechts KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Dan hebben we voor het punt \(P\) de coördinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Met dezelfde logica vinden we de waarde van de y-coördinaat voor het punt \(P\) . Dus,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Over het algemeen worden de coördinaten van punten dus bepaald door de formules:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Waar
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coördinaten van het middelpunt van de cirkel,
\(r\) - straal van de cirkel,
\(\delta \) - rotatiehoek van de vectorradius.
Zoals je kunt zien, zijn deze formules voor de eenheidscirkel die we overwegen aanzienlijk verminderd, omdat de coördinaten van het centrum gelijk zijn aan nul en de straal gelijk is aan één:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript is uitgeschakeld in uw browser.Om berekeningen uit te voeren, moet u ActiveX-besturingselementen inschakelen!
Trigonometrie is een tak van de wiskundige wetenschap die goniometrische functies en hun gebruik in de meetkunde bestudeert. De ontwikkeling van trigonometrie begon in het oude Griekenland. Tijdens de middeleeuwen hebben wetenschappers uit het Midden-Oosten en India belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van deze wetenschap.
Dit artikel is gewijd aan de basisconcepten en definities van trigonometrie. Het bespreekt de definities van de fundamentele trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens en cotangens. Hun betekenis wordt uitgelegd en geïllustreerd in de context van de geometrie.
Aanvankelijk werden de definities van trigonometrische functies waarvan het argument een hoek is, uitgedrukt in termen van de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek.
Definities van trigonometrische functies
De sinus van een hoek (sin α) is de verhouding van het been tegenover deze hoek tot de hypotenusa.
Cosinus van de hoek (cos α) is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.
Hoektangens (t g α) - de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde.
Hoek cotangens (c t g α) - de verhouding van de aangrenzende zijde tot de tegenoverliggende zijde.
Deze definities worden gegeven voor de scherpe hoek van een rechthoekige driehoek!
Laten we een illustratie geven.
In driehoek ABC met rechte hoek C is de sinus van hoek A gelijk aan de verhouding van been BC tot hypotenusa AB.
Met de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens kunt u de waarden van deze functies berekenen op basis van de bekende lengtes van de zijden van de driehoek.
Belangrijk om te onthouden!
Het waardenbereik van sinus en cosinus is van -1 tot 1. Met andere woorden, sinus en cosinus nemen waarden aan van -1 tot 1. Het bereik van waarden van raaklijn en cotangens is de gehele getallenlijn, dat wil zeggen dat deze functies elke waarde kunnen aannemen.
De hierboven gegeven definities zijn van toepassing op scherpe hoeken. In trigonometrie wordt het concept van een rotatiehoek geïntroduceerd, waarvan de waarde, in tegenstelling tot een scherpe hoek, niet beperkt is tot 0 tot 90 graden, en wordt uitgedrukt door een reëel getal van - ∞ tot + ∞ .
In deze context kunnen we sinus, cosinus, tangens en cotangens definiëren van een hoek van willekeurige grootte. Laten we ons een eenheidscirkel voorstellen waarvan het middelpunt de oorsprong is van het cartesiaanse coördinatensysteem.
Het initiële punt A met coördinaten (1, 0) roteert rond het middelpunt van de eenheidscirkel over een bepaalde hoek α en gaat naar punt A 1. De definitie wordt gegeven in termen van de coördinaten van punt A 1 (x, y).
Sinus (sin) van de rotatiehoek
De sinus van de rotatiehoek α is de ordinaat van punt A 1 (x, y). zonde α = y
Cosinus (cos) van de rotatiehoek
De cosinus van de rotatiehoek α is de abscis van punt A 1 (x, y). cos α = x
Raaklijn (tg) van de rotatiehoek
De raaklijn van de rotatiehoek α is de verhouding van de ordinaat van punt A 1 (x, y) tot zijn abscis. tg α = y x
Cotangens (ctg) van de rotatiehoek
De cotangens van de rotatiehoek α is de verhouding van de abscis van punt A 1 (x, y) tot zijn ordinaat. c t g α = x y
Sinus en cosinus worden voor elke rotatiehoek gedefinieerd. Dit is logisch, omdat de abscis en ordinaat van een punt na rotatie onder elke hoek kunnen worden bepaald. De situatie is anders bij raaklijn en cotangens. De raaklijn is ongedefinieerd wanneer een punt na rotatie naar een punt gaat met een abscis nul (0, 1) en (0, - 1). In dergelijke gevallen is de uitdrukking voor raaklijn t g α = y x eenvoudigweg niet logisch, omdat deze een deling door nul bevat. De situatie is vergelijkbaar met cotangens. Het verschil is dat de cotangens niet wordt gedefinieerd in gevallen waarin de ordinaat van een punt naar nul gaat.
Belangrijk om te onthouden!
Sinus en cosinus zijn gedefinieerd voor alle hoeken α.
De raaklijn is gedefinieerd voor alle hoeken behalve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangens is gedefinieerd voor alle hoeken behalve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Zeg bij het oplossen van praktijkvoorbeelden niet “sinus van de rotatiehoek α”. De woorden “rotatiehoek” zijn simpelweg weggelaten, wat impliceert dat uit de context al duidelijk is wat er wordt besproken.
Nummers
Hoe zit het met de definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal, en niet de rotatiehoek?
Sinus, cosinus, tangens, cotangens van een getal
Sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal T is een getal dat respectievelijk gelijk is aan sinus, cosinus, tangens en cotangens T radiaal.
De sinus van het getal 10 π is bijvoorbeeld gelijk aan de sinus van de rotatiehoek van 10 π rad.
Er is een andere benadering voor het bepalen van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal. Laten we het eens nader bekijken.
Elk reëel getal T een punt op de eenheidscirkel is geassocieerd met het middelpunt aan de oorsprong van het rechthoekige Cartesiaanse coördinatensysteem. Sinus, cosinus, raaklijn en cotangens worden bepaald door de coördinaten van dit punt.
Het startpunt op de cirkel is punt A met coördinaten (1, 0).
Positief nummer T
Negatief nummer T komt overeen met het punt waarnaar het startpunt zal gaan als het tegen de klok in rond de cirkel beweegt en het pad t passeert.
Nu het verband tussen een getal en een punt op een cirkel is gelegd, gaan we verder met de definitie van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens.
Sine (zonde) van t
Sinus van een getal T- ordinaat van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. zonde t = y
Cosinus (cos) van t
Cosinus van een getal T- abscis van het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. kosten t = x
Raaklijn (tg) van t
Tangens van een getal T- de verhouding van de ordinaat tot de abscis van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. t g t = y x = sin t cos t
De meest recente definities zijn in overeenstemming met en zijn niet in tegenspraak met de definitie die aan het begin van deze paragraaf is gegeven. Wijs op de cirkel die overeenkomt met het nummer T, valt samen met het punt waarnaar het startpunt gaat na een hoekverdraaiing T radiaal.
Trigonometrische functies van hoekige en numerieke argumenten
Elke waarde van de hoek α komt overeen met een bepaalde waarde van de sinus en cosinus van deze hoek. Net als alle hoeken α anders dan α = 90 ° + 180 ° k, corresponderen k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) met een bepaalde raakwaarde. Cotangens, zoals hierboven vermeld, wordt gedefinieerd voor alle α behalve α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
We kunnen zeggen dat sin α, cos α, t g α, c t g α functies zijn van de hoek alpha, of functies van het hoekargument.
Op dezelfde manier kunnen we praten over sinus, cosinus, tangens en cotangens als functies van een numeriek argument. Elk reëel getal T komt overeen met een bepaalde waarde van de sinus of cosinus van een getal T. Alle andere getallen dan π 2 + π · k, k ∈ Z komen overeen met een raakwaarde. Cotangens wordt op dezelfde manier gedefinieerd voor alle getallen behalve π · k, k ∈ Z.
Basisfuncties van trigonometrie
Sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn de fundamentele trigonometrische functies.
Uit de context blijkt meestal duidelijk met welk argument van de goniometrische functie (hoekargument of numeriek argument) we te maken hebben.
Laten we terugkeren naar de definities die aan het begin zijn gegeven en de alfahoek, die in het bereik van 0 tot 90 graden ligt. De trigonometrische definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn volledig consistent met de geometrische definities die worden gegeven door de aspectverhoudingen van een rechthoekige driehoek. Laten we het laten zien.
Laten we een eenheidscirkel nemen met een middelpunt in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem. Laten we het startpunt A (1, 0) over een hoek van maximaal 90 graden roteren en een loodlijn op de abscis-as tekenen vanaf het resulterende punt A 1 (x, y). In de resulterende rechthoekige driehoek is de hoek A 1 O H gelijk aan de rotatiehoek α, de lengte van het been O H is gelijk aan de abscis van het punt A 1 (x, y). De lengte van het been tegenover de hoek is gelijk aan de ordinaat van het punt A 1 (x, y), en de lengte van de hypotenusa is gelijk aan één, aangezien dit de straal is van de eenheidscirkel.
In overeenstemming met de definitie uit de meetkunde is de sinus van hoek α gelijk aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa.
zonde α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Dit betekent dat het bepalen van de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek via de aspectverhouding gelijkwaardig is aan het bepalen van de sinus van de rotatiehoek α, waarbij alpha in het bereik van 0 tot 90 graden ligt.
Op dezelfde manier kan de overeenkomst van definities worden getoond voor cosinus, tangens en cotangens.
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
Voorbeelden:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argumentatie en betekenis
Cosinus van een scherpe hoek
Cosinus van een scherpe hoek kan worden bepaald met behulp van een rechthoekige driehoek - deze is gelijk aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.
Voorbeeld :
1) Laat een hoek gegeven worden en we moeten de cosinus van deze hoek bepalen.
2) Laten we een willekeurige rechthoekige driehoek op deze hoek voltooien.
3) Nadat we de vereiste zijden hebben gemeten, kunnen we de cosinus berekenen.
De cosinus van een scherpe hoek is groter dan \(0\) en kleiner dan \(1\)
Als bij het oplossen van een probleem de cosinus van een scherpe hoek groter dan 1 of negatief blijkt te zijn, dan zit er ergens een fout in de oplossing.
Cosinus van een getal
Met de getallencirkel kun je de cosinus van elk getal bepalen, maar meestal vind je de cosinus van getallen op de een of andere manier gerelateerd aan: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Voor het getal \(\frac(π)(6)\) - zal de cosinus bijvoorbeeld gelijk zijn aan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . En voor het getal \(-\)\(\frac(3π)(4)\) is dit gelijk aan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ongeveer \ (-0,71\)).
Voor cosinus voor andere getallen die je in de praktijk vaak tegenkomt, zie.
De cosinuswaarde ligt altijd in het bereik van \(-1\) tot \(1\). In dit geval kan de cosinus voor absoluut elke hoek en elk getal worden berekend.
Cosinus van elke hoek
Dankzij de getallencirkel kun je niet alleen de cosinus van een scherpe hoek bepalen, maar ook van een stompe, negatieve en zelfs groter dan \(360°\) (volledige omwenteling). Hoe je dit doet, is gemakkelijker één keer te zien dan \(100\) keer te horen, dus kijk naar de afbeelding.
Nu een uitleg: stel dat we de cosinus van de hoek moeten bepalen KOA met gradenmaat in \(150°\). Het punt combineren OVER met het middelpunt van de cirkel en de zijkant OK– met de \(x\)-as. Zet hierna \(150°\) tegen de klok in opzij. Dan de ordinaat van het punt A zal ons de cosinus van deze hoek laten zien.
Als we geïnteresseerd zijn in een hoek met een graadmaat, bijvoorbeeld in \(-60°\) (angle KOV), doe hetzelfde, maar stel \(60°\) met de klok mee.
En ten slotte is de hoek groter dan \(360°\) (hoek CBS) - alles is vergelijkbaar met de domme, alleen nadat we een volledige draai met de klok mee hebben gemaakt, gaan we naar de tweede cirkel en "krijgen we het gebrek aan graden". Concreet wordt in ons geval de hoek \(405°\) uitgezet als \(360° + 45°\).
Het is gemakkelijk te raden dat om een hoek in bijvoorbeeld \(960°\) te plotten, je twee bochten moet maken (\(360°+360°+240°\)), en voor een hoek in \(2640 °\) - hele zeven.
Het is de moeite waard om te onthouden dat:
De cosinus van een rechte hoek is nul. De cosinus van een stompe hoek is negatief.
Cosinustekens met kwartalen
Met behulp van de cosinus-as (dat wil zeggen de abscis-as, rood gemarkeerd in de figuur), is het eenvoudig om de tekens van de cosinus langs de numerieke (trigonometrische) cirkel te bepalen:
Waar de waarden op de as van \(0\) tot \(1\) liggen, zal de cosinus een plusteken hebben (I en IV kwartalen - groen gebied),
- waar de waarden op de as van \(0\) tot \(-1\) liggen, zal de cosinus een minteken hebben (kwartjes II en III - paars gebied).
Voorbeeld.
Bepaal het teken van \(\cos 1\).
Oplossing:
Laten we \(1\) vinden op de trigonometrische cirkel. We gaan ervan uit dat \(π=3.14\). Dit betekent dat men ongeveer drie keer dichter bij nul is (het “startpunt”).
Als je een loodlijn op de cosinus-as tekent, wordt het duidelijk dat \(\cos1\) positief is.
Antwoord:
plus.
Relatie met andere trigonometrische functies:
- dezelfde hoek (of hetzelfde getal): de trigonometrische basisidentiteit \(\sin^2x+\cos^2x=1\)- dezelfde hoek (of hetzelfde getal): met de formule \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- en de sinus van dezelfde hoek (of hetzelfde getal): de formule \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Voor andere meest gebruikte formules, zie.
Functie \(y=\cos(x)\)
Als we de hoeken in radialen langs de \(x\)-as uitzetten, en de cosinuswaarden die overeenkomen met deze hoeken langs de \(y\)-as, krijgen we de volgende grafiek:
Deze grafiek wordt genoemd en heeft de volgende eigenschappen:
Het definitiedomein is elke waarde van x: \(D(\cos(x))=R\)
- bereik van waarden – van \(-1\) tot en met \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- zelfs: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- periodiek met punt \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- snijpunten met coördinaatassen:
abscis-as: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), waarbij \(n ϵ Z\)
Y-as: \((0;1)\)
- intervallen van constantheid van teken:
de functie is positief op de intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie is negatief op de intervallen: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), waarbij \(n ϵ Z\)
- intervallen van stijging en daling:
de functie neemt toe op de intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie neemt af op de intervallen: \((2πn;π+2πn)\), waarbij \(n ϵ Z\)
- maxima en minima van de functie:
de functie heeft een maximale waarde \(y=1\) op punten \(x=2πn\), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie heeft een minimumwaarde \(y=-1\) op punten \(x=π+2πn\), waarbij \(n ϵ Z\).
