O mulțime de numere iraționale sunt de obicei indicate printr-o literă latină cu majuscule I (\ displaystyle \ mathbb (I)) cu aldine, fără umplere. Prin urmare: I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), adică mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.
Matematicienii antici știau deja despre existența numerelor iraționale, mai exact, segmente incomensurabile cu un segment de lungime unitară: știau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalului și a laturii unui pătrat, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea unui număr.
Colegiat YouTube
-
1 / 5
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi ale iraționalității
Rădăcina a 2
Să presupunem opusul: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) rațional, adică reprezentat ca o fracțiune m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Unde m (\ displaystyle m) este un număr întreg și n (\ displaystyle n)- numar natural .
Să pătrăm egalitatea presupusă:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ Rightarrow m ^ (2) = 2n ^ (2)).Istorie
Antichitate
Conceptul numerelor iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi explicite exprimat [ ] .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapont (c. 500 î.Hr.), un pitagoric. La vremea pitagoreicilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment [ ] .
Nu există date exacte despre iraționalitatea numărului care a fost dovedit de Hippasus. Conform legendei, el a găsit-o studiind lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că a fost raportul auriu [ ] .
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile aalogos(nespus), însă, conform legendelor, nu i-au acordat lui Hippas respectul pe care îl merita. Legenda spune că Hippasus a făcut o descoperire în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru crearea unui element al universului care neagă doctrina că toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și la relațiile lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagorică, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii conform căreia numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabilă.
Număr irațional- Acest numar real, care nu este rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție, unde sunt numere întregi. Un număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.
O mulțime de numere iraționale sunt de obicei indicate printr-o literă latină cu majuscule, cu caractere aldine, fără completare. Astfel: adică ansamblul numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.
Cu privire la existența numerelor iraționale, mai exact segmente incomensurabile cu un segment de lungime unitară erau deja cunoscute de matematicienii antici: știau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii unui pătrat, ceea ce echivalează cu iraționalitatea unui număr.
Proprietăți
- Orice număr real poate fi scris sub forma unei fracții zecimale infinite, în timp ce numerele iraționale și numai acestea sunt scrise în fracții zecimale infinite periodice.
- Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind în setul numerelor raționale, care nu au cel mai mare număr din clasa inferioară, iar clasa superioară nu are cel mai mic număr.
- Fiecare număr transcendental real este irațional.
- Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.
- Setul de numere iraționale este peste tot dens pe linia numerică: există un număr irațional între oricare două numere.
- Ordinea pe mulțimea numerelor iraționale este izomorfă pentru ordinea pe mulțimea numerelor reale transcendentale.
- Setul de numere iraționale este de nenumărat, este un set din a doua categorie.
Exemple de
Numere irationale
- ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - -Iraționale sunt:
Exemple de dovezi ale iraționalității
Rădăcina a 2
Să presupunem opusul: rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde este un număr întreg și este un număr natural. Să pătrăm egalitatea presupusă:
.De aici rezultă că înseamnă chiar și și. Să fie, unde este întregul. Apoi
Prin urmare, chiar înseamnă chiar și. Am obținut acest lucru și suntem uniformi, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției. Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost greșită și - un număr irațional.
Logaritm binar de 3
Să presupunem opusul: rațional, adică reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Deoarece, și poate fi ales pozitiv. Apoi
Dar pare și ciudat. Avem o contradicție.
e
Istorie
Conceptul numerelor iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61 nu pot fi exprimate în mod explicit .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapont (c. 500 î.Hr.), un pitagoric care a găsit această dovadă studiind lungimile laterale ale pentagramei. În vremea pitagoreicilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intră în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a demonstrat că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi unghiular isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea hipotenuzei și lungimea piciorului unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca fiind cel mai mic posibil.
- Prin teorema lui Pitagora: A² = 2 b².
- La fel de A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- Pentru că A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- La fel de A chiar, denotați A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², deci b Este uniform, atunci b chiar.
- Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile aalogos(inefabili), însă, conform legendelor, nu i-au acordat lui Hippas respectul pe care îl merita. Legenda spune că Hippasus a făcut o descoperire în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagorici „pentru crearea unui element al universului care neagă doctrina că toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și la relațiile lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagorică, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii conform căreia numerele și obiectele geometrice sunt una și indivizibilă.
Și și-au tras rădăcinile din cuvântul latin „raport”, care înseamnă „minte”. Bazat pe traducerea literală:
- Un număr rațional este un „număr rezonabil”.
- Un număr irațional este, în consecință, un „număr nerezonabil”.
Conceptul general al unui număr rațional
Un număr rațional este numărul care poate fi scris ca:
- Fracția pozitivă obișnuită.
- Fracție comună negativă.
- Ca număr zero (0).
Cu alte cuvinte, următoarele definiții sunt potrivite pentru un număr rațional:
- Orice număr natural este inerent rațional, deoarece orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.
- Orice număr întreg, inclusiv numărul zero, deoarece orice număr întreg poate fi scris atât ca o fracție ordinară pozitivă, ca o fracție ordinară negativă, și ca un număr zero.
- Orice fracție obișnuită, și aici nu contează dacă este pozitivă sau negativă, abordează, de asemenea, direct definiția unui număr rațional.
- Definiția include, de asemenea, un număr mixt, o fracție zecimală finită sau o fracție periodică infinită.
Exemple de numere raționale
Luați în considerare câteva exemple de numere raționale:
- Numere naturale - „4”, „202”, „200”.
- Numere întregi - „-36”, „0”, „42”.
- Fracții obișnuite.
Din exemplele de mai sus, este destul de clar că numerele raționale pot fi atât pozitive, cât și negative... Bineînțeles, numărul 0 (zero), care este și un număr rațional, în același timp nu aparține categoriei numerelor pozitive sau negative.
Prin urmare, aș dori să reamintesc programului de educație generală folosind următoarea definiție: "Numere raționale" sunt acele numere care pot fi scrise ca o fracție x / y, unde x (numărător) este un număr întreg, iar y (numitor) este un numar natural.
Conceptul general și definiția unui număr irațional
Pe lângă „numerele raționale” știm și așa-numitele „numere iraționale”. Să încercăm pe scurt să definim aceste numere.
Chiar și matematicienii antici, dorind să calculeze diagonala unui pătrat de-a lungul laturilor sale, au aflat despre existența unui număr irațional.
Pe baza definiției numerelor raționale, puteți construi un lanț logic și defini un număr irațional.
Deci, de fapt, acele numere reale care nu sunt raționale sunt elementare și sunt numere iraționale.
Fracțiile zecimale, care exprimă numere iraționale, nu sunt periodice și infinite.
Exemple de numere iraționale
Să considerăm un mic exemplu de număr irațional pentru claritate. După cum am înțeles deja, fracțiile zecimale non-periodice infinite sunt numite iraționale, de exemplu:
- Numărul „-5,020020002 ... (puteți vedea clar că cele două sunt separate printr-o succesiune de zero, unu, doi, trei etc.)
- Numărul "7,040044000444 ... (aici este clar că numărul de patru și numărul de zerouri de fiecare dată când lanțul crește cu unul).
- Cunoscutul număr Pi (3.1415 ...). Da, da - este și irațional.
În general, toate numerele reale sunt atât raționale, cât și iraționale. În termeni simpli, un număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită x / y.
Concluzie generală și scurtă comparație între numere
Am considerat fiecare număr separat, există o diferență între un număr rațional și unul irațional:
- Un număr irațional apare atunci când se extrage rădăcina pătrată, se împarte un cerc la diametrul său etc.
- Un număr rațional reprezintă o fracție obișnuită.
Să încheiem articolul nostru cu mai multe definiții:
- O operație aritmetică efectuată pe un număr rațional, pe lângă împărțirea la 0 (zero), în rezultatul final va duce și la un număr rațional.
- Rezultatul final, atunci când se efectuează o operație aritmetică pe un număr irațional, poate duce atât la o valoare rațională, cât și la o valoare irațională.
- Dacă ambele numere participă la operația aritmetică (cu excepția divizării sau multiplicării cu zero), atunci rezultatul ne va da un număr irațional.
Definiția unui număr irațional
Irațional sunt numere care, în notație zecimală, sunt fracții zecimale neperiodice infinite.
Deci, de exemplu, numerele obținute prin extragerea rădăcinii pătrate a numerelor naturale sunt iraționale și nu sunt pătrate ale numerelor naturale. Dar nu toate numerele iraționale sunt obținute prin extragerea rădăcinilor pătrate, deoarece numărul pi obținut prin împărțire este, de asemenea, irațional și este puțin probabil să-l obțineți încercând să extrageți rădăcina pătrată a unui număr natural.
Proprietățile numerelor iraționale
Spre deosebire de numerele scrise în fracții zecimale infinite, numai numerele iraționale sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
Suma a două numere iraționale non-negative poate ajunge ca un număr rațional.
Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind în setul numerelor raționale, în clasa inferioară care nu au cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există una mai mică.
Orice număr transcendental real este irațional.
Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
Setul de numere iraționale pe o linie dreaptă sunt dens ambalate și între oricare dintre numerele sale trebuie să existe un număr irațional.
Setul de numere iraționale este infinit, nenumărat și este un set din a doua categorie.
Când se efectuează orice operație aritmetică cu numere raționale, altele decât împărțirea la 0, rezultatul va fi un număr rațional.
Când se adaugă un număr rațional unui număr irațional, rezultatul este întotdeauna un număr irațional.
Când adăugăm numere iraționale, putem obține un număr rațional ca rezultat.
Setul de numere iraționale nu este chiar.Numerele nu sunt iraționale
Uneori este dificil să răspunzi la întrebarea dacă un număr este irațional, mai ales în cazurile în care numărul este sub forma unei fracții zecimale sau sub forma unei expresii numerice, rădăcină sau logaritm.
Prin urmare, nu va fi de prisos să știm care numere nu sunt iraționale. Dacă urmărim definiția numerelor iraționale, atunci știm deja că numerele raționale nu pot fi iraționale.
Numerele iraționale nu sunt:
În primul rând, toate numerele naturale;
În al doilea rând, numere întregi;
În al treilea rând, fracțiile obișnuite;
În al patrulea rând, diferite numere mixte;
În al cincilea rând, acestea sunt fracții zecimale periodice infinite.În plus față de toate cele de mai sus, un număr irațional nu poate fi o combinație de numere raționale, care se realizează prin semne de operații aritmetice, cum ar fi +, - ,,:, deoarece în acest caz rezultatul a două numere raționale va fi, de asemenea, un număr rațional.
Acum să vedem care dintre cifre sunt iraționale:
Și știți despre existența unui club de fani, unde fanii acestui misterios fenomen matematic caută tot mai multe informații despre Pi, încercând să-și dezvăluie secretul. Orice persoană care cunoaște pe de rost un anumit număr de pi după punctul zecimal poate deveni membru al acestui club;
Știați că în Germania, sub protecția UNESCO, există Palatul Castadel Monte, datorită proporțiilor căruia pi poate fi calculat. Un întreg palat a fost dedicat acestui număr de regele Frederic al II-lea.
Se pare că Pi a fost încercat să fie folosit în construcția Turnului Babel. Dar, spre marele nostru regret, acest lucru a dus la prăbușirea proiectului, deoarece în acel moment calculul exact al valorii pi era insuficient studiat.
Cântăreața Keith Bush în noul său disc a înregistrat o melodie numită „Pi”, care a sunat la o sută douăzeci și patru de numere din celebra serie numerică 3, 141 ... ..
Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc așa? Unde se folosesc și ce sunt? Puțini pot răspunde la aceste întrebări fără ezitare. Dar, de fapt, răspunsurile la acestea sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare.
Esență și desemnare
Numerele iraționale sunt infinite non-periodice Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întregi, naturale și raționale nu au fost suficiente pentru a rezolva noi probleme emergente. De exemplu, pentru a calcula pătratul din care este 2, trebuie să utilizați fracții zecimale infinite neregulate. În plus, multe dintre cele mai simple ecuații nu au nici o soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.
Acest set este notat ca I. Și, așa cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, în numeratorul căreia va exista un număr întreg și în numitorul -
Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni s-au confruntat cu acest fenomen în secolul al VII-lea, când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu puteau fi indicate în mod explicit. Iar prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippas pitagoric, care a făcut acest lucru în procesul de studiu al unui triunghi isoscel dreptunghiular. Unii oameni de știință care au trăit înainte de era noastră au adus o contribuție serioasă la studiul acestui set. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.
originea numelui
Dacă raportul în latină este „fracțiune”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă acestui cuvânt sensul opus. Astfel, numele mulțimii acestor numere sugerează că acestea nu pot fi corelate cu numerele întregi sau fracționare, au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.Locul în clasamentul general
Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului de numere reale sau reale, care la rândul lor sunt complexe. Nu există subseturi, cu toate acestea, există soiuri algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.
Proprietăți
Deoarece numerele iraționale fac parte din setul numerelor reale, atunci toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (sunt numite și legi algebrice de bază) li se aplică.
a + b = b + a (comutabilitate);
(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);
a + (-a) = 0 (existența numărului opus);
ab = ba (legea deplasării);
(ab) c = a (bc) (distributivitate);
a (b + c) = ab + ac (legea distribuției);
a x 1 / a = 1 (existența unui reciproc);
Comparația se efectuează, de asemenea, în conformitate cu legile și principiile generale:
Dacă a> b și b> c, atunci a> c (tranzitivitatea relației) și. etc.
Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru aceasta.
În plus, acțiunea axiomei Arhimede se extinde la numere iraționale. Se spune că pentru oricare două cantități a și b, afirmația este adevărată că luând a ca termen de un număr suficient de ori, puteți depăși b.
Utilizare
În ciuda faptului că în viața obișnuită nu trebuie să te ocupi de ele atât de des, numerele iraționale nu pot fi numărate. Sunt multe, dar sunt aproape invizibile. Peste tot suntem înconjurați de numere iraționale. Exemple familiare tuturor sunt pi, egal cu 3.1415926 ... sau e, care este în esență baza logaritmului natural, 2.718281828 ... În algebră, trigonometrie și geometrie, acestea trebuie utilizate constant. Apropo, faimoasa semnificație a „raportului de aur”, adică raportul dintre partea cea mai mare și cea mai mică, și invers, este, de asemenea,
se referă la acest set. De asemenea, „argintul” mai puțin cunoscut este.
Pe linia numerică, acestea sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi referite la mulțimea celor raționale, este neapărat întâlnită una irațională.
Există încă o mulțime de probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să examineze cele mai semnificative exemple de apartenență la un grup sau altul. De exemplu, se consideră că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în înregistrarea sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt în curs de desfășurare. Măsura iraționalității este o cantitate care arată cât de bine un anumit număr poate fi aproximat prin numere raționale.
Algebric și transcendental
După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite în mod convențional în algebric și transcendental. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este utilizată pentru a împărți mulțimea C.
Această denumire ascunde numere complexe, care includ real sau real.
Deci, algebric este o valoare care este o rădăcină a unui polinom care nu este identic zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie, deoarece este soluția la ecuația x 2 - 2 = 0.
Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. Acest soi include cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.
Interesant este că nici unul, nici al doilea nu au fost deduse inițial de către matematicieni în această calitate, iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost prezentată în 1882 și simplificată în 1894, punând capăt controversei de 2.500 de ani cu privire la problema pătratului cercului. Încă nu este pe deplin înțeles, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul suficient de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aspre.
Pentru e (numărul lui Euler sau al lui Napier), dovezile transcendenței sale au fost găsite în 1873. Este utilizat în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.
Alte exemple includ sinus, cosinus și valori tangente pentru orice valori algebrice diferite de zero.
