Linia laterală a trapezului. Trapez - USE Matematica. Rezolvarea problemelor С2. Proprietățile diagonalelor unui trapez

09.08.2021

Faringe

- (trapez grecesc). 1) în geometria unui patrulater, în care două laturi sunt paralele, dar două nu sunt. 2) o figură adaptată pentru exerciții de gimnastică. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Trapez- Trapez. TRAPEZIA (din grecescul trapez, literalmente un tabel), un patrulater convex în care două laturi sunt paralele (bazele unui trapez). Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor (linia mediană) și înălțimea. … Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

trapez- patrulater, proiectil, bară transversală Dicționar de sinonime rusești. trapez n., număr de sinonime: 3 bară transversală (21) ... Dicţionar de sinonime

TRAPEZIA- (din grecescul trapez, literalmente un tabel), un patrulater convex în care două laturi sunt paralele (bazele unui trapez). Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor (linia mediană) și înălțimea... Enciclopedia modernă

TRAPEZIA- (din literele grecești trapez. tabel), patrulater în care două laturi opuse, numite bazele trapezului, sunt paralele (AD și BC în figură), iar celelalte două nu sunt paralele. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului (la ...... Dicţionar enciclopedic mare

TRAPEZIA- TRAPEZIA, o figură plană patruunghiulară în care două laturi opuse sunt paralele. Aria unui trapez este jumătate din suma laturilor paralele înmulțită cu lungimea perpendicularei dintre ele... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

TRAPEZIA- TRAPEZIE, trapez, neveste. (din tabelul grecesc trapez). 1. Cadrilater cu două laturi paralele și două neparalele (mat.). 2. Un aparat de gimnastică format dintr-o bară transversală suspendată pe două frânghii (sport.). Acrobatic…… Dicționar explicativ al lui Ushakov

TRAPEZIA- TRAPEZIA, și, soții. 1. Un patrulater cu două laturi paralele și două neparalele. Bazele unui trapez (laturile sale paralele). 2. Un proiectil de circ sau de gimnastică, o bară transversală suspendată pe două cabluri. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. CU … Dicționar explicativ al lui Ozhegov

TRAPEZIA- femeie, geom. un patrulater cu laturile inegale, dintre care două sunt postenice (paralele). Un trapez este un patrulater similar în care toate laturile sunt separate. Trapezoedru, un corp tăiat de trapeze. Dicţionarul explicativ al lui Dahl. IN SI. Dal. 1863 1866... Dicţionarul explicativ al lui Dahl

TRAPEZIA- (Trapez), SUA, 1956, 105 min. Melodramă. Aspirantul acrobat Tino Orsini intră în trupa de circ, unde lucrează Mike Ribble, un celebru trapezist în trecut. Odată, Mike a cântat cu tatăl lui Tino. Tânărul Orsini îl vrea pe Mike... Enciclopedia Cinematografică

Trapez Un patrulater a cărui două laturi sunt paralele și alte două laturi nu sunt paralele. Distanța dintre laturile paralele. înălțimea T. Dacă laturile și înălțimea paralele conțin a, b și h metri, atunci aria T. conține metri pătrați ... Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

Cărți

Un set de mese. Geometrie. clasa a 8-a. 15 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton poligrafic gros de 680 x 980 mm. Kitul include o broșură cu recomandări metodologice pentru profesori. Album educativ de 15 coli. Poligoane... Cumpărați pentru 3828 de ruble
Un set de mese. Matematică. Poligoane (7 tabele) , . Album educativ de 7 coli. Poligoane convexe și neconvexe. Patraunghiuri. Paralelogram și trapez. Semne și proprietăți ale paralelogramului. Dreptunghi. Romb. Pătrat. Pătrat…

Quadrilateral, projectile, crossbar Dicționar de sinonime rusești. trapez n., număr de sinonime: 3 bară transversală (21) ... Dicţionar de sinonime

- (din grecescul trapez, literalmente un tabel), un patrulater convex în care două laturi sunt paralele (bazele unui trapez). Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor (linia mediană) și înălțimea... Enciclopedia modernă

- (din literele grecești trapez. tabel), patrulater în care două laturi opuse, numite bazele trapezului, sunt paralele (AD și BC în figură), iar celelalte două nu sunt paralele. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului (la ...... Dicţionar enciclopedic mare

TRAPEZIE O figură plată pătraunghiulară în care două laturi opuse sunt paralele. Aria unui trapez este jumătate din suma laturilor paralele înmulțită cu lungimea perpendicularei dintre ele... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

TRAPEZIE, trapez, femelă. (din tabelul grecesc trapez). 1. Cadrilater cu două laturi paralele și două neparalele (mat.). 2. Un aparat de gimnastică format dintr-o bară transversală suspendată pe două frânghii (sport.). Acrobatic…… Dicționar explicativ al lui Ushakov

TRAPEZIA, și, soții. 1. Un patrulater cu două laturi paralele și două neparalele. Bazele unui trapez (laturile sale paralele). 2. Un proiectil de circ sau de gimnastică, o bară transversală suspendată pe două cabluri. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. CU … Dicționar explicativ al lui Ozhegov

Femeie, geom. un patrulater cu laturile inegale, dintre care două sunt postenice (paralele). Un trapez este un patrulater similar în care toate laturile sunt separate. Trapezoedru, un corp tăiat de trapeze. Dicţionarul explicativ al lui Dahl. IN SI. Dal. 1863 1866... Dicţionarul explicativ al lui Dahl

- (Trapez), SUA, 1956, 105 min. Melodramă. Aspirantul acrobat Tino Orsini intră în trupa de circ, unde lucrează Mike Ribble, un celebru trapezist în trecut. Odată, Mike a cântat cu tatăl lui Tino. Tânărul Orsini îl vrea pe Mike... Enciclopedia Cinematografică

Un patrulater cu două laturi paralele și alte două laturi neparalele. Distanța dintre laturile paralele. înălțimea T. Dacă laturile și înălțimea paralele conțin a, b și h metri, atunci aria T. conține metri pătrați ... Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

Cărți

Un set de mese. Geometrie. clasa a 8-a. 15 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton poligrafic gros de 680 x 980 mm. Kitul include o broșură cu recomandări metodologice pentru profesori. Album educativ de 15 coli. poligoane...
Un set de mese. Matematică. Poligoane (7 tabele) , . Album educativ de 7 coli. Poligoane convexe și neconvexe. Patraunghiuri. Paralelogram și trapez. Semne și proprietăți ale paralelogramului. Dreptunghi. Romb. Pătrat. Pătrat…

Un poligon este o parte a unui plan delimitată de o linie întreruptă închisă. Colțurile unui poligon sunt indicate prin punctele vârfurilor poliliniei. Vârfurile de colț ale poligonului și vârfurile poligonului sunt puncte congruente.

Definiție. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.

Proprietățile paralelogramului

1. Laturile opuse sunt egale.
Pe fig. unsprezece AB = CD; î.Hr = ANUNȚ.

2. Unghiurile opuse sunt egale (două unghiuri acute și două obtuze).
Pe fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonale (segmente de linie care leagă două vârfuri opuse) se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate.

Pe fig. 11 segmente AO = OC; BO = OD.

Definiție. Un trapez este un patrulater în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două nu.

Laturile paralele a sunat-o temeiuri, și celelalte două părți laturi.

Tipuri de trapez

1. Trapez, ale căror laturi nu sunt egale,
numit versatil(Fig. 12).

2. Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel(Fig. 13).

3. Se numește un trapez, în care o latură formează un unghi drept cu bazele dreptunghiular(Fig. 14).

Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor trapezului (Fig. 15) se numește linia mediană a trapezului ( MN). Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Un trapez poate fi numit triunghi trunchiat (Fig. 17), prin urmare numele trapezelor sunt similare cu numele triunghiurilor (triunghiurile sunt versatile, isoscele, dreptunghiulare).

Aria unui paralelogram și a unui trapez

Regulă. Zona paralelogramului este egal cu produsul laturii sale cu înălțimea trasă pe această latură.

Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
Triunghiurile formate din bazele trapezului și segmentele diagonalelor până la punctul de intersecție sunt asemănătoare
Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile trapezului - sunt egale (au aceeași zonă)
Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci ele se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor.
Segmentul care leagă bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este traversat de acest punct, iar lungimea sa este 2ab / (a + b), unde a și b sunt bazele trapezului

Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Conectați punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment de dreaptă care unește punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.

Acest segment paralel cu bazele trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătatea diferenței bazelor acestuia.

LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2

Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez

Triunghiurile care sunt formate din bazele trapezului și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - Sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt transversale interne situate la liniile paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și linia secantă AC, prin urmare, sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (încrucișare internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din asta?

Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile celor două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și pe diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate de laturile si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt, adică triunghiurile sunt egale.

Dacă laturile trapezului sunt extinse spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins la un triunghi. în care:

Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez

Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele trapezului, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive din partea bazei la punctul de intersecție al diagonale (KO / ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

Distanță prestabilită (KM) bisectează punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
Lungimea tăiată, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele, este egal cu KM = 2ab/(a + b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- bazele unui trapez

c, d- laturile trapezului

d1 d2- diagonalele unui trapez

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor unui trapez poate fi demonstrată ca o teoremă separată

2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat peste semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din părțile din stânga și din dreapta expresiei.

3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) are sens similar și exprimă o relație similară.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă cunoașteți baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez în termeni de înălțime

Notă. În această lecție este dată soluția problemelor de geometrie despre trapeze. Dacă nu ați găsit o soluție la problema de geometrie de tipul care vă interesează - puneți o întrebare pe forum.

Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.

Decizie.
Soluția acestei sarcini este absolut identică cu sarcinile anterioare din punct de vedere ideologic.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.

Întrucât triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de starea problemei. i.e

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Răspuns: 16 cm

Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului.

Decizia .
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi pe baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu simbolurile din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am omis două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de înălțimile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului ca h. Apoi după teorema lui Pitagora

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
și
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Luați în considerare că a \u003d 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Înlocuiți valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație, obținută prin teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Astfel, KD = 12
Unde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Găsiți aria unui trapez folosind înălțimea acestuia și jumătate din suma bazelor
, unde a b - bazele trapezului, h - înălțimea trapezului
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Răspuns: aria unui trapez este de 80 cm2.

\[(\Large(\text(Trapez arbitrar)))\]

Definiții

Un trapez este un patrulater convex în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc bazele sale, iar celelalte două laturi se numesc laturile sale.

Înălțimea unui trapez este perpendiculara căzută din orice punct al unei baze pe o altă bază.

Teoreme: proprietățile unui trapez

1) Suma unghiurilor laterale este \(180^\circ\) .

2) Diagonalele împart trapezul în patru triunghiuri, dintre care două sunt similare, iar celelalte două sunt egale.

Dovada

1) Pentru că \(AD\parallel BC\), atunci unghiurile \(\angle BAD\) și \(\angle ABC\) sunt unilaterale la aceste drepte și secanta \(AB\) , prin urmare, \(\unghi BAD +\unghi ABC=180^\circ\).

2) Pentru că \(AD\parallel BC\) și \(BD\) este o secantă, apoi \(\angle DBC=\angle BDA\) ca fiind situată peste.
De asemenea, \(\angle BOC=\angle AOD\) ca verticală.
Prin urmare, în două colțuri \(\triunghi BOC \sim \triunghi AOD\).

Să demonstrăm asta \(S_(\triunghi AOB)=S_(\triunghi COD)\). Fie \(h\) înălțimea trapezului. Apoi \(S_(\triunghi ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triunghi ACD)\). Apoi: \

Definiție

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Teorema

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Dovada*

1) Să demonstrăm paralelismul.

Desenați o linie \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) prin punctul \(M\) ). Apoi, după teorema lui Thales (pentru că \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) punctul \(N"\) este punctul de mijloc al segmentului \(CD\)... Prin urmare, punctele \(N\) și \(N"\) vor coincide.

2) Să demonstrăm formula.

Să desenăm \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Lasa \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Apoi, după teorema lui Thales, \(M"\) și \(N"\) sunt punctele medii ale segmentelor \(BB"\) și respectiv \(CC"\). Deci \(MM"\) este linia de mijloc \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) este linia de mijloc \(\triangle DCC"\) . Asa de: \

pentru că \(MN\paralel AD\paralel BC\)și \(BB", CC"\perp AD\) , apoi \(B"M"N"C"\) și \(BM"N"C\) sunt dreptunghiuri. Prin teorema lui Thales, \(MN\parallel AD\) și \(AM=MB\) implică faptul că \(B"M"=M"B\) . Prin urmare, \(B"M"N"C"\) și \(BM"N"C\) sunt dreptunghiuri egale, deci \(M"N"=B"C"=BC\) .

Prin urmare:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: proprietatea unui trapez arbitrar

Punctele medii ale bazelor, punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și punctul de intersecție al prelungirilor laturilor laterale se află pe aceeași linie dreaptă.

Dovada*
Este recomandat să vă familiarizați cu demonstrația după ce ați studiat subiectul „Triunghiuri similare”.

1) Să demonstrăm că punctele \(P\) , \(N\) și \(M\) se află pe aceeași dreaptă.

Desenați o dreaptă \(PN\) (\(P\) este punctul de intersecție al prelungirilor laturilor, \(N\) este punctul mijlociu al lui \(BC\) ). Lasă-l să intersecteze latura \(AD\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm că \(M\) este punctul de mijloc al lui \(AD\) .

Luați în considerare \(\triunghi BPN\) și \(\triunghi APM\) . Ele sunt similare în două unghiuri (\(\angle APM\) - comun, \(\angle PAM=\angle PBN\) ca fiind corespunzător la \(AD\parallel BC\) și \(AB\) secante). Mijloace: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Luați în considerare \(\triunghi CPN\) și \(\triunghi DPM\) . Ele sunt similare în două unghiuri (\(\angle DPM\) - comun, \(\angle PDM=\angle PCN\) ca fiind corespunzător la \(AD\parallel BC\) și \(CD\) secante). Mijloace: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

De aici \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Dar \(BN=NC\) , de aici \(AM=DM\) .

2) Să demonstrăm că punctele \(N, O, M\) se află pe o singură dreaptă.

Fie \(N\) punctul de mijloc al lui \(BC\) , \(O\) punctul de intersecție al diagonalelor. Desenați o linie \(NO\) , aceasta va intersecta latura \(AD\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm că \(M\) este punctul de mijloc al lui \(AD\) .

\(\triunghi BNO\sim \triunghi DMO\) la două unghiuri (\(\angle OBN=\angle ODM\) ca situat la \(BC\parallel AD\) și \(BD\) secante; \(\angle BON=\angle DOM\) ca vertical). Mijloace: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

În mod similar \(\triunghi CON\sim \triunghi AOM\). Mijloace: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

De aici \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Dar \(BN=CN\), deci \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapez isoscel)))\]

Definiții

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept.

Un trapez se numește isoscel dacă laturile sale sunt egale.

Teoreme: proprietăți ale unui trapez isoscel

1) Un trapez isoscel are unghiuri de bază egale.

2) Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.

3) Cele două triunghiuri formate din diagonale și bază sunt isoscele.

Dovada

1) Considerăm un trapez isoscel \(ABCD\) .

De la vârfurile \(B\) și \(C\) aruncăm în lateral \(AD\) perpendicularele \(BM\) și respectiv \(CN\). Deoarece \(BM\perp AD\) și \(CN\perp AD\) , atunci \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , atunci \(MBCN\) este un paralelogram, deci \(BM = CN\) .

Luați în considerare triunghiuri dreptunghiulare \(ABM\) și \(CDN\) . Deoarece au ipotenuze egale și cateta \(BM\) este egală cu cateta \(CN\) , aceste triunghiuri sunt congruente, prin urmare, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

pentru că \(AB=CD, \unghi A=\unghi D, AD\)- general, apoi pe primul semn. Prin urmare, \(AC=BD\) .

3) Pentru că \(\triunghi ABD=\triunghi ACD\), apoi \(\angle BDA=\angle CAD\) . Prin urmare, triunghiul \(\triunghiul AOD\) este isoscel. Se poate dovedi în mod similar că \(\triunghiul BOC\) este isoscel.

Teoreme: semnele unui trapez isoscel

1) Dacă unghiurile de la baza unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

2) Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

Dovada

Se consideră un trapez \(ABCD\) astfel încât \(\angle A = \angle D\) .

Să completăm trapezul până la triunghiul \(AED\) așa cum se arată în figură. Deoarece \(\angle 1 = \angle 2\) , atunci triunghiul \(AED\) este isoscel și \(AE = ED\) . Unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale ca corespunzătoare dreptelor paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(AB\) . În mod similar, unghiurile \(2\) și \(4\) sunt egale, dar \(\angle 1 = \angle 2\) , atunci \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), prin urmare, triunghiul \(BEC\) este și el isoscel și \(BE = EC\) .

În cele din urmă \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), adică \(AB = CD\) , care urma să fie demonstrat.

2) Fie \(AC=BD\) . pentru că \(\triunghi AOD\sim \triunghi BOC\), atunci notăm coeficientul lor de similitudine cu \(k\) . Atunci dacă \(BO=x\) , atunci \(OD=kx\) . Similar cu \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

pentru că \(AC=BD\), apoi \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Deci \(\triunghiul AOD\) este isoscel și \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Astfel, conform primului semn \(\triunghi ABD=\triunghi ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\unghi ODA, AD\)- general). Deci \(AB=CD\) , deci.