Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.
Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale liniilor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 1).
Fie B 1 B 2, B 3 punctele corespunzătoare de intersecție ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.
Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.
Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.
Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F = B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.
Folosind teorema lui Thales, se stabilește următoarea teoremă.
Teorema 2. Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale. În figura 2, segmentul ED - linia de mijloc triunghiul ABC.
ED - linia mediană a triunghiului ABC
Exemplul 1.Împărțiți acest segment în patru părți egale.
Soluţie. Fie AB un segment dat (Fig. 3), care trebuie împărțit în 4 părți egale.
Împărțirea unui segment în patru părți egale
Pentru a face acest lucru, trageți o semi-linie arbitrară a prin punctul A și trasați pe ea succesiv patru segmente egale AC, CD, DE, EK.
Să conectăm punctele B și K cu un segment. Să trasăm drepte paralele cu linia BK prin punctele rămase C, D, E, astfel încât acestea să intersecteze segmentul AB.
Conform teoremei lui Thales, segmentul AB va fi împărțit în patru părți egale.
Exemplul 2. Diagonala unui dreptunghi este a. Care este perimetrul unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor dreptunghiului?
Soluţie. Fie ca Figura 4 să îndeplinească condițiile problemei.
Atunci EF este linia mediană a triunghiului ABC și, prin urmare, prin teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$
În mod similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ și deci perimetrul patrulaterului EFGH este 2a.
Exemplul 3. Laturile unui triunghi sunt de 2 cm, 3 cm și 4 cm, iar vârfurile sale sunt punctele mijlocii ale laturilor altui triunghi. Aflați perimetrul triunghiului mare.
Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.
Segmentele AB, BC, AC sunt liniile de mijloc ale triunghiului DEF. Prin urmare, conform teoremei 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ sau $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de unde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ și, prin urmare, perimetrul triunghiului DEF este de 18 cm.
Exemplul 4.ÎN triunghi dreptunghic prin mijlocul ipotenuzei sale sunt linii drepte paralele cu catetele sale. Aflați perimetrul dreptunghiului rezultat dacă laturile triunghiului au 10 cm și 8 cm.
Soluţie. În triunghiul ABC (Fig. 6)
∠ A este o linie dreaptă, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD și MD sunt liniile mediane ale triunghiului ABC, de unde $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 cm. \\ MD = \ frac(1) (2)AB = 5 cm.$$ Perimetrul dreptunghiului K DMA este de 18 cm.
Teorema de planimetrie despre paralele și secante.
În afara literaturii de limba rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris sub întinderea diametrului unui cerc este un unghi drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.
Formulări [ | ]
Dacă pe una din două linii drepte trasăm mai multe segmente egale iar prin capetele lor trage linii paralele care intersectează a doua linie, apoi vor tăia segmente egale de pe a doua linie.
O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional
Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2)))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3)))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Note [ | ]
- Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un factor de proporționalitate egal cu 1.
Dovada în cazul secantelor
Să luăm în considerare opțiunea cu perechi neconectate de segmente: lăsați unghiul să fie intersectat de linii drepte A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) si in care A B = C D (\displaystyle AB=CD).
Dovada în cazul dreptelor paralele
Să facem o directă B.C.. Unghiuri ABCȘi BCD egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele ABȘi CD si secante B.C., și unghiurile ACBȘi CBD egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele A.C.Și BD si secante B.C.. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri ABCȘi DCB sunt egale. Rezultă că A.C. = BDȘi AB = CD. ■
Variații și generalizări[ | ]
Teorema inversă[ | ]
Dacă în teorema lui Thales segmente egale încep de la vârf (adesea la literatura școlară se folosește o astfel de formulare), atunci teorema inversă va fi și ea adevărată. Pentru secantele care se intersectează se formulează după cum urmează:
În teorema inversă a lui Thales, este important ca segmentele egale să înceapă de la vârf
Astfel (vezi figura) din faptul că C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), urmează că A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Dacă secantele sunt paralele, atunci este necesar să se ceară ca segmentele de pe ambele secante să fie egale între ele, în caz contrar, această afirmație devine falsă (un contraexemplu este un trapez intersectat de o dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor).
Această teoremă este folosită în navigație: o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă se menține direcția de la o navă la alta.
lema lui Sollertinsky[ | ]
Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky:
|
Lăsa f (\displaystyle f)- corespondența proiectivă între punctele unei linii l (\displaystyle l) si drept m (\displaystyle m). Apoi, mulțimea de drepte va fi mulțimea de tangente la o secțiune conică (eventual degenerată). |
În cazul teoremei lui Thales, conica va fi punctul de la infinit, corespunzător direcției dreptelor paralele.
Această afirmație, la rândul său, este un caz limitativ al următoarei afirmații:
|
Lăsa f (\displaystyle f)- transformarea proiectivă a unei conici. Apoi plicul setului de linii drepte X f (X) (\displaystyle Xf(X)) va fi o conică (eventual degenerată). | ]Teorema 6.6 (teorema lui Thales).Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.(Fig. 131). Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 131). Fie B 1, B 2, B 3 punctele corespunzătoare de intersecție ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 Az, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3. Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram, A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E. Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F=B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF.
Cometariu. În condițiile teoremei lui Thales, în loc de laturile unui unghi, puteți lua oricare două drepte, iar concluzia teoremei va fi aceeași: Liniile paralele care intersectează două drepte date și decupează segmente egale pe o linie, de asemenea, taie segmente egale pe cealaltă linie. Uneori teorema lui Thales va fi aplicată în această formă. Problema (48). Împărțiți acest segment AB în n părți egale. Soluţie. Să desenăm din punctul A o semi-dreptă a care nu se află pe dreapta AB (Fig. 132). Să trasăm segmente egale pe semidreapta a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Să conectăm punctele A n și B. Desenați prin punctele A 1, A 2, .... A n -1 drepte paralele cu dreapta A n B. Ele intersectează segmentul AB în punctele B 1, B 2, B n- 1, care împart segmentul AB în n segmente egale (conform teoremei lui Thales).
A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ Acest mormânt este mic, dar gloria asupra lui este imensă. Inscripție pe mormântul lui Thales din Milet
Imaginează-ți această imagine. 600 î.Hr Egipt. În fața ta este o piramidă egipteană uriașă. Pentru a surprinde faraonul și a rămâne printre favoriții săi, trebuie să măsurați înălțimea acestei piramide. Nu ai... nimic la dispoziție. Poți cădea în disperare sau poți să te comporți ca Thales din Milet: Folosiți teorema asemănării triunghiului. Da, se dovedește că totul este destul de simplu. Thales din Milet a așteptat până când lungimea umbrei sale și înălțimea lui au coincis, apoi, folosind teorema privind asemănarea triunghiurilor, a găsit lungimea umbrei piramidei, care, în consecință, era egală cu umbra aruncată de piramidă. Cine este tipul acesta? Thales din Milet? Omul care a câștigat faima ca unul dintre cei „șapte înțelepți” ai antichității? Thales din Milet - filosof grec antic, care s-a remarcat prin succesul în domeniul astronomiei, precum și al matematicii și fizicii. Anii vieții lui au fost stabiliți doar aproximativ: 625-645 î.Hr Printre dovezile cunoștințelor lui Thales despre astronomie, poate fi dat următorul exemplu. 28 mai 585 î.Hr prezicerea lui Milet eclipsă de soare a ajutat la încheierea războiului dintre Lidia și Media care durase 6 ani. Acest fenomen i-a înspăimântat atât de tare pe mezi, încât au convenit asupra unor condiții nefavorabile pentru încheierea păcii cu lidienii. Există o legendă destul de cunoscută care îl caracterizează pe Thales ca o persoană plină de resurse. Thales a auzit adesea comentarii nemăgulitoare despre sărăcia lui. Într-o zi a decis să demonstreze că filozofii, dacă doresc, pot trăi din belșug. Chiar și iarna, Thales, observând stelele, a stabilit că vara va fi recoltă bună măsline În același timp, a angajat prese de ulei în Milet și Chios. Acest lucru l-a costat destul de puțin, deoarece iarna practic nu există cerere pentru ele. Când măslinele au produs o recoltă bogată, Thales a început să-și închirieze presele de ulei. Colectat un numar mare de a face bani folosind această metodă a fost considerată o dovadă că filozofii pot face bani cu mintea lor, dar chemarea lor este mai înaltă decât astfel de probleme pământești. Această legendă, de altfel, a fost repetată chiar de Aristotel. În ceea ce privește geometria, multe dintre „descoperirile” sale au fost împrumutate de la egipteni. Și totuși, acest transfer de cunoștințe către Grecia este considerat unul dintre principalele merite ale lui Thales din Milet. Realizările Thales sunt considerate a fi formularea și dovada următoarelor teoreme:
O altă teoremă poartă numele lui Thales, care este utilă în rezolvarea problemelor geometrice. Există un generalizat şi vedere privată, teorema inversă, formulările pot diferi, de asemenea, ușor în funcție de sursă, dar semnificația lor rămâne aceeași. Să luăm în considerare această teoremă. Dacă liniile paralele intersectează laturile unui unghi și taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte. Să presupunem că punctele A 1, A 2, A 3 sunt punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu o latură a unghiului și B 1, B 2, B 3 sunt punctele de intersecție ale liniilor paralele cu cealaltă parte a unghiului . Este necesar să se demonstreze că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3. Prin punctul B 2 trasăm o dreaptă paralelă cu dreapta A 1 A 2. Să notăm noua linie C 1 C 2. Se consideră paralelogramele A 1 C 1 B 2 A 2 și A 2 B 2 C 2 A 3 . Proprietățile unui paralelogram ne permit să afirmăm că A1A2 = C 1 B 2 și A 2 A 3 = B 2 C 2. Și întrucât, conform condiției noastre, A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci C 1 B 2 = B 2 C 2. Și, în final, luați în considerare triunghiurile Δ C 1 B 2 B 1 și Δ C 2 B 2 B 3 . C 1 B 2 = B 2 C 2 (demonstrat mai sus). Aceasta înseamnă că Δ C 1 B 2 B 1 și Δ C 2 B 2 B 3 vor fi egale conform celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor (pe latură și unghiuri adiacente). Astfel, teorema lui Thales este demonstrată. Folosirea acestei teoreme va facilita și accelera foarte mult rezolvarea problemelor geometrice. Mult succes în stăpânirea acestei științe distractive a matematicii! blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală. Dacă laturile unui unghi sunt intersectate de drepte paralele care împart una dintre laturi în mai multe segmente, atunci a doua latură, linii drepte, va fi, de asemenea, împărțită în segmente echivalente cu cealaltă latură. Teorema lui Thales demonstrează următoarele: C 1, C 2, C 3 sunt locurile în care drepte paralele se intersectează pe orice parte a unghiului. C 2 se află în mijloc față de C 1 și C 3.. Punctele D 1, D 2, D 3 sunt locurile în care se intersectează liniile, care corespund dreptelor de pe cealaltă parte a unghiului. Demonstrăm că atunci când C 1 C 2 = C 2 C h, atunci D 1 D 2 = D 2 D 3. Să ne uităm la câteva exemple Primul exemplu Condiția sarcinii este de a împărți CD-ul în linie dreaptă P segmente identice. Al doilea exemplu Punctul CK este marcat pe latura AB a triunghiului ABC. Segmentul SC intersectează mediana AM a triunghiului în punctul P, în timp ce AK = AP. Este necesar să găsiți raportul dintre VC și RM. Al treilea exemplu În triunghiul ABC, latura BC = 8 cm Linia DE intersectează laturile AB și BC paralele cu AC. Și taie segmentul EC = 4 cm pe latura BC. Demonstrați că AD = DB. În revista pentru femei - online, vei găsi o mulțime de informații interesante pentru tine. Există și o secțiune dedicată poeziei scrise de Serghei Yesenin. Intră, nu vei regreta! |
