Teorema segmentelor proporționale este o generalizare a teoremei Thales. Teorema generalizată a lui Thales; Cuvântare

numit proporţie. În același timp, ei spun că:

x 1 este legat de x 2, așa cum y 1 este legat de y 2,

raportul numerelor x 1 și x 2 este egal cu raportul numerelor y 1 și y 2,

numerele x 1 și x 2 sunt legate în același mod ca numerele y 1 și y 2,

sau in sfarsit

numerele x 1 și y 1 (!) proporțional cu numerele x 2 și y 2(adică numărătorii sunt proporționali cu numitorii).

Numerele incluse aici X 1 , X 2 , y 1 și y 2 se numesc termeni ai proporției. De obicei, toate sunt pozitive, dar nu trebuie să fie. Cu toate acestea, niciunul dintre ele nu este considerat a fi zero. Această egalitate a primit un nume special pentru că apare adesea în rezolvarea diferitelor probleme matematice.

Proporțiile pot fi transformate prin transferarea membrilor „din partea de sus” a unei părți a egalității „în jos” a celeilalte părți a egalității și invers. Această procedură poate fi ușor justificată după cum urmează. Să presupunem că vrem să ne transferăm X 1 de la stânga la dreapta. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale proporției cu 1/ X 1:

adica o variabila X 1 s-a deplasat „diagonal de sus în jos”. Acum să mutăm variabila „în sus la stânga” y 2. Acest lucru se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale acestei egalități cu aceasta. Ca urmare, avem

numărători X 1 Și y 1 sunt legate între ele exact în același mod ca și numitorii lor corespunzători X 2 și y 2 .

Teorema generalizată a lui Thales

Teorema Thales, considerată ultima dată, admite următoarea generalizare.

Fie două linii arbitrare XȘi y intersectate de trei drepte paralele n 1 , n 2 și n 3 la puncte X 1 , X 2 , X 3 și Y 1 , Y 2 , Y 3 așa cum se arată în imagine:

Apoi lungimile segmentelor tăiate formează următoarea proporție

este un număr rațional, adică poate fi exprimat ca o fracție ireductibilă

|X 1 X 2 |
|X 1 X 3 |

Unde AȘi b- unele numere naturale, A< b. Să împărțim segmentul X 1 X 3 pe b piese identice. (În timp ce punctul X 2 se va dovedi a fi unul dintre punctele de divizare.) Să tragem linii drepte prin fiecare punct de divizare, paralele cu n 1 , n 2 și n 3 . (Una dintre aceste linii va coincide cu linia n 2 .)

Conform teoremei Thales (în versiunea sa originală), segmentul Y 1 Y 3 este, de asemenea, împărțit de aceste linii în b părţi egale, din care A piesele alcătuiesc un segment Y 1 Y 2. Prin urmare,

|Y 1 Y 2 |				|X 1 X 2 |
|Y 1 Y 3 |		b		|X 1 X 3 |

Q.E.D. Din construcția noastră rezultă și că

|Y 2 Y 3 |				|X 2 X 3 |
|Y 1 Y 3 |		b		|X 1 X 3 |

|Y 2 Y 3 |				|X 2 X 3 |
|Y 1 Y 2 |		A		|X 1 X 2 |

Folosind proprietățile proporțiilor, aceste egalități pot fi rescrise ca un singur lanț:

|Y 1 Y 2 |		|Y 2 Y 3 |		|Y 1 Y 3 |
|X 1 X 2 |		|X 2 X 3 |		|X 1 X 3 |

Astfel, segmentele tăiate pe o linie dreaptă y proporțional cu segmentele de linie corespunzătoare X.

Teoretic, este, de asemenea, posibil ca raportul lungimii

|X 1 X 2 |

|X 1 X 3 |

nu este un număr rațional, deoarece lungimile segmentelor | X 1 X 2 | și | X 1 X 3 | poate fi exprimat, în principiu, prin numere iraționale. Cu toate acestea, în practică, acest lucru nu este niciodată cazul. Pentru a determina lungimile segmentelor, folosim întotdeauna un fel de dispozitiv de măsurare (de exemplu, o riglă de școală), care dă numai rezultate rotunjite sub forma unei fracții zecimale finale.

Consecință importantă

Să fie date linii necoincidente XȘi y, care se intersectează în punctul O și încă două drepte paralele n 1 și n 2 care intersectează linia X la puncte X 1 și X 2 și drept y la puncte Y 1 și Y 2 așa cum se arată în figură.

Să introducem notația:

X 1 = |BOU 1 |, X 2 = |BOU 2 |;

y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;

z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.

		y 1
		y 2

Într-adevăr, ambele egalități din acest lanț decurg direct din teorema generalizată a lui Thales. Pentru prima egalitate, acest lucru este clar imediat, dar pentru a doua devine evident după ce trecem prin punct Y 1 trage o linie dreaptă m, paralel cu linia X.

Este adevărat și invers. Să fie dată aceeași construcție geometrică și se știe că

Apoi liniile n 1 și n 2 sunt paralele. Într-adevăr, haideți să trecem la punct X 1 linie auxiliară paralelă cu linia n 2. Prin teorema generalizată a lui Thales, această dreaptă auxiliară trece prin punct Y unu . Prin urmare, coincide cu linia n unu . Astfel, direct n 1 paralel cu linia n 2 .

Scară

Să ieșim afară, luând cu noi o hârtie și un creion. Să ne așezăm foaia pe orizontală și să punem pe ea aproximativ la mijloc un punct O. Din acest punct vom desena mental raze în direcția diferitelor puncte remarcabile de pe sol situate pe o rază de aproximativ o sută de metri - copaci, stâlpi, colțuri de clădiri și altele asemenea.

Să presupunem că avem ocazia să măsurăm distanțele până la aceste puncte remarcabile. Să fie, de exemplu, distanța până la cel mai apropiat copac de 10 m. Să ne lăsăm mental deoparte de punctul Oîn direcția acestui copac, un segment a cărui lungime este de 1000 de ori mai mică decât distanța dată, și marcați poziția celui de-al doilea capăt cu un creion pe hârtie. Este ușor de calculat că distanța de la punct O până la marcaj va fi 10 m / 1000 \u003d 1 cm.

În mod similar, să fie distanța până la un alt obiect demn de remarcat X unu . Înmulțiți această distanță cu numărul k, egal cu 1/1000. Păsat deoparte din punct de vedere mental O lungimea segmentului X 2 =kx 1 de-a lungul fasciculului îndreptat către obiectul dat. În locul de pe hârtie în care se află al doilea capăt al segmentului, faceți un semn cu un creion. Să facem această procedură cu toate punctele remarcabile de pe sol, folosind aceeași valoare a parametrului tot timpul k. Dacă oricare dintre aceste puncte este interconectat printr-un gard sau un perete sau ceva similar, atunci vom desena și linii între semnele corespunzătoare pe hârtie.

Drept urmare, pe foaia noastră de hârtie obținem o hartă a zonei. În virtutea teoremei Thales și a proprietăților proporțiilor, toate relațiile dintre distanțe pe hârtie vor fi exact aceleași ca în realitate. În plus, toate liniile de pe hârtie vor fi paralele cu liniile corespunzătoare de pe sol. Acest paralelism va fi, desigur, rupt când ne ducem foaia în altă parte, dar unghiurile dintre linii vor rămâne.

Parametru k, pe care l-am folosit în construcția noastră, se numește factor de scară sau pur și simplu scară. Desigur, nu trebuie să fie egal cu 1/1000. Poate, în principiu, să capete orice valoare, important este doar ca această valoare să rămână neschimbată tot timpul în procesul de construire a unei hărți.

Pe hărțile geografice reale, scara este neapărat indicată în legendă și, de obicei, se utilizează două puncte în locul unei bare fracționale. De exemplu, o scară de 1:100.000 înseamnă că un centimetru de pe hartă corespunde cu 100.000 de centimetri (adică un kilometru) pe sol.

De asemenea, desenele tehnice sunt întotdeauna făcute, după cum se spune, la o anumită scară. Scara 1:1 înseamnă că piesa este desenată la dimensiunea reală. O scară de 10:1 indică faptul că desenul este realizat cu o creștere de zece ori.

O notă despre liniile paralele

Am numit paralele astfel de linii necoincidente, al căror unghi este egal cu zero. Am observat că astfel de linii nu se intersectează nicăieri. Demonstrăm acum că, dacă liniile se află în același plan și nu sunt paralele (adică unghiul dintre ele este diferit de zero), atunci cu siguranță se vor intersecta undeva.

Să fie date două drepte pe plan - XȘi n. Marcăm puncte arbitrare pe ele - OȘi Y- și trageți o a treia linie dreaptă prin aceste puncte - y. Presupunând că unghiul dintre linii XȘi n nu este egal cu zero, atunci unghiurile adiacente nu trebuie să fie egale între ele. Lăsați pentru certitudine α 1 > α 2 așa cum se arată în figură.

Să trecem prin punct O direct n 1 paralel cu linia n. Notă pe el din partea colțului α 1 punct arbitrar N 1 și trageți o linie prin acest punct y 1 paralel cu linia y. În acest caz, se formează un paralelogram, indicat în figură printr-un fundal gri.

Aceasta înseamnă că direct y 1 trece linia n la un moment dat, pe care îl vom desemna prin N. Drept X, intrând în „teritoriul” paralelogramului în punct O trebuie să fi ieșit undeva. Ea o poate face fie prin segment YN, sau prin segment N 1 N. În primul caz, devine imediat evident că linia X trece linia n. Să luăm în considerare al doilea caz. Indicați punctul de intersecție al dreptei Xși tăiați N 1 N peste X unu . Să tragem o linie dreaptă prin el n 2 paralel cu linia n. Această linie împarte paralelogramul PE 1 New Yorkîn două paralelograme noi și intersectează dreapta y la un moment dat Y unu . Notă pe linie dreaptă X un astfel de punct X, pentru care relația

|OY 1 |

Să trecem prin puncte XȘi Y direct. Conform corolarului din teorema Thales considerată mai sus, această dreaptă este paralelă cu dreapta n 2, ceea ce înseamnă că formează un unghi zero cu linia n. Prin urmare, noua linie coincide cu linia n, care astfel intersectează linia X la punct X.

Putem afirma acum că următoarele trei afirmații despre linii necoincidente AȘi b stat în același plan înseamnă exact același lucru:

(1) Unghiul dintre liniile drepte AȘi b este egal cu zero.

(2) Drept AȘi b nu se intersectează nicăieri.

(3) Drept AȘi b sunt paralele.

În cursurile tradiționale de geometrie, definiția paralelismului dreptelor este afirmația 2. În acest scop am ales afirmația 1. La urma urmei, este mult mai ușor să determinați unghiul dintre două drepte decât să vă asigurați că nu se intersectează nicăieri de-a lungul întregii lor linii. lungime infinită.

Abstract

1. Egalitatea formei X 1 /X 2 = y 1 /y 2 se numește proporție. Număratorii sunt proporționali cu numitorii. Numătorul și numitorul unei fracții sunt legate în același mod ca și numărătorul și numitorul altei fracții. Egalitate echivalentă: X 1 /y 1 = X 2 /y 2 .

2. Teorema generalizată a lui Thales. Fie două linii arbitrare AȘi b intersectate de trei drepte paralele. Apoi segmentele tăiate pe linie A, sunt proporționale cu segmentele corespunzătoare tăiate pe o linie dreaptă b.

3. Corolarul 1. Fie laturile unui unghi cu un vârf într-un punct O intersectate de două drepte paralele n 1 și n 2. Apoi segmentele tăiate pe linii drepte n 1 și n 2, sunt legate în același mod ca și segmentele reprezentate de fiecare parte a unghiului din punct O la punctele corespunzătoare de intersecție cu liniile n 1 și n 2 .

4. Consecința 2. Lăsați segmentele de pe părțile laterale ale colțului să fie așezate de vârf în așa fel încât segmentele de pe o parte să fie proporționale cu segmentele de pe cealaltă. Apoi, liniile care trec prin capetele corespunzătoare ale acestor segmente sunt paralele între ele.

5. Toate rapoartele dintre distanțe și toate unghiurile sunt salvate pe hartă. Raportul dintre distanța dintre două puncte de pe hartă și distanța dintre punctele corespunzătoare de pe sol nu depinde de alegerea punctelor și se numește scară.

6. Dacă unghiul dintre două drepte situate în același plan nu este egal cu zero, atunci aceste linii trebuie să se intersecteze.

Acest mormânt este mic, dar gloria asupra lui este imensă.
În ea, în fața voastră, se ascunde Thales cu multe minți.

Inscripție pe mormântul lui Thales din Milet

Imaginați-vă o astfel de imagine. 600 î.Hr Egipt. În fața ta este o piramidă egipteană uriașă. Pentru a surprinde faraonul și a rămâne printre favoriții săi, trebuie să măsurați înălțimea acestei piramide. Nu ai... nimic la dispoziție. Poți cădea în disperare, sau poți face ce Thales din Milet: folosiți teorema asemănării triunghiului. Da, se dovedește că totul este destul de simplu. Thales din Milet a așteptat până când lungimea umbrei sale și înălțimea lui au coincis, apoi, folosind teorema asemănării triunghiului, a găsit lungimea umbrei piramidei, care, în consecință, era egală cu umbra aruncată de piramidă.

Cine este aceasta Thales din Milet? Un om care și-a câștigat faima ca unul dintre cei „șapte înțelepți” ai antichității? Thales din Milet este un filozof grec antic care a excelat în astronomie, precum și în matematică și fizică. Anii vieții lui au fost stabiliți doar aproximativ: 625-645 î.Hr

Printre dovezile cunoștințelor lui Thales despre astronomie se numără următorul exemplu. 28 mai 585 î.Hr predicția unei eclipse de soare de către Milet a ajutat la încheierea războiului dintre Lidia și Media care durase deja de 6 ani. Acest fenomen i-a speriat atât de mult pe medii, încât au acceptat condiții nefavorabile pentru a face pace cu lidienii.

Legenda care îl caracterizează pe Thales ca o persoană plină de resurse este destul de cunoscută. Thales a auzit adesea comentarii nemăgulitoare despre sărăcia lui. Odată el a decis să demonstreze că filozofii pot, dacă doresc, să trăiască din belșug. Chiar și iarna, Thales, observând stelele, a stabilit că vara va fi o recoltă bună de măsline. Apoi a angajat prese de ulei în Milet și Chios. L-a costat destul de ieftin, deoarece iarna practic nu există cerere pentru ele. Când măslinele au dat o recoltă bogată, Thales a început să-și închirieze presele de ulei. O sumă mare de bani strânsă prin această metodă a fost privită ca o dovadă că filozofii pot câștiga cu mintea, dar vocația lor este mai mare decât astfel de probleme pământești. Această legendă, de altfel, a fost repetată chiar de Aristotel.

Cât despre geometrie, multe dintre „descoperirile” sale au fost împrumutate de la egipteni. Și totuși, acest transfer de cunoștințe către Grecia este considerat unul dintre principalele merite ale lui Thales din Milet.

Realizările Thales sunt formularea și dovada următoarelor teoreme:

• unghiurile verticale sunt egale;
• triunghiuri egale sunt acelea în care latura și, respectiv, două unghiuri adiacente sunt egale;
• unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale;
• diametrul traversează cercul;
• Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept.

O altă teoremă poartă numele lui Thales, care este utilă în rezolvarea problemelor geometrice. Există forma ei generalizată și particulară, teorema inversă, formulările pot diferi, de asemenea, ușor în funcție de sursă, dar sensul tuturor rămâne același. Să luăm în considerare această teoremă.

Dacă liniile paralele intersectează laturile unui unghi și taie segmente egale pe una dintre laturile acestuia, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte a acestuia.

Să presupunem că punctele A 1, A 2, A 3 sunt punctele de intersecție ale dreptelor paralele de pe o parte a unghiului și B 1, B 2, B 3 sunt punctele de intersecție ale liniilor paralele cu cealaltă parte a unghiului . Este necesar să se demonstreze că dacă A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, atunci B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Desenați o dreaptă prin punctul B 2 paralelă cu dreapta A 1 A 2 . Să desemnăm o nouă linie dreaptă С 1 С 2 . Se consideră paralelogramele A 1 C 1 B 2 A 2 și A 2 B 2 C 2 A 3 .

Proprietățile paralelogramului ne permit să afirmăm că A1A2 = C 1 B 2 și A 2 A 3 = B 2 C 2 . Și deoarece conform condiției noastre A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, atunci C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

Și, în final, luăm în considerare triunghiurile ∆ C 1 B 2 B 1 și ∆ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (demonstrat mai sus).

Și aceasta înseamnă că Δ C 1 B 2 B 1 și Δ C 2 B 2 B 3 vor fi egale conform celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor (de-a lungul laturii și unghiurilor adiacente).

Astfel, se demonstrează teorema lui Thales.

Utilizarea acestei teoreme va facilita și grăbi foarte mult rezolvarea problemelor geometrice. Mult succes în stăpânirea acestei științe distractive a matematicii!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Dacă laturile unghiului sunt străbătute de linii drepte paralele care împart una dintre laturi în mai multe segmente, atunci a doua latură, liniile drepte, vor fi, de asemenea, împărțite în segmente echivalente cu cealaltă latură.

Teorema lui Thales demonstrează următoarele: С 1 , С 2 , С 3 - acestea sunt locurile în care liniile paralele se intersectează pe orice parte a unghiului. C 2 este la mijloc față de C 1 și C 3 .. Punctele D 1 , D 2 , D 3 sunt locurile în care se intersectează liniile, care corespund dreptelor cu cealaltă latură a unghiului. Demonstrăm că atunci când C 1 C 2 \u003d C 2 C z, atunci D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 .
Desenăm un segment drept KR în locul D 2, paralel cu secțiunea C 1 C 3. În proprietățile unui paralelogram C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. Dacă C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, atunci KD 2 \u003d D 2 P.

Figurile triunghiulare rezultate D 2 D 1 K și D 2 D 3 P sunt egale. Și D 2 K=D 2 P prin demonstrație. Unghiurile cu punctul superior D 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile D 2 KD 1 și D 2 PD 3 sunt egale ca cruci interioare situate cu paralele C 1 D 1 și C 3 D 3 și care separă KP.
Deoarece D 1 D 2 =D 2 D 3 teorema se demonstrează prin egalitatea laturilor triunghiului

Nota: Dacă luăm nu laturile unghiului, ci două segmente drepte, demonstrația va fi aceeași.
Orice segmente de linie dreaptă paralele între ele, care intersectează cele două linii pe care le luăm în considerare și împart una dintre ele în secțiuni identice, procedează la fel cu a doua.

Să ne uităm la câteva exemple

Primul exemplu

Condiția sarcinii este de a împărți linia CD în P segmente identice.
Desenăm din punctul C o semilinie c, care nu se află pe dreapta CD. Să marchem părțile de aceeași dimensiune pe el. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Legăm C p cu D. Tragem drepte din punctele C 1, C 2, ...., C p -1 care va fi paralelă cu C p D. Dreptele vor intersecta CD în locurile D 1 D 2 D p-1 și împarte linia CD în n segmente identice.

Al doilea exemplu

Punctul CK este marcat pe latura AB a triunghiului ABC. Segmentul SK intersectează mediana AM a triunghiului în punctul P, în timp ce AK = AP. Este necesar să găsiți raportul dintre VC și RM.
Tragem o linie dreaptă prin punctul M, paralelă cu SC, care intersectează AB în punctul D

De Teorema lui ThalesВD=КD
Prin teorema segmentelor proporționale, obținem asta
PM \u003d KD \u003d VK / 2, prin urmare, VK: PM \u003d 2: 1
Răspuns: VK: RM = 2:1

Al treilea exemplu

În triunghiul ABC, latura BC = 8 cm Linia DE intersectează laturile AB și BC paralele cu AC. Și decupează pe partea BC segmentul EU = 4cm. Demonstrați că AD = DB.

Deoarece BC = 8 cm și EU = 4 cm, atunci
BE = BC-EU, deci BE = 8-4 = 4(cm)
De Teorema lui Thales, deoarece AC este paralel cu DE și EC \u003d BE, prin urmare, AD \u003d DB. Q.E.D.

În revista pentru femei - online, vei găsi o mulțime de informații interesante pentru tine. Există, de asemenea, o secțiune dedicată poeziei scrise de Serghei Yesenin. Intră, nu vei regreta!

Nu există restricții privind aranjarea reciprocă a secantelor în teoremă (este adevărat atât pentru drepte care se intersectează, cât și pentru cele paralele). De asemenea, nu contează unde se află segmentele de linie pe secante.

Dovada în cazul dreptelor paralele

Să tragem o linie BC. Unghiurile ABC și BCD sunt egale ca cruci interioare aflate sub liniile paralele AB și CD și secante BC, iar unghiurile ACB și CBD sunt egale ca cruci interioare situate sub liniile paralele AC și BD și secante BC. Apoi, conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiurile ABC și DCB sunt congruente. Aceasta implică faptul că AC = BD și AB = CD. ■

De asemenea, există teorema segmentului proporțional:

Liniile paralele taie segmente proporționale la secante: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Teorema inversă

Dacă în teorema Thales segmentele egale încep de la vârf (această formulare este adesea folosită în literatura școlară), atunci teorema inversă se va dovedi a fi adevărată. Pentru secantele care se intersectează, se formulează după cum urmează:

Astfel (vezi Fig.) din faptul că $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ rezultă că direct $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Dacă secantele sunt paralele, atunci este necesar să se solicite egalitatea segmentelor de pe ambele secante între ele, altfel această afirmație devine incorectă (un contraexemplu este un trapez intersectat de o dreaptă care trece prin punctele mijlocii ale bazelor).

Variații și generalizări

Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky:

Teorema lui Thales este folosită și astăzi în navigația maritimă, ca regulă că o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă navele continuă să se îndrepte una spre alta. În afara literaturii de limba rusă, teorema Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că un unghi înscris bazat pe diametrul unui cerc este unul drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus. Scrieți o recenzie despre articolul „Teorema lui Thales” Literatură Atanasyan L. S. și alții. Geometrie 7-9. - Ed. al 3-lea. - M .: Iluminismul, 1992. Note Vezi si Teorema lui Thales asupra unui unghi bazat pe diametrul unui cerc Un fragment care caracterizează teorema lui Thales „Nu cred nimic, pur și simplu nu înțeleg... - Stai, Sonya, vei înțelege totul. Vezi ce fel de persoană este. Nu gândi lucruri rele despre mine sau despre el. „Nu cred lucruri rele despre nimeni: îi iubesc pe toată lumea și îmi pare rău pentru toată lumea. Dar ce să fac? Sonya nu a renunțat la tonul blând cu care i s-a adresat Natasha. Cu cât expresia Natașei era mai blândă și mai cercetătoare, cu atât fața Sonyei era mai serioasă și mai aspră. „Natasha”, a spus ea, „mi-ai cerut să nu vorbesc cu tine, eu nu, acum tu însuți ai început. Natasha, nu-l cred. De ce acest secret? - Din nou din nou! îl întrerupse Natasha. - Natasha, mi-e teamă pentru tine. - De ce să-ți fie frică? „Mi-e teamă că te vei ruina”, a spus Sonya hotărâtă, ea însăși speriată de ceea ce a spus. Chipul Natașei exprima din nou furia. „Și voi distruge, voi distruge, mă voi distruge cât mai curând posibil. Treaba ta. Nu pentru tine, dar pentru mine va fi rău. Pleacă, lasă-mă. Vă urăsc. - Natasha! strigă Sonya speriată. -Urasc, urasc! Și tu ești dușmanul meu pentru totdeauna! Natasha a fugit din cameră. Natasha nu a mai vorbit cu Sonya și a evitat-o. Cu aceeași expresie de surpriză agitată și criminalitate, ea se plimba prin camere, luând mai întâi această ocupație și apoi o altă ocupație și abandonându-le imediat. Oricât de greu a fost pentru Sonya, ea și-a ținut ochii pe prietena ei. În ajunul zilei în care trebuia să se întoarcă contele, Sonya a observat că Natasha stătuse toată dimineața la fereastra sufrageriei, de parcă aștepta ceva și că făcuse un fel de semn militarului în trecere, pe care Sonya l-a confundat cu Anatole. Sonya a început să-și observe și mai atent prietena și a observat că Natasha era într-o stare ciudată și nefirească tot timpul prânzului și serii (a răspuns nepotrivit la întrebările care i-au fost puse, a început și nu a terminat fraze, a râs de tot). După ceai, Sonya a văzut o servitoare timidă care o aștepta la ușa Natașei. A lăsat-o să treacă și, ascultând cu urechea la ușă, a aflat că scrisoarea fusese din nou predată. Și deodată i-a devenit clar pentru Sonya că Natasha avea un fel de plan groaznic pentru această seară. Sonya a bătut la ușă. Natasha nu a lăsat-o să intre. „Va fugi cu el! gândi Sonya. Ea este capabilă de orice. Astăzi era ceva deosebit de patetic și hotărât în ​​fața ei. A izbucnit în plâns, luându-și rămas bun de la unchiul ei, și-a amintit Sonya. Da, așa e, ea aleargă cu el - dar ce să fac? gândi Sonya, amintindu-și acum acele semne care dovedeau clar de ce Natasha avea un fel de intenție groaznică. „Nu există nicio numărătoare. Ce să fac, să-i scriu lui Kuragin, cerându-i o explicație? Dar cine îi spune să răspundă? Scrie-i lui Pierre, așa cum a întrebat prințul Andrei în caz de accident?... Dar poate, de fapt, ea îl refuzase deja pe Bolkonsky (i-a trimis o scrisoare prințesei Marya ieri). Nu există unchi!” Sonyei i s-a părut groaznic să-i spună Mariei Dmitrievna, care credea atât de mult în Natasha. Dar într-un fel sau altul, se gândi Sonya, stând pe un coridor întunecat: acum sau niciodată a venit momentul să demonstrez că îmi amintesc de faptele bune ale familiei lor și că-l iubesc pe Nicolas. Nu, nu voi dormi cel puțin trei nopți, dar nu voi părăsi acest coridor și nu o voi lăsa să intre cu forța și nu voi lăsa rușinea să cadă asupra familiei lor ", s-a gândit ea. Anatole s-a mutat recent la Dolokhov. Planul pentru răpirea Rostovei fusese deja gândit și pregătit de Dolokhov de câteva zile, iar în ziua în care Sonya, după ce a auzit-o pe Natasha la ușă, a decis să o protejeze, acest plan urma să fie realizat. Natasha a promis că va ieși la Kuragin pe veranda din spate la ora zece seara. Kuragin trebuia să o pună într-o troică pregătită și să o ducă la 60 de mile de la Moscova până în satul Kamenka, unde era pregătit un preot tuns, care trebuia să se căsătorească cu ei. În Kamenka, era gata o instalație, care trebuia să-i ducă pe drumul Varshavskaya și acolo trebuia să călătorească în străinătate cu poștă. Anatole avea un pașaport și al unui călător și zece mii de bani luați de la sora lui și zece mii împrumutați prin Dolohov. Doi martori — Hvostikov, fostul funcționar pe care Dolokhov și Makarin obișnuiau să-l joace, un husar pensionar, un om bun și slab, care avea o dragoste nemărginită pentru Kuragin — stăteau în prima cameră la ceai. În biroul mare al lui Dolokhov, decorat de la perete până la tavan cu covoare persane, piei de urs și arme, Dolokhov stătea într-un călător de călătorie și cizme în fața unui birou deschis, pe care stăteau bancnote și tecoane de bani. Anatole, în uniforma descheiată, a mers din camera în care stăteau martorii, prin birou până în camera din spate, unde lacheul său francez și alții împachetau ultimele lucruri. Dolokhov a numărat banii și i-a notat. „Ei bine”, a spus el, „ lui Khvostikov ar trebui să i se dea două mii. - Ei bine, lasă-mă, - spuse Anatole. - Makarka (așa numeau ei Makarina), aceasta dezinteresat pentru tine prin foc și în apă. Ei bine, scorurile s-au terminat, - a spus Dolokhov, arătându-i un bilet. - Asa de? „Da, desigur, așa stau lucrurile”, a spus Anatole, aparent că nu l-a ascultat pe Dolokhov și cu un zâmbet care nu i-a părăsit chipul, privind înaintea lui.

Teorema 6.6 (teorema lui Thales).Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte a acestuia, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.(Fig. 131).

Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 131). Fie B 1 , B 2 , B 3 punctele de intersecție corespunzătoare ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 Az, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2 paralel cu dreapta A 1 A 3 . Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E. Și deoarece A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, atunci FB 2 \u003d B 2 E.

Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale la al doilea criteriu. Ei au B 2 F=B 2 E prin dovedit. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și o secantă EF.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.

Cometariu. În condiția teoremei Thales, în loc de laturile unghiului, puteți lua oricare două drepte, în timp ce concluzia teoremei va fi aceeași:

linii paralele care intersectează două linii date și tăind segmente egale pe o linie, tăiați segmente egale pe cealaltă linie.

Uneori teorema lui Thales va fi aplicată și în această formă.

Problema (48). Împărțiți segmentul AB dat în n părți egale.

Soluţie. Să desenăm din punctul A o semi-linie a care nu se află pe dreapta AB (Fig. 132). Lăsați deoparte segmente egale pe semilinia a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Conectați punctele A n și B. Desenați prin punctele A 1, A 2, .... A n -1 drepte paralele cu dreapta A n B. Ele intersectează segmentul AB în punctele B 1, B 2, B n-1, care împart segmentul AB în n segmente egale (conform teoremei Thales).

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ