Toate formulele de cifre. Cum se calculează aria unei figuri. Triunghi. Prin bază și înălțime

13.02.2022

Faringe

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și trucuri simple, despre care vom vorbi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie în partea a doua a examenului de profil la matematică, se folosesc și alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri non-standard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm cu toții și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater printr-o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Răspuns: .

2. În unele cazuri, aria figurii poate fi reprezentată ca diferența oricăror zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea din acest triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Le vezi in poza? Primim: .

Răspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, este necesar să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a părții sale. De obicei, vorbim despre aria sectorului - o parte a cercului. Găsiți aria sectorului cercului de rază , a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu , deoarece . Rămâne să aflăm ce parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este (din moment ce), iar lungimea arcului acestui sector este , prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul pe care se sprijină acest arc este, de asemenea, de ori mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.

Cunoștințele despre măsurarea Pământului au apărut în antichitate și s-au conturat treptat în știința geometriei. Din limba greacă, acest cuvânt este tradus ca „agrimensiune”.

Măsura lungimii unei zone plane a Pământului în lungime și lățime este aria. În matematică, este de obicei notat cu litera latină S (din engleză „square” - „area”, „pătrat”) sau litera greacă σ (sigma). S desemnează aria unei figuri pe un plan sau aria suprafeței unui corp, iar σ este aria secțiunii transversale a unui fir în fizică. Acestea sunt simbolurile principale, deși pot exista și altele, de exemplu, în domeniul rezistenței materialelor, A este aria secțiunii transversale a profilului.

In contact cu

Formule de calcul

Cunoscând zonele figurilor simple, puteți găsi parametrii celor mai complexe.. Matematicienii antici au dezvoltat formule prin care acestea pot fi calculate cu ușurință. Astfel de figuri sunt un triunghi, un patrulater, un poligon, un cerc.

Pentru a găsi aria unei figuri complexe complexe, aceasta este împărțită în multe forme simple, cum ar fi triunghiuri, trapeze sau dreptunghiuri. Apoi, metodele matematice derivă o formulă pentru aria acestei figuri. O metodă similară este folosită nu numai în geometrie, ci și în analiza matematică pentru a calcula zonele figurilor delimitate de curbe.

Triunghi

Să începem cu cea mai simplă formă - un triunghi. Sunt dreptunghiulare, isoscele și echilaterale. Luați orice triunghi ABC cu laturile AB=a, BC=b și AC=c (∆ ABC). Pentru a-i găsi aria, să ne amintim teoremele sinusurilor și cosinusurilor cunoscute de la cursul de matematică din școală. Lăsând toate calculele, ajungem la următoarele formule:

S=√ - Formula lui Heron cunoscută tuturor, unde p=(a+b+c)/2 - jumătate de perimetru al unui triunghi;
S=a h/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;
S=a b (sin γ)/2, unde γ este unghiul dintre laturile a și b;
S=a b/2 dacă ∆ ABC este dreptunghiular (aici a și b sunt catete);
S=b² (sin (2 β))/2 dacă ∆ ABC este isoscel (aici b este unul dintre „șolduri”, β este unghiul dintre „șoldurile” triunghiului);
S=a² √¾ dacă ∆ ABC este echilateral (aici a este latura triunghiului).

Patrulater

Fie un patrulater ABCD cu AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Pentru a găsi aria S a unui 4-gon arbitrar, este necesar să o împărțim cu o diagonală în două triunghiuri ale căror zone S1 și S2 nu sunt în general egale.

Apoi, folosind formulele, calculează-le și adună-le, adică S=S1+S2. Cu toate acestea, dacă quad-ul aparține unei anumite clase, atunci aria sa poate fi găsită folosind formulele cunoscute anterior:

S=(a+c) h/2=eh, dacă quad-ul este un trapez (aici a și c sunt bazele, e este linia de mijloc a trapezului, h este înălțimea coborâtă la una dintre bazele trapezului ;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, dacă ABCD este un paralelogram (aici φ este unghiul dintre laturile a și b, h este înălțimea coborâtă pe latura a, d1 și d2 sunt diagonale);
S=a b=d²/2 dacă ABCD este un dreptunghi (d este o diagonală);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 dacă ABCD este un romb (a este latura rombului, φ este unul dintre colțurile acestuia, P este perimetrul);
S=a²=P²/16=d²/2 dacă ABCD este un pătrat.

Poligon

Pentru a găsi aria unui n-gon, matematicienii o descompun în cele mai simple triunghiuri egale, găsesc aria fiecăruia dintre ele și apoi le adună. Dar dacă poligonul aparține clasei celor obișnuite, atunci se utilizează formula:

S=anh/2=a² n/=P²/, unde n este numărul de vârfuri (sau laturi) poligonului, a este latura n-gonului, P este perimetrul acestuia, h este apotema, adică segment trasat din centrul poligonului spre una dintre laturile acestuia la un unghi de 90°.

Un cerc

Un cerc este un poligon perfect cu un număr infinit de laturi.. Trebuie să calculăm limita expresiei din dreapta în formula zonei poligonului cu numărul de laturi n tinzând spre infinit. În acest caz, perimetrul poligonului se va transforma în lungimea unui cerc cu raza R, care va fi limita cercului nostru, și va deveni egal cu P=2 π R. Înlocuiți această expresie în formula de mai sus. Vom lua:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Să găsim limita acestei expresii ca n→∞. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare că lim (cos (180°/n)) pentru n→∞ este egal cu cos 0°=1 (lim este semnul limitei), iar lim = lim pentru n→∞ este egal cu 1/π (am translatat măsura gradului în radian, folosind raportul π rad=180°, și am aplicat prima limită remarcabilă lim (sin x)/x=1 la x→∞). Înlocuind valorile obținute în ultima expresie pentru S, ajungem la formula binecunoscută:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Unități

Se aplică unități de măsură de sistem și non-sistem. Unitățile de sistem sunt denumite SI (System International). Acesta este un metru pătrat (metru pătrat, m²) și unități derivate din acesta: mm², cm², km².

În milimetri pătrați (mm²), de exemplu, măsoară aria secțiunii transversale a firelor în inginerie electrică, în centimetri pătrați (cm²) - secțiunea transversală a unei grinzi în mecanica structurală, în metri pătrați (m²). ) - un apartament sau o casă, în kilometri pătrați (km²) - un teritoriu în geografie .

Cu toate acestea, uneori sunt folosite unități de măsură nesistemice, cum ar fi: țesut, ar (a), hectar (ha) și acre (ac). Oferim următoarele rapoarte:

1 țesătură \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 acri = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 acri = 0,405 ha.

Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață în afara sistemului este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața măsurată este o bucată de pământ. Unitatea de unitate a ariei sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, se obișnuiește să se considere că unitatea de suprafață a unei suprafețe plane este un metru pătrat. În CGS, unitatea de suprafață este exprimată în centimetri pătrați.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul suprafețelor cifrelor plate se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe cifre, sunt derivate mai multe opțiuni, în funcție de care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cel mai simplu mod de a o rezolva. Acest lucru facilitează calculul și reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare zona principală a figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe moduri:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează exact în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă, totuși, piciorul este luat ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,b și funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. Poate fi găsit și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

În conformitate cu această egalitate, puteți, de asemenea, să vă asigurați că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile picioarelor. pentru că unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, în care latura a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă doriți să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci aveți nevoie de funcția sinusoială a unghiului format atunci când se intersectează. Formula pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este definită ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un dreptunghi se numește pătrat. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calculul ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați o diagonală:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimii și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Este necesară o anumită valoare, care va fi luată de funcția trigonometrică a unghiului format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind operații matematice simple cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale de la d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pentru un unghi drept, această funcție este egală cu unu. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. De asemenea, nu este greu de demonstrat acest lucru, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă lungimile lor sunt indicate în problemă? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. pentru că această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. În același timp, se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular, conceptele de înălțime și latură sunt combinate. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Luați în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri, numite baze, și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza de lungime egală cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale sunt în concordanță cu o anumită pereche. Fețele care sunt opuse au aceiași parametri. Mai întâi găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Apoi aria suprafeței paralelipipedului:

Inel

Două cercuri cu un centru comun formează un inel. Ele limitează, de asemenea, zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul, care calculează aria inelului, conține raze R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată folosind diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului conform razelor cunoscute se calculează după cum urmează:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este corectă? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, poate fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Pick. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul poliliniei cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează în acest fel:

unde C, D - numărul de puncte situate în interiorul și respectiv pe întreaga polilinie.

Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.

Formule de suprafață pătrată

Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
S= 1 2
2

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară

Formule pentru aria unui paralelogram

Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
Zona paralelogramului
Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
a b sinα

Formule pentru aria unui romb

Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.

Formulele zonei trapezului

Formula lui Heron pentru un trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimea bazelor trapezului,
- lungimea laturilor trapezului,