Aflați unghiul liniar al unui unghi diedru. Lecția „Unghiul diedric”

Subiectul lecției: " Unghi diedru».

Obiectivul lecției: introducerea conceptului de unghi diedru și a unghiului său liniar.

Sarcini:

Educațional: luați în considerare sarcini privind aplicarea acestor concepte, dezvoltați abilitățile constructive de a găsi unghiul dintre planuri;

Dezvoltare: dezvoltare gândire creativă elevi, autodezvoltare personală elevi, dezvoltarea vorbirii elevilor;

Educațional: cultivarea unei culturi a muncii mentale, a culturii comunicative, a culturii reflexive.

Tip de lecție: lecție de învățare a cunoștințelor noi

Metode de predare: explicative și ilustrative

Echipament: computer, tablă interactivă.

Literatură:

Geometrie. Clasele 10-11: manual. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev etc.] - ed. a XVIII-a. – M.: Educație, 2009. – 255 p.

Planul lecției:

Moment organizatoric (2 min)

Actualizarea cunoștințelor (5 min)

Învățarea de materiale noi (12 min)

Întărirea materialului învățat (21 min)

Teme pentru acasă(2 min)

Rezumat (3 min)

Progresul lecției:

1. Moment organizatoric.

Include salutul profesorului, pregătirea sălii pentru lecție și verificarea absenților.

2. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Profesor: În ultima lecție pe care ai scris-o munca independenta. În general, lucrarea a fost scrisă bine. Acum să repetăm ​​puțin. Cum se numește un unghi într-un plan?

Student: Un unghi pe un plan este o figură formată din două raze care emană dintr-un punct.

Profesor: Cum se numește unghiul dintre liniile din spațiu?

Student: Unghiul dintre două drepte care se intersectează în spațiu este cel mai mic dintre unghiurile formate de razele acestor drepte cu vârful în punctul de intersecție.

Student: Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre liniile care se intersectează, respectiv, paralel cu datele.

Profesor: Cum se numeste unghiul dintre o dreapta si un plan?

Student: Unghiul dintre o linie dreaptă și un planOrice unghi dintre o linie dreaptă și proiecția ei pe acest plan se numește.

3.Învățarea de noi materiale.

Profesor: În stereometrie, împreună cu astfel de unghiuri, este considerat un alt tip de unghi - unghiuri diedrice. Probabil ai ghicit deja care este subiectul lecției de astăzi, așa că deschide-ți caietele, notează data de azi și subiectul lecției.

Scrieți pe tablă și în caiete:

10.12.14.

Unghiul diedric.

Profesor : Pentru a introduce conceptul de unghi diedru, trebuie amintit că orice dreaptă trasată într-un plan dat împarte acest plan în două semiplane.(Fig. 1, a)

Profesor : Să ne imaginăm că am îndoit planul de-a lungul unei linii drepte, astfel încât două semiplane cu o limită să nu se mai afle în același plan (Fig. 1, b). Figura rezultată este unghiul diedru. Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă și două semiplane cu o limită comună care nu aparțin aceluiași plan. Semiplanurile care formează un unghi diedru se numesc fețele sale. Un unghi diedru are două laturi, de unde și numele de unghi diedru. direct - frontieră comună semiplane – numită muchia unui unghi diedru. Scrieți definiția în caiet.

Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă și două semiplane cu o limită comună care nu aparțin aceluiași plan.

Profesor : IN viata de zi cu ziîntâlnim adesea obiecte care au forma unui unghi diedru. Dați exemple.

Student : Dosar pe jumătate deschis.

Student : Peretele camerei este împreună cu podeaua.

Student : Acoperișuri în două frontoane cladiri.

Profesor : Corect. Și există un număr mare de astfel de exemple.

Profesor : După cum știți, unghiurile dintr-un plan sunt măsurate în grade. Probabil aveți o întrebare, cum se măsoară unghiurile diedrice? S-a terminat după cum urmează. Să marchem un punct pe marginea unghiului diedru și să desenăm o rază perpendiculară pe margine din acest punct pe fiecare față. Unghiul format de aceste raze se numește unghiul liniar al unghiului diedru. Faceți un desen în caiete.

Scrieți pe tablă și în caiete.

DESPRE ∈ a, SA ⊥ a, VO ⊥ o, SABD– unghi diedru,∠ AOB– unghi liniar unghi diedru.

Profesor : Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale. Fă-ți un alt desen ca acesta.

Profesor : Să demonstrăm. Se consideră două unghiuri liniare AOB șiPQR. Razele OA șiQPse află pe aceeași față și sunt perpendiculareOQ, ceea ce înseamnă că sunt co-regizați. În mod similar, razele OB șiQRco-regiat. Mijloace,∠ AOB= ∠ PQR(ca unghiuri cu laturile aliniate).

Profesor : Ei bine, acum răspunsul la întrebarea noastră este cum se măsoară unghiul diedric.Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar. Redesenați imaginile unui unghi diedru acut, drept și obtuz din manualul de la pagina 48.

4. Consolidarea materialului studiat.

Profesor : Faceți desene pentru sarcini.

№ 1 . Dat: ΔABC, AC = BC, AB se află în planα, CD ⊥ α, C∉ α. Construiți unghiul liniar al unghiului diedricCABD.

Student : Soluție:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - Căutat.

№ 2. Dat: ΔABC, ∠ C= 90°, BC se află pe planα, JSC⊥ α, O∈ α.

Construiți unghiul liniar al unghiului diedruABCO.

Student : Soluție:AB ⊥ B.C., SA⊥ BC înseamnă OS⊥ Soare.∠ ACO - Căutat.

№ 3 . Dat: ΔABC, ∠ C = 90°, AB se află în planα, CD⊥ α, C∉ α. Construiunghi diedru liniarDABC.

Student : Soluție: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB înseamnă∠ DKC - Căutat.

№ 4 . Dat:DABC- tetraedru,DO⊥ ABC.Construiți unghiul liniar al unghiului diedruABCD.

Student : Soluție:DM ⊥ soare,DO ⊥ VS înseamnă OM⊥ Soare;∠ OMD - Căutat.

5. Rezumând.

Profesor: Ce nou ai învățat în clasă astăzi?

Elevii : Ce se numește unghi diedru, unghi liniar, cum se măsoară unghiul diedru.

Profesor : Ce au repetat?

Elevii : Ceea ce se numește unghi pe un plan; unghiul dintre liniile drepte.

6.Tema pentru acasă.

Scrieți pe tablă și în jurnalele dvs.: paragraful 22, nr. 167, nr. 170.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției: introduceți conceptul de unghi diedru și unghiul său liniar;

ia în considerare sarcini privind aplicarea acestor concepte;

dezvoltarea abilității constructive de a găsi unghiul dintre planuri;

luați în considerare sarcini privind aplicarea acestor concepte.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției, formulați obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor elevilor (diapozitivul 2, 3).

1. Pregătirea pentru studiul materialului nou.

Cum se numește un unghi într-un plan?

Cum se numește unghiul dintre liniile din spațiu?

Cum se numeste unghiul dintre o dreapta si un plan?

Prezentați teorema celor trei perpendiculare

III. Învățarea de materiale noi.

• Conceptul de unghi diedru.

O figură formată din două semiplane care trec printr-o dreaptă MN se numește unghi diedru (diapozitivul 4).

Semiplanurile sunt fețe, linia dreaptă MN este o muchie a unui unghi diedru.

Ce obiecte din viața de zi cu zi au forma unui unghi diedru? (Diapozitivul 5)

• Unghiul dintre planele АСН și СНD este unghiul diedru АСНD, unde СН este o muchie. Punctele A și D se află pe fețele acestui unghi. Unghiul AFD este unghiul liniar al unghiului diedru ACHD (diapozitivul 6).

• Algoritm pentru construirea unui unghi liniar (diapozitivul 7).

1 cale. Pe margine, luați orice punct O și trageți perpendiculare pe acest punct (PO DE, KO DE) pentru a obține unghiul ROK - liniar.

Metoda 2. Într-un semiplan, luați punctul K și lăsați două perpendiculare de pe acesta pe un alt semiplan și o muchie (KO și KR), apoi prin teorema inversă TTP PODE

• Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale (diapozitivul 8). Dovada: razele OA și O 1 A 1 sunt co-dirijate, razele OB și O 1 B 1 sunt de asemenea co-dirijate, unghiurile BOA și B 1 O 1 A 1 sunt egale ca unghiuri cu laturile co-direcționate.

• Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar (diapozitivul 9).

IV. Consolidarea materialului studiat.

• Rezolvarea problemelor (oral folosind desene gata făcute).

(Diapozitive 10-12)

1. RAVS – piramidă; unghiul ACB este egal cu 90°, dreapta PB este perpendiculară pe planul ABC. Demonstrați că unghiul RSV este un unghi liniar al unui unghi diedru cu

2. RAVS - piramidă; AB = BC, D este mijlocul segmentului AC, dreapta PB este perpendiculară pe planul ABC. Demonstrați că unghiul PDB este un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia AC.

• 3. PABCD – piramidă; dreapta PB este perpendiculară pe planul ABC, BC este perpendiculară pe DC. Demonstrați că unghiul RKB este un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia CD.

Probleme privind construirea unui unghi liniar (diapozitivele 13-14).

1. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia AC, dacă în piramida RABC fața ABC este un triunghi regulat, O este punctul de intersecție al medianelor, dreapta PO este perpendiculară pe planul ABC

2. Dat un romb ABCD Linia dreaptă RS este perpendiculară pe planul ABCD.

• Construiți unghiul liniar al unui unghi diedru cu muchia ВD și unghiul liniar al unui unghi diedru cu muchia AD.

Sarcina de calcul. (Diapozitivul 15)

În paralelogramul ABCD, unghiul ADC este egal cu 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, dreapta RS este perpendiculară pe planul ABC, RS = 9 cm.

Aflați dimensiunea unghiului diedrului cu muchia AD și aria paralelogramului.

V. Tema pentru acasă (diapozitivul 16).

P. 22, Nr. 168, 171.

1. Literatura folosita:
2. Geometrie 10-11 L.S.Atanasyan.

Sistem de probleme pe tema „Unghiuri diedrice” de M.V Sevostyanova (Murmansk), revista Matematică la școală 198... Mărimea unghiului dintre două planuri diferite poate fi determinată pentru oricare poziție relativă

avioane.

Un caz banal dacă planurile sunt paralele. Atunci unghiul dintre ele este considerat egal cu zero.

Un caz non-trivial dacă planurile se intersectează. Acest caz face obiectul unor discuții ulterioare. Mai întâi avem nevoie de conceptul de unghi diedru.

9.1 Unghiul diedric

Un unghi diedru sunt două semiplane cu o linie dreaptă comună (care se numește marginea unghiului diedru). În fig. 50 prezintă un unghi diedru format din semiplane şi; marginea acestui unghi diedric este dreapta a, comună acestor semiplane.

Orez. 50. Unghiul diedric

Unghiul diedrului poate fi măsurat în grade sau radiani într-un cuvânt, introduceți valoarea unghiulară a unghiului diedric. Acest lucru se face după cum urmează.

Pe marginea unghiului diedric format din semiplane și, luăm un punct arbitrar M. Să desenăm razele MA și MB, respectiv situate în aceste semiplane și perpendiculare pe muchie (Fig. 51).

Orez. 51. Unghiul diedric liniar

Definiţie. Mărimea unghiulară a unui unghi diedru este mărimea unghiului liniar al unui unghi diedru dat.

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele (la urma urmei, ele sunt obținute unul de celălalt printr-o deplasare paralelă). De aceea această definiție corect: valoarea „ nu depinde de alegerea specifică a punctului M de pe marginea unghiului diedrului.

9.2 Determinarea unghiului dintre planuri

Când două plane se intersectează, se obțin patru unghiuri diedrice. Dacă toate au aceeași dimensiune (90 fiecare), atunci planurile se numesc perpendiculare; Unghiul dintre planuri este atunci de 90.

Dacă nu toate unghiurile diedrice sunt la fel (adică sunt două acute și două obtuze), atunci unghiul dintre plane este valoarea unghiului diedric acut (Fig. 52).

Orez. 52. Unghiul dintre planuri

9.3 Exemple de rezolvare a problemelor

Să ne uităm la trei probleme. Primul este simplu, al doilea și al treilea sunt aproximativ la nivelul C2 la examenul unificat de stat la matematică.

Problema 1. Aflați unghiul dintre două fețe ale unui tetraedru regulat.

Soluţie. Fie ABCD un tetraedru regulat. Să desenăm medianele AM ​​și DM ale fețelor corespunzătoare, precum și înălțimea tetraedrului DH (Fig. 53).

Orez. 53. La sarcina 1

Fiind mediane, AM și DM sunt, de asemenea, altitudini ale triunghiurilor echilaterale ABC și DBC. Prin urmare, unghiul " = \AMD este unghiul liniar al unghiului diedru format din fețele ABC și DBC. Îl găsim din triunghiul DHM:

			1 AM

Raspuns: arccos 1 3 .

Sarcina 2. În corect piramida patruunghiulara SABCD (cu vârful S) coastă laterală egal cu latura bazei. Punctul K este mijlocul muchiei SA. Găsiți unghiul dintre avioane

Soluţie. Linia BC este paralelă cu AD și deci paralelă cu planul ADS. Prin urmare, planul KBC intersectează planul ADS de-a lungul liniei drepte KL paralelă cu BC (Fig. 54).

Orez. 54. La sarcina 2

În acest caz, KL va fi, de asemenea, paralel cu linia AD; prin urmare KL linia mediană triunghiul ADS, iar punctul L este mijlocul lui DS.

Să aflăm înălțimea piramidei SO. Fie N mijlocul lui DO. Atunci LN este linia de mijloc a triunghiului DOS și, prin urmare, LN k SO. Aceasta înseamnă că LN este perpendicular pe planul ABC.

Din punctul N coborâm perpendiculara NM pe dreapta BC. Linia dreaptă NM va fi proiecția LM înclinată pe planul ABC. Din teorema celor trei perpendiculare rezultă că LM este, de asemenea, perpendicular pe BC.

Astfel, unghiul " = \LMN este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele KBC și ABC. Vom căuta acest unghi din triunghi dreptunghic LMN.

Fie ca marginea piramidei să fie egală cu a. Mai întâi găsim înălțimea piramidei:

SO=p

Soluţie. Fie L punctul de intersecție al dreptelor A1 K și AB. Apoi planul A1 KC intersectează planul ABC de-a lungul dreptei CL (Fig.55).

O C

Orez. 55. La problema 3

Triunghiurile A1 B1 K și KBL sunt egale de-a lungul catetei și colț ascuțit. Prin urmare, celelalte catete sunt egale: A1 B1 = BL.

Luați în considerare triunghiul ACL. În ea BA = BC = BL. Unghiul CBL este 120; prin urmare, \BCL = 30 . De asemenea, \BCA = 60 . Prin urmare \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Deci, LC? AC. Dar linia AC servește ca proiecție a dreptei A1 C pe planul ABC. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că LC ? A1 C.

Astfel, unghiul A1 CA este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele A1 KC și ABC. Acesta este unghiul dorit. Din triunghiul dreptunghic isoscel A1 AC vedem că este egal cu 45.

Mărimea unghiului dintre două plane diferite poate fi determinată pentru orice poziție relativă a planurilor.

avioane.

Un caz banal dacă planurile sunt paralele. Atunci unghiul dintre ele este considerat egal cu zero.

Un caz non-trivial dacă planurile se intersectează. Acest caz face obiectul unor discuții ulterioare. Mai întâi avem nevoie de conceptul de unghi diedru.

9.1 Unghiul diedric

Un unghi diedru sunt două semiplane cu o linie dreaptă comună (care se numește marginea unghiului diedru). În fig. 50 prezintă un unghi diedru format din semiplane şi; marginea acestui unghi diedric este dreapta a, comună acestor semiplane.

Orez. 50. Unghiul diedric

Unghiul diedrului poate fi măsurat în grade sau radiani într-un cuvânt, introduceți valoarea unghiulară a unghiului diedric. Acest lucru se face după cum urmează.

Pe marginea unghiului diedric format din semiplane și, luăm un punct arbitrar M. Să desenăm razele MA și MB, respectiv situate în aceste semiplane și perpendiculare pe muchie (Fig. 51).

Orez. 51. Unghiul diedric liniar

Definiţie. Mărimea unghiulară a unui unghi diedru este mărimea unghiului liniar al unui unghi diedru dat.

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele (la urma urmei, ele sunt obținute unul de celălalt printr-o deplasare paralelă). Prin urmare, această definiție este corectă: valoarea " nu depinde de alegerea specifică a punctului M de pe marginea unghiului diedrului.

9.2 Determinarea unghiului dintre planuri

Când două plane se intersectează, se obțin patru unghiuri diedrice. Dacă toate au aceeași dimensiune (90 fiecare), atunci planurile se numesc perpendiculare; Unghiul dintre planuri este atunci de 90.

Dacă nu toate unghiurile diedrice sunt la fel (adică sunt două acute și două obtuze), atunci unghiul dintre plane este valoarea unghiului diedric acut (Fig. 52).

Orez. 52. Unghiul dintre planuri

9.3 Exemple de rezolvare a problemelor

Să ne uităm la trei probleme. Primul este simplu, al doilea și al treilea sunt aproximativ la nivelul C2 la examenul unificat de stat la matematică.

Problema 1. Aflați unghiul dintre două fețe ale unui tetraedru regulat.

Soluţie. Fie ABCD un tetraedru regulat. Să desenăm medianele AM ​​și DM ale fețelor corespunzătoare, precum și înălțimea tetraedrului DH (Fig. 53).

Orez. 53. La sarcina 1

Fiind mediane, AM și DM sunt, de asemenea, altitudini ale triunghiurilor echilaterale ABC și DBC. Prin urmare, unghiul " = \AMD este unghiul liniar al unghiului diedru format din fețele ABC și DBC. Îl găsim din triunghiul DHM:

			1 AM

Raspuns: arccos 1 3 .

Problema 2. Într-o piramidă pătrangulară regulată SABCD (cu vârful S), muchia laterală este egală cu latura bazei. Punctul K este mijlocul muchiei SA. Găsiți unghiul dintre avioane

Soluţie. Linia BC este paralelă cu AD și deci paralelă cu planul ADS. Prin urmare, planul KBC intersectează planul ADS de-a lungul liniei drepte KL paralelă cu BC (Fig. 54).

Orez. 54. La sarcina 2

În acest caz, KL va fi, de asemenea, paralel cu linia AD; prin urmare, KL este linia mediană a triunghiului ADS, iar punctul L este punctul de mijloc al DS.

Să aflăm înălțimea piramidei SO. Fie N mijlocul lui DO. Atunci LN este linia de mijloc a triunghiului DOS și, prin urmare, LN k SO. Aceasta înseamnă că LN este perpendicular pe planul ABC.

Din punctul N coborâm perpendiculara NM pe dreapta BC. Linia dreaptă NM va fi proiecția LM înclinată pe planul ABC. Din teorema celor trei perpendiculare rezultă că LM este, de asemenea, perpendicular pe BC.

Astfel, unghiul " = \LMN este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele KBC și ABC. Vom căuta acest unghi din triunghiul dreptunghic LMN.

Fie ca marginea piramidei să fie egală cu a. Mai întâi găsim înălțimea piramidei:

SO=p

Soluţie. Fie L punctul de intersecție al dreptelor A1 K și AB. Apoi planul A1 KC intersectează planul ABC de-a lungul dreptei CL (Fig.55).

O C

Orez. 55. La problema 3

Triunghiurile A1 B1 K și KBL sunt egale în catete și unghi ascuțit. Prin urmare, celelalte catete sunt egale: A1 B1 = BL.

Luați în considerare triunghiul ACL. În ea BA = BC = BL. Unghiul CBL este 120; prin urmare, \BCL = 30 . De asemenea, \BCA = 60 . Prin urmare \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Deci, LC? AC. Dar linia AC servește ca proiecție a dreptei A1 C pe planul ABC. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că LC ? A1 C.

Astfel, unghiul A1 CA este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele A1 KC și ABC. Acesta este unghiul dorit. Din triunghiul dreptunghic isoscel A1 AC vedem că este egal cu 45.

Această lecție este destinată auto-studiu subiectul „Unghiul diedric”. În această lecție, elevii se vor familiariza cu una dintre cele mai importante forme geometrice, unghiul diedru. Tot în lecție vom învăța cum să determinăm unghiul liniar al unghiului considerat figură geometricăși care este unghiul diedric de la baza figurii.

Să repetăm ​​ce este un unghi pe un plan și cum este măsurat.

Orez. 1. Avion

Să considerăm planul α (Fig. 1). Din punct de vedere DESPRE emană două raze - OBŞi OA.

Definiţie. O figură formată din două raze care emană dintr-un punct se numește unghi.

Unghiul se măsoară în grade și radiani.

Să ne amintim ce este un radian.

Orez. 2. Radian

Dacă avem un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza, atunci un astfel de unghi central se numește unghi de 1 radian. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relația dintre radiani și grade.

bucuros.

Înțelegem, mă bucur. (). Apoi,

Definiţie. Unghi diedru o figură formată dintr-o linie dreaptă se numește Oși două semiplane cu o limită comună O, neaparținând aceluiași plan.

Orez. 3. Semiplanuri

Să considerăm două semiplane α și β (Fig. 3). Frontiera lor comună este O. Această figură se numește unghi diedru.

Terminologie

Semiplanele α și β sunt fețele unui unghi diedru.

Drept O este o muchie a unui unghi diedru.

Pe o margine comună O unghi diedru, alegeți un punct arbitrar DESPRE(Fig. 4). În semiplanul α din punct DESPRE restabiliți perpendiculara OA la o linie dreaptă O. Din acelasi punct DESPREîn al doilea semiplan β construim o perpendiculară OB până la margine O. Am un unghi AOB, care se numește unghiul liniar al unghiului diedru.

Orez. 4. Măsurarea unghiului diedric

Să demonstrăm egalitatea tuturor unghiurilor liniare pentru un unghi diedric dat.

Să avem un unghi diedru (Fig. 5). Să alegem un punct DESPREși punct O 1 pe o linie dreaptă O. Să construim un unghi liniar corespunzător punctului DESPRE, adică desenăm două perpendiculare OAŞi OBîn planurile α şi respectiv β până la margine O. Obținem unghiul AOB- unghiul liniar al unghiului diedru.

Orez. 5. Ilustrarea dovezii

Din punct de vedere O 1 să desenăm două perpendiculare OA 1Şi OB 1 până la margine Oîn planele α și respectiv β și obținem al doilea unghi liniar A 1 O 1 B 1.

Raze O 1 A 1Şi OA codirecționale, deoarece se află în același semiplan și sunt paralele între ele ca două perpendiculare pe aceeași dreaptă O.

La fel, razele Aproximativ 1 în 1Şi OB sunt co-dirijate, ceea ce înseamnă ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 ca unghiuri cu laturile codirectionale, ceea ce trebuia demonstrat.

Planul unghiului liniar este perpendicular pe marginea unghiului diedru.

Dovedi: O ⊥ AOB.

Orez. 6. Ilustrarea dovezii

Dovada:

OA ⊥ O prin constructie, OB ⊥ O prin construcție (Fig. 6).

Găsim că linia O perpendicular pe două drepte care se intersectează OAŞi OB din avion AOB, ceea ce înseamnă că este drept O perpendicular pe plan OAV, ceea ce trebuia dovedit.

Un unghi diedru se măsoară prin unghiul său liniar. Aceasta înseamnă că câte grade radiani sunt conținute într-un unghi liniar, același număr de grade radiani sunt conținute în unghiul său diedru. În conformitate cu aceasta, ei disting următoarele tipuri unghiuri diedrice.

Acut (Fig. 6)

Un unghi diedru este ascuțit dacă unghiul său liniar este ascuțit, adică. .

Drept (Fig. 7)

Un unghi diedru este drept atunci când unghiul său liniar este de 90° - Obtuz (Fig. 8)

Un unghi diedru este obtuz când unghiul său liniar este obtuz, adică. .

Orez. 7. Unghi drept

Orez. 8. Unghi obtuz

Exemple de construire a unghiurilor liniare în figuri reale

ABCD- tetraedru.

1. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AB.

Orez. 9. Ilustrație pentru problema

Constructii:

Vorbim despre un unghi diedru, care este format de margine ABși margini ABDŞi ABC(Fig. 9).

Să facem o directă DN perpendicular pe plan ABC, N- baza perpendicularei. Să desenăm un înclinat DM perpendicular pe o linie dreaptă AB,M- baza inclinata. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că proiecția unui oblic NM tot perpendicular pe linie AB.

Adică din punct de vedere M se refac două perpendiculare pe margine AB pe două laturi ABDŞi ABC. Am obținut unghiul liniar DMN.

Rețineți că AB, o muchie a unui unghi diedru, perpendicular pe planul unghiului liniar, adică planul DMN. Problema este rezolvată.

Comentariu. Unghiul diedric poate fi notat astfel: DABC, Unde

AB- marginea și punctele DŞi CU stați pe diferite laturi ale unghiului.

2. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AC.

Să desenăm o perpendiculară DN la avion ABCși înclinat DN perpendicular pe o linie dreaptă AC. Folosind teorema celor trei perpendiculare, aflăm că НN- proiecție oblică DN la avion ABC, tot perpendicular pe linie AC.DNH- unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AC.

Într-un tetraedru DABC toate marginile sunt egale. Punct M- mijlocul coastei AC. Demonstrați că unghiul DMV- unghi diedru liniar TUD, adică un unghi diedru cu muchie AC. Una dintre fețele sale este ACD, al doilea - DIA(Fig. 10).

Orez. 10. Ilustrație pentru problema

Soluţie:

Triunghi ADC- echilateral, DM- mediană și deci înălțimea. Mijloace, DM ⊥ AC. La fel, triunghiul OÎNC- echilateral, ÎNM- mediană și deci înălțimea. Mijloace, VM ⊥ AC.

Astfel, din punct de vedere M coaste AC unghi diedru restaurat două perpendiculare DMŞi VM la această muchie în feţele unghiului diedru.

Deci, ∠ DMÎN este unghiul liniar al unghiului diedru, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Deci am definit unghiul diedru, unghiul liniar al unghiului diedru.

În lecția următoare ne vom uita la perpendicularitatea dreptelor și a planurilor, apoi vom învăța ce este un unghi diedru la baza figurilor.

Lista de referințe pe tema „Unghiul diedric”, „Unghiul diedric la baza figurilor geometrice”

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
2. Geometrie. clasa a X-a: manual pt institutii de invatamant cu studiu aprofundat și de specialitate al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Temă pe tema „Unghiul diedric”, determinarea unghiului diedric la baza figurilor

Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 2, 3 p. 67.

Ce este unghiul diedric liniar? Cum se construiește?

ABCD- tetraedru. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie:

O) ÎND b) DCU.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - cub Construiți unghiul liniar al unghiului diedric A 1 ABC cu coastă AB. Determinați măsura gradului acestuia.