Unghiul diedric. Unghiul liniar al unui unghi diedru. Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane care nu aparțin aceluiași plan și au o limită comună - o dreaptă a. Semiplanurile care formează un unghi diedru se numesc fețele sale, iar limita comună a acestor semiplanuri se numește muchia unghiului diedru. Unghiul liniar al unui unghi diedru este unghiul ale cărui laturi sunt razele de-a lungul cărora fețele unghiului diedru se intersectează cu un plan perpendicular pe marginea unghiului diedru. Fiecare unghi diedru are câte unghiuri liniare se dorește: prin fiecare punct al unei muchii se poate trasa un plan perpendicular pe această muchie; razele de-a lungul cărora acest plan intersectează fețele unghiului diedru și formează unghiuri liniare.
Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedric sunt egale între ele. Să demonstrăm că dacă unghiurile diedrice formate din planul bazei piramidei KABC și planurile fețelor sale laterale sunt egale, atunci baza perpendicularei trase din vârful K este centrul cercului înscris în triunghi. ABC.
Dovada. În primul rând, construim unghiuri liniare cu unghiuri diedrice egale. Prin definiție, planul unui unghi liniar trebuie să fie perpendicular pe marginea unui unghi diedru. Prin urmare, marginea unghiului diedric trebuie să fie perpendiculară pe laturile unghiului liniar. Dacă KO este perpendicular pe planul bazei, atunci putem trage OP perpendicular pe AC, SAU perpendicular pe CB, OQ pe perpendiculară AB și apoi să conectăm punctele P, Q, R Cu punctul K. Astfel, vom construi o proiecție de oblic RK, QK, RK astfel încât muchiile AC, CB, AB să fie perpendiculare pe aceste proiecții. În consecință, aceste muchii sunt și perpendiculare pe cele înclinate. Și, prin urmare, planurile triunghiurilor ROK, QOK, ROK sunt perpendiculare pe muchiile corespunzătoare ale unghiului diedric și formează acele unghiuri liniare egale, care sunt menționate în condiție. Triunghiurile dreptunghiulare ROK, QOK, ROK sunt egale (deoarece au un catet comun OK și unghiurile opuse acestui catete sunt egale). Prin urmare, OR = OR = OQ. Dacă desenăm un cerc cu centrul O și raza OP, atunci laturile triunghiului ABC sunt perpendiculare pe razele OP, OR și OQ și, prin urmare, sunt tangente la acest cerc.
Perpendicularitatea planului. Planurile alfa și beta se numesc perpendiculare dacă unghiul liniar al unuia dintre unghiurile diedrice formate la intersecția lor este de 90". Semne de perpendicularitate a două plane Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste plane. sunt perpendiculare.
Figura prezintă un paralelipiped dreptunghiular. Bazele sale sunt dreptunghiuri ABCD și A1B1C1D1. Iar marginile laterale AA1 BB1, CC1, DD1 sunt perpendiculare pe baze. Rezultă că AA1 este perpendicular pe AB, adică fața laterală este un dreptunghi. Astfel, este posibil să se fundamenteze proprietățile unui cuboid: Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte. Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.
Teoremă Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale. Să ne întoarcem din nou la figură și vom demonstra că AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Deoarece muchia CC1 este perpendiculară pe baza ABCD, atunci unghiul AC1 este drept. Din triunghiul dreptunghic ACC1, conform teoremei lui Pitagora, se obține AC12=AC2+CC12. Dar AC este diagonala dreptunghiului ABCD, deci AC2 = AB2+AD2. De asemenea, CC1 = AA1. Prin urmare, AC12=AB2+AD2+AA12 Se demonstrează teorema.
CAPITOLUL 1 LINII ȘI AVOARE
V. unghiuri diedrice, un unghi drept cu un avion,
UNGHI DUPĂ DREPTURI DE ÎNTRECversare, unghiuri poliedrice
unghiuri diedrice
38. Definiții. Se numește partea unui avion situată pe o parte a unei linii situate în acel plan semiplan. Figura formată din două semiplane (P și Q, Fig. 26) care emană dintr-o dreaptă (AB) se numește unghi diedru. Linia dreaptă AB se numește margine, iar semiplanurile P și Q - petreceri sau chipuri unghi diedru.
Un astfel de unghi este de obicei notat cu două litere plasate la marginea lui (unghiul diedru AB). Dar dacă nu există unghiuri diedrice la o margine, atunci fiecare dintre ele este notat cu patru litere, dintre care două din mijloc sunt la margine, iar două extreme sunt la fețe (de exemplu, unghiul diedric SCDR) (Fig. . 27).
Dacă dintr-un punct arbitrar D, muchiile AB (Fig. 28) sunt trasate pe fiecare față de-a lungul perpendicularei pe muchie, atunci unghiul CDE format de acestea se numește unghi liniar unghi diedru.
Valoarea unui unghi liniar nu depinde de poziția vârfului său pe margine. Astfel, unghiurile liniare CDE și C 1 D 1 E 1 sunt egale deoarece laturile lor sunt, respectiv, paralele și egal direcționate.
Planul unui unghi liniar este perpendicular pe muchie deoarece conține două drepte perpendiculare pe aceasta. Prin urmare, pentru a obține un unghi liniar, este suficient să intersectăm fețele unui unghi diedru dat cu un plan perpendicular pe muchie și să luăm în considerare unghiul obținut în acest plan.
39. Egalitatea și inegalitatea unghiurilor diedrice. Două unghiuri diedrice sunt considerate egale dacă pot fi combinate atunci când sunt imbricate; în caz contrar, unul dintre unghiurile diedrice este considerat a fi mai mic, care va face parte din celălalt unghi.
La fel ca unghiurile din planimetrie, unghiurile diedrice pot fi adiacent, vertical etc.
Dacă două unghiuri diedrice adiacente sunt egale unul cu celălalt, atunci fiecare dintre ele se numește unghi diedru drept.
Teoreme. 1) Unghiurilor diedrice egale corespund unghiurilor liniare egale.
2) Un unghi diedru mai mare corespunde unui unghi liniar mai mare.
Fie PABQ și P 1 A 1 B 1 Q 1 (Fig. 29) să fie două unghiuri diedrice. Încorporați unghiul A 1 B 1 în unghiul AB astfel încât muchia A 1 B 1 să coincidă cu muchia AB și fața P 1 cu fața P.
Atunci, dacă aceste unghiuri diedrice sunt egale, atunci fața Q 1 va coincide cu fața Q; dacă unghiul A 1 B 1 este mai mic decât unghiul AB, atunci fața Q 1 va lua o anumită poziție în interiorul unghiului diedru, de exemplu Q 2 .
Observând acest lucru, luăm un punct B de pe o muchie comună și desenăm un plan R prin el, perpendicular pe muchie. Din intersecția acestui plan cu fețele unghiurilor diedrice se obțin unghiuri liniare. Este clar că dacă unghiurile diedrice coincid, atunci vor avea același unghi liniar CBD; dacă unghiurile diedrului nu coincid, dacă, de exemplu, fața Q 1 ocupă poziția Q 2, atunci unghiul diedric mai mare va avea un unghi liniar mai mare (și anume: / CBD > / C2BD).
40. Teoreme inverse. 1) Unghiurilor liniare egale corespund unghiurilor diedrice egale.
2) Un unghi liniar mai mare corespunde unui unghi diedric mai mare .
Aceste teoreme sunt ușor de demonstrat prin contradicție.
41. Consecințele. 1) Un unghi diedru drept corespunde unui unghi liniar drept și invers.
Fie (Fig. 30) unghiul diedru PABQ drept. Aceasta înseamnă că este egal cu unghiul adiacent QABP 1 . Dar în acest caz, unghiurile liniare CDE și CDE 1 sunt de asemenea egale; și întrucât sunt adiacente, fiecare dintre ele trebuie să fie drept. În schimb, dacă unghiurile liniare adiacente CDE și CDE 1 sunt egale, atunci unghiurile diedrice adiacente sunt de asemenea egale, adică fiecare dintre ele trebuie să fie drept.
2) Toate unghiurile diedrice drepte sunt egale, deoarece au unghiuri liniare egale .
În mod similar, este ușor de demonstrat că:
3) Unghiurile diedrice verticale sunt egale.
4) Diedru unghiurile cu fețe paralele în mod corespunzător și direcționate egal (sau opus) sunt egale.
5) Dacă luăm ca unitate de unghiuri diedrice un astfel de unghi diedru care corespunde unei unități de unghiuri liniare, atunci putem spune că un unghi diedric se măsoară prin unghiul său liniar.
Această lecție este destinată studiului personal al subiectului „Unghiul diedric”. În cadrul acestei lecții, elevii vor fi introduși în una dintre cele mai importante forme geometrice, unghiul diedru. Tot în lecție, trebuie să învățăm cum să determinăm unghiul liniar al figurii geometrice luate în considerare și care este unghiul diedric la baza figurii.
Să repetăm ce este un unghi pe un plan și cum este măsurat.
Orez. 1. Avion
Se consideră planul α (Fig. 1). De la un punct O ies două grinzi OVși OA.
Definiție. Figura formată din două raze care emană din același punct se numește unghi.
Unghiul se măsoară în grade și radiani.
Să ne amintim ce este un radian.
Orez. 2. Radian
Dacă avem un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza, atunci un astfel de unghi central se numește unghi de 1 radian. , ∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).
Relația dintre radiani și grade.
bucuros.
Înțelegem, fericiți. (). Apoi, 
Definiție. unghi diedru numită figură formată dintr-o linie dreaptă Ași două semiplane cu o limită comună A neaparținând aceluiași plan.
Orez. 3. Semi avioane
Luați în considerare două semiplane α și β (Fig. 3). Frontiera lor comună este A. Această cifră se numește unghi diedru.
Terminologie
Semiplanele α și β sunt fețele unghiului diedric.
Drept A este muchia unui unghi diedru.
Pe o margine comună A unghi diedru alege un punct arbitrar O(Fig. 4). În semiplanul α din punct O restabiliți perpendiculara OA la o linie dreaptă A. Din acelasi punct Oîn al doilea semiplan β construim perpendiculara OV până la coastă A. Am un colț AOB, care se numește unghiul liniar al unghiului diedru.
Orez. 4. Măsurarea unghiului diedric
Să demonstrăm egalitatea tuturor unghiurilor liniare pentru un unghi diedric dat.
Să avem un unghi diedru (Fig. 5). Alege un punct Oși punct Aproximativ 1 pe o linie dreaptă A. Să construim un unghi liniar corespunzător punctului O, adică desenăm două perpendiculare OAși OVîn planurile α și respectiv β până la margine A. Obținem unghiul AOB este unghiul liniar al unghiului diedru.
Orez. 5. Ilustrarea dovezii
De la un punct Aproximativ 1 desenează două perpendiculare OA 1și OB 1 până la coastă Aîn planurile α și respectiv β și obținem al doilea unghi liniar A 1 O 1 B 1.
Raze O 1 A 1și OA co-direcționale, deoarece se află în același semiplan și sunt paralele între ele ca două perpendiculare pe aceeași dreaptă A.
La fel, razele Aproximativ 1 în 1și OV aliniat, ceea ce înseamnă ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 ca unghiuri cu laturile codirectionale, ceea ce urma a fi demonstrat.
Planul unghiului liniar este perpendicular pe marginea unghiului diedru.
Dovedi: A ⊥ AOW.
Orez. 6. Ilustrarea dovezii
Dovada:
OA ⊥ A prin constructie, OV ⊥ A prin construcție (Fig. 6).
Primim acea linie A perpendicular pe două drepte care se intersectează OAși OV din avion AOB, ceea ce înseamnă drept A perpendicular pe plan OAB, ceea ce urma să fie dovedit.
Un unghi diedru se măsoară prin unghiul său liniar. Aceasta înseamnă că tot atâtea grade de radiani sunt conținute într-un unghi liniar, câte grade de radiani sunt conținute în unghiul său diedru. În conformitate cu aceasta, se disting următoarele tipuri de unghiuri diedrice.
Ascuțit (Fig. 6)
Un unghi diedru este acut dacă unghiul său liniar este acut, adică. .
Drept (Fig. 7)
Unghiul diedric este drept atunci când unghiul său liniar este de 90 ° - Obtuz (Fig. 8)
Un unghi diedru este obtuz când unghiul său liniar este obtuz, adică. 
.
Orez. 7. Unghi drept
Orez. 8. Unghi obtuz
Exemple de construire a unghiurilor liniare în figuri reale
ABCD- tetraedru.
1. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AB.
Orez. 9. Ilustrație pentru problema
Clădire:
Vorbim despre un unghi diedru, care este format dintr-o muchie ABși chipuri ABDși ABC(Fig. 9).
Să tragem o linie dreaptă DH perpendicular pe plan ABC, H este baza perpendicularei. Să desenăm un oblic DM perpendicular pe linie AB,M- baza inclinata. Prin teorema celor trei perpendiculare, concluzionăm că proiecția oblicului NM tot perpendicular pe linie AB.
Adică din punct de vedere M restaurate două perpendiculare pe margine AB pe două laturi ABDși ABC. Avem un unghi liniar DMN.
observa asta AB, marginea unghiului diedric, perpendicular pe planul unghiului liniar, adică planul DMN. Problema rezolvata.
cometariu. Un unghi diedru poate fi notat astfel: DABC, Unde
AB- marginea și punctele Dși Cu culcați pe diferite părți ale colțului.
2. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AC.
Să desenăm o perpendiculară DH spre avion ABCşi oblic DN perpendicular pe linie LA FEL DE. Prin teorema celor trei perpendiculare, obținem asta HN- proiecție oblică DN spre avion ABC, tot perpendicular pe linie LA FEL DE.DNH- unghi liniar al unui unghi diedru cu nervură AC.
într-un tetraedru DABC toate marginile sunt egale. Punct M- mijlocul coastei AC. Demonstrați că unghiul DMV- unghiul liniar al unghiului diedru TUD, adică un unghi diedru cu o muchie AC. Una dintre marginile sale este ACD, al doilea - DIA(Fig. 10).
Orez. 10. Ilustrație pentru problema
Decizie:
Triunghi ADC- echilateral, DM este mediana și deci înălțimea. Mijloace, DM ⊥ LA FEL DE. La fel, triunghiul ALAC- echilateral, LAM este mediana și, prin urmare, înălțimea. Mijloace, VM ⊥ LA FEL DE.
Deci din punct de vedere M coaste AC unghi diedru restaurat două perpendiculare DMși VM la această muchie în feţele unghiului diedric.
Deci ∠ DMLA este unghiul liniar al unghiului diedru, care urma să fie demonstrat.
Deci, am definit unghiul diedru, unghiul liniar al unghiului diedru.
În lecția următoare, vom lua în considerare perpendicularitatea dreptelor și a planurilor, apoi vom afla ce este un unghi diedru la baza figurilor.
Referințe pe tema „Unghiul diedric”, „Unghiul diedric la baza figurilor geometrice”
- Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: ill.
- Geometrie. Clasa a 10-a: un manual pentru instituțiile de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.
- Yaklass.ru ().
- e-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Tutoronline.ru ().
Temă pe tema „Unghiul diedric”, determinarea unghiului diedric la baza figurilor
Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și completată - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.
Sarcinile 2, 3 p. 67.
Care este unghiul liniar al unui unghi diedru? Cum se construiește?
ABCD- tetraedru. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie:
A) LAD b) DCU.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - cub Graficul unghiului liniar al unghiului diedric A 1 ABC cu o coastă AB. Determinați măsura gradului acestuia.
Tema lecției: „Unghiul diedric”.Scopul lecției: introducerea conceptului de unghi diedru și unghiul său liniar.
Sarcini:
Educational: să ia în considerare sarcini pentru aplicarea acestor concepte, să formeze o deprindere constructivă de a găsi unghiul dintre planuri;
În curs de dezvoltare: dezvoltarea gândirii creative a elevilor, autodezvoltarea personală a elevilor, dezvoltarea vorbirii elevilor;
Educational: educarea culturii muncii mentale, a culturii comunicative, a culturii reflexive.
Tip de lecție: o lecție de a învăța cunoștințe noi
Metode de predare: explicative și ilustrative
Echipament: computer, tablă interactivă.
Literatură:
Geometrie. Clasele 10-11: manual. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții: de bază și de profil. niveluri / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev și alții] - ed. a XVIII-a. - M. : Educație, 2009. - 255 p.
Planul lecției:
Moment organizatoric (2 min)
Actualizarea cunoștințelor (5 min)
Învățarea de materiale noi (12 min)
Consolidarea materialului studiat (21 min)
Tema pentru acasă (2 min)
Rezumat (3 min)
În timpul orelor:
1. Moment organizatoric.
Include un salut de către profesorul clasei, pregătirea sălii pentru lecție, verificarea absenților.
2. Actualizarea cunoștințelor de bază.
Profesor: În ultima lecție, ai scris o lucrare independentă. În general, lucrarea a fost bine scrisă. Acum să repetăm puțin. Ce se numește unghi pe un plan?
Student: Un unghi într-un plan este o figură formată din două raze care emană dintr-un punct.
Profesor: Cum se numește unghiul dintre liniile din spațiu?
Student: Unghiul dintre două drepte care se intersectează în spațiu este cel mai mic dintre unghiurile formate de razele acestor drepte cu vârful în punctul de intersecție.
Student: Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre liniile care se intersectează, respectiv, paralel cu datele.
Profesor: Cum se numeste unghiul dintre o dreapta si un plan?
Student: Unghiul dintre linie și planOrice unghi dintre o linie dreaptă și proiecția ei pe acest plan se numește.
3. Studiul de material nou.
Profesor: În stereometrie, împreună cu astfel de unghiuri, este considerat un alt tip de unghiuri - unghiuri diedrice. Probabil ai ghicit deja care este subiectul lecției de astăzi, așa că deschide-ți caietele, notează data de azi și subiectul lecției.
Scrierea la tablă și în caiete:
10.12.14.
Unghiul diedric.
Profesor : Pentru a introduce conceptul de unghi diedru, trebuie amintit că orice dreaptă trasată într-un plan dat împarte acest plan în două semiplane.(Fig. 1a)
Profesor : Imaginează-ți că am îndoit planul de-a lungul unei linii drepte, astfel încât două semiplane cu granița s-au dovedit a nu se mai afla în același plan (Fig. 1, b). Figura rezultată este unghiul diedru. Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă și două semiplane cu o limită comună care nu aparțin aceluiași plan. Semiplanurile care formează un unghi diedru se numesc fețele sale. Un unghi diedru are două fețe, de unde și numele - unghi diedru. Linia dreaptă - limita comună a semiplanurilor - se numește marginea unghiului diedric. Scrieți definiția în caiet.
Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă și două semiplane cu o limită comună care nu aparțin aceluiași plan.
Profesor : În viața de zi cu zi, întâlnim adesea obiecte care au forma unui unghi diedru. Dă exemple.
Student : Dosar pe jumătate deschis.
Student : Peretele camerei împreună cu podeaua.
Student : Acoperișuri în două frontoane ale clădirilor.
Profesor : Corect. Și există multe astfel de exemple.
Profesor : După cum știți, unghiurile pe un plan sunt măsurate în grade. Probabil aveți o întrebare, dar cum se măsoară unghiurile diedrice? Acest lucru se face în felul următor.Marcam un punct pe marginea unghiului diedric, iar in fiecare fata din acest punct trasam o raza perpendiculara pe margine. Unghiul format de aceste raze se numește unghiul liniar al unghiului diedru. Faceți un desen în caiete.
Scrierea la tablă și în caiete.
O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ A, SABD- unghi diedru,∠ AOBeste unghiul liniar al unghiului diedru.
Profesor : Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale. Fă-ți așa ceva.
Profesor : Să demonstrăm. Se consideră două unghiuri liniare AOB șiPQR. Razele OA șiQPse află pe aceeași față și sunt perpendiculareOQ, ceea ce înseamnă că sunt aliniate. În mod similar, razele OB șiQRco-regizat. Mijloace,∠ AOB= ∠ PQR(ca unghiurile cu laturile codirectionale).
Profesor : Ei bine, acum răspunsul la întrebarea noastră este cum se măsoară unghiul diedric.Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar. Redesenați desenele unui unghi diedru acut, drept și obtuz din manualul de la pagina 48.
4. Consolidarea materialului studiat.
Profesor : Faceți desene pentru sarcini.
№ 1 . Dat: ΔABC, AC = BC, AB se află în planα, CD ⊥ α, C∉ A. Construiți unghiul liniar al unghiului diedricCABD.
Student : Decizie:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - dorit.
№ 2. Dat: ΔABC, ∠ C= 90°, BC se află planα, AO⊥ α, A∈ α.
Construiți unghiul liniar al unghiului diedricAVSO.
Student : Decizie:AB ⊥ î.Hr, SA⊥ Sun înseamnă OS⊥ Soare.∠ ACO - dorit.
№ 3 . Dat: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB se află în planα, CD⊥ α, C∉ A. Construiunghi diedru liniarDABC.
Student : Decizie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB înseamnă∠ DKC - dorit.
№ 4
. Dat:DABC- tetraedru,DO⊥
ABC.Construiți unghiul liniar al unghiului diedruABCD.
Student : Decizie:DM ⊥ soare,DO ⊥ BC înseamnă OM⊥ soare;∠ OMD - dorit.
5. Rezumând.
Profesor: Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
Elevi : Ce se numește unghi diedru, unghi liniar, cum se măsoară unghiul diedru.
Profesor : Ce ai repetat?
Elevi : Ceea ce se numește unghi pe un plan; unghiul dintre linii.
6. Tema pentru acasă.
Scrierea pe tablă și în jurnale: pct. 22, nr.167, nr.170.
EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:
În planimetrie, obiectele principale sunt liniile, segmentele, razele și punctele. Razele care emană dintr-un punct formează una dintre formele lor geometrice - un unghi.
Știm că un unghi liniar se măsoară în grade și radiani.
În stereometrie, un plan este adăugat obiectelor. Figura formată din dreapta a și două semiplane cu o limită comună a care nu aparțin aceluiași plan în geometrie se numește unghi diedru. Semiplanele sunt fețele unui unghi diedru. Linia dreaptă a este marginea unghiului diedric.
Un unghi diedru, ca un unghi liniar, poate fi numit, măsurat, construit. Aceasta este ceea ce vom afla în această lecție.
Găsiți unghiul diedric pe modelul tetraedrului ABCD.
Un unghi diedru cu muchia AB se numește CABD, unde punctele C și D aparțin unor fețe diferite ale unghiului, iar muchia AB se numește la mijloc.
În jurul nostru există o mulțime de obiecte cu elemente sub formă de unghi diedru.
În multe orașe, în parcuri au fost instalate bănci speciale pentru împăcare. Banca este realizată sub forma a două plane înclinate convergente spre centru.
În construcția caselor, așa-numitul acoperiș în două frontoane este adesea folosit. Acoperișul acestei case este realizat sub forma unui unghi diedru de 90 de grade.
Unghiul diedrul se măsoară și în grade sau radiani, dar cum se măsoară.
Este interesant de observat că acoperișurile caselor se află pe căpriori. Și lada căpriorilor formează două pante de acoperiș la un unghi dat.
Să transferăm imaginea în desen. În desen, pentru a găsi un unghi diedru, pe marginea acestuia este marcat punctul B. Din acest punct se desenează două grinzi BA și BC perpendiculare pe marginea unghiului. Unghiul ABC format de aceste raze se numește unghiul liniar al unghiului diedric.
Gradul de măsurare a unui unghi diedru este egal cu gradul de măsurare a unghiului său liniar.
Să măsurăm unghiul AOB.
Gradul de măsurare a unui unghi diedric dat este de șaizeci de grade.
Unghiurile liniare pentru un unghi diedru pot fi desenate într-un număr infinit, este important să știți că toate sunt egale.
Luați în considerare două unghiuri liniare AOB și A1O1B1. Razele OA și O1A1 se află pe aceeași față și sunt perpendiculare pe dreapta OO1, deci sunt co-dirijate. Razele OB și O1B1 sunt, de asemenea, co-regizate. Prin urmare, unghiul AOB este egal cu unghiul A1O1B1 ca unghiuri cu laturile codirecționale.
Deci un unghi diedru este caracterizat de un unghi liniar, iar unghiurile liniare sunt acute, obtuze și drepte. Luați în considerare modele de unghiuri diedrice.
Un unghi obtuz este unul al cărui unghi liniar este între 90 și 180 de grade.
Un unghi drept dacă unghiul său liniar este de 90 de grade.
Un unghi ascuțit, dacă unghiul său liniar este între 0 și 90 de grade.
Să demonstrăm una dintre proprietățile importante ale unghiului liniar.
Planul unui unghi liniar este perpendicular pe marginea unghiului diedric.
Fie unghiul AOB unghiul liniar al unghiului diedric dat. Prin construcție, razele AO și OB sunt perpendiculare pe dreapta a.
Planul AOB trece prin două drepte care se intersectează AO și OB conform teoremei: Un plan trece prin două drepte care se intersectează și, în plus, doar una.
Linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acest plan, ceea ce înseamnă că, după semnul perpendicularității dreptei și a planului, linia a este perpendiculară pe planul AOB.
Pentru a rezolva probleme, este important să poți construi un unghi liniar dintr-un unghi diedric dat. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric cu muchia AB pentru tetraedrul ABCD.
Vorbim despre un unghi diedru, care este format, în primul rând, de muchia AB, o fațetă ABD, a doua fațetă ABC.
Iată o modalitate de a construi.
Să desenăm o perpendiculară din punctul D pe planul ABC, să marchem punctul M ca bază a perpendicularei. Amintiți-vă că într-un tetraedru baza perpendicularei coincide cu centrul cercului înscris în baza tetraedrului.
Desenați o pantă din punctul D perpendicular pe muchia AB, marcați punctul N ca bază a pantei.
În triunghiul DMN, segmentul NM va fi proiecțiile oblicului DN pe planul ABC. Conform teoremei celor trei perpendiculare, muchia AB va fi perpendiculară pe proiecția NM.
Aceasta înseamnă că laturile unghiului DNM sunt perpendiculare pe muchia AB, ceea ce înseamnă că unghiul construit DNM este unghiul liniar necesar.
Luați în considerare un exemplu de rezolvare a problemei calculării unghiului diedric.
Triunghiul isoscel ABC și triunghiul regulat ADB nu se află în același plan. Segmentul CD este perpendicular pe planul ADB. Aflați unghiul diedric DABC dacă AC=CB=2cm, AB=4cm.
Unghiul diedru DABC este egal cu unghiul său liniar. Să construim acest colț.
Să desenăm un SM oblic perpendicular pe muchia AB, deoarece triunghiul ACB este isoscel, atunci punctul M va coincide cu mijlocul muchiei AB.
Linia CD este perpendiculară pe planul ADB, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe dreapta DM aflată în acest plan. Iar segmentul MD este proiecția oblicului SM pe planul ADB.
Linia AB este perpendiculară pe oblicul CM prin construcție, ceea ce înseamnă că după teorema celor trei perpendiculare este perpendiculară pe proiecția MD.
Deci, două perpendiculare CM și DM se găsesc pe muchia AB. Deci formează un unghi liniar СMD dintr-un unghi diedru DABC. Și rămâne să-l găsim din triunghiul dreptunghic СDM.
Deoarece segmentul SM este mediana și înălțimea triunghiului isoscel ASV, atunci, conform teoremei lui Pitagora, catetul SM este de 4 cm.
Dintr-un triunghi dreptunghic DMB, conform teoremei lui Pitagora, catetul DM este egal cu două rădăcini a trei.
Cosinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este egal cu raportul dintre catetul adiacent MD și ipotenuza CM și este egal cu trei rădăcini a câte trei câte două. Deci unghiul CMD este de 30 de grade.
