Legea lui Coulomb stabilită experimental și principiul suprapunerii fac posibilă descrierea completă a câmpului electrostatic al unui sistem dat de sarcini în vid. Cu toate acestea, proprietățile câmpului electrostatic pot fi exprimate într-o altă formă mai generală, fără a recurge la conceptul câmpului Coulomb al unei sarcini punctuale.
Introducem o nouă mărime fizică care caracterizează câmpul electric - fluxul vectorului de intensitate Φ câmp electric. Lăsați în spațiul în care este creat câmpul electric să existe o zonă destul de mică Δ S... Produsul modulului vectorial după aria Δ S iar cosinusul unghiului α dintre vector și normal față de zonă se numește fluxul elementar al vectorului de tensiune prin platforma Δ S (fig. 1.3.1):
Luați în considerare acum o suprafață închisă arbitrară S... Dacă rupem această suprafață în zone mici Δ Seu, determinați fluxurile elementare ΔΦ eu câmpuri prin aceste zone mici, apoi le însumăm, apoi rezultăm fluxul Φ al vectorului prin suprafața închisă S (fig. 1.3.2):
În cazul unei suprafețe închise, alegeți întotdeauna normal exterior .
Teorema lui Gauss afirmă:
Fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic printr-o suprafață închisă arbitrară este egală cu suma algebrică a sarcinilor situate în interiorul acestei suprafețe împărțită la constanta electrică ε 0 .
Pentru dovadă, luați în considerare mai întâi suprafața sferică S, în centrul căruia există o încărcare punctuală q... Câmpul electric în orice punct al sferei este perpendicular pe suprafața sa și este egal în modul
unde R Este raza sferei. Fluxul Φ prin suprafața sferică va fi egal cu produsul E pe aria sferei 4π R 2. Prin urmare,
Să înconjurăm acum sarcina punctuală cu o suprafață închisă arbitrar S și ia în considerare o sferă auxiliară de rază R 0 (fig. 1.3.3).
Luați în considerare un con cu mic unghi solid ΔΩ în partea de sus. Acest con va selecta pe sferă o zonă mică Δ S 0 și la suprafață S - platformă Δ S... Fluxurile elementare ΔΦ 0 și ΔΦ prin aceste zone sunt aceleași. Într-adevăr,
| ΔΦ 0 = E 0 Δ S 0 , ΔΦ = EΔ S cos α \u003d EΔ S ‘ . |
Aici Δ S ’ = Δ S cos α - aria alocată de un con cu unghi solid ΔΩ pe suprafața unei sfere de rază n.
Deoarece, a, deci rezultă că fluxul total al câmpului electric al unei sarcini punctuale printr-o suprafață arbitrară care acoperă sarcina este egal cu fluxul Φ 0 prin suprafața sferei auxiliare:
În mod similar, se poate arăta că dacă o suprafață închisă S nu acoperă încărcarea punctuală q, atunci debitul Φ \u003d 0. Un astfel de caz este prezentat în Fig. 1.3.2. Toate liniile de forță ale câmpului electric al unei sarcini punctuale pătrund pe o suprafață închisă S prin. Suprafața interioară S nu există taxe, deci în această zonă liniile de forță nu se rup și nu provin.
Generalizarea teoremei lui Gauss la cazul unei distribuții arbitrare a sarcinilor rezultă din principiul suprapunerii. Câmpul oricărei distribuții a sarcinilor poate fi reprezentat ca o sumă vectorială a câmpurilor electrice ale sarcinilor punctuale. Debitul Φ al sistemului de sarcini printr-o suprafață închisă arbitrar S va consta din fluxuri Φ eu câmpuri electrice de sarcini individuale. Dacă taxă qeu a ajuns în interiorul suprafeței S, atunci aduce o contribuție la debit, egală cu dacă această sarcină se află în afara suprafeței, atunci contribuția câmpului său electric la debit va fi zero.
Astfel, se demonstrează teorema lui Gauss.
Teorema lui Gauss este o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii. Dar dacă acceptăm afirmația conținută în această teoremă ca axiomă originală, atunci consecința acesteia va fi legea lui Coulomb. Prin urmare, teorema lui Gauss este uneori menționată ca o formulare alternativă a legii lui Coulomb.
Folosind teorema lui Gauss, în unele cazuri este posibil să se calculeze cu ușurință puterea câmpului electric în jurul unui corp încărcat, dacă distribuția dată a sarcinilor are o anumită simetrie și structura generală a câmpului poate fi ghicită în avans.
Un exemplu este problema calculării câmpului unui cilindru lung cu rază, cu perete subțire, încărcat uniform R... Această sarcină are simetrie axială. Din motive de simetrie, câmpul electric ar trebui să fie direcționat de-a lungul razei. Prin urmare, pentru a aplica teorema lui Gauss, este recomandabil să alegeți o suprafață închisă S sub forma unui cilindru coaxial de o oarecare rază r și lungimea lînchis la ambele capete (Fig. 1.3.4).
Când r ≥ R întregul flux al vectorului de intensitate va trece prin suprafața laterală a cilindrului, a cărui suprafață este egală cu 2π rlîntrucât fluxul prin ambele baze este zero. Aplicarea teoremei lui Gauss dă:
Acest rezultat este independent de rază R cilindru încărcat, de aceea se aplică câmpului unui filament lung încărcat uniform.
Pentru a determina intensitatea câmpului în interiorul unui cilindru încărcat, este necesar să se construiască o suprafață închisă pentru carcasă r < R... Datorită simetriei problemei, fluxul vectorului de solicitare prin suprafața laterală a cilindrului gaussian trebuie să fie și, în acest caz, egal cu Φ \u003d E 2π rl... Conform teoremei lui Gauss, acest flux este proporțional cu sarcina din interiorul suprafeței închise. Această taxă este zero. Din aceasta rezultă că câmpul electric din interiorul unui cilindru gol lung încărcat uniform este egal cu zero.
Într-un mod similar, puteți aplica teorema lui Gauss pentru a determina câmpul electric într-un număr de alte cazuri când distribuția sarcinii are un fel de simetrie, de exemplu, simetria în jurul unui centru, plan sau axă. În fiecare dintre aceste cazuri, este necesar să alegeți o suprafață gaussiană închisă, de o formă adecvată. De exemplu, în cazul simetriei centrale, este convenabil să alegeți o suprafață gaussiană sub forma unei sfere centrate în punctul de simetrie. În cazul simetriei axiale, suprafața închisă trebuie selectată sub forma unui cilindru coaxial închis la ambele capete (ca în exemplul de mai sus). Dacă distribuția sarcinilor nu are nicio simetrie și structura generală a câmpului electric nu poate fi ghicită, aplicarea teoremei lui Gauss nu poate simplifica sarcina de determinare a intensității câmpului.
Luați în considerare un alt exemplu de distribuție simetrică a sarcinilor - determinarea câmpului unui plan încărcat uniform (Fig. 1.3.5).
În acest caz, suprafața Gaussiană S este indicat să alegeți sub forma unui cilindru de o anumită lungime, închis la ambele capete. Axa cilindrului este direcționată perpendicular pe planul încărcat, iar capetele acestuia sunt situate la aceeași distanță de acesta. Datorită simetriei, câmpul unui plan încărcat uniform trebuie să fie îndreptat de-a lungul normalului peste tot. Aplicarea teoremei lui Gauss dă:
unde σ - densitatea sarcinii de suprafață , adică taxa pe unitate de suprafață.
Expresia obținută pentru câmpul electric al unui plan încărcat uniform se aplică și în cazul zonelor plate încărcate de o dimensiune finită. În acest caz, distanța de la punctul în care este determinată intensitatea câmpului până la plăcuța încărcată ar trebui să fie semnificativ mai mică decât dimensiunile plăcuței.
Teorema lui Gauss stabilește relația exactă dintre fluxul puterii câmpului electric printr-o suprafață închisă și sarcina totală Q în interiorul acestei suprafețe:
unde ε 0
- aceeași constantă (constantă electrică) ca în legea lui Coulomb.
Subliniem că Î este sarcina conținută în interiorul suprafeței de-a lungul căreia se ia integralul din stânga. Nu este important modul în care sarcina este distribuită în interiorul suprafeței; sarcinile în afara suprafeței nu sunt luate în considerare. (O sarcină externă poate afecta localizarea liniilor de forță, dar nu și suma algebrică a liniilor care intră în suprafață și ies.
Înainte de a trece la discuția teoremei lui Gauss, observăm că integralul pe o suprafață nu este întotdeauna ușor de calculat în practică, dar necesitatea pentru aceasta nu apare adesea, cu excepția celor mai simple situații, pe care le vom lua în considerare mai jos. .
Cum sunt legate teorema lui Gauss și legea lui Coulomb? Să arătăm mai întâi că legea lui Coulomb rezultă din teorema lui Gauss. Luați în considerare o încărcare punctuală solitară Î... Prin ipoteză, teorema lui Gauss este valabilă pentru o suprafață închisă arbitrară. Prin urmare, alegem o astfel de suprafață cu care este cel mai convenabil să se ocupe: o suprafață simetrică a unei sfere cu o rază r, în centrul căruia se află sarcina noastră Î (fig.23.7).
Deoarece sfera (desigur, imaginară) este simetrică în raport cu încărcătura situată în centrul ei, puterea câmpului electric E trebuie să aibă aceeași valoare în orice punct al sferei; în plus, vectorul E direcționată peste tot către exterior (sau peste tot spre interior) paralel cu vectorul dA element de suprafață. Atunci egalitatea
ia forma
(aria unei sfere cu raza r egal 4πr 2). De aici găsim
Drept urmare, am primit legea lui Coulomb.
Acum despre opus. În general, teorema lui Gauss nu poate fi dedusă din legea lui Coulomb: teorema lui Gauss este o afirmație mai generală (și mai subtilă) decât legea lui Coulomb. Cu toate acestea, pentru unele cazuri particulare, teorema lui Gauss poate fi obținută din legea lui Coulomb; folosim raționamente generale despre liniile de forță. Să luăm în considerare mai întâi o sarcină solitară înconjurată de o suprafață sferică (Fig. 23.7). Conform legii lui Coulomb, puterea câmpului electric într-un punct de pe suprafața sferei este
E \u003d (1 / 4πε 0) (Q / r)
Efectuând raționamente similare în ordine inversă, obținem
Aceasta este teorema lui Gauss și am derivat-o pentru cazul particular al unei sarcini punctuale în centrul unei suprafețe sferice. Dar ce zici de o suprafață neregulată, cum ar fi o suprafață ȘI 2 în Fig. 23.8. 
Acelasi numar de linii de forta trece prin aceasta suprafata ca prin sfera ȘI 1, dar din moment ce fluxul puterii câmpului electric prin suprafață este proporțional cu numărul de linii de forță care trec prin el, fluxul prin ȘI 2 este egal cu fluxul prin ȘI 1 .
Prin urmare, ar trebui să ne așteptăm ca formula
este valabil pentru orice suprafață închisă care înconjoară o sarcină punctuală.
În cele din urmă, luați în considerare cazul când nu există o singură încărcare în interiorul suprafeței. Pentru fiecare încărcare separat
Dar atâta timp cât puterea totală a câmpului electric E este suma intensităților datorate sarcinilor individuale, atunci
unde este sarcina totală în interiorul suprafeței.
Deci, acest raționament simplu ne spune că teorema lui Gauss este valabilă pentru orice distribuție a sarcinilor electrice în interiorul oricărei suprafețe închise. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că terenul E nu neapărat datorită taxelor Îcare se află în interiorul suprafeței. De exemplu, în Fig. 23.3 considerat anterior, câmpul electric E există în toate punctele suprafeței, dar nu este creat deloc de sarcina din interiorul suprafeței (aici Î \u003d 0). Teorema lui Gauss este valabilă pentru fluxul intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă; ea susține că, dacă fluxul direcționat spre interior al suprafeței nu este egal cu fluxul direcționat spre exterior, atunci acest lucru se datorează prezenței sarcinilor în interiorul suprafeței.
Teorema lui Gauss este valabilă pentru orice câmp vectorial invers proporțional cu pătratul distanței, de exemplu, pentru un câmp gravitațional. Dar pentru câmpuri de alt tip, nu va funcționa. Să presupunem, de exemplu, că câmpul unei sarcini punctuale scade ca kQ / r; apoi fluxul prin sfera razei r ar fi definit de
Cu cât raza sferei este mai mare, cu atât fluxul ar fi mai mare, în ciuda faptului că sarcina din interiorul sferei rămâne constantă.
Aplicații ale teoremei lui Gauss
Teorema lui Gauss vă permite să exprimați relația dintre sarcina electrică și intensitatea câmpului electric într-un mod foarte compact și elegant. Folosind această teoremă, este ușor să găsiți intensitatea câmpului în cazul în care distribuția sarcinilor se dovedește a fi destul de simplă și simetrică. În acest caz, însă, este necesar să avem grijă de alegerea corectă a suprafeței de integrare. De obicei, ne străduim să selectăm o suprafață astfel încât puterea câmpului electric E a fost constantă pe întreaga suprafață sau cel puțin în anumite zone.
Pentru a obține aceste rezultate pe baza legii lui Coulomb, ar trebui să lucrăm din greu integrând peste volumul mingii. Datorită teoremei lui Gauss și simetriei problemei, soluția sa dovedit a fi aproape banală. Acest lucru demonstrează puterea extraordinară a teoremei lui Gauss. Cu toate acestea, această utilizare a acestei teoreme este limitată în principal la cazurile în care distribuția sarcinii este extrem de simetrică. În astfel de situații, alegem o suprafață simplă pe care E \u003d const, iar integralul este luat fără dificultate. Desigur, teorema lui Gauss este valabilă pentru orice suprafață, suprafețele „simple” sunt alese doar pentru a facilita integrarea.
Concluzie
Fluxul de rezistență al unui câmp electric uniform E peste o zonă plană ȘI este egal F E \u003d E A... Dacă câmpul este neomogen, debitul este determinat de integral F E \u003d ∫Е dA.
Vector ȘI (sau dA) direcționate perpendicular pe site ȘI (sau dA); pentru o suprafață închisă vectorul ȘI îndreptată spre exterior. Fluxul printr-o suprafață este proporțional cu numărul de linii de forță care trec prin acea suprafață.
Teorema lui Gauss afirmă că fluxul rezultat al puterii câmpului electric care trece printr-o suprafață închisă este egal cu sarcina totală din interiorul suprafeței împărțită la ε 0 :
În principiu, teorema lui Gauss poate fi utilizată pentru a determina puterea câmpului electric creat de o distribuție de sarcină dată. Cu toate acestea, în practică, aplicarea sa este limitată în principal la câteva cazuri speciale când distribuția sarcinii are o simetrie ridicată. Adevărata valoare a teoremei lui Gauss este că ea stabilește, într-o formă mai generală și mai elegantă decât legea lui Coulomb, relația dintre sarcina electrică și intensitatea câmpului electric. Teorema lui Gauss este una dintre ecuațiile fundamentale ale teoriei electromagnetice.
Va urma. Pe scurt despre următoarea publicație:
Comentariile și sugestiile sunt binevenite și binevenite!
Principiul suprapunerii în combinație cu legea lui Coulomb oferă o cheie pentru calcularea câmpului electric al unui sistem arbitrar de sarcini, dar însumarea directă a câmpurilor folosind formula (4.2) necesită de obicei calcule complexe. Cu toate acestea, în prezența uneia sau altei simetrii a sistemului de sarcini, calculele sunt mult simplificate dacă introducem conceptul de flux de câmp electric și folosim teorema Gauss.
Conceptul fluxului unui câmp electric a fost introdus în electrodinamică de la hidrodinamică. În hidrodinamică, fluxul de fluid printr-o conductă, adică volumul de fluid N care trece prin secțiunea transversală a conductei pe unitate de timp, este egal cu v ⋅ S, unde v este viteza fluidului și S este zona conductei. Dacă viteza fluidului se modifică pe secțiune, trebuie să utilizați formula integrală N \u003d ∫ S v → ⋅ d S →. Într-adevăr, să identificăm în câmpul vitezei o mică zonă d S, perpendiculară pe vectorul vitezei (Fig.).
|
Volumul de lichid care curge prin această zonă în timpul d t este egal cu v d S d t. Dacă site-ul este înclinat spre flux, atunci volumul corespunzător va fi v d S cos θ d t, unde θ este unghiul dintre vectorul de viteză v → și normalul n → față de site-ul d S. Volumul de lichid care curge prin platforma d S pe unitate de timp se obține împărțind această valoare la d t. Este egal cu v d S cos θ d t, adică produs scalar v → ⋅ d S → vectorul viteză v → de vectorul elementului de zonă d S → \u003d n → d S. Vectorul unitar n → normal față de locul d S poate fi trasat în două direcții direct opuse. una dintre ele este considerată în mod convențional ca fiind pozitivă. N → normal este trasat în această direcție. Partea zonei din care iese n → normal se numește latura exterioară, iar cea în care intră n → normal se numește latura interioară. Vectorul elementului de zonă d S → este direcționat de-a lungul normalului exterior n → la suprafață și este egal în mărime cu aria elementului d S \u003d ∣ d S → ∣. Când se calculează volumul unui fluid care curge printr-o zonă S de dimensiuni finite, acesta trebuie dezvoltat în zone infinitezimale d S, iar apoi se calculează integralul ∫ S v → ⋅ d S → pe întreaga suprafață S.
Expresii precum ∫ S v → ⋅ d S → se găsesc în multe ramuri ale fizicii și matematicii. Acestea se numesc fluxul vectorului v → prin suprafața S indiferent de natura vectorului v →. În electrodinamică, integralul
| N \u003d ∫ S E → ⋅ d S → | (5.1) |
Să presupunem că vectorul E → este reprezentat de o sumă geometrică
E → \u003d ∑ j E → j.
Înmulțind această egalitate la scară cu d S → și integrând, obținem
N \u003d ∑ j N j.
unde N j este fluxul vectorului E → j prin aceeași suprafață. Astfel, rezultă din principiul suprapunerii puterii câmpului electric că fluxurile prin aceeași suprafață se adună algebric.
Teorema lui Gauss afirmă că fluxul vectorului E → printr-o suprafață închisă arbitrar este egal cu sarcina totală Q a tuturor particulelor din această suprafață înmulțită cu 4 π:
Realizăm dovada teoremei în trei etape.
1. Să începem cu calcularea fluxului de câmp electric al unui punct de sarcină q (Fig.). În cel mai simplu caz, când suprafața de integrare S este o sferă, iar sarcina se află în centrul ei, validitatea teoremei lui Gauss este practic evidentă. Pe suprafața sferei, puterea câmpului electric
E → \u003d q r → ∕ r 3
constantă în mărime și este direcționată peste tot de-a lungul normalului spre suprafață, astfel încât fluxul câmpului electric să fie pur și simplu egal cu produsul E \u003d q ∕ r 2 de aria sferei S \u003d 4 π r 2. Prin urmare, N \u003d 4 π q. Acest rezultat este independent de forma suprafeței care înconjoară sarcina. Pentru a demonstra acest lucru, selectăm o zonă arbitrară a unei suprafețe de o dimensiune suficient de mică, cu direcția normală exterioară n → setată pe ea. În fig. prezintă un astfel de segment de dimensiune exagerată (pentru claritate).
Fluxul vectorului E → prin această zonă este egal cu d N \u003d E → ⋅ d S → \u003d E cos θ d S,
unde θ este unghiul dintre direcția E → și normalul exterior n → față de locul d S. Deoarece E \u003d q ∕ r 2, și d S cos θ ∕ \u200b\u200br 2 în valoare absolută este un element al unghiului solid d Ω \u003d d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2, sub care zona d S este vizibilă din punctul de localizare a taxei,
D N \u003d ± q d Ω.
unde semnele plus și minus corespund semnului cos θ, și anume: semnul plus ar trebui luat dacă vectorul E → face un unghi acut cu direcția normală exterioară n →, iar semnul minus altfel.
2. Acum luați în considerare suprafața finală S, acoperind o parte a volumului V. În ceea ce privește acest volum, este întotdeauna posibil să se determine care dintre cele două direcții opuse ale normalului față de orice element al suprafeței S ar trebui considerat extern. Normala exterioară este îndreptată spre exterior din volumul V. Sumând peste segmente, până la semn, avem N \u003d q Ω, unde Ω este unghiul solid la care suprafața S este vizibilă din punctul în care se află sarcina q. Dacă suprafața S este închisă, atunci Ω \u003d 4 π cu condiția ca sarcina q să fie în interiorul S. În caz contrar, Ω \u003d 0. Pentru a clarifica ultima afirmație, puteți consulta din nou Fig. ...
Este evident că fluxurile prin segmentele suprafeței închise, sprijinite pe unghiuri solide egale, dar orientate în direcții opuse, se anulează reciproc. Este, de asemenea, evident că, dacă sarcina se află în afara suprafeței închise, atunci orice segment orientat spre exterior va găsi un segment corespunzător orientat spre interior.
3. În cele din urmă, folosind principiul suprapunerii, ajungem la formularea finală a teoremei lui Gauss (). Într-adevăr, câmpul sistemului de sarcini este egal cu suma câmpurilor fiecărei sarcini separat, dar numai sarcinile din interiorul suprafeței închise aduc o contribuție diferită de zero la partea dreaptă a teoremei (). Aceasta completează dovada.
În corpurile macroscopice, numărul purtătorilor de sarcină este atât de mare încât este convenabil să se reprezinte un ansamblu discret de particule sub forma unei distribuții continue, introducând conceptul de densitate a sarcinii. Prin definiție, densitatea de încărcare ρ este raportul Δ Q ∕ Δ V în limită atunci când volumul Δ V tinde la o valoare fizic infinit de mică:
unde integrarea în partea dreaptă se realizează peste volumul V închis de suprafața S.Teorema lui Gauss oferă o ecuație scalară pentru trei componente ale vectorului E →, deci numai această teoremă nu este suficientă pentru a calcula câmpul electric. Este necesară o simetrie bine cunoscută a distribuției densității sarcinii, astfel încât problema să poată fi redusă la o singură ecuație scalară. Teorema lui Gauss face posibilă găsirea câmpului în acele cazuri în care suprafața de integrare în () poate fi aleasă astfel încât puterea câmpului electric E să fie constantă pe întreaga suprafață. Să ne uităm la unele dintre cele mai instructive exemple.
▸ Sarcina 5.1
Găsiți câmpul unei bile încărcate uniform în volum sau suprafaţă.
Decizie: Câmp electric cu încărcare punctuală E → \u003d q r → ∕ r 3 tinde să infinit la r → 0. Acest fapt arată inconsecvența reprezentării particule elementare prin sarcini punctuale. Dacă taxa q distribuite uniform peste volumul unei bile cu rază finită a, atunci câmpul electric nu are particularități.
Din simetria problemei reiese clar că câmpul electric E → este direcționat radial peste tot și tensiunea sa E \u003d E (r) depinde doar de distanța r spre centrul mingii. Apoi fluxul de câmp electric printr-o sferă de rază r este pur și simplu egal cu 4 π r 2 E (fig.).
Pe de altă parte, sarcina din interiorul aceleiași sfere este egală cu sarcina totală minge Q dacă r ≥ a. Echivalând 4 π r 2 E cu sarcina mingii q înmulțită cu 4 π, obținem: E (r) \u003d q ∕ r 2.Astfel, în spațiul cosmic se creează o bilă încărcată un astfel de câmp, de parcă întreaga sarcină ar fi concentrată în centrul său. Acest rezultat este valabil pentru orice simetric sferic distribuirea taxelor.
Câmpul din interiorul mingii este E (r) \u003d Q ∕ r 2, unde Q este sarcina din interiorul sulfului cu raza r. Dacă încărcătura este uniform distribuită peste volumul mingii, atunci Q \u003d q (r ∕ a) 3. În acest caz
E (r) \u003d q r ∕ a 3 \u003d (4 π ∕ 3) ρ r,
unde ρ \u003d q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) - densitatea sarcinii. În interiorul mingii, câmpul scade liniar de la maxim valorile de pe suprafața mingii la zero în centrul acesteia (Fig. ).
Funcția E (r) în plus, este pretutindeni finit și continuu.Dacă sarcina este distribuită pe suprafața mingii, atunci Q \u003d 0 și, prin urmare, și E \u003d 0. Acest rezultat este valabil și pentru cazul în care se află în interiorul unui sferic nu există sarcini în cavitate, iar sarcinile externe sunt distribuite sferic simetric. ▸ Sarcina 5.2
Găsiți câmpul unui fir nesfârșit încărcat uniform; raza firului a, taxa pe unitate de lungime ϰ.
▸ Sarcina 5.3
Găsiți un câmp de fir drept infinit și infinit de lung un cilindru încărcat uniform.
▸ Sarcina 5.4
Găsiți câmpul unui plan încărcat infinit și uniform strat plat infinit încărcat.
Decizie: Datorită simetriei problemei, câmpul este direcționat normal stratului și depinde doar de distanță x din planul de simetrie al plăcii. Pentru a calcula un câmp folosind teorema lui Gauss, este convenabil să alegeți suprafața de integrare S în forma unui paralelipiped, așa cum se arată în Fig. .
Ultimul rezultat se obține trecând la limită a → 0 în timp ce crește densitatea de încărcare ρ astfel încât valoarea σ \u003d ρ a ramas neschimbat. Pe laturile opuse ale planului puterea câmpului electric este aceeași ca mărime, dar opus în direcție. Prin urmare, când treci prin în planul încărcat, câmpul se schimbă brusc cu valoarea 4 π σ. Rețineți că placa poate fi considerată infinită dacă distanța de la este neglijabilă în comparație cu dimensiunea sa. Pe distanțele sunt foarte mari în comparație cu dimensiunile plăcii acționează ca o sarcină punctuală, iar câmpul său scade înapoi proporțional cu pătratul distanței.Chernoutsan A.I., Linii de forță și teorema lui Gauss, Kvant. - 1990. - Nr. 3. - S. 52-55.
Prin acord special cu redacția și redactorii revistei Kvant
Din cursul de fizică școlară, știți că o reprezentare vizuală a câmpului electric poate fi obținută din imaginea liniilor de forță (să fim de acord prin câmpul „electric” aici pentru a însemna câmpul electrostatic). Trăgând o tangentă la linia de forță, aflăm direcția vectorului de tensiune (săgețile de pe linii vor indica exact unde să direcționăm acest vector), comparând densitatea liniilor de forță în diferite locuri (adică numărul de linii de forță care trec prin aria unității perpendiculară pe ea), aflăm, unde și de câte ori este magnitudinea tensiunii. Cu toate acestea, semnificația liniilor de forță nu se limitează la aceasta.
Cunoscuta proprietate a continuității liniilor în spațiul gol reflectă, de fapt, cea mai importantă proprietate a câmpului electric. Să-l formulăm: câmpul electric este proiectat în așa fel încât să fie posibil să trasăm linii de forță, respectând regula densității și fără a le rupe în același timp în spațiul gol dintre sarcini; liniile încep de la sarcini pozitive și se termină la sarcini negative; la fiecare încărcare, începe (sau se termină) numărul de linii, proporțional cu valoarea sa.
Esti surprins? Această proprietate vi se pare evidentă, de la sine înțeles? Acest lucru este departe de a fi cazul. Dacă legea lui Coulomb ar fi ușor diferită, nu ar fi fost posibil să trasăm linii de forță continuu. Luați, de exemplu, o taxă punctuală. Pe măsură ce vă îndepărtați de el, densitatea liniilor de forță scade. Deci, cu o creștere a distanței de la încărcare de 2 ori, densitatea liniilor va scădea de 4 ori (numărul de linii nu se va schimba, dar suprafața sferei va crește de 4 ori). Puterea câmpului electric va scădea, de asemenea, cu același factor. Dar numai datorită faptului că legea lui Coulomb conține \\ (~ \\ frac (1) (r ^ 2) \\)! Dacă, de exemplu, a existat \\ (~ \\ frac (1) (r ^ 3) \\), atunci tensiunea ar scădea nu de 4, ci de 8 ori și, pentru a respecta regula densității, jumătate din liniile de forța ar trebui tăiată pe drumul de la r până la 2 r... Și asta se află în spațiu gol!
Teorema lui Gauss este o expresie matematic riguroasă a proprietății de continuitate a liniilor câmpului electric. Pentru a o formula și a o demonstra, trebuie mai întâi să trecem de la limbajul calitativ al liniilor de forță la reprezentări cantitative precise. Să începem prin reformularea proprietății de continuitate a liniei.
Luați în considerare o suprafață închisă arbitrară. Dacă nu există sarcini în interiorul suprafeței, atunci numărul de linii care ies din ea este exact egal cu numărul de linii care intră. Este convenabil să luați în considerare liniile de intrare împreună cu cele de ieșire, dar atribuiți-le un semn minus. Atunci putem spune că numărul total de linii de forță care ies din suprafața „goală” este egal cu zero. Dacă există vreo încărcare în interiorul suprafeței, atunci este evident că numărul total de linii care ies din suprafață va fi proporțional cu magnitudinea acestei sarcini... Aceasta este formularea calitativă a teoremei lui Gauss. Dar - hai să mergem mai departe.
Introducem cantitatea scalară Φ - se numește fluxul vectorului de tensiune printr-o zonă mică:
\\ (~ \\ Phi \u003d ES \\ cos \\ alpha \\). (unu)
Aici \\ (~ \\ vec E \\) este intensitatea câmpului la locația site-ului selectat (deoarece site-ul este mic, câmpul poate fi considerat uniform), S - zona amplasamentului, α - unghiul dintre vectorul \\ (~ \\ vec E \\) și vectorul \\ (~ \\ vec n \\) normal față de site. Uită-te la figura 1: numărul de linii de forță care pătrund pe site S, este egal cu produsul densității lor de aria zonei transversale \\ (~ S _ (\\ perp) \u003d S \\ cos \\ alpha \\). Deoarece densitatea liniei este proporțională E, numărul total de linii de forță care trec prin sit este proporțional cu debitul Φ ... Toate liniile de forță care ies dintr-o anumită suprafață închisă corespund unui flux pe toată această suprafață (adică suma fluxurilor prin zone mici individuale ale suprafeței). Pentru ca liniile de ieșire să aducă o contribuție pozitivă la flux, iar cele de intrare - una negativă, să fim de acord că normalul la suprafață „arată” întotdeauna spre exterior.
Acum este clar că teorema lui Gauss poate fi formulată după cum urmează: fluxul vectorului puterii câmpului electric prin orice suprafață închisă este proporțional cu sarcina totală conținută în această suprafață... Pentru a demonstra această teoremă și, în același timp, pentru a calcula coeficientul de proporționalitate, să considerăm mai întâi o proprietate simplă, dar foarte importantă a cantității Φ .
Scriem formula (1) sub forma \\ (~ \\ Phi \u003d (E \\ cos \\ alpha) S \u003d E_n S \\), unde E n este proiecția vectorului \\ (~ \\ vec E \\) pe direcția normalului \\ (~ \\ vec n \\). Dacă câmpul este creat de mai multe sarcini, atunci conform principiului suprapunerii \\ (~ \\ vec E \u003d \\ vec E_1 + \\ vec E_2 + \\ ldots + \\ vec E_k \\). Dar proiecția sumei vectorilor este egală cu suma proiecțiilor: E n \u003d E 1n + E 2n + ... + E kn. De aici constatăm că fluxul total al vectorului de intensitate este egal cu suma fluxurilor create de sarcini individuale: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ k. Prin urmare, putem vorbi despre contribuția la fluxul total din fiecare încărcare individuală.
Să dovedim mai întâi că contribuția la flux dintr-o sarcină punctuală qîn afara suprafeței închise este zero. Luați în considerare două suprafețe mici tăiate de un con îngust (Fig. 2). Avem
\\ (~ \\ begin (matrix) \\ Phi_1 \u003d E_1 S_1 \\ cos \\ alpha_1 \u003d -E_1 S_ (1 \\ perp) \\\\ \\ Phi_2 \u003d E_2 S_2 \\ cos \\ alpha_2 \u003d E_2 S_ (2 \\ perp) \\ end (matrix) \\),
unde \\ (~ E_1 \u003d \\ frac (1) (4 \\ pi \\ varepsilon_0) \\ frac (q) (r ^ 2_1) \\), \\ (~ E_2 \u003d \\ frac (1) (4 \\ pi \\ varepsilon_0) \\ frac (q) (r ^ 2_2) \\).
Din asemănarea rezultă că
\\ (~ \\ frac (r ^ 2_1) (r ^ 2_2) \u003d \\ frac (S_ (1 \\ perp)) (S_ (2 \\ perp)) \\).
Prin urmare,
\\ (~ \\ Phi_1 \u003d - \\ Phi_2 \\) sau \\ (~ \\ Phi_1 + \\ Phi_2 \u003d 0 \\).
O distrugere reciprocă similară a fluxurilor are loc pentru orice altă pereche de secțiuni corespunzătoare.
Să calculăm acum contribuția la flux dintr-o sarcină punctuală situată în interiorul unei suprafețe închise. Înconjurăm încărcătura cu o suprafață sferică cu o rază r (fig. 3). Argumentând similar cu precedentul, constatăm că în acest caz Φ 1 = Φ 2, adică fluxul prin suprafața arbitrară considerată este egal cu fluxul prin sferă. Și fluxul prin sferă este ușor de calculat:
\\ (~ \\ Phi \u003d ES \u003d \\ frac (1) (4 \\ pi \\ varepsilon_0) \\ frac (q) (r ^ 2) 4 \\ pi r ^ 2 \u003d \\ frac (q) (\\ varepsilon_0) \\).
Astfel, am ajuns la formularea finală a teoremei lui Gauss: fluxul vectorului de forță al câmpului electric printr-o suprafață închisă arbitrar este egal cu sarcina totală conținută în această suprafață împărțită la constanta electrică, adică
\\ (~ \\ Phi \u003d \\ frac (\\ sum q_ (vnutr)) (\\ varepsilon_0) \\). (2)
Să trecem la cel mai plăcut lucru - să începem să culegem beneficiile. Prima aplicație a teoremei lui Gauss este de a calcula intensitatea câmpului electric. Să facem o rezervare imediată că gama de probleme rezolvate în acest mod nu este foarte largă (spre deosebire de metoda bazată pe utilizarea principiului suprapunerii). Dar încă există. Dacă, de exemplu, știm dinainte direcția vectorului de tensiune în toate punctele de interes pentru noi în spațiu, dacă am reușit să alegem o suprafață închisă pentru care calculul debitului vectorului de tensiune este simplu, atunci poate că am va avea succes. Dar ce succes!
După cum știți, Newton a durat mulți ani pentru a demonstra că forța de atracție a unei particule materiale către o bilă (Pământul) nu se va schimba dacă întreaga masă a mingii este concentrată în centrul ei. Pentru a efectua dovada folosind principiul suprapunerii, el a trebuit să dezvolte în mod semnificativ calculul integral. Uită-te acum cum putem face față cu aproape aceeași sarcină. Luați o minge încărcată uniform cu încărcare Î, și calculați câmpul din afara acestuia - la distanță r din centrul său (fig. 4). Din considerente de simetrie, este clar că vectorul de intensitate a câmpului \\ (~ \\ vec E \\) este direcționat peste tot de-a lungul razei. Să exprimăm fluxul vectorului de intensitate printr-o sferă cu o rază r doua feluri. Prin definiția fluxului
\\ (~ \\ Phi \u003d ES \u003d 4 \\ pi E r ^ 2 \\),
și prin teorema lui Gauss
\\ (~ \\ Phi \u003d \\ frac (Q) (\\ varepsilon_0) \\).
De aici ajungem
\\ (~ E \u003d \\ frac (1) (4 \\ pi \\ varepsilon_0) \\ frac (Q) (r ^ 2) \\)
Câmpul unei mingi încărcate în afara acesteia coincide cu câmpul unei încărcături punctiforme plasate în centrul mingii.
Un alt exemplu: găsiți intensitatea câmpului unui plan încărcat infinit cu o densitate a sarcinii de suprafață σ (fig. 5). Din simetrie este clar că vectorul \\ (~ \\ vec E \\) este peste tot perpendicular pe plan. Să alegem o suprafață închisă sub forma unui cilindru situat simetric față de plan. Fluxul vectorului de solicitare prin suprafața laterală a cilindrului este zero și prin fiecare bază cu o zonă S este egal ES, adică
\\ (~ \\ Phi \u003d 2 ES \\).
Dar prin teorema lui Gauss
\\ (~ \\ Phi \u003d \\ frac (\\ sigma S) (\\ varepsilon_0) \\).
Echivalând laturile din dreapta ale ambelor egalități, obținem
\\ (~ E \u003d \\ frac (\\ sigma) (2 \\ varepsilon_0) \\).
În cele din urmă, un ultim exemplu. Atinge o proprietate foarte importantă a conductorilor. Să arătăm că sarcinile statice ale unui conductor sunt întotdeauna situate pe suprafața acestuia. Dovada este foarte simplă. Deoarece intensitatea câmpului din interiorul conductorului este zero (altfel ar exista o mișcare a sarcinilor libere), atunci fluxul vectorului de intensitate prin orice suprafață închisă trasă în interiorul conductorului este zero. Aceasta înseamnă că sarcina din interiorul oricărei suprafețe arbitrar mici în grosimea conductorului este, de asemenea, egală cu zero. În consecință, toate sarcinile conductorului sunt de fapt situate pe suprafața acestuia.
Acum, pentru o notă importantă. Dovada electroneutralității volumului unui conductor se bazează pe teorema lui Gauss, care, la fel ca proprietatea continuității liniilor de forță, este adevărată numai dacă legea Coulomb conține \\ (~ \\ frac (1) (r ^ 2) \\). Concluzie: validitatea legii lui Coulomb poate fi verificată experimental. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă asigurați că grosimea conductorului este neutră electric.
Vedeți câte lucruri interesante pot fi spuse doar de o teoremă - teorema lui Gauss.
Luați în considerare câmpul unei taxe punctuale $ q $, găsiți fluxul vectorului de intensitate ($ \\ overrightarrow (E) $) prin suprafața închisă $ S $. Vom presupune că încărcătura se află în interiorul suprafeței. Fluxul vectorului de tensiune prin orice suprafață este egal cu numărul de linii ale vectorului de tensiune care iese (începând de la încărcare, dacă $ q\u003e 0 $) sau cu numărul de linii $ \\ overrightarrow (E) $ care intră în interior , dacă $ q \\ [Ф_E \u003d \\ frac (q) ((\\ varepsilon) _0) \\ \\ left (1 \\ right), \\]
unde semnul fluxului coincide cu semnul sarcinii.
Ostrogradsky - Teorema lui Gauss în formă integrală
Să presupunem că există N sarcini punctuale în interiorul suprafeței S, valorile $ q_1, q_2, \\ dots q_N. $ Din principiul suprapunerii, știm că puterea câmpului rezultată a tuturor N sarcinilor poate fi găsită ca suma puterile câmpului care sunt create de fiecare dintre taxe, atunci există:
Prin urmare, pentru fluxul unui sistem de sarcini punctuale, putem scrie:
Folosind formula (1), obținem că:
\\ [Ф_E \u003d \\ oint \\ limits_S (\\ overrightarrow (E) d \\ overrightarrow (S)) \u003d \\ frac (1) ((\\ varepsilon) _0) \\ sum \\ limits ^ N_ (i \u003d 1) (q_i \\) \\ stânga (4 \\ dreapta). \\]
Ecuația (4) înseamnă că fluxul vectorului de forță al câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor care se află în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică. Aceasta este teorema Ostrogradsky - Gauss în formă integrală. Această teoremă este o consecință a legii lui Coulomb. Semnificația acestei teoreme constă în faptul că face posibilă calcularea destul de ușoară a câmpurilor electrice pentru diferite distribuții de sarcină.
Ca o consecință a teoremei Ostrogradsky - Gauss, trebuie spus că fluxul vectorului de intensitate ($ Ф_E $) printr-o suprafață închisă în cazul în care sarcinile sunt în afara suprafeței date este zero.
În cazul în care discreția tarifelor poate fi ignorată, se utilizează conceptul de densitate a încărcării volumului ($ \\ rho $) dacă taxa este distribuită peste volum. Este definit ca:
\\ [\\ rho \u003d \\ frac (dq) (dV) \\ left (5 \\ right), \\]
unde $ dq $ este o taxă care poate fi considerată în sens punctual, $ dV $ este un volum mic. (În ceea ce privește $ dV $, este necesar să faceți următoarea remarcă. Acest volum este mic, astfel încât densitatea de încărcare din acesta să poată fi considerată constantă, dar suficient de mare pentru ca discreția încărcării să nu înceapă să apară). Sarcina totală care se află în cavitate poate fi găsită ca:
\\ [\\ sum \\ limits ^ N_ (i \u003d 1) (q_i \\) \u003d \\ int \\ limits_V (\\ rho dV) \\ left (6 \\ right). \\]
În acest caz, rescriem formula (4) sub forma:
\\ [\\ oint \\ limits_S (\\ overrightarrow (E) d \\ overrightarrow (S)) \u003d \\ frac (1) ((\\ varepsilon) _0) \\ int \\ limits_V (\\ rho dV) \\ left (7 \\ right). \\ ]
Ostrogradsky - Teorema lui Gauss sub formă diferențială
Folosind formula Ostrogradsky - Gauss pentru orice câmp de natură vectorială, cu ajutorul căruia se efectuează tranziția de la integrarea pe o suprafață închisă la integrarea peste volum:
\\ [\\ oint \\ limits_S (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (dS) \u003d \\ int \\ nolimits_V (div)) \\ overrightarrow (a) dV \\ \\ left (8 \\ right), \\]
unde $ \\ overrightarrow (a) - $ vector de câmp (în cazul nostru este $ \\ overrightarrow (E) $), $ div \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (\\ nabla) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ frac (\\ partial a_x) (\\ partial x) + \\ frac (\\ partial a_y) (\\ partial y) + \\ frac (\\ partial a_z) (\\ partial z) $ - divergenta vectorului $ \\ overrightarrow (a) $ la un punct cu coordonate (x, y, z), care mapează un câmp vectorial cu unul scalar. $ \\ overrightarrow (\\ nabla) \u003d \\ frac (\\ partial) (\\ partial x) \\ overrightarrow (i) + \\ frac (\\ partial) (\\ partial y) \\ overrightarrow (j) + \\ frac (\\ partial) (\\ parțial z) \\ overrightarrow (k) $ - operator obla. (În cazul nostru, va fi $ div \\ overrightarrow (E) \u003d \\ overrightarrow (\\ nabla) \\ overrightarrow (E) \u003d \\ frac (\\ partial E_x) (\\ partial x) + \\ frac (\\ partial E_y) (\\ partial y) + \\ frac (\\ partial E_z) (\\ partial z) $) - divergenta vectorului de tensiune. Urmând cele de mai sus, rescriem formula (6) ca:
\\ [\\ oint \\ limits_S (\\ overrightarrow (E) \\ overrightarrow (dS) \u003d \\ int \\ nolimits_V (div)) \\ overrightarrow (E) dV \u003d \\ frac (1) ((\\ varepsilon) _0) \\ int \\ limits_V ( \\ rho dV) \\ left (9 \\ right). \\]
Egalitățile din ecuația (9) sunt satisfăcute pentru orice volum, iar acest lucru este fezabil numai dacă funcțiile care sunt în integranzi sunt egale în fiecare curent spațial, adică putem scrie că:
Expresia (10) este teorema Ostrogradsky - Gauss sub formă diferențială. Interpretarea sa este după cum urmează: sarcinile sunt surse ale unui câmp electric. Dacă $ div \\ overrightarrow (E)\u003e 0 $, atunci în aceste puncte ale câmpului (taxe pozitive) avem surse de câmp, dacă $ div \\ overrightarrow (E)
Sarcină: Încărcarea este distribuită uniform pe volum, o suprafață cubică cu latura b este evidențiată în acest volum. Este înscris într-o sferă. Găsiți raportul fluxurilor vectorului de tensiune prin aceste suprafețe.
Conform teoremei lui Gauss, fluxul ($ Ф_E $) al vectorului de intensitate $ \\ overrightarrow (E) $ printr-o suprafață închisă cu o distribuție uniformă a sarcinii peste volum este:
\\ [Ф_E \u003d \\ frac (1) ((\\ varepsilon) _0) Q \u003d \\ frac (1) ((\\ varepsilon) _0) \\ int \\ limits_V (\\ rho dV \u003d \\ frac (\\ rho) ((\\ varepsilon) _0) \\ int \\ limits_V (dV) \u003d \\ frac (\\ rho V) ((\\ varepsilon) _0)) \\ left (1.1 \\ right). \\]
Prin urmare, trebuie să determinăm volumele cubului și ale mingii dacă bila este descrisă în jurul acestui cub. Pentru început, volumul unui cub ($ V_k $) dacă latura sa b este:
Găsiți volumul mingii ($ V_ (sh) $) după formula:
unde $ D $ este diametrul mingii și (deoarece mingea este circumscrisă în jurul cubului), diagonala principală a cubului. Prin urmare, trebuie să exprimăm diagonala cubului în funcție de latura sa. Acest lucru poate fi realizat cu ușurință folosind teorema lui Pitagora. Pentru a calcula diagonala unui cub, de exemplu, (1.5), trebuie mai întâi să găsim diagonala pătratului (baza inferioară a cubului) (1.6). Lungimea diagonalei (1.6) este egală cu:
În acest caz, lungimea diagonalei (1,5) este egală cu:
\\ [(D \u003d D) _ (15) \u003d \\ sqrt (b ^ 2 + ((\\ sqrt (b ^ 2 + b ^ 2 \\ \\ \\))) ^ 2) \u003d b \\ sqrt (3) \\ \\ left (1,5 \\ dreapta). \\]
Înlocuind diametrul găsit al mingii în (1.3), obținem:
Acum putem găsi fluxurile vectorului de intensitate prin suprafața cubului, este egal cu:
\\ [Ф_ (Ek) \u003d \\ frac (\\ rho V_k) ((\\ varepsilon) _0) \u003d \\ frac (\\ rho b ^ 3) ((\\ varepsilon) _0) \\ left (1.7 \\ right), \\]
prin suprafața mingii:
\\ [Ф_ (Esh) \u003d \\ frac (\\ rho V_ (sh)) ((\\ varepsilon) _0) \u003d \\ frac (\\ rho) ((\\ varepsilon) _0) \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\ pi b ^ 3 \\ \\ left (1,8 \\ right). \\]
Să găsim raportul $ \\ frac (Ф_ (Esh)) (Ф_ (Ek)) $:
\\ [\\ frac (Ф_ (Esh)) (Ф_ (Ek)) \u003d \\ frac (\\ frac (с) (\\ varepsilon_0) \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\ pi b ^ 3) (\\ frac (cb ^ 3) (\\ varepsilon_0)) \u003d \\ frac (\\ pi) (2) \\ sqrt (3) \\ \\ approx 2.7 \\ left (1.9 \\ right). \\]
Răspuns: Debitul prin suprafața mingii este de 2,7 ori mai mare.
Alocare: Dovediți că sarcina conductorului este situată pe suprafața sa.
Pentru demonstrație folosim teorema lui Gauss. Să selectăm în conductor o suprafață închisă de formă arbitrară lângă suprafața conductorului (Fig. 2).
Să presupunem că există sarcini în interiorul conductorului, scriem cu teorema Ostrogradsky - Gauss pentru divergența câmpului, avem pentru orice punct al suprafeței S:
unde $ \\ rho este densitatea \\ $ a taxei interne. Cu toate acestea, nu există nicio marjă în interiorul conductorului, adică $ \\ overrightarrow (E) \u003d 0 $, deci $ div \\ overrightarrow (E) \u003d 0 \\ to \\ rho \u003d 0 $. Teorema Ostrogradsky - Gauss în formă diferențială este locală, adică este scrisă pentru un punct de câmp, nu am ales un punct într-un mod special, prin urmare, densitatea sarcinii este zero în orice punct al câmpului din interiorul conductorului.
