Obiectivele lecției:
1. Educațional:
Introduceți conceptul de paralelipiped și tipurile acestuia;
- formulați (folosind analogia cu un paralelogram și un dreptunghi) și dovediți proprietățile unui paralelipiped și unui cuboid;
- repeta întrebări legate de paralelism și perpendicularitate în spațiu.
2. Dezvoltare:
Continuați să dezvoltați astfel de abilități la elevi procesele cognitive ca percepție, înțelegere, gândire, atenție, memorie;
- promovează dezvoltarea elementelor la elevi activitate creativă ca calități ale gândirii (intuiție, gândire spațială);
- să dezvolte la elevi capacitatea de a trage concluzii, inclusiv prin analogie, care ajută la înțelegerea legăturilor intra-subiecte în geometrie.
3. Educațional:
Contribuie la dezvoltarea organizării și a obiceiurilor de muncă sistematică;
- contribuie la formarea deprinderilor estetice la realizarea notelor si realizarea desenelor.
Tip de lecție: lecție-învățare material nou (2 ore).
Structura lecției:
1. Moment organizatoric.
2. Actualizarea cunoștințelor.
3. Studierea materialelor noi.
4. Rezumarea și stabilirea temelor.
Echipamente: postere (diapozitive) cu dovezi, machete ale diverselor corpuri geometrice, inclusiv toate tipurile de paralelipipedi, proiector grafic.
Progresul lecției.
1. Moment organizatoric.
2. Actualizarea cunoștințelor.
Comunicarea temei lecției, formularea scopurilor și obiectivelor împreună cu elevii, arătând semnificația practică a studierii temei, repetarea problemelor studiate anterior legate de această temă.
3. Studierea materialelor noi.
3.1. Paralelepiped și tipurile sale.
Sunt demonstrate modele de paralelipiped, identificându-se caracteristicile acestora, care ajută la formularea definiției unui paralelipiped folosind conceptul de prismă.
Definiţie:
paralelipiped numită prismă a cărei bază este un paralelogram.
Se realizează un desen al unui paralelipiped (Figura 1), sunt enumerate elementele unui paralelipiped ca caz special al unei prisme. Diapozitivul 1 este afișat.
Notarea schematică a definiției:
Se formulează concluziile din definiție:
1) Dacă ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este o prismă și ABCD este un paralelogram, atunci ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelipiped.
2) Dacă ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelipiped, atunci ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este o prismă și ABCD este un paralelogram.
3) Dacă ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nu este o prismă sau ABCD nu este un paralelogram, atunci
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nu paralelipiped.
4). Dacă ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nu paralelipiped, atunci ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nu este o prismă sau ABCD nu este un paralelogram.
În continuare, sunt luate în considerare cazuri speciale ale unui paralelipiped cu construirea unei scheme de clasificare (vezi Fig. 3), sunt demonstrate modele, sunt evidențiate proprietățile caracteristice ale paralelipipedelor drepte și dreptunghiulare și sunt formulate definițiile acestora.
Definiţie:
Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază.
Definiţie:
Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază, iar baza este un dreptunghi (vezi Figura 2).
După înregistrarea definițiilor într-o formă schematică, se formulează concluzii din acestea.
3.2. Proprietățile paralelipipedelor.
Căutați figuri planimetrice ale căror analogi spațiali sunt paralelipiped și cuboid (paralelogram și dreptunghi). În acest caz, avem de-a face cu asemănarea vizuală a figurilor. Folosind regula de inferență prin analogie, tabelele sunt completate.
Regula de inferență prin analogie:
1. Alege dintre cele studiate anterior cifre cifra, similar cu acesta.
2. Formulați proprietatea figurii selectate.
3. Formulați o proprietate similară a figurii originale.
4. Demonstrați sau infirmați afirmația formulată.
După formularea proprietăților, demonstrarea fiecăreia dintre ele se realizează conform următoarei scheme:
- discutarea planului de probă;
- demonstrarea unui diapozitiv cu dovezi (diapozitivele 2 – 6);
- elevii completând dovezi în caietele lor.
3.3 Cubul și proprietățile sale.
Definiție: Un cub este un paralelipiped dreptunghiular în care toate cele trei dimensiuni sunt egale.
Prin analogie cu un paralelipiped, elevii fac independent o notație schematică a definiției, derivă consecințe din aceasta și formulează proprietățile cubului.
4. Rezumarea și stabilirea temelor.
Teme pentru acasă:
- Folosind notele de lecție din manualul de geometrie pentru clasele 10-11, L.S. Atanasyan și alții, studiază Capitolul 1, §4, paragraful 13, Capitolul 2, §3, paragraful 24.
- Demonstrați sau infirmați proprietatea unui paralelipiped, punctul 2 din tabel.
- Răspunde la întrebările de securitate.
Întrebări de testare.
1. Se știe că doar două fețe laterale ale paralelipipedului sunt perpendiculare pe bază. Ce tip de paralelipiped?
2. Câte fețe laterale de formă dreptunghiulară poate avea un paralelipiped?
3. Este posibil să existe un paralelipiped cu o singură față laterală:
1) perpendicular pe bază;
2) are forma unui dreptunghi.
4. Într-un paralelipiped drept, toate diagonalele sunt egale. Este dreptunghiular?
5. Este adevărat că într-un paralelipiped drept secțiunile diagonale sunt perpendiculare pe planurile bazei?
6. Prezentați teorema inversă teoremei despre pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic.
7. Ce semne suplimentare Care este diferența dintre un cub și un paralelipiped dreptunghiular?
8. Va fi un paralelipiped un cub în care toate muchiile de la unul dintre vârfuri sunt egale?
9. Prezentați teorema pe pătratul diagonalei unui cuboid pentru cazul unui cub.
În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „ Paralepiped dreptunghiular" La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintiți-vă proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi ne vom uita la ce este un cuboid și vom discuta proprietățile sale de bază.
Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor
Lecția: Cuboid
O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).
Orez. 1 Paralelepiped
Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.
Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.
1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
(formele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)
De exemplu:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).
2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.
Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).
Orez. 2 Diagonalele unui paralelipiped se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.
3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale unui paralelipiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definiţie. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.
Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Aceasta înseamnă că fețele laterale conțin dreptunghiuri. Și bazele conțin paralelograme arbitrare. Să notăm ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.
Orez. 3 Paralepipedul drept
Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.
Definiţie. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.
Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:
1. AA 1 ⊥ ABCD (margine laterală perpendiculară pe planul bazei, adică paralelipiped drept).
2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.
Orez. 4 Paralepiped dreptunghiular
Un paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile unui paralelipiped arbitrar. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.
Aşa, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.
1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.
ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.
2. Coaste laterale perpendicular pe baza. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.
3. Toate unghiuri diedrice linii drepte paralelipipede dreptunghiulare.
Să considerăm, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABC 1 și ABC.
AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci se poate nota și unghiul diedric luat în considerare după cum urmează: ∠A 1 ABD.
Să luăm punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul АВВ-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Deci, ∠A 1 AD - unghi liniar dat unghiul diedric. ∠A 1 AD = 90°, ceea ce înseamnă că unghiul diedrului la muchia AB este de 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
În mod similar, se dovedește că orice unghiuri diedrice ale unui paralelipiped dreptunghic sunt drepte.
Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.
Nota. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vârf al unui cuboid sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.
Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).
Demonstrează: .
Orez. 5 Paralepiped dreptunghiular
Dovada:
Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Aceasta înseamnă că triunghiul CC 1 A este dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:
Să luăm în considerare triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:
Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:
Deoarece , A , Asta. Deoarece CC 1 = AA 1, aceasta este ceea ce trebuia demonstrat.
Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.
Să notăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Tradus din greacă, paralelogram înseamnă plan. Un paralelipiped este o prismă cu un paralelogram la bază. Există cinci tipuri de paralelogram: oblic, drept și cuboid. Cubul și romboedrul aparțin și ele paralelipipedului și sunt varietatea acestuia.
Înainte de a trece la conceptele de bază, să dăm câteva definiții:
- Diagonala unui paralelipiped este un segment care unește vârfurile paralelipipedului care sunt opuse unul altuia.
- Dacă două fețe au o muchie comună, atunci le putem numi muchii adiacente. Dacă nu există margine comună, atunci fețele se numesc opuse.
- Două vârfuri care nu se află pe aceeași față sunt numite opuse.
Ce proprietăți are un paralelipiped?
- Fețele unui paralelipiped situat pe laturi opuse sunt paralele între ele și egale între ele.
- Dacă desenați diagonale de la un vârf la altul, atunci punctul de intersecție al acestor diagonale le va împărți în jumătate.
- Laturile paralelipipedului situate în același unghi față de bază vor fi egale. Cu alte cuvinte, unghiurile laturilor co-dirijate vor fi egale între ele.
Ce tipuri de paralelipiped există?
Acum să ne dăm seama ce fel de paralelipipede există. După cum am menționat mai sus, există mai multe tipuri de această figură: dreptă, dreptunghiulară, paralelipiped înclinat, precum și cub și romboedru. Cum se deosebesc unul de celălalt? Totul este despre planurile care le formează și unghiurile pe care le formează.
Să ne uităm mai detaliat la fiecare dintre tipurile de paralelipiped enumerate.
- După cum reiese deja din denumire, un paralelipiped înclinat are fețe înclinate, și anume acele fețe care nu se află la un unghi de 90 de grade în raport cu baza.
- Dar pentru un paralelipiped drept, unghiul dintre bază și margine este exact nouăzeci de grade. Din acest motiv, acest tip de paralelipiped are un astfel de nume.
- Dacă toate fețele paralelipipedului sunt pătrate identice, atunci această cifră poate fi considerată un cub.
- Un paralelipiped dreptunghiular a primit acest nume datorită planurilor care îl formează. Dacă toate sunt dreptunghiuri (inclusiv baza), atunci este un cuboid. Acest tip de paralelipiped nu se găsește foarte des. Tradus din greacă, romboedrul înseamnă față sau bază. Acesta este numele dat unei figuri tridimensionale ale cărei fețe sunt romburi.
Formule de bază pentru un paralelipiped
Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia perpendicular pe bază.
Aria suprafeței laterale va fi egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea.
Cunoscând definițiile și formulele de bază, puteți calcula aria de bază și volumul. Baza poate fi aleasă la discreția dumneavoastră. Cu toate acestea, de regulă, un dreptunghi este folosit ca bază.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dumneavoastră e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
