Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiectivele lecției: introduceți conceptul de unghi diedru și unghiul său liniar;
Progresul lecției
I. Moment organizatoric.
Informați subiectul lecției, formulați obiectivele lecției.
II. Actualizarea cunoștințelor elevilor (diapozitivul 2, 3).
1. Pregătirea pentru studiul materialului nou.
Cum se numește un unghi într-un plan?
Cum se numește unghiul dintre liniile din spațiu?
Cum se numeste unghiul dintre o dreapta si un plan?
Prezentați teorema celor trei perpendiculare
III. Învățarea de materiale noi.
- Conceptul de unghi diedru.
O figură formată din două semiplane care trec printr-o dreaptă MN se numește unghi diedru (diapozitivul 4).
Semiplanurile sunt fețe, linia dreaptă MN este o muchie a unui unghi diedru.
În ce articole se află viata de zi cu zi au forma unui unghi diedru? (Diapozitivul 5)
- Unghiul dintre planele АСН și СНD este unghiul diedru АСНD, unde СН este o muchie. Punctele A și D se află pe fețele acestui unghi. Unghiul AFD este unghiul liniar al unghiului diedru ACHD (diapozitivul 6).
- Algoritm pentru construirea unui unghi liniar (diapozitivul 7).
1 cale. Pe margine, luați orice punct O și trageți perpendiculare pe acest punct (PO DE, KO DE) pentru a obține unghiul ROK - liniar.
Metoda 2. Într-un semiplan, luați punctul K și lăsați două perpendiculare de pe acesta pe un alt semiplan și o muchie (KO și KR), apoi prin teorema inversă TTP PODE
- Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale (diapozitivul 8). Dovada: razele OA și O 1 A 1 sunt co-dirijate, razele OB și O 1 B 1 sunt de asemenea co-dirijate, unghiurile BOA și B 1 O 1 A 1 sunt egale ca unghiuri cu laturile co-direcționate.
- Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar (diapozitivul 9).
IV. Consolidarea materialului studiat.
- Rezolvarea problemelor (oral folosind desene gata făcute).
(Diapozitive 10-12)
1. RAVS – piramidă; unghiul ACB este egal cu 90°, linia dreaptă PB este perpendiculară pe planul ABC. Demonstrați că unghiul RSV este un unghi liniar al unui unghi diedru cu
2. RAVS - piramidă; AB = BC, D este mijlocul segmentului AC, dreapta PB este perpendiculară pe planul ABC. Demonstrați că unghiul PDB este un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia AC.
- 3. PABCD – piramidă; dreapta PB este perpendiculară pe planul ABC, BC este perpendiculară pe DC. Demonstrați că unghiul RKB este un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia CD.
Probleme privind construirea unui unghi liniar (diapozitivele 13-14).
1. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia AC, dacă în piramida RABC fața ABC este un triunghi regulat, O este punctul de intersecție al medianelor, dreapta PO este perpendiculară pe planul ABC
2. Dat un romb ABCD Linia dreaptă RS este perpendiculară pe planul ABCD.
- Construiți unghiul liniar al unui unghi diedru cu muchia ВD și unghiul liniar al unui unghi diedru cu muchia AD.
Sarcina de calcul. (Diapozitivul 15)
În paralelogramul ABCD, unghiul ADC este egal cu 120 0, AD = 8 cm,
DC = 6 cm, dreapta RS este perpendiculară pe planul ABC, RS = 9 cm.
Aflați dimensiunea unghiului diedrului cu muchia AD și aria paralelogramului. V. Teme pentru acasă
(diapozitivul 16).
P. 22, Nr. 168, 171.
- Literatura folosita:
- Geometrie 10-11 L.S.Atanasyan.
Sistem de probleme pe tema „Unghiuri diedrice” de M.V Sevostyanova (Murmansk), revista Matematică la școală 198... Unghiul dintre două planuri diferite poate fi determinat pentru oricare poziție relativă
avioane.
Un caz banal dacă planurile sunt paralele. Atunci unghiul dintre ele este considerat egal cu zero.
Un caz non-trivial dacă planurile se intersectează. Acest caz face obiectul unor discuții ulterioare. Mai întâi avem nevoie de conceptul de unghi diedru.
9.1 Unghiul diedric Unghi diedru
acestea sunt două semiplane cu o linie dreaptă comună (care se numește muchia unui unghi diedru). În fig. 50 prezintă un unghi diedru format din semiplane şi; marginea acestui unghi diedric este dreapta a, comună acestor semiplane.
Orez. 50. Unghiul diedric
Pe marginea unghiului diedric format din semiplane și, luăm un punct arbitrar M. Desenăm razele MA și MB, respectiv situate în aceste semiplane și perpendiculare pe margine (Fig. 51).
Orez. 51. Unghi diedru liniar
Unghiul rezultat AMB este unghiul liniar al unghiului diedru. Unghiul „ = \AMB este exact valoarea unghiulară a unghiului nostru diedru.
Definiţie. Mărimea unghiulară a unui unghi diedru este mărimea unghiului liniar al unui unghi diedru dat.
Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele (la urma urmei, ele sunt obținute unul de celălalt printr-o deplasare paralelă). De aceea această definiție corect: valoarea „ nu depinde de alegerea specifică a punctului M de pe marginea unghiului diedrului.
9.2 Determinarea unghiului dintre planuri
Când două plane se intersectează, se obțin patru unghiuri diedrice. Dacă toate au aceeași dimensiune (90 fiecare), atunci planurile se numesc perpendiculare; Unghiul dintre planuri este atunci de 90.
Dacă nu toate unghiurile diedrice sunt la fel (adică sunt două acute și două obtuze), atunci unghiul dintre plane este valoarea unghiului diedric acut (Fig. 52).
Orez. 52. Unghiul dintre planuri
9.3 Exemple de rezolvare a problemelor
Să ne uităm la trei probleme. Primul este simplu, al doilea și al treilea sunt aproximativ la nivelul C2 la examenul unificat de stat la matematică.
Problema 1. Aflați unghiul dintre două fețe ale unui tetraedru regulat.
Soluţie. Fie ABCD un tetraedru regulat. Să desenăm medianele AM și DM ale fețelor corespunzătoare, precum și înălțimea tetraedrului DH (Fig. 53).
Orez. 53. La sarcina 1
Fiind mediane, AM și DM sunt, de asemenea, altitudini ale triunghiurilor echilaterale ABC și DBC. Prin urmare, unghiul " = \AMD este unghiul liniar al unghiului diedru format din fețele ABC și DBC. Îl găsim din triunghiul DHM:
1 AM | ||||||
Raspuns: arccos 1 3 .
Sarcina 2. În corect piramida patruunghiulara SABCD (cu vârful S) coastă laterală egal cu latura bazei. Punctul K este mijlocul muchiei SA. Găsiți unghiul dintre avioane
Soluţie. Linia BC este paralelă cu AD și deci paralelă cu planul ADS. Prin urmare, planul KBC intersectează planul ADS de-a lungul liniei drepte KL paralelă cu BC (Fig. 54).
Orez. 54. La sarcina 2
În acest caz, KL va fi, de asemenea, paralel cu linia AD; prin urmare KL linia mediană triunghiul ADS, iar punctul L este mijlocul lui DS.
Să aflăm înălțimea piramidei SO. Fie N mijlocul lui DO. Atunci LN este linia de mijloc a triunghiului DOS și, prin urmare, LN k SO. Aceasta înseamnă că LN este perpendicular pe planul ABC.
Din punctul N coborâm perpendiculara NM pe dreapta BC. Linia dreaptă NM va fi proiecția LM înclinată pe planul ABC. Din teorema celor trei perpendiculare rezultă că LM este, de asemenea, perpendicular pe BC.
Astfel, unghiul " = \LMN este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele KBC și ABC. Vom căuta acest unghi din triunghi dreptunghic LMN.
Fie ca marginea piramidei să fie egală cu a. Mai întâi găsim înălțimea piramidei:
SO=p | ||||||||||||||||||||
Soluţie. Fie L punctul de intersecție al dreptelor A1 K și AB. Apoi planul A1 KC intersectează planul ABC de-a lungul dreptei CL (Fig.55).
O 
C
Orez. 55. La problema 3
Triunghiurile A1 B1 K și KBL sunt egale de-a lungul catetei și colț ascuțit. Prin urmare, celelalte catete sunt egale: A1 B1 = BL.
Luați în considerare triunghiul ACL. În ea BA = BC = BL. Unghiul CBL este 120; prin urmare, \BCL = 30 . De asemenea, \BCA = 60 . Prin urmare \ACL = \BCA + \BCL = 90 .
Deci, LC? AC. Dar linia AC servește ca proiecție a dreptei A1 C pe planul ABC. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că LC ? A1 C.
Astfel, unghiul A1 CA este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele A1 KC și ABC. Acesta este unghiul dorit. Din triunghiul dreptunghic isoscel A1 AC vedem că este egal cu 45.
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
UNGHI DIEDRU Profesor de matematică la Instituția de Învățământ de Stat Școala Gimnazială Nr.10 Eremenko M.A.
Obiectivele principale ale lecției: Introduceți conceptul de unghi diedru și unghiul său liniar. Luați în considerare sarcini pentru aplicarea acestor concepte.
Definiție: Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane cu o linie dreaptă de limită comună.
Mărimea unui unghi diedru este mărimea unghiului său liniar. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - unghi diedru liniar ACD B
Să demonstrăm că toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele. Să considerăm două unghiuri liniare AOB și A 1 OB 1. Razele OA și OA 1 se află pe aceeași față și sunt perpendiculare pe OO 1, deci sunt codirecționale. Grinzile OB și OB 1 sunt, de asemenea, co-dirijate. Prin urmare, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (ca unghiurile cu laturile co-directionale).
Exemple de unghiuri diedrice:
Definiție: Unghiul dintre două plane care se intersectează este cel mai mic dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane.
Sarcina 1: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și CDD 1. Raspuns: 90 o.
Problema 2: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și CDA 1. Raspuns: 45 o.
Problema 3: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și BDD 1. Raspuns: 90 o.
Problema 4: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ACC 1 și BDD 1. Raspuns: 90 o.
Problema 5: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele BC 1 D și BA 1 D. Rezolvare: Fie O punctul mijlociu al lui B D. A 1 OC 1 – unghiul liniar al unghiului diedric A 1 B D C 1.
Problema 6: În tetraedrul DABC toate muchiile sunt egale, punctul M este mijlocul muchiei AC. Demonstrați că ∠ DMB este unghiul liniar al unghiului diedric BACD .
Rezolvare: Triunghiurile ABC și ADC sunt regulate, prin urmare, BM ⊥ AC și DM ⊥ AC și deci ∠ DMB este unghiul liniar al unghiului diedru DACB.
Problema 7: Din vârful B al triunghiului ABC, a cărui latură AC se află în planul α, se trasează o perpendiculară BB 1 pe acest plan. Aflați distanța de la punctul B la dreapta AC și la planul α, dacă AB=2, ∠ВAC=150 0 și unghiul diedric ВАСВ 1 este egal cu 45 0.
Rezolvare: ABC este un triunghi obtuz cu unghi obtuz A, prin urmare baza altitudinii BC se află pe prelungirea laturii AC. VC – distanța de la punctul B la AC. BB 1 – distanța de la punctul B la planul α
2) Deoarece AC ⊥BK, atunci AC⊥KB 1 (prin teorema inversă teoremei aproximativ trei perpendiculare). Prin urmare, ∠VKV 1 este unghiul liniar al unghiului diedric BASV 1 și ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Mărimea unghiului dintre două plane diferite poate fi determinată pentru orice poziție relativă a planurilor.
avioane.
Un caz banal dacă planurile sunt paralele. Atunci unghiul dintre ele este considerat egal cu zero.
Un caz non-trivial dacă planurile se intersectează. Acest caz face obiectul unor discuții ulterioare. Mai întâi avem nevoie de conceptul de unghi diedru.
Un unghi diedru sunt două semiplane cu o linie dreaptă comună (care se numește marginea unghiului diedru). În fig. 50 prezintă un unghi diedru format din semiplane şi; marginea acestui unghi diedric este dreapta a, comună acestor semiplane.
acestea sunt două semiplane cu o linie dreaptă comună (care se numește muchia unui unghi diedru). În fig. 50 prezintă un unghi diedru format din semiplane şi; marginea acestui unghi diedric este dreapta a, comună acestor semiplane.
Orez. 50. Unghiul diedric
Pe marginea unghiului diedric format din semiplane și, luăm un punct arbitrar M. Desenăm razele MA și MB, respectiv situate în aceste semiplane și perpendiculare pe margine (Fig. 51).
Orez. 51. Unghi diedru liniar
Unghiul rezultat AMB este unghiul liniar al unghiului diedru. Unghiul „ = \AMB este exact valoarea unghiulară a unghiului nostru diedru.
Definiţie. Mărimea unghiulară a unui unghi diedru este mărimea unghiului liniar al unui unghi diedru dat.
Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedric sunt egale între ele (la urma urmei, ele sunt obținute unul de celălalt printr-o deplasare paralelă). Prin urmare, această definiție este corectă: valoarea " nu depinde de alegerea specifică a punctului M de pe marginea unghiului diedrului.
9.2 Determinarea unghiului dintre planuri
Când două plane se intersectează, se obțin patru unghiuri diedrice. Dacă toate au aceeași dimensiune (90 fiecare), atunci planurile se numesc perpendiculare; Unghiul dintre planuri este atunci de 90.
Dacă nu toate unghiurile diedrice sunt la fel (adică sunt două acute și două obtuze), atunci unghiul dintre plane este valoarea unghiului diedric acut (Fig. 52).
Orez. 52. Unghiul dintre planuri
9.3 Exemple de rezolvare a problemelor
Să ne uităm la trei probleme. Primul este simplu, al doilea și al treilea sunt aproximativ la nivelul C2 la examenul unificat de stat la matematică.
Problema 1. Aflați unghiul dintre două fețe ale unui tetraedru regulat.
Soluţie. Fie ABCD un tetraedru regulat. Să desenăm medianele AM și DM ale fețelor corespunzătoare, precum și înălțimea tetraedrului DH (Fig. 53).
Orez. 53. La sarcina 1
Fiind mediane, AM și DM sunt, de asemenea, altitudini ale triunghiurilor echilaterale ABC și DBC. Prin urmare, unghiul " = \AMD este unghiul liniar al unghiului diedru format din fețele ABC și DBC. Îl găsim din triunghiul DHM:
1 AM | ||||||
Raspuns: arccos 1 3 .
Problema 2. Într-o piramidă pătrangulară regulată SABCD (cu vârful S), muchia laterală este egală cu latura bazei. Punctul K este mijlocul muchiei SA. Găsiți unghiul dintre avioane
Soluţie. Linia BC este paralelă cu AD și deci paralelă cu planul ADS. Prin urmare, planul KBC intersectează planul ADS de-a lungul liniei drepte KL paralelă cu BC (Fig. 54).
Orez. 54. La sarcina 2
În acest caz, KL va fi, de asemenea, paralel cu linia AD; prin urmare, KL este linia mediană a triunghiului ADS, iar punctul L este punctul de mijloc al DS.
Să aflăm înălțimea piramidei SO. Fie N mijlocul lui DO. Atunci LN este linia de mijloc a triunghiului DOS și, prin urmare, LN k SO. Aceasta înseamnă că LN este perpendicular pe planul ABC.
Din punctul N coborâm perpendiculara NM pe dreapta BC. Linia dreaptă NM va fi proiecția LM înclinată pe planul ABC. Din teorema celor trei perpendiculare rezultă că LM este, de asemenea, perpendicular pe BC.
Astfel, unghiul " = \LMN este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele KBC și ABC. Vom căuta acest unghi din triunghiul dreptunghic LMN.
Fie ca marginea piramidei să fie egală cu a. Mai întâi găsim înălțimea piramidei:
SO=p | ||||||||||||||||||||
Soluţie. Fie L punctul de intersecție al dreptelor A1 K și AB. Apoi planul A1 KC intersectează planul ABC de-a lungul dreptei CL (Fig.55).
O 
C
Orez. 55. La problema 3
Triunghiurile A1 B1 K și KBL sunt egale în catete și unghi ascuțit. Prin urmare, celelalte catete sunt egale: A1 B1 = BL.
Luați în considerare triunghiul ACL. În ea BA = BC = BL. Unghiul CBL este 120; prin urmare, \BCL = 30 . De asemenea, \BCA = 60 . Prin urmare \ACL = \BCA + \BCL = 90 .
Deci, LC? AC. Dar linia AC servește ca proiecție a dreptei A1 C pe planul ABC. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că LC ? A1 C.
Astfel, unghiul A1 CA este unghiul liniar al unghiului diedric format din semiplanele A1 KC și ABC. Acesta este unghiul dorit. Din triunghiul dreptunghic isoscel A1 AC vedem că este egal cu 45.
