Cum să construiți corect secțiunile unui paralelipiped. Cum să desenezi o secțiune înclinată

După cum știți, orice examen de matematică conține rezolvarea de probleme ca parte principală. Capacitatea de a rezolva probleme este principalul indicator al nivelului de dezvoltare matematică.

Destul de des, la examenele școlare, precum și la examenele susținute la universități și școli tehnice, există cazuri când studenții care dau rezultate bune în domeniul teoriei, care cunosc toate definițiile și teoremele necesare, se încurcă atunci când rezolvă probleme foarte simple. .

De-a lungul anilor de școlarizare, fiecare elev rezolvă un număr mare de probleme, dar, în același timp, aceleași sarcini sunt oferite tuturor elevilor. Și în timp ce unii elevi învață reguli și metode generale de rezolvare a problemelor, alții, atunci când se confruntă cu o problemă de tip necunoscut, nici nu știu cum să o abordeze.

Unul dintre motivele acestei situații este că, în timp ce unii elevi se adâncesc în procesul de rezolvare a unei probleme și încearcă să realizeze și să înțeleagă tehnicile și metodele generale de rezolvare a acestora, alții nu se gândesc la asta și încearcă să rezolve la fel de repede problemele propuse. pe cât posibil.

Mulți elevi nu analizează problemele în curs de rezolvare și nu identifică tehnici și metode generale de rezolvare a acestora. În astfel de cazuri, problemele sunt rezolvate doar de dragul obținerii răspunsului dorit.

De exemplu, mulți studenți nici măcar nu știu care este esența rezolvării problemelor de construcție. Dar sarcini de construcție sunt sarcini obligatorii la cursul de stereometrie. Aceste probleme nu sunt doar frumoase și originale în metodele lor de rezolvare, dar au și o mare valoare practică.

Datorită sarcinilor de construcție, se dezvoltă capacitatea de a imagina mental una sau alta figură geometrică, se dezvoltă gândirea spațială, gândirea logică, precum și intuiția geometrică. Problemele de construcție dezvoltă abilități practice de rezolvare a problemelor.

Problemele de construcție nu sunt simple, deoarece nu există o singură regulă sau un algoritm pentru rezolvarea lor. Fiecare sarcină nouă este unică și necesită o abordare individuală a soluției.

Procesul de rezolvare a oricărei probleme de construcție este o succesiune a unor construcții intermediare care conduc la obiectiv.

Construcția secțiunilor poliedrelor se bazează pe următoarele axiome:

1) Dacă două puncte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci întreaga linie se află în acest plan;

2) Dacă două plane au un punct comun, atunci ele se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct.

Teorema: Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci liniile drepte de intersecție sunt paralele.

Construiți o secțiune a poliedrului cu un plan care trece prin punctele A, B și C. Luați în considerare următoarele exemple.

Metoda urmei

eu. Construi secțiunea transversală a prismei un plan care trece printr-o dreaptă dată g (urmă) pe planul uneia dintre bazele prismei și punctului A.

Cazul 1.

Punctul A aparține unei alte baze a prismei (sau unei fețe paralele cu linia g) - planul de tăiere intersectează această bază (față) de-a lungul segmentului BC paralel cu urma g .

Cazul 2.

Punctul A aparține feței laterale a prismei:

Segmentul BC al dreptei AD este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere.

Cazul 3.

Construirea unei secțiuni a unei prisme patrulatere cu un plan care trece prin dreapta g în planul bazei inferioare a prismei și punctul A pe una dintre marginile laterale.

II. Construi secțiune transversală a unei piramide un plan care trece printr-o dreaptă dată g (urmă) pe planul bazei piramidei și al punctului A.

Pentru a construi o secțiune a unei piramide cu un plan, este suficient să construiți intersecțiile fețelor sale laterale cu planul de tăiere.

Cazul 1.

Dacă punctul A aparține unei fețe paralele cu dreapta g, atunci planul de tăiere intersectează această față de-a lungul segmentului BC paralel cu urma lui g.

Cazul 2.

Dacă punctul A, aparținând secțiunii, este situat pe o față care nu este paralelă cu fața urmei g, atunci:

1) se construiește punctul D în care planul feței intersectează urma dată g;

2) trageți o linie dreaptă prin punctele A și D.

Segmentul BC al dreptei AD este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere.

Capetele segmentului BC aparțin și ele fețelor învecinate. Prin urmare, folosind metoda descrisă, este posibil să se construiască intersecția acestor fețe cu planul de tăiere. etc.

Cazul 3.

Construirea unei secțiuni a unei piramide patrulatere cu un plan care trece prin latura bazei și punctul A pe una dintre marginile laterale.

Probleme care implică construirea de secțiuni printr-un punct de pe o față

1. Construiți o secțiune a tetraedrului ABCD printr-un plan care trece prin vârful C și punctele M și N de pe fețele ACD și, respectiv, ABC.

Punctele C și M se află pe fața ACD, ceea ce înseamnă că linia dreaptă CM se află în planul acestei fețe (Fig. 1).

Fie P punctul de intersecție al dreptelor CM și AD. În mod similar, punctele C și N se află în fața ACB, ceea ce înseamnă că linia dreaptă CN se află în planul acestei fețe. Fie Q punctul de intersecție al dreptelor CN și AB. Punctele P și Q aparțin atât planului de secțiune, cât și feței ABD. Prin urmare, segmentul PQ este latura secțiunii. Deci, triunghiul CPQ este secțiunea necesară.

2. Construiți o secțiune a tetraedrului ABCD după planul MPN, unde punctele M, N, P se află respectiv pe muchia AD, în fața BCD și în fața ABC, iar MN nu este paralel cu planul feței ABC. (Fig. 2).

Mai ai întrebări? Nu știți cum să construiți o secțiune transversală a unui poliedru?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Dmitriev Anton, Kireev Alexander

Această prezentare arată clar, pas cu pas, exemple de construcție de secțiuni de la probleme simple la probleme mai complexe. Animația vă permite să vedeți etapele construcției secțiunilor

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Construcția secțiunilor de poliedre folosind exemplul unei prisme ® Creatori: Anton Dmitriev, Alexander Kireev. Cu asistența: Olga Viktorovna Gudkova

Planul lecției Algoritmi pentru construirea secțiunilor Autotest Sarcini demonstrative Sarcini pentru consolidarea materialului

Algoritmi pentru construirea de secțiuni de urme de linii paralele de transfer paralel al planului de tăiere al designului intern, o metodă combinată de adăugare a unei prisme n-gonale la o prismă triunghiulară Construcția unei secțiuni folosind metoda:

Construirea unei secțiuni folosind metoda trasării Concepte și abilități de bază Construirea unei urme a unei drepte pe un plan Construirea unei urme a unui plan de tăiere Construirea unei secțiuni

Algoritm pentru construirea unei secțiuni folosind metoda de urmărire Aflați dacă există două puncte de secțiune pe o singură față (dacă da, atunci puteți desena latura secțiunii prin ele). Construiți o urmă de secțiune pe planul bazei poliedrului. Găsiți un punct de secțiune suplimentar pe marginea poliedrului (extindeți latura de bază a feței care conține punctul de secțiune până când se intersectează cu urma). Desenați o linie dreaptă prin punctul suplimentar rezultat de pe urmă și punctul de secțiune din fața selectată, marcând punctele sale de intersecție cu marginile feței. Finalizați pasul 1.

Construirea unei secțiuni a unei prisme Nu există două puncte care aparțin aceleiași fețe. Punctul R se află în planul bazei. Să găsim urma dreptei KQ pe planul de bază: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R este urma secțiunii. 3. T1R ∩CD=E. 4. Să facem un EQ. EQ∩DD1=N. 5. Să realizăm NK. NK ∩AA1=M. 6. Conectați M și R. Construiți o secțiune cu planul α care trece prin punctele K,Q,R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB.

Metoda dreptelor paralele Metoda se bazează pe proprietatea planelor paralele: „Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele. Abilități și concepte de bază Construirea unui plan paralel cu unul dat Construirea unei linii de intersecție a planurilor Construirea unei secțiuni

Algoritm pentru construirea unei secțiuni folosind metoda liniilor paralele. Construim proiecții ale punctelor care definesc secțiunea. Prin două puncte date (de exemplu P și Q) și proiecțiile lor desenăm un plan. Prin al treilea punct (de exemplu R) construim un plan paralel cu acesta α. Găsim dreptele de intersecție (de exemplu m și n) ale planului α cu fețele poliedrului care conține punctele P și Q. Prin punctul R trasăm o dreaptă paralelă cu PQ. Găsim punctele de intersecție ale dreptei a cu dreptele m și n. Găsim punctele de intersecție cu muchiile feței corespunzătoare.

(PRISM) Construim proiecții ale punctelor P și Q pe planul bazelor superioare și inferioare. Desenăm planul P1Q1Q2P2. Prin muchia care conține punctul R, desenăm un plan α paralel cu P1Q1Q2. Găsim liniile de intersecție ale planelor ABB1 și CDD1 cu planul α. Prin punctul R trasăm o dreaptă a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR este secțiunea necesară. Construiți o secțiune cu planul α care trece prin punctele P,Q,R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Metoda translației paralele a unui plan de tăiere Construim o secțiune auxiliară a acestui poliedru care îndeplinește următoarele cerințe: este paralelă cu planul de tăiere; la intersecția cu suprafața unui poliedru dat formează un triunghi. Conectăm proiecția vârfului triunghiului cu vârfurile feței poliedrului pe care o intersectează secțiunea auxiliară și găsim punctele de intersecție cu latura triunghiului aflată în această față. Conectați vârful triunghiului cu aceste puncte. Prin punctul secțiunii dorite trasăm linii drepte paralele cu segmentele construite în paragraful anterior și găsim punctele de intersecție cu marginile poliedrului.

PRISM R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Să construim secțiunea auxiliară AMQ1 ||RPQ. Să efectuăm AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - proiecția punctelor P și M pe ABC. Să efectuăm P1B și P1C. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Prin punctul P trasăm drepte m și respectiv n paralele cu MO1 și MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – secțiune necesară Construiți o secțiune a prismei prin planul α care trece prin punctele P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Algoritm pentru construirea unei secțiuni folosind metoda de proiectare internă. Construiți secțiuni auxiliare și găsiți linia de intersecție a acestora. Construiți o urmă de secțiune pe marginea unui poliedru. Dacă nu există suficiente puncte de secțiune pentru a construi secțiunea în sine, repetați pașii 1-2.

Construcția secțiilor auxiliare. PRISMA Design paralel.

Construirea unei urme de secțiune pe o muchie

Metoda combinata. Desenați un plan β prin a doua dreaptă q și un punct W al primei drepte p. În planul β, prin punctul W, trasați o dreaptă q‘ paralelă cu q. Dreptele care se intersectează p și q‘ definesc planul α. Construcția directă a unei secțiuni a unui poliedru prin plan α Esența metodei este aplicarea teoremelor privind paralelismul dreptelor și planelor în spațiu în combinație cu metoda axiomatică. Folosit pentru a construi o secțiune a unui poliedru cu condiția de paralelism. 1. Construirea unei secțiuni a unui poliedru cu un plan α care trece printr-o dreaptă p dată paralelă cu o altă dreaptă dată q.

PRISMĂ Construiți o secțiune a unei prisme cu un plan α care trece prin dreapta PQ paralelă cu AE1; P = BE, Q = E1C1. 1. Desenați un plan prin dreapta AE1 și punctul P. 2. În planul AE1P prin punctul P trasați o dreaptă q" paralelă cu AE1. q"∩E1S’=K. 3. Planul necesar α este determinat de liniile care se intersectează PQ și PK. 4. P1 și K1 sunt proiecții ale punctelor P și K pe A1B1C1. P1K1∩PK=S.” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL este secțiunea necesară.

Metodă de completare a unei prisme n-gonale (piramidă) cu o prismă triunghiulară (piramidă). Această prismă (piramidă) este construită într-o prismă triunghiulară (piramidă) din acele fețe pe marginile laterale sau fețe ale cărora există puncte care definesc secțiunea dorită. Se construiește o secțiune transversală a prismei triunghiulare (piramida) rezultată. Secțiunea dorită este obținută ca parte a secțiunii unei prisme triunghiulare (piramidă).

Concepte și abilități de bază Construirea secțiunilor auxiliare Construirea unui traseu de secțiune pe o muchie Construirea unei secțiuni Proiectare centrală Proiectare paralelă

PRISM Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Completam prisma la una triunghiulara. Pentru a face acest lucru, extindeți părțile laterale ale bazei inferioare: AE, BC, ED și baza superioară: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Construim o secțiune a prismei rezultate KLEK1L1E1 folosind planul PQR folosind metoda de proiectare internă. Această secțiune face parte din ceea ce căutăm. Construim secțiunea necesară.

Regula pentru autocontrol Dacă poliedrul este convex, atunci secțiunea este un poligon convex. Vârfurile unui poligon se află întotdeauna pe marginile poliedrului. Dacă punctele de secțiune se află pe marginile poliedrului, atunci ele sunt vârfurile poligonului care vor fi obținute în secțiune. Dacă punctele de secțiune se află pe fețele poliedrului, atunci ele se află pe laturile poligonului care va fi obținut în secțiune. Cele două laturi ale poligonului care se obține în secțiune nu pot aparține aceleiași fețe a poliedrului. Dacă secțiunea intersectează două fețe paralele, atunci segmentele (laturile poligonului care se vor obține în secțiune) vor fi paralele.

Probleme de bază pentru construirea secțiunilor de poliedre Dacă două plane au două puncte comune, atunci o dreaptă trasă prin aceste puncte este linia de intersecție a acestor plane. M = AD, N = DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - cubul M = ADD1, D1 = ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile lor de intersecție sunt paralele. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- cubic MK||AD1, K є BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. Punctul comun al trei plane (vârful unui unghi triedric) este punctul comun al liniilor intersecției lor pereche (muchiile unui unghi triedric). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- cubic NK∩AD=F1 - vârful unghiului triedric format din planele α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - vârful unghiului triedric format din planele α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - vârful unghiului triedric format din planele α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Dacă un plan trece printr-o dreaptă paralelă cu un alt plan și o intersectează, atunci linia de intersecție este paralelă cu această dreaptă. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - prismă. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Conectați A1, P și C.

V. Dacă o dreaptă se află în planul de secțiune, atunci punctul de intersecție a acesteia cu planul feței poliedrului este vârful unghiului triedric format din secțiunea, fața și planul auxiliar care conține această dreaptă. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1- paralelipiped. 1. Planul auxiliar MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S este vârful unghiului triedric format din planele: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Sarcini. Care figură arată o secțiune a unui cub folosind planul ABC? Câte planuri pot fi desenate prin elementele selectate? Ce axiome și teoreme ați aplicat? Încheiați cum să construiți o secțiune într-un cub? Să ne amintim etapele construcției secțiunilor unui tetraedru (paralelepiped, cub). În ce poligoane poate rezulta acest lucru?

Metoda secțiunilor de poliedre în stereometrie este utilizată în probleme de construcție. Se bazează pe capacitatea de a construi o secțiune a unui poliedru și de a determina tipul de secțiune.

Acest material se caracterizează prin următoarele caracteristici:

1. Metoda secțiunilor este utilizată numai pentru poliedre, deoarece diferite tipuri complexe (oblice) de secțiuni ale corpurilor de revoluție nu sunt incluse în programa școlii secundare.
2. Problemele folosesc în principal cele mai simple poliedre.
3. Problemele sunt prezentate în principal fără date numerice pentru a crea posibilitatea utilizării lor multiple.

Pentru a rezolva problema construirii unei secțiuni a unui poliedru, un elev trebuie să știe:

• ce înseamnă să construiești o secțiune a unui poliedru cu un plan;
• cum pot fi poziționate un poliedru și un plan unul față de celălalt;
• cum este definit avionul;
• când se consideră rezolvată problema construcţiei unei secţiuni a unui poliedru de către un plan.

Deoarece planul este definit:

• trei puncte;
• linie dreaptă și punct;
• două linii paralele;
• două linii care se intersectează,

Construcția planului de secțiune depinde de specificația acestui plan. Prin urmare, toate metodele de construire a secțiunilor de poliedre pot fi împărțite în metode.

Există trei metode principale construirea secțiunilor de poliedre:

1. Metoda urmei.
2. Metoda secțiunilor auxiliare.
3. Metoda combinata.

Primele două metode sunt variații Metoda axiomatică construcția de tronsoane.

De asemenea, putem distinge următoarele metode pentru construirea secțiunilor de poliedre:

• construirea unei secțiuni a unui poliedru cu un plan care trece printr-un punct dat paralel cu un plan dat;
• construirea unei secțiuni care trece printr-o dreaptă dată paralelă cu o altă dreaptă dată;
• construirea unei secțiuni care trece printr-un punct dat paralel cu două drepte care se intersectează date;
• construirea unei secțiuni a unui poliedru cu un plan care trece printr-o dreaptă dată perpendicular pe un plan dat;
• construirea unei secțiuni a unui poliedru cu un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Lista federală a manualelor de geometrie pentru clasele 10-11 include manuale ale următorilor autori:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. și altele (Geometrie, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometrie, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I.
• (Geometrie, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometrie, 10-11);

Sharygina I.F. (Geometrie, 10-11).

Să aruncăm o privire mai atentă la manualele lui L.S., Atanasyan și A.V.

În manualul L.S. Atanasyan pe tema „Construcția secțiunilor de poliedre” i-a fost alocat două ore. În clasa a X-a, la tema „Paralelitatea liniilor și a planurilor”, după studierea tetraedrului și paralelipipedului, se alocă o oră pentru prezentarea paragrafului „Probleme privind construcția secțiunilor”. Sunt luate în considerare secțiunile unui tetraedru și ale unui paralelipiped. Iar subiectul „Paralelismul dreptelor și planurilor” se termină cu rezolvarea problemelor în una sau două ore (sunt opt ​​probleme în total pentru construirea secțiunilor în manual).

În manualul Pogorelov A.V. Aproximativ trei ore sunt alocate pentru construirea secțiunilor în capitolul „Poliedre”: una pentru studierea subiectului „Imaginea unei prisme și construirea secțiunilor sale”, a doua pentru studierea subiectului „Construirea unei piramide și a secțiunilor sale plane” și a treia pentru rezolvarea problemelor. În lista de probleme dată după subiect, există doar aproximativ zece probleme de secțiune transversală.

Oferim un sistem de lecții pe tema „Construcția secțiunilor de poliedre” pentru manualul de Pogorelov A.V.

1. Se propune aranjarea materialului în ordinea în care poate fi folosit pentru predarea elevilor. Din prezentarea temei „Poliedre” se propune excluderea următoarelor paragrafe: „Construcția secțiunilor unei prisme” și „Construcția secțiunilor unei piramide” pentru a sistematiza acest material la sfârșitul acestui subiect „Poliedre” . Poate fi clasificat în funcție de subiectul sarcinilor cu respectarea aproximativă a principiului „de la simplu la complex” astfel:
2. Determinarea secțiunii poliedrelor.
3. Construcția secțiunilor unei prisme, paralelipiped, piramidă folosind metoda urmei. (De regulă, într-un curs școlar de stereometrie, se folosesc probleme de construire a secțiunilor de poliedre, rezolvate prin metode de bază. Metodele rămase, datorită nivelului lor mai ridicat de complexitate, pot fi lăsate de profesor pentru a fi luate în considerare la orele opționale sau pentru studiul independent În problemele de construcție folosind metode de bază, este necesar să construiți un plan de secțiune care trece prin trei puncte).
4. Găsirea ariei secțiunii transversale în poliedre (fără a folosi teorema asupra ariei proiecției ortogonale a unui poligon).

PROBLEME STEREOMETRICE PENTRU CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR DE POLIEDRURI ȘI METODE DE UTILIZARE A LOR ÎN LECȚIILE DIN CLASELE 10-11.

(sistem de lecții și ore opționale pe tema „Construirea secțiunilor de poliedre”)

LECȚIA 1.

Subiectul lecției: „Construcția secțiunilor de poliedre”.

Scopul lecției: familiarizarea cu metodele de construire a secțiunilor de poliedre.

Pașii lecției:

1. Actualizarea cunoștințelor de bază.
2. Enunțarea problemei.
3. Învățarea de materiale noi:

A) Definiția secțiunii.

B) Metode de realizare a secțiunilor:

a) metoda urmei;

b) metoda secţiilor auxiliare;

c) metoda combinata.

1. Fixarea materialului.

Exemple de construire a secțiunilor folosind metoda urmei.

1. Rezumând lecția.

Progresul lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Să ne amintim:
- intersectia unei drepte cu un plan;
- intersectia planelor;
- proprietăţile planelor paralele.

2. Enunțarea problemei.

Întrebări pentru clasă:
- Ce înseamnă să construiești o secțiune a unui poliedru cu un plan?
- Cum pot fi poziționate un poliedru și un plan unul față de celălalt?
- Cum este definit avionul?
- Când se consideră rezolvată problema construcției unei secțiuni a unui poliedru după un plan?

3. Învățarea de materiale noi.

A) Deci, sarcina este de a construi intersecția a două figuri: un poliedru și un plan (Fig. 1). Acestea pot fi: o figură goală (a), un punct (b), un segment (c), un poligon (d). Dacă intersecția unui poliedru și a unui plan este un poligon, atunci acest poligon se numește secţiunea unui poliedru de către un plan.

Vom lua în considerare doar cazul când planul intersectează poliedrul de-a lungul interiorului său. În acest caz, intersecția acestui plan cu fiecare față a poliedrului va fi un anumit segment. Astfel, problema se consideră rezolvată dacă se găsesc toate segmentele de-a lungul cărora planul intersectează fețele poliedrului.

Examinați secțiunile cubului (Fig. 2) și răspundeți la următoarele întrebări:

Ce poligoane se obțin când un cub este tăiat de un plan? (Numărul de laturi ale poligonului este important);

[Răspunsuri sugerate: triunghi, patrulater, pentagon, hexagon.]

Poate un cub să fie tăiat de un avion într-un heptagon? Dar cu octogonul etc.? De ce?

Să ne uităm la prismă și la posibilele ei secțiuni în plan (pe model). Ce fel de poligoane se obțin?

Ce se poate concluziona? Care este cel mai mare număr de laturi ale unui poligon obținut prin tăierea unui poliedru cu un plan?

[Cel mai mare număr de laturi ale unui poligon obținut prin tăierea unui poliedru cu un plan este egal cu numărul de fețe ale poliedrului.]

B) a) Metoda urmei constă în construirea urmelor unui plan de tăiere pe planul fiecărei feţe a poliedrului. Construcția unei secțiuni a unui poliedru folosind metoda urmei începe de obicei cu construirea așa-numitei urme principale a planului de tăiere, adică. urma planului de taiere pe planul bazei poliedrului.

b) Metoda secțiunilor auxiliare construirea secțiunilor de poliedre este destul de universală. În cazurile în care urma (sau urmele) dorită a planului de tăiere se află în afara desenului, această metodă are chiar anumite avantaje. În același timp, trebuie avut în vedere faptul că construcțiile efectuate folosind această metodă se dovedesc adesea a fi „aglomerate”. Cu toate acestea, în unele cazuri, metoda secțiunilor auxiliare se dovedește a fi cea mai rațională.

Metoda urmei și metoda secțiunii auxiliare sunt variații metoda axiomatica construirea secţiunilor de poliedre cu un plan.

c) Esența metoda combinata construirea secţiunilor de poliedre constă în aplicarea teoremelor asupra paralelismului dreptelor şi planelor în spaţiu în combinaţie cu metoda axiomatică.

Acum, folosind un exemplu de rezolvare a problemelor, să ne uităm la metoda urmei

4. Fixarea materialului.

Sarcina 1.

Construiți o secțiune a prismei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cu un plan care trece prin punctele P, Q, R (punctele sunt indicate în desen (Fig. 3)).

Soluţie.

Orez. 3

1. Să construim o urmă a planului de tăiere pe planul bazei inferioare a prismei. Luați în considerare fața AA 1 B 1 B. Punctele de secțiune P și Q se află pe această față Să tragem o linie dreaptă PQ.
2. Să continuăm dreapta PQ, care aparține secțiunii, până când intersectează dreapta AB. Obţinem un punct S 1 aparţinând urmei.
3. În mod similar, obținem punctul S 2 prin intersecția dreptelor QR și BC.
4. Linie dreaptă S 1 S 2 - trasarea planului de tăiere pe planul bazei inferioare a prismei.
5. Dreapta S 1 S 2 intersectează latura AD în punctul U, latura CD în punctul T. Să legăm punctele P și U, deoarece ele se află în același plan al feței AA 1 D 1 D. În mod similar obținem TU și RT.
6. PQRTU este secțiunea necesară.

Construiți o secțiune a paralelipipedului ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cu un plan care trece prin punctele M, N, P (punctele sunt indicate în desen (Fig. 4)).

Soluţie.

1. Punctele N și P se află în planul de secțiune și în planul bazei inferioare a paralelipipedului.
2. Să construim o linie dreaptă prin aceste puncte. Această linie dreaptă este urma planului de tăiere pe planul bazei paralelipipedului.
3. Deoarece punctul M aparține și planului de secțiune și intersectează linia AA 1 la un punct X.
4. Punctele X și N se află în același plan al feței AA 1 D 1 D, leagă-le și obții o dreaptă XN.
5. Deoarece planele fețelor paralelipipedului sunt paralele, atunci prin punctul M putem trasa o dreaptă în fața A 1 B 1 C 1 D 1 paralelă cu dreapta NP. Această dreaptă va intersecta latura B 1 C 1 în punctul Y.
6. În mod similar, desenăm linia dreaptă YZ, paralelă cu dreapta XN. Conectăm Z cu P și obținem secțiunea dorită - MYZPNX.

Problema 3 (pentru rezolvare independentă).

Construiți o secțiune a tetraedrului DACB cu un plan care trece prin punctele M, N, P (punctele sunt indicate în desen (Fig. 5)).

5. Rezumând lecția.

Răspundeți la întrebarea: figurile umbrite sunt secțiuni ale poliedrelor reprezentate de planul PQR? Și finalizați construcția corectă (Fig. 6).

Opțiunea 1.

Opțiunea 2.

Subiectul lecției: GĂSIREA ZONEI SECȚIONALE.

Scopul lecției: introducerea metodelor de găsire a ariei secțiunii transversale a unui poliedru.

Pașii lecției:

1. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Amintiți-vă teorema privind aria proiecției ortogonale a unui poligon.

2. Rezolvarea problemelor pentru găsirea ariei secțiunii transversale:

Fără a utiliza teorema privind aria proiecției ortogonale a unui poligon;

Folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unui poligon.

3. Rezumând lecția.

Progresul lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Să ne amintim teorema privind aria proiecției ortogonale a unui poligon: Aria proiecției ortogonale a unui poligon pe un plan este egală cu produsul ariei sale și cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.

2. Rezolvarea problemelor.

ABCD este o piramidă triunghiulară regulată cu latura bazei AB egală cu Oși înălțimea DH egală h. Construiți o secțiune a piramidei cu un plan care trece prin punctele D, C și M, unde M este mijlocul laturii AB și găsiți aria acesteia (Fig. 7).

Secțiunea transversală a piramidei este triunghiul MCD.

Să-i găsim zona. =

S = 1/2 DH CM = 1/2 O Găsiți aria secțiunii transversale a unui cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cu o muchie

plan care trece prin vârful D și punctele E și F pe muchiile A 1 D 1 și, respectiv, C 1 D 1, dacă A 1 E = k D 1 E și C 1 F = k D 1 F.

1. Construcția secțiunii:
2. Deoarece punctele E și F aparțin planului de secțiune și planului feței A 1 B 1 C 1 D 1, iar cele două plane se intersectează de-a lungul unei linii drepte, atunci linia dreaptă EF va fi o urmă a planului de secțiune pe plan. a feţei A 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 8).
3. ED și FD directe sunt obținute în același mod.

EDF este secțiunea necesară.

Problema 3 (pentru rezolvare independentă). O un plan care trece prin punctele B, M și N, unde L este mijlocul muchiei AA 1 și N este mijlocul muchiei CC 1.

Construim secțiunea folosind metoda urmei.

Găsim aria secțiunii transversale folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unui poligon. Răspuns: S = 1/2 · a 2.

Știți cum se numește secțiunea poliedrelor după un plan? Dacă încă te îndoiești de corectitudinea răspunsului tău la această întrebare, te poți verifica destul de simplu. Vă sugerăm să faceți un scurt test mai jos.

Întrebare. Care este numărul figurii care arată secțiunea unui paralelipiped după un plan?

Deci, răspunsul corect este în figura 3.

Dacă răspunzi corect, confirmă că înțelegi cu ce ai de-a face. Dar, din păcate, chiar și răspunsul corect la o întrebare test nu vă garantează cele mai mari note la lecțiile cu tema „Secțiuni de poliedre”. La urma urmei, cel mai dificil lucru nu este recunoașterea secțiunilor în desenele finite, deși acest lucru este foarte important, dar construcția lor.

Pentru început, să formulăm definiția unei secțiuni a unui poliedru. Deci, o secțiune a unui poliedru este un poligon ale cărui vârfuri se află pe marginile poliedrului și ale cărui laturi se află pe fețele sale.

Acum să exersăm rapid și precis construirea punctelor de intersecție o dreaptă dată cu un plan dat. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm următoarea problemă.

Construiți punctele de intersecție ale dreptei MN cu planele bazelor inferioare și superioare ale prismei triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1, cu condiția ca punctul M să aparțină muchiei laterale CC 1, iar punctul N să aparțină muchiei BB 1.

Să începem prin a extinde linia dreaptă MN în ambele direcții în desen (Fig. 1). Apoi, pentru a obține punctele de intersecție cerute de problemă, extindem liniile aflate în bazele superioare și inferioare. Și acum vine cel mai dificil moment în rezolvarea problemei: ce linii din ambele baze trebuie extinse, deoarece fiecare dintre ele are trei linii.

Pentru a finaliza corect etapa finală a construcției, este necesar să stabilim care dintre bazele directe se află în același plan cu dreapta MN care ne interesează. În cazul nostru, acesta este CB drept în bazele inferioare și C 1 B 1 în bazele superioare. Și tocmai pe ei le extindem până când se intersectează cu linia dreaptă NM (Fig. 2).

Punctele rezultate P și P 1 sunt punctele de intersecție ale dreptei MN cu planele bazelor superioare și inferioare ale prismei triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 .

După analizarea problemei prezentate, puteți trece direct la construirea secțiunilor de poliedre. Punctul cheie aici va fi raționamentul care vă va ajuta să ajungeți la rezultatul dorit. Ca rezultat, în cele din urmă vom încerca să creăm un șablon care să reflecte succesiunea acțiunilor atunci când rezolvăm probleme de acest tip.

Deci, să luăm în considerare următoarea problemă. Construiți o secțiune a unei prisme triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 după un plan care trece prin punctele X, Y, Z aparținând muchiilor AA 1, AC și, respectiv, BB 1.

Soluție: Să desenăm un desen și să stabilim ce perechi de puncte se află în același plan.

Perechile de puncte X și Y, X și Z pot fi conectate, deoarece se află în același plan.

Să construim un punct suplimentar care va fi situat pe aceeași față cu punctul Z. Pentru a face acest lucru, extindeți liniile XY și CC 1, deoarece ele se află în planul feței AA 1 C 1 C. Să numim punctul rezultat P.

Punctele P și Z se află în același plan - în planul feței CC 1 B 1 B. Prin urmare, le putem conecta. Linia dreaptă PZ intersectează muchia CB într-un anumit punct, să-i spunem T. Punctele Y și T se află în planul inferior al prismei, leagă-le. Astfel, s-a format patrulaterul YXZT, iar aceasta este secțiunea dorită.

Să rezumam. Pentru a construi o secțiune a unui poliedru cu un plan, trebuie să:

1) trageți linii drepte prin perechi de puncte situate în același plan.

2) găsiți dreptele de-a lungul cărora se intersectează planele de secțiune și fețele poliedrului. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale unei linii drepte aparținând planului de secțiune cu o linie dreaptă situată pe una dintre fețe.

Procesul de construire a secțiunilor de poliedre este complicat deoarece este diferit în fiecare caz specific. Și nicio teorie nu o descrie de la început până la sfârșit. De fapt, există o singură modalitate sigură de a învăța cum să construiți rapid și precis secțiuni ale oricărei poliedre - aceasta este o practică constantă. Cu cât construiți mai multe secțiuni, cu atât vă va fi mai ușor să faceți acest lucru în viitor.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.