Explorați funcția pentru un extrem și construiți un grafic. Schema generală de studiere a funcției și trasare

10.10.2019

Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest gen de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bun venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de schimbare. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte pe planul de coordonate, unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

Domeniu.
Continuitate.
Par sau impar.
Periodicitate.
Asimptote.
Zerouri.
Constanţă.
Urcând și coborând.
Extreme.
Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Aceasta poate fi scrisă ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Unul dintre cele mai evidente exemple ale unui astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

o funcție este definită la un punct dat;
limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
x pătrat (parabolă);
cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

hiperbolă;
parabolă cubică;
sinusoid;
tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza celor spuse în această secțiune a articolului, o funcție pară și impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

verticală, adică paralelă cu axa y;
orizontală, adică paralelă cu axa x;
oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

decalaj;
capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important de menționat că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții apare nu numai în studiul și reprezentarea graficului unei funcții, ci și ca sarcină independentă și ca modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. În termeni simpli, zero al funcției este valoarea variabilei x, la care y \u003d 0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim la ce intervale funcția ia o valoare pozitivă și la ce intervale ia o valoare negativă. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de grafic) și să distribuim zerourile funcției de-a lungul ei în ordinea corectă de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

de la 1 la 4;
de la 9 la infinit.

Sens negativ:

de la minus infinit la 1;
de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

domeniul de aplicare (o avem deja);
derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valori ale variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune al graficului trebuie să fie neted și moale, nu ar trebui să existe colțuri ascuțite.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai precisă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.

Instruire

Găsiți domeniul de aplicare al funcției. De exemplu, funcția sin(x) este definită pe întregul interval de la -∞ la +∞, iar funcția 1/x este definită de la -∞ la +∞, cu excepția punctului x = 0.

Definiți zonele de continuitate și punctele de întrerupere. De obicei, o funcție este continuă în același domeniu în care este definită. Pentru a detecta discontinuități, trebuie să calculați când argumentul se apropie de puncte izolate din domeniul definiției. De exemplu, funcția 1/x tinde spre infinit când x→0+ și spre minus infinit când x→0-. Aceasta înseamnă că în punctul x = 0 are o discontinuitate de al doilea fel.
Dacă limitele la punctul de discontinuitate sunt finite, dar nu sunt egale, atunci aceasta este o discontinuitate de primul fel. Dacă sunt egale, atunci funcția este considerată continuă, deși nu este definită într-un punct izolat.

Găsiți asimptotele verticale, dacă există. Calculele de la pasul anterior vă vor ajuta aici, deoarece asimptota verticală se află aproape întotdeauna în punctul de discontinuitate al celui de-al doilea fel. Cu toate acestea, uneori nu punctele individuale sunt excluse din domeniul definiției, ci intervale întregi de puncte, iar apoi asimptotele verticale pot fi localizate la marginile acestor intervale.

Verificați dacă funcția are proprietăți speciale: par, impar și periodic.
Funcția va fi chiar dacă pentru orice x din domeniul f(x) = f(-x). De exemplu, cos(x) și x^2 sunt funcții pare.

Periodicitatea este o proprietate care spune că există un anumit număr T numit perioadă, care pentru orice x f(x) = f(x + T). De exemplu, toate funcțiile trigonometrice de bază (sinus, cosinus, tangentă) sunt periodice.

Găsiți puncte. Pentru a face acest lucru, calculați derivata funcției date și găsiți acele valori x unde dispare. De exemplu, funcția f(x) = x^3 + 9x^2 -15 are o derivată g(x) = 3x^2 + 18x care dispare la x = 0 și x = -6.

Pentru a determina care puncte extreme sunt maxime și care sunt minime, urmăriți modificarea semnelor derivatei în zerourile găsite. g(x) schimbă semnul de la plus la x = -6 și înapoi de la minus la plus la x = 0. Prin urmare, funcția f(x) are un minim în primul punct și un minim în al doilea.

Astfel, ați găsit și zone de monotonitate: f(x) crește monoton pe intervalul -∞;-6, scade monoton pe -6;0 și crește din nou pe 0;+∞.

Găsiți derivata a doua. Rădăcinile sale vor arăta unde graficul unei anumite funcții va fi convex și unde va fi concav. De exemplu, derivata a doua a funcției f(x) va fi h(x) = 6x + 18. Ea dispare la x = -3, schimbându-și semnul din minus în plus. Prin urmare, graficul f (x) înainte de acest punct va fi convex, după acesta - concav, iar acest punct în sine va fi un punct de inflexiune.

O funcție poate avea alte asimptote, cu excepția celor verticale, dar numai dacă domeniul său de definiție include . Pentru a le găsi, calculați limita lui f(x) când x→∞ sau x→-∞. Dacă este finită, atunci ați găsit asimptota orizontală.

Asimptota oblică este o linie dreaptă de forma kx + b. Pentru a găsi k, calculați limita lui f(x)/x ca x→∞. Pentru a găsi b - limită (f(x) – kx) cu același x→∞.

În acest articol, vom lua în considerare o schemă pentru studierea unei funcții și, de asemenea, vom oferi exemple de studiere a extremelor, monotonității și asimptotelor unei anumite funcții.

Sistem

Domeniul existenței (ODZ) al unei funcții.
Intersecția funcției (dacă există) cu axe de coordonate, semne de funcție, paritate, periodicitate.
Puncte de întrerupere (tipul lor). Continuitate. Asimptotele sunt verticale.
Monotonitate și puncte extreme.
Puncte de inflexiune. Convex.
Investigarea unei funcții la infinit, pentru asimptote: orizontale și oblice.
Construirea unui grafic.

Studiu pentru monotonitate

Teorema. Dacă funcţia g continuu pe , diferentiat prin (a; b)și g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; b), atunci g in crestere (in scadere) .

Exemplu:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: хєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Găsiți intervale de semne constante tu. În măsura în care tu este o funcție elementară, atunci poate schimba semne doar în punctele în care devine zero sau nu există. ODZ ei: хєR.

Să găsim punctele în care derivata este egală cu 0 (zero):

y' = 0;

x = -1; -5.

Asa de, y crescând pe (-∞; -5] și pe [-unu; +∞), y coborând pe .

Cercetare pentru extreme

T. x0 se numește punctul maxim (max) pe set A funcții g când valoarea maximă este luată în acest punct de către funcție g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 se numește punctul minim (min) al funcției g pe platou A când cea mai mică valoare este luată de funcție în acest punct g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Pe platou A punctele maxim (max) și minim (min) se numesc puncte extremum g. Astfel de extreme sunt numite și extreme absolute pe platou .

Dacă x0- punctul extremum al funcției gîn vreun district, atunci x0 se numește punctul de extremum local sau local (max sau min) al funcției g.

Teoremă (condiție necesară). Dacă x0- punctul extremum al funcției (locale). g, atunci derivata nu există sau este egală cu 0 (zero) în acest punct.

Definiție. Punctele cu o derivată inexistentă sau egală cu 0 (zero) se numesc critice. Aceste puncte sunt suspecte pentru un extremum.

Teorema (condiția suficientă nr. 1). Dacă funcţia g este continuă în unele raioane. x0 iar semnul se schimbă prin acest punct când derivata trece, atunci acest punct este punctul extremum g.

Teorema (condiția suficientă nr. 2). Fie ca funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și g' = 0 și g'' > 0 (g''< 0) , apoi acest punct este punctul de maxim (max) sau minim (min) al funcției.

Test de convexitate

Funcția se numește convexă în jos (sau concavă) pe interval (a,b) când graficul funcției nu este situat mai sus decât secantei de pe interval pentru orice x cu (a,b) care trece prin aceste puncte .

Funcția va fi convexă strict în jos (a,b), dacă - graficul se află sub secantele intervalului.

Funcția se numește convexă în sus (convexă) pe interval (a,b), dacă pentru orice t puncte Cu (a,b) graficul funcției pe interval nu se află mai jos decât secantei care trece prin abscise în aceste puncte .

Funcția va fi strict convexă în sus (a, b), dacă - graficul intervalului se află deasupra secantei.

Dacă funcția se află într-o apropiere a punctului continuu si prin t. x 0în timpul tranziției, funcția își schimbă convexitatea, apoi acest punct se numește punctul de inflexiune al funcției.

Studiu pentru asimptote

Definiție. Linia dreaptă se numește asimptotă g(x), dacă la o distanță infinită de origine, punctul graficului funcției se apropie de aceasta: d(M,l).

Asimptotele pot fi verticale, orizontale sau oblice.

Linie verticală cu ecuație x = x 0 va fi asimptota graficului vertical al funcției g , dacă punctul x 0 are un decalaj infinit, atunci există cel puțin o limită stânga sau dreaptă în acest punct - infinit.

Investigarea unei funcții pe un segment pentru valoarea celui mai mic și cel mai mare

Dacă funcția este activă continuă , apoi după teorema Weierstrass există cea mai mare valoare și cea mai mică valoare pe acest segment, adică există t ochelari care îi aparțin astfel încât g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Din teoremele despre monotonitate și extreme, obținem următoarea schemă pentru studierea unei funcții pe un segment pentru cele mai mici și mai mari valori.

Plan

Găsiți derivată g'(x).
Căutați valoarea unei funcții gîn aceste puncte şi la capetele segmentului.
Comparați valorile găsite și alegeți cel mai mic și cel mai mare.

Cometariu. Dacă trebuie să studiați o funcție pe un interval finit (a,b), sau pe un infinit (-∞; b); (-∞; +∞) pe valorile maxime și minime, apoi în plan, în loc de valorile funcției de la sfârșitul intervalului, ei caută limitele unilaterale corespunzătoare: în loc de fa) căuta f(a+) = limf(x), in loc de f(b) căuta f(-b). Deci puteți găsi funcția ODZ pe interval, deoarece extremele absolute nu există neapărat în acest caz.

Aplicarea derivatei la rezolvarea problemelor aplicate pentru extremul unor marimi

Exprimați această valoare în termeni de alte mărimi din condiția problemei astfel încât să fie o funcție a unei singure variabile (dacă este posibil).
Se determină intervalul de modificare a acestei variabile.
Efectuați un studiu al funcției pe intervalul pentru valorile max și min.

Sarcină. Este necesar să construiți o platformă dreptunghiulară, folosind o plasă, lângă perete, astfel încât pe o parte să fie adiacentă peretelui, iar pe celelalte trei să fie împrejmuită cu o plasă. La ce raport de aspect va fi zona unui astfel de site cea mai mare?

S=xy este o funcție a 2 variabile.

S = x(a - 2x)- funcţia primei variabile ; x є .

S = ax - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- cea mai mare valoare;

S(0)=0.

Găsiți cealaltă parte a dreptunghiului: la = a: 2.

Raport de aspect: y:x=2.

Răspuns. Zona cea mai mare va fi a 2/8 dacă latura care este paralelă cu peretele este de 2 ori cealaltă parte.

Cercetarea funcției. Exemple

Exemplul 1

Disponibil y=x 3: (1-x) 2 . Fa o cercetare.

ODZ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
O funcție generală (nici pară, nici impară) nu este simetrică față de punctul 0 (zero).
Semne de funcționare. Funcția este elementară, deci poate schimba semnul numai în punctele în care este egală cu 0 (zero), sau nu există.
Funcția este elementară, deci continuă pe ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Decalaj: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Discontinuitate de al 2-lea fel (infinită), deci există o asimptotă verticală la punctul 1;

x = 1- ecuaţia asimptotei verticale.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1 este un punct critic.

y' = 0;

0; 3 sunt puncte critice.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

T. critic: 1, 0;

x= 0 - punct de inflexiune, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- nu există asimptotă orizontală, dar poate fi oblică.

k = 1- număr;

b = 2- număr.

Prin urmare, există o asimptotă oblică y=x+2 la + ∞ și la - ∞.

Exemplul 2

Dat y = (x 2 + 1) : (x - 1). Produce și ancheta. Construiți un grafic.

1. Aria existenței este întreaga linie numerică, cu excepția așa-numitei. x=1.

2. y cruce OY (dacă este posibil) incl. (0;g(0)). Găsim y(0) = -1 - punctul de intersecție OY .

Punctele de intersecție ale graficului cu BOU afla prin rezolvarea ecuatiei y=0. Ecuația nu are rădăcini reale, deci această funcție nu se intersectează BOU.

3. Funcția este neperiodică. Luați în considerare expresia

g(-x) ≠ g(x) și g(-x) ≠ -g(x). Aceasta înseamnă că este o funcție generică (nici par, nici impar).

4. T. x=1 discontinuitatea este de al doilea fel. În toate celelalte puncte, funcția este continuă.

5. Studiul funcției pentru un extremum:

(X 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

și rezolvați ecuația y" = 0.

Asa de, 1 - √2, 1 + √2, 1 - puncte critice sau puncte de extremum posibil. Aceste puncte împart linia numerică în patru intervale .

Pe fiecare interval, derivata are un anumit semn, care poate fi stabilit prin metoda intervalelor sau prin calcularea valorilor derivatei în puncte individuale. La intervale (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , o derivată pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția este în creștere; dacă xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , atunci funcția este descrescătoare, deoarece derivata este negativă la aceste intervale. Prin t. x 1în timpul tranziției (mișcarea urmează de la stânga la dreapta), derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”, prin urmare, în acest moment există un maxim local, găsim

y max = 2 - 2 √2 .

La trecere prin x2 schimbă semnul derivat din „-” în „+”, prin urmare, există un minim local în acest punct și

y mix = 2 + 2√2.

T. x=1 nu atât de extremum.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

Pe (-∞; 1 ) 0 > y"" , în consecință, curba este convexă pe acest interval; dacă xє (1 ; ∞) - curba este concavă. În t punctul 1 nu este definită nicio funcție, deci acest punct nu este un punct de inflexiune.

7. Din rezultatele paragrafului 4 rezultă că x=1 este asimptota verticală a curbei.

Nu există asimptote orizontale.

x + 1 = y este asimptota pantei acestei curbe. Nu există alte asimptote.

8. Ținând cont de studiile efectuate, construim un grafic (vezi figura de mai sus).

Studiul funcției se desfășoară după o schemă clară și solicită elevului să aibă cunoștințe solide ale conceptelor matematice de bază precum domeniul definiției și valorilor, continuitatea funcției, asimptota, punctele extreme, paritatea, periodicitatea, etc. Elevul trebuie să diferențieze liber funcții și să rezolve ecuații, care uneori sunt foarte complicate.

Adică, această sarcină testează un strat semnificativ de cunoștințe, orice decalaj în care va deveni un obstacol în obținerea soluției corecte. Mai ales adesea apar dificultăți în construirea graficelor de funcții. Această greșeală atrage imediat atenția profesorului și îți poate strica foarte mult nota, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi sarcini pentru studiul funcției online: exemple de studiu, soluții de descărcare, sarcini de comandă.

Investigați o funcție și diagramați: exemple și soluții online

Am pregătit pentru dvs. o mulțime de studii de caracteristici gata făcute, atât plătite în cartea de soluții, cât și gratuite în secțiunea Exemple de cercetare a caracteristicilor. Pe baza acestor sarcini rezolvate, veți putea să vă familiarizați în detaliu cu metodologia de realizare a unor astfel de sarcini, prin analogie, efectuați propria cercetare.

Oferim exemple gata făcute de studiu complet și reprezentare grafică a funcțiilor din cele mai comune tipuri: polinoame, funcții fracționale-raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice. Fiecare problemă rezolvată este însoțită de un grafic gata făcut cu puncte cheie selectate, asimptote, maxime și minime, soluția se realizează conform algoritmului de studiere a funcției.

Exemplele rezolvate, în orice caz, vă vor fi de mare ajutor, deoarece acopera cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, există un număr infinit de funcții matematice în lume, iar profesorii sunt mari experți în a inventa sarcini din ce în ce mai complicate pentru elevii săraci. Așadar, dragi studenți, asistența calificată nu vă va răni.

Rezolvarea problemelor pentru studiul unei funcții la comandă

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - cercetare completă online a comanda. Sarcina va fi finalizată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, ceea ce vă va mulțumi foarte mult profesorului dvs.

Vom face un studiu complet al funcției pentru dvs.: vom găsi domeniul de definiție și gama de valori, vom examina continuitatea și discontinuitatea, vom stabili paritatea, vom verifica funcția pentru periodicitate, vom găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate . Și, desigur, mai departe cu ajutorul calculului diferențial: vom găsi asimptote, vom calcula extreme, puncte de inflexiune și vom construi graficul în sine.

Dacă în problemă este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetarea se efectuează pe domeniul funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru rădăcina unui grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0 , pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0 .

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la limitele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2 .

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea funcției și pentru par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată a fi pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria merge în raport cu originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate eșuează, obținem o funcție de formă generală.

Îndeplinirea egalității y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f „(x) ≥ 0 și, respectiv, f” (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare sunt puncte care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniul în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

Atunci când luați o decizie, trebuie luate în considerare următoarele aspecte:

pentru intervalele existente de creștere și scădere a inegalității de forma f „(x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și scădere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului în acest moment, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 este inclus în intervalul de creștere);
pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și scădere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere a functiei, este necesar sa se gaseasca:

derivat;
puncte critice;
spargeți domeniul definiției cu ajutorul punctelor critice în intervale;
determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluţie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0 ;
găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2 .

Expunem puncte de pe axa numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să faceți un calcul. Dacă rezultatul este pozitiv, desenăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare numărul linia.

Răspuns:

are loc o creştere a funcţiei pe intervalul - ∞ ; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2 ; +∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din aceasta este f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul este schimbat de la - la +, obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea se determină prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0 . Mai rar folosesc denumirea de umflare în jos în loc de concavitate și umflare în loc de bombare.

Definiția 3

Pentru determinarea golurilor de concavitate si convexitate necesar:

găsiți derivata a doua;
găsiți zerourile funcției derivatei a doua;
rupe domeniul definirii prin punctele care apar pe intervale;
determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde, folosind exemplul nostru, avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să puneți puncte pe linia numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare gol. Înțelegem asta

Răspuns:

funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
funcţia este concavă din golurile - ∞ ; - 1 2 și 1 2 ; +∞ .

Definiția 4

punct de inflexiune este un punct de forma x 0 ; f(x0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2 . Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice sunt trasate folosind drepte date de ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile pe care graficul funcției se apropie la infinit. Aceasta contribuie la construirea rapidă a graficului funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitate, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Ca exemplu, luați în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După ce ați cercetat funcția, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.