Teorema 1 (teorema lui Thales). Liniile drepte paralele sunt tăiate pe liniile drepte care le intersectează segmente proporționale (Fig. 1).
Definiția 1 ... Două triunghiuri (fig. 2) sunt numite similare dacă laturile lor sunt proporționale.
Teorema 2 (primul semn de similitudine). Dacă unghiul primului triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, iar laturile triunghiurilor adiacente acestor unghiuri sunt proporționale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (vezi Fig. 2).
Teorema 3 (al doilea semn de similitudine). Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (Fig. 3).
Teorema 4 (teorema lui Menelau). Dacă o dreaptă intersectează laturile AB și BC ale triunghiului ABC în respectivele puncte X și Y și extinderea laturii AC - în punctul Z (Fig. 4), atunci
Teorema 5... Lăsați înălțimile AA1 și CC1 să fie trasate într-un triunghi ABC unghiular (Fig. 5). Atunci triunghiurile A1 BC1 și ABC sunt similare, iar coeficientul de similitudine este cos .B.
Lema 1... Dacă laturile AC și DF ale triunghiurilor ABC și DEF se află pe o linie dreaptă sau pe linii drepte paralele (Fig. 6), atunci
Lema 2... Dacă două triunghiuri au o latură comună AC (Fig. 7), atunci
Lemă 3... Dacă triunghiurile ABC și AB1 C1 au un unghi comun A, atunci
Lema 4... Zonele triunghiurilor similare sunt denumite coeficientul de similaritate pătrat.
Dovezi ale unor teoreme
Dovada teoremei 4
... Să trasăm o linie dreaptă prin punctul C, paralel cu linia AB, până la intersecția cu linia XZ în punctul K (fig. 9). Este necesar să se demonstreze că
Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare:
Înmulțind aceste egalități termen cu termen, obținem: 
q.E.D.
Dovada teoremei 5. Să dovedim similaritatea triunghiurilor A1 BC1 și ABC folosind primul criteriu de similaritate. Deoarece aceste două triunghiuri au un unghi comun B, este suficient să se demonstreze acest lucru
Dar acest lucru rezultă din faptul că din triunghiul unghiular ABA1 și din triunghiul dreptunghiular CBC1. A doua parte a teoremei a fost dovedită pe parcurs.
Soluții de probleme
Problema 1... Se dă un ABCD trapezoidal și se știe că BC \u003d a și AD \u003d b. Paralel cu bazele sale BC și AD, se trasează o linie dreaptă care intersectează partea AB în punctul P, diagonala AC în punctul L, diagonala BD în punctul R și partea CD în punctul Q (Fig. 10). Se știe că PL \u003d LR. Găsiți PQ.
Decizie... Să dovedim mai întâi că PL \u003d RQ. Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare: 
Conform teoremei lui Thales, avem:
Notăm acum PL \u003d LR \u003d RQ \u003d x și considerăm din nou două perechi de triunghiuri similare: 
Avem în continuare:
Prin urmare,
Răspuns:
Problema 2... În triunghiul ABC, unghiul A este 45 ° și unghiul C este acut. Din mijlocul N al laturii BC, perpendicularul NM este coborât spre partea AC (Fig. 11). Zonele triunghiurilor NMC și ABC sunt respectiv 1: 8. Găsiți unghiurile triunghiului ABC.
Decizie. Fie BH înălțimea scăzută de la vârful B în partea AC.
Deoarece NM este linia de mijloc a triunghiului BHC, atunci S∆BHC \u003d 4S∆NMC.
Dar, conform declarației de problemă, S∆ABC \u003d 8S∆NMC.
Prin urmare, S∆ABC \u003d 2S∆BHC, deci S∆ABH \u003d S∆BHC. Prin urmare, AH \u003d HC,
de unde ∠CAB \u003d ∠ACB \u003d 45 °, ∠ABC \u003d 90 °.
Răspuns: ∠CAB \u003d ∠ACB \u003d 45 °, ∠ABC \u003d 90 °.
Problema 3... Dat fiind un triunghi ABC, în care unghiul B este egal cu 30 °, AB \u003d 4 și BC \u003d 6. Bisectoarea unghiului B intersectează latura AC în punctul D (Fig. 12). Determinați aria triunghiului ABD.
Decizie... Aplicăm teorema pe bisectoarea unghiului interior triunghiului ABC:
Prin urmare,
Răspuns:
Articolul a fost publicat cu sprijinul companiei World of Flowers. Depozit cu ridicata și cu amănuntul de articole de nuntă și ritual, flori artificiale în Krasnodar. Accesorii de nuntă - lumânări, afișe, pahare de vin, panglici, invitații și multe altele. Bunuri rituale - țesături, îmbrăcăminte, accesorii. Puteți afla mai multe despre companie, consultați catalogul de mărfuri, prețuri și contacte pe site-ul web, care se află la: flowersworld.su.
Sarcina 4... Prin punctul mediu M al laturii BC a paralelogramului ABCD, a cărui zonă este 1 și vârful A, se trasează o linie dreaptă care intersectează diagonala BD în punctul O (Fig. 13). Găsiți aria patrulaterului OMCD.
Decizie... Se va căuta aria patrulaterului OMCD ca diferență între ariile triunghiurilor BCD și BOM. Aria triunghiului BCD este egală cu jumătate din aria paralelogramului ABCD și este egală cu Găsiți aria triunghiului BOM. Avem:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ 
Mai departe:
Prin urmare, 
Răspuns:
Problema 5... Un triunghi unghiular MNC este înscris într-un triunghi isoscel unghiular ABC cu unghi drept la vârful B, astfel încât unghiul MNC să fie o linie dreaptă, punctul N se află pe AC, iar punctul M este pe latura AB (Fig. 14). În ce raport ar trebui să împartă punctul N hipotenuza AC astfel încât aria triunghiului MNC să fie egală cu aria triunghiului ABC?
Decizie... Putem presupune că AB \u003d 1. Notăm AM \u003d x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
Avem: 
Răspuns:
Problema 6... În trapezul ABCD, diagonala AC este perpendiculară pe partea CD-ului, iar diagonala DB este perpendiculară pe partea AB. Extensiile laturilor laterale AB și DC se intersectează în punctul K, formând un triunghi AKD cu un unghi de 45 ° în vârful K (Fig. 15). Aria trapezului ABCD este S. Găsiți aria triunghiului AKD.
Decizie... Conform teoremei 5, triunghiul BKC este similar cu triunghiul AKD cu coeficientul de similaritate 
În consecință, ariile acestor triunghiuri sunt 1: 2, ceea ce înseamnă că aria trapezului ABCD este egală cu aria triunghiului BKC. Prin urmare, aria triunghiului AKD este 2S.
Răspuns: 2S.
Problema 7... În triunghiul ABC, punctul K este luat pe latura AB astfel încât AK: KB \u003d 1: 2, iar punctul L să fie luat pe latura BC astfel încât CL: LB \u003d 2: 1. Fie Q punctul de intersecție al liniilor AL și CK (Fig. 16). Găsiți aria triunghiului ABC, știind că aria triunghiului BQC este 1.
Decizie... Fie AK \u003d x, BL \u003d y. Apoi KB \u003d 2x,
LC \u003d 2y, deci AB \u003d 3x și BC \u003d 3y. Aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ABL și KQ secant:
Problema 8... Din punctul M, care se află în interiorul unui triunghi ABC cu unghi ascuțit, perpendiculare sunt lăsate în lateral (Fig. 17). Lungimile laturilor și perpendicularelor căzute pe ele sunt, respectiv, egale a și k, b și m, c și n. Calculați raportul dintre aria triunghiului ABC și aria unui triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele perpendicularelor.
Decizie... Introducem notația standard, adică denotăm lungimile laturilor triunghiului ABC: BC \u003d a, CA \u003d b, AB \u003d c; unghiuri: ∠BAC \u003d α,
∠ABC \u003d β, ∠ACB \u003d γ. Bazele perpendicularelor căzute din punctul M către laturile BC, CA și AB vor fi notate cu D, E și respectiv F. Apoi, conform afirmației problemei, MD \u003d k, ME \u003d m, MF \u003d n . Evident, EMF este π - α, DMF este π - β, DME este π - γ, iar punctul M este situat în interiorul triunghiului DEF. Aria triunghiului DEF este:
Aria triunghiului ABC este egală cu:
Găsiți raportul ariilor triunghiurilor DEF și ABC:
Prin urmare, 
Răspuns: 
Problema 9... Punctele P și Q sunt situate pe latura BC a triunghiului ABC astfel încât BP: PQ: QC \u003d 1: 2: 3.
Punctul R împarte latura AC a acestui triunghi în așa fel încât AR: RC \u003d 1: 2 (Fig. 18). Care este raportul dintre aria patrulaterului PQST și aria triunghiului ABC, unde S și T sunt punctele de intersecție ale dreptei BR cu liniile AQ și respectiv AP?
Decizie... Setăm BP \u003d x, AR \u003d y; atunci
PQ \u003d 2x, QC \u003d 3x, RC \u003d 2y. Să calculăm ce parte a ariei patrulaterului PQST este din aria triunghiului APQ și, prin urmare, din aria triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o relație în care punctele S și T împart liniile AQ și respectiv AP. Aplicăm teorema lui Menelau triunghiului ACQ și SR secant:
În mod similar, aplicând teorema lui Menelau la triunghiul ACP și TR secant, obținem:
Mai departe: 
Pe de altă parte, aplicând lema de zonă triunghiurilor APQ și ABC, obținem
Răspuns:
Problema 10... În triunghiul ABC, lungimea înălțimii BD este 6, lungimea CE mediană este 5, distanța de la punctul de intersecție a BD cu CE până la latura AC este 1 (Fig. 19). Găsiți lungimea laturii AB.
Decizie... Fie punctul O punctul de intersecție al liniilor BD și CE. Distanța de la punctul O la partea AC (egală cu una după condiție) este lungimea segmentului OD. Deci, OD \u003d 1 și OB \u003d 5. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ABD și secantei OE:
Acum, aplicând teorema lui Menelau la triunghiul ACE și secant OD, obținem
de unde OE \u003d 2CO și luând în considerare OE + CO \u003d CE \u003d 5
obținem că aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghiular CDO:
Prin urmare, 
În cele din urmă, luați în considerare un triunghi unghiular ABD, în care folosim și teorema lui Pitagora:
Răspuns:
Tema 11... Punctele C și D se află pe segmentul AB, iar punctul C este situat între punctele A și D. Punctul M este luat astfel încât liniile AM \u200b\u200bși MD sunt perpendiculare, iar liniile CM și MB sunt, de asemenea, perpendiculare (Fig. 20). Găsiți aria triunghiului AMB dacă se știe că valoarea unghiului CMD este α, iar ariile triunghiurilor AMD și CMB sunt S1 și respectiv S2.
Decizie... Denotăm ariile triunghiurilor AMB și, respectiv, CMD cu
x și y (x\u003e y). Rețineți că x + y \u003d S1 + S2. Să arătăm acum că xy \u003d S 1 S 2 sin 2 α. Într-adevăr, 
În mod similar, 
Deoarece ∠AMB \u003d ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB \u003d
\u003d 90 ° - α + α + 90 ° - α \u003d 180 ° - α, și sin ∠AMB \u003d
\u003d sin α. Mijloace:
Astfel, numerele x și y sunt rădăcinile ecuației pătratice
t2 - (S1 + S2) t + S1 S2 sin2 α \u003d 0.
Rădăcina mai mare a acestei ecuații:
Răspuns: 
Sarcini pentru soluția independentă
C-1. În triunghiul ABC, a cărui zonă este S, bisectoarea CE și mediana BD se intersectează în punctul O. Aflați aria patrulaterului ADOE, știind că BC \u003d a, AC \u003d b.
C-2... Un pătrat este înscris într-un triunghi isoscel ABC, astfel încât două dintre vârfurile sale se află pe baza BC, iar celelalte două se află pe laturile laterale ale triunghiului. Latura unui pătrat se referă la raza unui cerc înscris într-un triunghi ca
8: 5. Găsiți colțurile triunghiului.
S-3... În paralelogram ABCD cu laturile AD \u003d 5 și AB \u003d 4, se trasează un segment EF, conectând punctul E al laturii BC cu punctul F al laturii CD. Punctele E și F sunt alese astfel încât
BE: EC \u003d 1: 2, CF: FE \u003d 1: 5. Se știe că punctul de intersecție M al diagonalei AC cu segmentul FE îndeplinește condiția MF: ME \u003d 1: 4. Găsește diagonalele paralelogramului.
C-4. Aria trapezului ABCD este 6. Fie E punctul de intersecție al extensiilor laturilor laterale ale acestui trapez. O linie dreaptă este trasată prin punctul E și punctul de intersecție al diagonalelor trapezoidale, care intersectează baza BC mai mică la punctul P, iar baza AD mai mare la punctul Q. Punctul F se află pe segmentul EC și EF: FC \u003d EP: EQ \u003d 1: 3.
Găsiți aria triunghiului EPF.
C-5. Într-un triunghi unghiular ABC (unde AB\u003e BC) sunt trasate înălțimile AM \u200b\u200bși CN, punctul O este centrul cercului circumscris în jurul triunghiului ABC. Se știe că unghiul ABC este β, iar aria patrulaterului NOMB este S. Găsiți lungimea laturii AC.
S-6... În triunghiul ABC, punctul K de pe partea AB și punctul M de pe partea AC sunt situate astfel încât relațiile AK: KB \u003d 3: 2 și AM: MC \u003d 4: 5. În ce relație are punctul de intersecție al liniile KC și BM împart BM?
S-7... Punctul D este luat în interiorul unui triunghi unghiular ABC (unghiul B al unei drepte) astfel încât ariile triunghiurilor ABD și BDC să fie, respectiv, de trei și de patru ori mai mici decât aria triunghiului ABC. Lungimile segmentelor AD și DC sunt egale cu a și, respectiv, c. Găsiți lungimea segmentului de linie BD.
S-8... Punctul E este luat în patrulaterul convex ABCD pe latura CD, astfel încât segmentul AE împarte patrulaterul ABCD în romb și triunghi isoscel, al cărui raport al ariei este egal cu Aflați unghiul BAD.
S-9... Înălțimea trapezului ABCD este 7, iar lungimile bazelor AD și BC sunt 8 și respectiv 6. Prin punctul E, care se află pe partea CD, se trasează linia BE, care împarte diagonala AC la punctul O în raportul AO: OC \u003d 3: 2. Găsiți triunghiul de zonă OEC.
S-10... Punctele K, L, M împart laturile patrulaterului convex ABCD în raportul AK: BK \u003d CL: BL \u003d CM: DM \u003d 1: 2. Se știe că raza cercului circumscris în jurul triunghiului KLM este egală cu KL \u003d 4, LM \u003d 3 și KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11... Extensiile laturilor AD și BC ale patrulaterului convex ABCD se intersectează în punctul M, iar extensiile laturilor AB și CD - în punctul O. Segmentul MO este perpendicular pe bisectoarea unghiului AOD. Găsiți raportul ariilor triunghiurilor AOD și BOC dacă OA \u003d 6, OD \u003d 4, CD \u003d 1.
S-12... În triunghiul ABC, unghiul de la vârful A este de 30 °, iar înălțimile BD și CE se întâlnesc în punctul O. Găsiți raportul razelor cercurilor din jurul triunghiurilor DEO și ABC.
S-13... Segmentele de linie care leagă bazele înălțimilor unui triunghi unghiular acut sunt 5, 12 și 13. Aflați raza cercului circumscris în jurul triunghiului.
S-14... Într-un triunghi unghiular ABC, punctul M este luat la înălțimea AD, iar punctul N este luat la înălțimea BP, astfel încât unghiurile BMC și ANC să fie drepte. Distanța dintre punctele M și N este a CMCN \u003d 30 °.
Găsiți bisectoarea CL a triunghiului CMN.
S-15... Punctele D, E și F sunt luate pe laturile AB, BC și respectiv AC ale triunghiului ABC. Segmentele AE și DF trec prin centrul unui cerc înscris în triunghiul ABC, iar liniile DF și BC sunt paralele. Găsiți lungimea segmentului BE și perimetrul triunghiului ABC dacă BC \u003d 15, BD \u003d 6, CF \u003d 4.
S-16... În triunghiul ABC, bisectoarea BB „intersectează mediana AA” în punctul O.
Găsiți raportul dintre aria triunghiului BOA "și aria triunghiului AOB" dacă AB: AC \u003d 1: 4.
S-17... În triunghiul ABC, punctul D se află pe AC, iar AD \u003d 2DC. Punctul E se află pe BC. Aria triunghiului ABD este 3, aria triunghiului AED este 1. Segmentele AE și BD se întâlnesc în punctul O. Aflați raportul ariilor triunghiurilor ABO și OED.
S-18... În paralelogramul ABCD, punctele E și F se află pe laturile AB și, respectiv, BC, M este punctul de intersecție al liniilor AF și DE și AE \u003d 2BE și BF \u003d 3CF. Găsiți raportul AM: MF.
S-19... În dreptunghi ABCD pe laturi
AB și AD sunt selectate respectiv punctele E și F astfel încât AE: EB \u003d 3: 1, AF: FD \u003d 1: 2. Găsiți EO: OD, unde O este punctul de intersecție al segmentelor DE și CF.
S-20... Punctul N este luat pe partea PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe partea PR și
NQ \u003d LR. Intersecția segmentelor QL și NR împarte segmentul QL în raportul m: n, numărând din punctul Q. Găsiți raportul PN: PR.
S-21... Punctele A și B sunt luate pe laturile unui unghi acut cu vârful O. Pe raza OB, punctul M este luat la o distanță de 3OA de linia OA, iar pe raza OA, punctul N este luat la o distanță de 3OB de linie OB. Raza cercului din jurul triunghiului AOB este 3. Găsiți MN.
S-22... În pentagonul convex ABCDE, diagonalele BE și CE sunt bisectoarele unghiurilor de la vârfurile B și respectiv C, ∠A \u003d 35 °, ∠D \u003d 145 °, S∆BCE \u003d 11. Găsiți aria pentagonul ABCDE.
S-23... Pe bazele AD și BC ale trapezului ABCD, pătratele ADEF și BCGH sunt construite în afara trapezului. Diagonalele trapezului se intersectează în punctul O. Aflați lungimea segmentului AD dacă BC \u003d 2, GO \u003d 7 și GF \u003d 18.
S-24... În triunghiul ABC, se știe că AB \u003d BC, iar unghiul BAC este de 45 °. Linia MN intersectează partea AC în punctul M și partea BC - în punctul N, cu AM \u003d 2MC și ∠NMC \u003d 60 °. Găsiți raportul dintre aria triunghiului MNC și aria patrulaterului ABNM.
S-25... În triunghiul ABC, punctul N este luat pe partea AB, iar punctul M este pe partea AC. Segmentele CN și BM se intersectează în punctul O, AN: NB \u003d 2: 3,
BO: OM \u003d 5: 2. Găsiți CO: ON.
Trapez la examen. Un nivel de bază al.
Sarcini din banca deschisă a sarcinilor FIPI.
Obiectivul 1.În trapezul ABCD, se știe că AB \u003d CD,∠ BDA \u003d 54 ° și ∠ BDC \u003d 23 °. Găsiți unghiul ABD. Dă-ți răspunsul în grade.
Decizie.În acest trapez, unghiul ADC la baza inferioară este egal cu suma unghiurilor AD V și V DC , este egal cu 54 + 23 \u003d 77 grade. Deoarece trapezul este isoscel, unghiurile de la baza inferioară sunt egale și unghiul BAD este, de asemenea, egal cu 77 de grade. Suma unghiurilor VAD și AB D egală cu 180 de grade (unilaterală cu linii drepte paralele AD și BC și secant AB). Aceasta înseamnă că unghiul ABC este 180 - 77 \u003d 103 grade.
Apoi, folosim egalitatea unghiurilor AD B și D BC (intersectând cu drepte paralele AD și BC și secant B D). De aici și unghiul AB D este egal cu 103 - 54 \u003d 49 de grade.
Răspuns 49.
Obiectivul 2.Bazele unui trapez isoscel sunt 10 și 24, latura este 25. Găsiți înălțimea trapezului.
Decizie.În acest trapez, baza superioară BC este egală cu 10, cea inferioară AD \u003d 24. De la vârfurile B și C, coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat НВСК НК \u003d ВС \u003d 10. Triunghiurile AVN și KDC DC), apoi AH \u003d K D \u003d (24-10): 2 \u003d 7. Conform teoremei lui Pitagora, în triunghiul ABN, pătratul piciorului BH este egal cu diferența dintre pătratul hipotenuzei AB și pătratul piciorului AN. Adică VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.
Răspuns 24.
Obiectivul 3.Într-un trapez isoscel, una dintre baze
este 3 și cealaltă este 7. Înălțimea trapezului este 4. Găsiți tangenta unghiului acut al trapezului.
Decizie.În acest trapez, baza superioară BC este egală cu 3, cea inferioară AD \u003d 7. De la vârfurile B și C, coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat НВСК НК \u003d ВС \u003d 3. Triunghiurile AVN și KDC sunt egale (sunt dreptunghiulare, VN \u003d SK, AB \u003dDC), deci AH \u003d K D \u003d (7-3): 2 \u003d 2. Tangenta unui unghi acut VAN într-un triunghi unghiular AVN este egal cu raportul piciorului opus VN cu piciorul adiacent AH, adică 4: 2 \u003d 2.
Răspuns 2.
Problema 4.Bazele trapezului sunt 8 și 16, latura laterală, egală cu 6, formează un unghi de 150 ° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți zona trapezului.
Decizie.Se introduce trapezul din desenul bazei BC \u003d 8,ANUNȚ \u003d 16, latura laterală AB \u003d 6, iar unghiul ABC este de 150 de grade. Știm că aria unui trapez este egală cu produsul din jumătatea sumelor bazelor și înălțimea. Motivele sunt cunoscute. Să găsim înălțimea HV. Într-un triunghi unghiular ABN, unghiul ABN este de 150 - 90 \u003d 60 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul VAN este de 90 - 60 \u003d 30 de grade. Și într-un triunghi unghiular, piciorul, situat opus unui unghi de 30 de grade, este egal cu jumătate din hipotenuză. Deci VN \u003d 3.
Rămâne să calculăm aria trapezului. Suma de bază a bazelor este (8 + 16): 2 \u003d 12. Suprafața este 12 * 3 \u003d 36.
Răspuns 36.
Obiectivul 5.Într-un trapez dreptunghiularABCD cu temeiuri Soare și ȘID unghi ÎNANUNȚ Drept, AB=3, Soare=CD\u003d 5. Găsiți linia de mijloc a trapezului.
Decizie.Linia de mijloc a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor. În acest trapez, baza superioară BC este egală cu 5, cea inferioară AD necunoscut. De la vârful C, coborâm înălțimea până la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat НВСК АН \u003d ВС \u003d 5, СН \u003d AB \u003d 3. Triunghiul HDC dreptunghiular. Prin teorema lui Pitagora, pătratul piciorului HD egală cu diferența pătratului hipotenuzeiDC iar pătratul piciorului CH. Adică HD 2 \u003d 65 –9 \u003d 16. Н D \u003d 4. De aici și baza inferioară AD \u003d AH + H D \u003d 5 + 4 \u003d 9. Linia de mijloc a trapezului este (5 + 9): 2 \u003d 7.
Răspuns 7.
Sarcina 6.Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 4 și 7, iar unul dintre colțuri este de 135 °. Găsiți partea mai mică.
Decizie.Să folosim desenul pentru problema anterioară. În acest trapez, baza superioară a BC este egală cu 4, cea inferioară este AD \u003d 7. Unghiul BC D este egal cu 135 de grade. De la vârful C, coborâm înălțimea până la baza inferioară. Apoi HD \u003d 7-4 \u003d 3. În triunghiul dreptunghiular rezultat НUnghiul DC НС D este egal cu 135-90 \u003d 45 de grade. De aici și unghiul HDC de asemenea, 45 de grade. CH \u003d H picioareD \u003d 3.
Răspuns 3.
Sarcini pentru soluția independentă.
- ∠ BDA \u003d 40 ° și ∠ BDC \u003d 30 °. Găsiți unghiul ABD. Dă-ți răspunsul în grade.
- Într-un trapez ABCD se știe că AB=CD, ∠ BDA\u003d 45 ° și ∠ BDC\u003d 23 °. Găsiți colțul ABD... Dă-ți răspunsul în grade.
- În trapezul ABCD, se știe că AB \u003d CD,∠ BDA \u003d 49 ° și ∠ BDC \u003d 31 °. Găsiți unghiul ABD. Dă-ți răspunsul în grade.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 7 și 13, latura este 5. Găsiți înălțimea trapezului.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 11 și 21, latura este 13. Găsiți înălțimea trapezului.
- Bazele trapezului sunt egale cu 10 și 20, latura laterală, egală cu 8, formează un unghi de 150 ° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți zona trapezului.
- Într-un trapez isoscel, una dintre baze este 5, iar cealaltă este 9. Înălțimea trapezului este 6. Găsiți tangenta unghiului acut al trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABCD cu temeiuri Soare și ȘID unghi ÎNANUNȚ Drept, AB=8, Soare=CD\u003d 10. Găsiți linia de mijloc a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABC D cu temeiuri Soare și ȘI D unghi ÎN ANUNȚ Drept, AB = 15 , Soare = CD = 17 ... Găsiți linia de mijloc a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 3 și 5, iar unul dintre colțuri este de 135 °. Găsiți partea mai mică.
Sursa misiunii: Decizia 5346.-13. OGE 2016 Matematică, I.V. Iashchenko. 36 de opțiuni.
Sarcina 11. În trapezul ABCD, se știe că AB \u003d CD, unghiul BDA \u003d 54 ° și unghiul BDC \u003d 33 °. Găsiți unghiul ABD. Dă-ți răspunsul în grade.
Decizie.
Vi se dă un trapez isoscel cu laturile AB \u003d CD. Deoarece unghiurile de la bazele unui astfel de trapez sunt egale, avem acel și. Să găsim valoarea unghiurilor A și D. Din figură se poate observa că unghiul D (și deci unghiul A) este egal cu:
Acum ia în considerare triunghiul ABD, în care sunt cunoscute unghiurile A și BDA și, deoarece suma tuturor unghiurilor din triunghi este de 180 de grade, găsim al treilea unghi ABD:
Răspuns: 39.
Sarcina 12. Trei puncte sunt marcate pe hârtia cu carouri 1x1: A, B și C. Găsiți distanța de la punctul A la linia BC.
Decizie.
Distanța de la punctul A la linia BC este valoarea normală scăzută de la punctul A la partea BC (linia roșie din figură). Lungimea acestui normal este de 3 celule, adică 3 unități.
Răspuns: 3.
Sarcina 13. Care dintre următoarele afirmații sunt corecte?
1) Aria unui triunghi este mai mică decât produsul celor două laturi ale sale.
2) Unghiul înscris în cerc este egal cu unghiul central corespunzător așezat pe același arc.
3) Printr-un punct care nu se află pe o linie dată, puteți trasa o linie perpendiculară pe această linie.
Decizie.
1) Corect. Aria unui triunghi este egală cu produsul înălțimii și jumătății bazei triunghiului și toate aceste valori sunt mai mici decât lungimile oricăruia dintre cele două laturi ale acestuia.
