Apsolutne i relativne pogreške koriste se za procjenu netočnosti u vrlo složenim izračunima. Također se koriste u raznim mjerenjima i za zaokruživanje rezultata izračuna. Pogledajmo kako odrediti apsolutnu i relativnu pogrešku.

Apsolutna pogreška

Apsolutna greška broja nazovite razliku između ovog broja i njegove točne vrijednosti.
Pogledajmo primjer : Školu pohađa 374 učenika. Ako ovaj broj zaokružimo na 400, tada je apsolutna greška mjerenja 400-374=26.

Da biste izračunali apsolutnu pogrešku, trebate oduzeti manji broj od većeg broja.

Postoji formula za apsolutnu pogrešku. Označimo točan broj slovom A, a slovom a - aproksimaciju točnom broju. Približan broj je broj koji se malo razlikuje od točnog i obično ga zamjenjuje u izračunima. Tada će formula izgledati ovako:

Δa=A-a. Gore smo raspravljali o tome kako pronaći apsolutnu pogrešku pomoću formule.

U praksi, apsolutna pogreška nije dovoljna za točnu procjenu mjerenja. Rijetko je moguće znati točnu vrijednost izmjerene veličine kako bi se izračunala apsolutna pogreška. Mjereći knjigu duljine 20 cm i dopuštajući pogrešku od 1 cm, može se smatrati da je mjerenje s velikom pogreškom. Ali ako je prilikom mjerenja zida od 20 metara napravljena pogreška od 1 cm, ovo se mjerenje može smatrati što točnijim. Stoga je u praksi važnije određivanje relativne pogreške mjerenja.

Zabilježite apsolutnu pogrešku broja koristeći znak ±. Na primjer , duljina role tapeta je 30 m ± 3 cm.Granica apsolutne pogreške naziva se najveća apsolutna pogreška.

Relativna greška

Relativna greška Nazivaju omjerom apsolutne pogreške broja i samog broja. Za izračunavanje relativne pogreške u primjeru s učenicima podijelimo 26 s 374. Dobijemo broj 0,0695, pretvorimo ga u postotak i dobijemo 6%. Relativna greška je označena kao postotak jer je bezdimenzionalna veličina. Relativna pogreška je točna procjena pogreške mjerenja. Ako uzmemo apsolutnu pogrešku od 1 cm pri mjerenju duljine segmenata od 10 cm i 10 m, tada će relativne pogreške biti jednake 10% odnosno 0,1%. Za segment duljine 10 cm, pogreška od 1 cm je vrlo velika, to je pogreška od 10%. Ali za segment od deset metara, 1 cm nije bitan, samo 0,1%.

Postoje sustavne i slučajne pogreške. Sustavna je pogreška koja ostaje nepromijenjena tijekom ponovljenih mjerenja. Slučajna pogreška nastaje kao rezultat utjecaja vanjskih čimbenika na proces mjerenja i može promijeniti svoju vrijednost.

Pravila za izračunavanje pogrešaka

Postoji nekoliko pravila za nominalnu procjenu pogrešaka:

• pri zbrajanju i oduzimanju brojeva potrebno je zbrajati njihove apsolutne pogreške;
• pri dijeljenju i množenju brojeva potrebno je zbrajati relativne pogreške;
• Kada se podigne na potenciju, relativna pogreška se množi s eksponentom.

Približni i točni brojevi zapisani su decimalnim razlomcima. Uzima se samo prosječna vrijednost, budući da točna vrijednost može biti beskonačno duga. Da biste razumjeli kako napisati ove brojeve, morate naučiti o pravim i sumnjivim brojevima.

Pravi brojevi su oni brojevi čiji rang premašuje apsolutnu grešku broja. Ako je znamenka brojke manja od apsolutne pogreške, naziva se dvojbenom. Na primjer , za razlomak 3,6714 s pogreškom od 0,002 točni brojevi bit će 3,6,7, a sumnjivi 1 i 4. U zapisu približnog broja ostavljeni su samo točni brojevi. Razlomak će u ovom slučaju izgledati ovako - 3,67.

Što smo naučili?

Za ocjenu točnosti mjerenja koriste se apsolutne i relativne pogreške. Apsolutna pogreška je razlika između točnog i približnog broja. Relativna pogreška je omjer apsolutne pogreške broja i samog broja. U praksi se koristi relativna pogreška jer je točnija.

Sustavne greške. Sustavne pogreške prirodno mijenjaju vrijednosti mjerene veličine. Pogreške koje instrumenti unose u mjerenja najlakše se procjenjuju ako su povezane s konstrukcijskim značajkama samih instrumenata. Ove pogreške su naznačene u putovnicama za uređaje. Pogreške nekih uređaja mogu se procijeniti bez upućivanja na podatkovnu tablicu. Za mnoge električne mjerne instrumente klasa točnosti naznačena je izravno na ljestvici.

Klasa točnosti instrumenta- ovo je omjer apsolutne pogreške uređaja i maksimalne vrijednosti mjerene veličine, koja se može odrediti pomoću ovog uređaja (ovo je sustavna relativna pogreška ovog uređaja, izražena kao postotak vrijednosti ljestvice).

Tada je apsolutna pogreška takvog uređaja određena relacijom:

.

Za električne mjerne instrumente uvedeno je 8 razreda točnosti: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2.0; 2,5; 4.

Što je izmjerena vrijednost bliža nominalnoj vrijednosti, rezultat mjerenja će biti točniji. Najveća točnost (tj. najmanja relativna pogreška) koju određeni uređaj može pružiti jednaka je klasi točnosti. Ova se okolnost mora uzeti u obzir pri korištenju instrumenata s više skala. Ljestvica mora biti odabrana tako da izmjerena vrijednost, ostajući unutar skale, bude što bliža nazivnoj vrijednosti.

Ako klasa točnosti uređaja nije navedena, potrebno je pridržavati se sljedećih pravila:

· Apsolutna pogreška instrumenata s nonijusom jednaka je točnosti nonijusa.

· Apsolutna pogreška instrumenata s fiksnim korakom strelice jednaka je vrijednosti podjele.

· Apsolutna pogreška digitalnih uređaja jednaka je jednoj minimalnoj znamenki.

· Za sve ostale instrumente, apsolutna pogreška se pretpostavlja da je jednaka polovici vrijednosti podjele.

Slučajne pogreške. Te su pogreške statističke prirode i opisuju se teorijom vjerojatnosti. Utvrđeno je da se kod vrlo velikog broja mjerenja vjerojatnost dobivanja jednog ili drugog rezultata u svakom pojedinačnom mjerenju može odrediti korištenjem Gaussove normalne distribucije. S malim brojem mjerenja, matematički opis vjerojatnosti dobivanja jednog ili drugog rezultata mjerenja naziva se Studentova distribucija (više o tome možete pročitati u priručniku I.L. Skvortsove "Pogreške mjerenja u fizičkim veličinama").

Kako procijeniti pravu vrijednost izmjerene veličine?

Pretpostavimo da smo prilikom mjerenja određene vrijednosti dobili N rezultata: . Aritmetička sredina niza mjerenja bliža je stvarnoj vrijednosti izmjerene veličine nego većina pojedinačnih mjerenja. Za dobivanje rezultata mjerenja određene vrijednosti koristi se sljedeći algoritam.

1). Proračunato prosjek niz od N izravnih mjerenja:

2). Proračunato apsolutna slučajna greška svakog mjerenja je razlika između aritmetičke sredine niza od N izravnih mjerenja i ovog mjerenja:

.

3). Proračunato srednja kvadratna apsolutna greška:

.

4). Proračunato apsolutna slučajna greška. S malim brojem mjerenja, apsolutna slučajna pogreška može se izračunati preko srednje kvadratne pogreške i određenog koeficijenta koji se naziva Studentov koeficijent:

,

Studentov koeficijent ovisi o broju mjerenja N i koeficijentu pouzdanosti (u tablici 1. prikazana je ovisnost Studentovog koeficijenta o broju mjerenja pri fiksnoj vrijednosti koeficijenta pouzdanosti).

Faktor pouzdanosti je vjerojatnost s kojom stvarna vrijednost izmjerene vrijednosti pada unutar intervala pouzdanosti.

Interval pouzdanosti je numerički interval u koji s određenom vjerojatnošću pada prava vrijednost mjerene veličine.

Stoga je Studentov koeficijent broj s kojim se mora pomnožiti srednja kvadratna pogreška kako bi se osigurala navedena pouzdanost rezultata za određeni broj mjerenja.

Što je veća pouzdanost potrebna za određeni broj mjerenja, veći je Studentov koeficijent. S druge strane, što je veći broj mjerenja, niži je Studentov koeficijent za određenu pouzdanost. U laboratorijskom radu naše radionice pretpostavit ćemo da je pouzdanost zadana i jednaka 0,9. Brojčane vrijednosti Studentovih koeficijenata za ovu pouzdanost za različite brojeve mjerenja dane su u tablici 1.

stol 1

5).Izračunati ukupna apsolutna greška. U svakom mjerenju postoje i slučajne i sustavne pogreške. Izračunavanje ukupne (ukupne) apsolutne pogreške mjerenja nije lak zadatak, budući da su te pogreške različite prirode.

Za inženjerska mjerenja ima smisla zbrojiti sustavne i slučajne apsolutne pogreške

.

Radi jednostavnosti izračuna, uobičajeno je procijeniti ukupnu apsolutnu pogrešku kao zbroj apsolutnih slučajnih i apsolutnih sustavnih (instrumentalnih) pogrešaka, ako su pogreške istog reda veličine, te zanemariti jednu od pogrešaka ako je više od reda veličine (10 puta) manji od drugog.

6). Greška i rezultat su zaokruženi. Budući da se rezultat mjerenja prikazuje kao interval vrijednosti čija je vrijednost određena ukupnom apsolutnom pogreškom, važno je pravilno zaokruživanje rezultata i pogreške.

Zaokruživanje počinje apsolutnom greškom!!! Broj značajnih znamenki koji ostaje u vrijednosti pogreške, općenito govoreći, ovisi o koeficijentu pouzdanosti i broju mjerenja. Međutim, čak i za vrlo precizna mjerenja (na primjer, astronomska), u kojima je važna točna vrijednost pogreške, ne ostavljajte više od dvije značajne brojke. Veći broj brojeva nema smisla, jer i sama definicija greške ima svoju grešku. Naša ordinacija ima relativno mali koeficijent pouzdanosti i mali broj mjerenja. Stoga se pri zaokruživanju (s viškom) ukupna apsolutna pogreška ostavlja na jednu značajnu brojku.

Znamenka značajne znamenke apsolutne pogreške određuje znamenku prve sumnjive znamenke u vrijednosti rezultata. Slijedom toga, vrijednost samog rezultata mora biti zaokružena (uz korekciju) na onu značajnu znamenku čija se znamenka podudara sa znamenkom značajne znamenke pogreške. Formulirano pravilo treba primijeniti iu slučajevima kada su neki od brojeva nule.

Ako je rezultat dobiven mjerenjem tjelesne težine tada je potrebno na kraju broja 0,900 upisati nule. Snimka bi značila da se o sljedećim značajnim brojkama ništa ne zna, dok su mjerenja pokazala da su nula.

7). Proračunato relativna pogreška .

Kod zaokruživanja relativne pogreške dovoljno je ostaviti dvije značajne brojke.

rezultat niza mjerenja određene fizikalne veličine prikazuje se u obliku intervala vrijednosti, s naznakom vjerojatnosti da stvarna vrijednost padne u taj interval, odnosno rezultat se mora napisati u obliku:

Ovdje je ukupna apsolutna pogreška, zaokružena na prvu značajnu znamenku, te je prosječna vrijednost izmjerene vrijednosti, zaokružena uzimajući u obzir već zaokruženu pogrešku. Prilikom bilježenja rezultata mjerenja morate navesti mjernu jedinicu vrijednosti.

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Pretpostavimo da smo pri mjerenju duljine isječka dobili sljedeći rezultat: cm i cm.Kako pravilno zapisati rezultat mjerenja duljine isječka? Najprije zaokružujemo apsolutnu pogrešku s viškom, ostavljajući jednu značajnu znamenku, vidi Značajna znamenka pogreške na mjestu stotinki. Zatim korigiranu prosječnu vrijednost zaokružujemo na najbližu stotinku, tj. do signifikantne znamenke čija se znamenka poklapa sa znamenkom značajne znamenke greške pogledajte Izračunajte relativnu pogrešku

Pogreške u mjerenju fizikalnih veličina

1. Uvod (mjerenje i pogreška mjerenja)

2.Slučajne i sustavne pogreške

3. Apsolutne i relativne pogreške

4. Greške mjernih instrumenata

5. Razred točnosti električnih mjernih instrumenata

6. Greška u čitanju

7. Ukupna apsolutna pogreška izravnih mjerenja

8. Zapisivanje konačnog rezultata izravnog mjerenja

9. Pogreške neizravnih mjerenja

10.Primjer

1. Uvod (mjerenje i pogreška mjerenja)

Fizika kao znanost rođena je prije više od 300 godina, kada je Galileo u biti stvorio znanstveno proučavanje fizikalnih fenomena: fizikalni zakoni su uspostavljeni i testirani eksperimentalno prikupljanjem i usporedbom eksperimentalnih podataka, predstavljenih skupom brojeva, zakoni su formulirani u jeziku matematike, tj. pomoću formula koje povezuju brojčane vrijednosti fizikalnih veličina funkcionalnom ovisnošću. Dakle, fizika je eksperimentalna znanost, fizika je kvantitativna znanost.

Upoznajmo se s nekim karakterističnim značajkama bilo kojeg mjerenja.

Mjerenje je pronalaženje brojčane vrijednosti fizikalne veličine eksperimentalnim putem pomoću mjernih instrumenata (ravnalo, voltmetar, sat i sl.).

Mjerenja mogu biti izravna i neizravna.

Izravno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizikalne veličine izravno pomoću mjerenja. Na primjer, duljina - s ravnalom, atmosferski tlak - s barometrom.

Neizravno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizikalne veličine pomoću formule koja povezuje željenu veličinu s drugim veličinama određenim izravnim mjerenjima. Na primjer, otpor vodiča određuje se formulom R=U/I, gdje se U i I mjere električnim mjernim instrumentima.

Pogledajmo primjer mjerenja.

Izmjerite duljinu šipke ravnalom (vrijednost podjele je 1 mm). Možemo samo reći da je duljina šipke između 22 i 23 mm. Širina intervala "nepoznato" je 1 mm, odnosno jednaka je cijeni podjele. Zamjena ravnala s osjetljivijim uređajem, kao što je pomično mjerilo, smanjit će ovaj interval, što će dovesti do povećanja točnosti mjerenja. U našem primjeru, točnost mjerenja ne prelazi 1 mm.

Stoga se mjerenja nikada ne mogu izvršiti apsolutno točno. Rezultat svakog mjerenja je približan. Mjernu nesigurnost karakterizira pogreška – odstupanje izmjerene vrijednosti fizikalne veličine od njezine prave vrijednosti.

Nabrojimo neke od razloga koji dovode do pogrešaka.

1. Ograničena točnost proizvodnje mjernih instrumenata.

2. Utjecaj na mjerenje vanjskih uvjeta (promjene temperature, kolebanja napona...).

3. Radnje eksperimentatora (kašnjenje pokretanja štoperice, različiti položaji očiju...).

4. Približna priroda zakona koji se koriste za pronalaženje izmjerenih veličina.

Navedeni uzroci grešaka ne mogu se otkloniti, ali se mogu minimizirati. Da bi se utvrdila pouzdanost zaključaka dobivenih kao rezultat znanstvenog istraživanja, postoje metode za procjenu tih pogrešaka.

2. Slučajne i sustavne pogreške

Pogreške koje nastaju tijekom mjerenja dijele se na sustavne i slučajne.

Sustavne pogreške su pogreške koje odgovaraju odstupanju izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti fizikalne veličine, uvijek u jednom smjeru (povećanje ili smanjenje). Kod ponovljenih mjerenja pogreška ostaje ista.

Razlozi sustavnih grešaka:

1) neusklađenost mjerila sa standardom;

2) neispravna ugradnja mjernih instrumenata (nagib, neravnoteža);

3) odstupanje između početnih pokazatelja instrumenata i nule i ignoriranje korekcija koje proizlaze iz toga;

4) neslaganje između mjerenog objekta i pretpostavke o njegovim svojstvima (prisutnost šupljina i sl.).

Slučajne pogreške su pogreške koje mijenjaju svoju brojčanu vrijednost na nepredvidiv način. Takve pogreške uzrokovane su velikim brojem nekontroliranih razloga koji utječu na proces mjerenja (neravnine na površini objekta, puhanje vjetra, udari struje i sl.). Utjecaj slučajnih pogrešaka može se smanjiti ponavljanjem pokusa više puta.

3. Apsolutne i relativne pogreške

Za kvantificiranje kvalitete mjerenja uvode se pojmovi apsolutne i relativne pogreške mjerenja.

Kao što je već spomenuto, svako mjerenje daje samo približnu vrijednost fizičke veličine, ali možete odrediti interval koji sadrži njezinu pravu vrijednost:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Cijenjena A naziva se apsolutna pogreška pri mjerenju veličine A. Apsolutna pogreška se izražava u jedinicama veličine koja se mjeri. Apsolutna pogreška jednaka je modulu najvećeg mogućeg odstupanja vrijednosti fizikalne veličine od izmjerene vrijednosti. A pr je vrijednost fizikalne veličine dobivena eksperimentalno; ako se mjerenje provodi više puta, onda aritmetička sredina tih mjerenja.

Ali za procjenu kvalitete mjerenja potrebno je odrediti relativnu pogrešku e. e = D A/A pr ili e= (D A/A pr)*100%.

Ako se tijekom mjerenja dobije relativna pogreška veća od 10%, tada kažu da je napravljena samo procjena izmjerene vrijednosti. U laboratorijima fizikalnih radionica preporuča se mjerenje provoditi s relativnom greškom do 10%. U znanstvenim se laboratorijima neka precizna mjerenja (primjerice određivanje valne duljine svjetlosti) izvode s točnošću od milijuntinki postotka.

4. Greške mjernih instrumenata

Ove se pogreške nazivaju i instrumentalne ili instrumentalne. Određeni su dizajnom mjernog uređaja, točnošću njegove izrade i umjeravanjem. Obično su zadovoljni dopuštenim instrumentalnim pogreškama koje navodi proizvođač u putovnici za ovaj uređaj. Ove dopuštene pogreške regulirane su GOST-ovima. To se također odnosi i na standarde. Obično se označava apsolutna instrumentalna pogreška D i A.

Ako nema informacija o dopuštenoj pogrešci (na primjer, s ravnalom), tada se kao pogreška može uzeti polovica vrijednosti dijeljenja.

Kod vaganja apsolutnu instrumentalnu grešku čine instrumentalne pogreške vage i utega. Tablica prikazuje najčešće dopuštene pogreške

mjerni instrumenti koji se susreću u školskim pokusima.

Mjerenje	Granica mjerenja	Vrijednost podjele	Dopuštena pogreška
studentski vladar
demonstracijsko ravnalo
traka za mjerenje
menzura
težine 10,20, 50 mg
težine 100.200 mg
težine 500 mg
čeljusti
mikrometar
dinamometar
ljestvice treninga
Štoperica			1 s u 30 min
aneroidni barometar	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
laboratorijski termometar	0-100 stupnjeva C
školski ampermetar
školski voltmetar

5. Razred točnosti električnih mjernih instrumenata

Električni mjerni instrumenti kazaljke, na temelju dopuštenih vrijednosti pogreške, dijele se u razrede točnosti, koji se na skali instrumenta označavaju brojevima 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Klasa točnosti g pr Uređaj pokazuje koliki je postotak apsolutne pogreške od cijele ljestvice uređaja.

g pr = (D i A/A max)*100% .

Na primjer, apsolutna instrumentalna pogreška uređaja klase 2.5 iznosi 2,5% njegove ljestvice.

Ako je poznata klasa točnosti uređaja i njegova ljestvica, tada se može odrediti apsolutna instrumentalna pogreška mjerenja

D i A = (g pr * A max)/100.

Za povećanje točnosti mjerenja električnim mjernim instrumentom sa kazaljkom potrebno je odabrati uređaj s takvom ljestvicom da se tijekom procesa mjerenja nalazi u drugoj polovici ljestvice instrumenta.

6. Greška u čitanju

Pogreška očitanja nastaje zbog nedovoljno točnih očitanja mjernih instrumenata.

U većini slučajeva, apsolutna pogreška očitanja uzima se jednakom polovici vrijednosti dijeljenja. Izuzeci su kod mjerenja satom (kazaljke se trzavo pomiču).

Obično se označava apsolutna pogreška očitanja D oA

7. Ukupna apsolutna pogreška izravnih mjerenja

Prilikom izvođenja izravnih mjerenja fizikalne veličine A moraju se procijeniti sljedeće pogreške: D i A, D oA i D sA (nasumično). Naravno, treba isključiti druge izvore grešaka povezanih s neispravnom ugradnjom instrumenata, neusklađenošću početne pozicije strelice instrumenta s 0, itd.

Ukupna apsolutna pogreška izravnog mjerenja mora uključivati ​​sve tri vrste pogrešaka.

Ako je slučajna pogreška mala u odnosu na najmanju vrijednost koju dani mjerni instrument može izmjeriti (u odnosu na vrijednost podjele), tada se može zanemariti i tada je za određivanje vrijednosti fizikalne veličine dovoljno jedno mjerenje. Inače, teorija vjerojatnosti preporuča pronalaženje rezultata mjerenja kao aritmetičke sredine rezultata cijelog niza višestrukih mjerenja, te izračunavanje pogreške rezultata metodom matematičke statistike. Poznavanje ovih metoda nadilazi školski program.

8. Zapisivanje konačnog rezultata izravnog mjerenja

Konačni rezultat mjerenja fizikalne veličine A treba napisati u ovom obliku;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.

A pr je vrijednost fizikalne veličine dobivena eksperimentalno; ako se mjerenje provodi više puta, onda aritmetička sredina tih mjerenja. D A je ukupna apsolutna pogreška izravnog mjerenja.

Apsolutna greška obično se izražava jednom značajnom brojkom.

Primjer: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Pogreške neizravnih mjerenja

Pri obradi rezultata neizravnih mjerenja fizikalne veličine koja je funkcionalno povezana s fizikalnim veličinama A, B i C, koje se mjere izravno, najprije se utvrđuje relativna pogreška neizravnog mjerenja. e=D X/X pr, koristeći formule dane u tablici (bez dokaza).

Apsolutna pogreška određena je formulom D X=X pr *e,

gdje e izražen kao decimalni razlomak, a ne kao postotak.

Konačni rezultat se bilježi na isti način kao i kod izravnih mjerenja.

Vrsta funkcije	Formula
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Primjer: Izračunajmo pogrešku mjerenja koeficijenta trenja pomoću dinamometra. Pokus se sastoji od ravnomjernog povlačenja bloka preko vodoravne površine i mjerenja primijenjene sile: ona je jednaka sili trenja klizanja.

Pomoću dinamometra izvažite blok s utezima: 1,8 N. F tr =0,6 N

μ = 0,33 Instrumentalna pogreška dinamometra (nalazimo je iz tablice) je Δ i = 0,05 N Pogreška očitanja (polovica vrijednosti podjeljka)

Δ o =0,05 N. Apsolutna pogreška mjerenja težine i sile trenja je 0,1 N.

Relativna pogreška mjerenja (5. red u tablici)

, stoga je apsolutna pogreška neizravnog mjerenja μ 0,22*0,33=0,074

Apsolutna i relativna greška

Elementi teorije pogrešaka

Točne i približne brojke

Točnost broja obično nije upitna kada se radi o cijelim podacima (2 olovke, 100 stabala). Međutim, u većini slučajeva, kada je nemoguće naznačiti točnu vrijednost broja (npr. kod mjerenja predmeta ravnalom, uzimanja rezultata s uređaja i sl.), radi se o približnim podacima.

Približna vrijednost je broj koji se malo razlikuje od točne vrijednosti i zamjenjuje je u izračunima. Stupanj u kojem se približna vrijednost broja razlikuje od njegove točne vrijednosti karakterizira greška .

Razlikuju se sljedeći glavni izvori pogreške:

1. Pogreške u formuliranju problema, koji nastaje kao rezultat približnog opisa stvarnog fenomena u smislu matematike.

2. Greške metode, povezan s teškoćom ili nemogućnošću rješavanja zadanog problema i zamjene sličnim, tako da je moguće primijeniti poznatu i pristupačnu metodu rješavanja i dobiti rezultat blizak željenom.

3. Fatalne pogreške, povezan s približnim vrijednostima izvornih podataka i zbog izvedbe izračuna na približnim brojevima.

4. Greške zaokruživanja povezan sa zaokruživanjem vrijednosti početnih podataka, međurezultata i konačnih rezultata dobivenih pomoću računalnih alata.

Apsolutna i relativna greška

Uzimanje u obzir pogrešaka važan je aspekt primjene numeričkih metoda, budući da je pogreška u konačnom rezultatu rješenja cjelokupnog problema produkt interakcije svih vrsta pogrešaka. Stoga je jedan od glavnih zadataka teorije pogrešaka procijeniti točnost rezultata na temelju točnosti izvornih podataka.

Ako je točan broj i njegova je približna vrijednost, tada je pogreška (greška) približne vrijednosti stupanj blizine njegove vrijednosti njegovoj točnoj vrijednosti.

Najjednostavnija kvantitativna mjera pogreške je apsolutna pogreška, koja se definira kao

(1.1.2-1)

Kao što se može vidjeti iz formule 1.1.2-1, apsolutna pogreška ima iste mjerne jedinice kao i vrijednost. Stoga nije uvijek moguće izvući točan zaključak o kvaliteti aproksimacije na temelju veličine apsolutne pogreške. Na primjer, ako , a govorimo o strojnom dijelu, onda su mjere vrlo grube, a ako govorimo o veličini posude, onda su vrlo točne. S tim u vezi, uveden je koncept relativne pogreške, u kojem je vrijednost apsolutne pogreške povezana s modulom približne vrijednosti ( ).

(1.1.2-2)

Korištenje relativnih pogrešaka posebno je zgodno jer ne ovise o mjerilu veličina i jedinicama mjerenja podataka. Relativna greška se mjeri u razlomcima ili postocima. Tako npr. ako

,A , To , i ako I ,

pa onda .

Da biste numerički procijenili pogrešku funkcije, morate znati osnovna pravila za izračunavanje pogreške radnji:

· pri zbrajanju i oduzimanju brojeva zbrajaju se apsolutne pogreške brojeva

· pri množenju i dijeljenju brojeva njihove relativne greške se međusobno zbrajaju

· pri dizanju približnog broja na potenciju njegova relativna greška se množi s eksponentom

Primjer 1.1.2-1. Dana funkcija: . Odredite apsolutnu i relativnu pogrešku vrijednosti (pogrešku rezultata izvođenja aritmetičkih operacija), ako su vrijednosti su poznati, a 1 je točan broj i njegova greška je nula.

Nakon što smo tako odredili vrijednost relativne pogreške, možemo pronaći vrijednost apsolutne pogreške kao , gdje se vrijednost izračunava pomoću formule za približne vrijednosti

Budući da je točna vrijednost količine obično nepoznata, izračun I prema gornjim formulama nemoguće je. Stoga se u praksi maksimalne pogreške obrasca procjenjuju:

(1.1.2-3)

Gdje I - poznate veličine koje su gornje granice apsolutne i relativne pogreške, inače se nazivaju - najveća apsolutna i najveća relativna pogreška. Dakle, točna vrijednost leži unutar:

Ako vrijednost poznato, dakle , a ako je količina poznata , To

Neka neka slučajna varijabla a izmjereno n puta pod istim uvjetima. Rezultati mjerenja dali su set n različite brojeve

Apsolutna pogreška- dimenzionalna vrijednost. Među n Apsolutne vrijednosti pogreške su nužno i pozitivne i negativne.

Za najvjerojatnije vrijednosti količine A obično se uzima prosjek vrijednost rezultata mjerenja

.

Što je veći broj mjerenja, to je prosječna vrijednost bliža stvarnoj vrijednosti.

Apsolutna pogreškaja

.

Relativna greškaja-to mjerenje naziva se količina

Relativna greška je bezdimenzijska veličina. Za to se obično relativna pogreška izražava u postocima e i pomnožite sa 100%. Veličina relativne pogreške karakterizira točnost mjerenja.

Prosječna apsolutna greška definira se ovako:

.

Naglašavamo potrebu zbrajanja apsolutnih vrijednosti (modula) veličina D i ja U suprotnom, rezultat će biti identična nula.

Prosječna relativna pogreška naziva se količina

.

Za veliki broj mjerenja.

Relativna pogreška može se smatrati vrijednošću pogreške po jedinici izmjerene vrijednosti.

Točnost mjerenja procjenjuje se usporedbom pogrešaka rezultata mjerenja. Stoga se pogreške mjerenja izražavaju u takvom obliku da je za procjenu točnosti dovoljno usporediti samo pogreške rezultata, bez usporedbe veličina mjernih predmeta ili vrlo približnog poznavanja tih veličina. Iz prakse je poznato da apsolutna pogreška pri mjerenju kuta ne ovisi o vrijednosti kuta, a apsolutna pogreška pri mjerenju duljine ovisi o vrijednosti duljine. Što je duljina veća, to je veća apsolutna pogreška za danu metodu i uvjete mjerenja. Prema tome, apsolutna pogreška rezultata može se koristiti za procjenu točnosti mjerenja kuta, ali se ne može prosuditi točnost mjerenja duljine. Izražavanje pogreške u relativnom obliku omogućuje usporedbu točnosti kutnih i linearnih mjerenja u poznatim slučajevima.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Slučajna pogreška.

Slučajna pogreška naziva se komponenta pogreške mjerenja koja se nasumično mijenja tijekom ponovljenih mjerenja iste veličine.

Kada se opetovana mjerenja iste konstantne, nepromjenjive veličine provode s istom pažnjom i pod istim uvjetima, dobivamo rezultate mjerenja - neki se međusobno razlikuju, a neki podudaraju. Takva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisutnost komponenti slučajne pogreške u njima.

Slučajna pogreška proizlazi iz istovremenog utjecaja više izvora, od kojih svaki za sebe ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni utjecaj svih izvora može biti prilično jak.

Slučajne pogreške su neizbježna posljedica bilo kojeg mjerenja i uzrokuju ih:

a) netočnost očitanja na ljestvici instrumenata i instrumenata;

b) neidentičnost uvjeta za ponovljena mjerenja;

c) slučajne promjene vanjskih uvjeta (temperatura, tlak, polje sila itd.), koje se ne mogu kontrolirati;

d) svi drugi utjecaji na mjerenja, čiji su nam uzroci nepoznati. Veličina slučajne pogreške može se minimizirati ponavljanjem eksperimenta mnogo puta i odgovarajućom matematičkom obradom dobivenih rezultata.

Slučajna pogreška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje je nemoguće predvidjeti za određeno mjerenje. Ova greška može biti jednako pozitivna ili negativna. U eksperimentu su uvijek prisutne slučajne pogreške. U nedostatku sustavnih pogrešaka, one uzrokuju raspršenost ponovljenih mjerenja u odnosu na pravu vrijednost.

Pretpostavimo da se period titranja njihala mjeri štopericom i da se mjerenje ponavlja mnogo puta. Pogreške u pokretanju i zaustavljanju štoperice, pogreška u očitanoj vrijednosti, mala neravnomjernost u kretanju njihala - sve to uzrokuje raspršivanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne pogreške.

Ako nema drugih pogrešaka, tada će neki rezultati biti donekle precijenjeni, dok će drugi biti donekle podcijenjeni. Ali ako uz to još i sat zaostane, onda će svi rezultati biti podcijenjeni. To je već sustavna greška.

Neki čimbenici mogu uzrokovati i sustavne i slučajne pogreške u isto vrijeme. Dakle, uključivanjem i isključivanjem štoperice, možemo stvoriti malu nepravilnu razliku u vremenima početka i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje njihala i time unijeti slučajnu pogrešku. Ali ako, osim toga, svaki put žurimo uključiti štopericu i malo kasnimo da je isključimo, tada će to dovesti do sustavne pogreške.

Slučajne pogreške uzrokovane su pogreškom paralakse pri brojanju podjeljaka instrumenta, podrhtavanjem temelja zgrade, utjecajem laganog kretanja zraka itd.

Iako je nemoguće eliminirati slučajne pogreške u pojedinačnim mjerenjima, matematička teorija slučajnih pojava omogućuje smanjenje utjecaja tih pogrešaka na konačni rezultat mjerenja. U nastavku će se pokazati da je za to potrebno napraviti ne jedno, već više mjerenja, a što je manja vrijednost pogreške koju želimo dobiti, potrebno je napraviti više mjerenja.

Zbog činjenice da je pojava slučajnih pogrešaka neizbježna i neizbježna, glavni zadatak svakog mjernog procesa je svesti pogreške na najmanju moguću mjeru.

Teorija pogrešaka temelji se na dvije glavne pretpostavke, potvrđene iskustvom:

1. Kod velikog broja mjerenja često se javljaju slučajne pogreške iste veličine, ali različitih predznaka, odnosno pogreške u smjeru povećanja i smanjenja rezultata.

2. Pogreške koje su velike u apsolutnoj vrijednosti rjeđe su od malih, stoga se vjerojatnost pojave pogreške smanjuje kako se njezina veličina povećava.

Ponašanje slučajnih varijabli opisuje se statističkim obrascima, koji su predmet teorije vjerojatnosti. Statistička definicija vjerojatnosti w i događanja ja je odnos

Gdje n- ukupan broj eksperimenata, n i- broj eksperimenata u kojima je događaj ja dogodilo se. U tom slučaju, ukupan broj eksperimenata trebao bi biti vrlo velik ( n®¥). Kod velikog broja mjerenja, slučajne pogreške podliježu normalnoj distribuciji (Gaussova distribucija), čije su glavne značajke sljedeće:

1. Što je veće odstupanje izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti, manja je vjerojatnost za takav rezultat.

2. Odstupanja u oba smjera od prave vrijednosti jednako su vjerojatna.

Iz navedenih pretpostavki proizlazi da je za smanjenje utjecaja slučajnih pogrešaka potrebno izmjeriti ovu vrijednost nekoliko puta. Pretpostavimo da mjerimo neku količinu x. Neka se proizvodi n mjerenja: x 1, x 2, ... x n- koristeći istu metodu i s istom pažnjom. Može se očekivati ​​da broj dn dobiveni rezultati, koji leže u nekom prilično uskom intervalu od x prije x + dx, mora biti proporcionalan:

Veličina uzetog intervala dx;

Ukupan broj mjerenja n.

Vjerojatnost dw(x) da neka vrijednost x leži u rasponu od x prije x + dx, je definiran na sljedeći način :

(sa brojem mjerenja n ®¥).

Funkcija f(x) naziva se funkcija distribucije ili gustoća vjerojatnosti.

Kao postulat teorije pogrešaka prihvaćeno je da se rezultati izravnih mjerenja i njihove slučajne pogreške, kada ih je mnogo, pokoravaju zakonu normalne raspodjele.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koju je pronašao Gauss x ima sljedeći oblik:

, gdje mis - parametri distribucije .

Parametar m normalne distribucije jednak je srednjoj vrijednosti b x– slučajna varijabla, koja je za proizvoljno poznatu funkciju raspodjele određena integralom

.

Tako, vrijednost m je najvjerojatnija vrijednost mjerene veličine x, tj. njezina najbolja procjena.

Parametar s 2 normalne distribucije jednak je varijanci D slučajne varijable, koja je u općem slučaju određena sljedećim integralom

.

Kvadratni korijen varijance naziva se standardna devijacija slučajne varijable.

Prosječno odstupanje (pogreška) slučajne varijable ásñ određuje se pomoću funkcije distribucije kako slijedi

Prosječna pogreška mjerenja ásñ, izračunata iz Gaussove funkcije distribucije, povezana je s vrijednošću standardne devijacije s na sljedeći način:

< s > = 0,8 s.

Parametri s i m međusobno su povezani na sljedeći način:

.

Ovaj izraz vam omogućuje da pronađete standardnu ​​devijaciju s ako postoji krivulja normalne distribucije.

Na slikama je prikazan graf Gaussove funkcije. Funkcija f(x) je simetrična u odnosu na ordinatu povučenu u točki x = m; prolazi kroz maksimum u točki x = m i ima infleksiju u točkama m ±s. Dakle, varijanca karakterizira širinu funkcije distribucije ili pokazuje koliko su vrijednosti slučajne varijable raspršene u odnosu na njezinu pravu vrijednost. Što su mjerenja točnija, to su rezultati pojedinih mjerenja bliži stvarnoj vrijednosti, tj. vrijednost s je manja. Slika A prikazuje funkciju f(x) za tri vrijednosti s .

Područje figure okruženo krivuljom f(x) i okomite crte povučene iz točaka x 1 i x 2 (Slika B) , brojčano jednaka vjerojatnosti da rezultat mjerenja padne u interval D x = x 1 -x 2, koja se naziva vjerojatnost povjerenja. Područje ispod cijele krivulje f(x) jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval od 0 do ¥, tj.

,

budući da je vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka jedinici.

Koristeći normalnu distribuciju, teorija pogrešaka postavlja i rješava dva glavna problema. Prvi je procjena točnosti obavljenih mjerenja. Drugi je procjena točnosti aritmetičke sredine rezultata mjerenja.5. Interval pouzdanosti. Koeficijent učenika.

Teorija vjerojatnosti omogućuje nam da odredimo veličinu intervala u kojem, uz poznatu vjerojatnost w nalaze se rezultati pojedinih mjerenja. Ova vjerojatnost se zove povjerenje vjerojatnost, i odgovarajući interval (<x>±D x)w nazvao interval pouzdanosti. Vjerojatnost pouzdanosti također je jednaka relativnom udjelu rezultata koji spadaju unutar intervala pouzdanosti.

Ako je broj mjerenja n je dovoljno velika, tada vjerojatnost pouzdanja izražava udio ukupnog broja n ona mjerenja u kojima je izmjerena vrijednost bila unutar intervala pouzdanosti. Svaka vjerojatnost povjerenja w odgovara njegovom intervalu pouzdanosti.w 2 80%. Što je širi interval pouzdanosti, to je veća vjerojatnost dobivanja rezultata unutar tog intervala. U teoriji vjerojatnosti uspostavlja se kvantitativni odnos između vrijednosti intervala pouzdanosti, vjerojatnosti pouzdanosti i broja mjerenja.

Odaberemo li kao interval pouzdanosti interval koji odgovara prosječnoj pogrešci, tj. D a = oglas Añ, tada za dovoljno velik broj mjerenja odgovara vjerojatnosti povjerenja w 60%. Kako se broj mjerenja smanjuje, vjerojatnost pouzdanosti koja odgovara takvom intervalu pouzdanosti (á Añ ± oglas Añ), smanjuje.

Dakle, za procjenu intervala pouzdanosti slučajne varijable, može se koristiti vrijednost prosječne pogreške áD Añ .

Za karakterizaciju veličine slučajne pogreške potrebno je navesti dva broja, naime vrijednost intervala pouzdanosti i vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti . Navođenje samo veličine pogreške bez odgovarajuće vjerojatnosti pouzdanosti uglavnom je besmisleno.

Ako je poznata prosječna pogreška mjerenja ásñ, interval pouzdanosti zapisan kao (<x> ± ásñ) w, određeno s vjerojatnošću povjerenja w= 0,57.

Ako je poznata standardna devijacija s raspodjele rezultata mjerenja navedeni interval ima oblik (<x>± t w s) w, Gdje t w- koeficijent koji ovisi o vrijednosti vjerojatnosti pouzdanosti i izračunava se pomoću Gaussove distribucije.

Najčešće korištene količine D x dati su u tabeli 1.