Alle formules van cijfers. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen. Driehoek. Door basis en hoogte

13.02.2022

Keelholte

Om problemen in de geometrie op te lossen, moet u formules kennen - zoals het gebied van een driehoek of het gebied van een parallellogram - evenals eenvoudige trucs, waar we het over zullen hebben.

Laten we eerst de formules voor de gebieden van figuren leren. We hebben ze speciaal verzameld in een handige tabel. Print, leer en solliciteer!

Natuurlijk staan niet alle geometrieformules in onze tabel. Om bijvoorbeeld problemen in geometrie en stereometrie in het tweede deel van het profielexamen wiskunde op te lossen, worden ook andere formules voor de oppervlakte van een driehoek gebruikt. We zullen je er zeker over vertellen.

Maar wat als u niet het gebied van een trapezium of driehoek moet vinden, maar het gebied van een complexe figuur? Er zijn universele manieren! We laten ze zien aan de hand van voorbeelden uit de FIPI-takenbank.

1. Hoe het gebied van een niet-standaard figuur te vinden? Bijvoorbeeld een willekeurige vierhoek? Een eenvoudige techniek - laten we dit getal opsplitsen in de getallen die we allemaal kennen, en de oppervlakte bepalen - als de som van de oppervlakten van deze figuren.

Verdeel deze vierhoek door een horizontale lijn in twee driehoeken met een gemeenschappelijke basis gelijk aan . De hoogten van deze driehoeken zijn En . Dan is de oppervlakte van de vierhoek gelijk aan de som van de oppervlakten van de twee driehoeken: .

Antwoord: .

2. In sommige gevallen kan het gebied van de figuur worden weergegeven als het verschil van alle gebieden.

Het is niet zo eenvoudig om te berekenen waar de basis en hoogte in deze driehoek gelijk aan zijn! Maar we kunnen zeggen dat de oppervlakte gelijk is aan het verschil tussen de oppervlakten van een vierkant met een zijde en drie rechthoekige driehoeken. Zie je ze op de foto? We krijgen: .

Antwoord: .

3. Soms is het bij een taak nodig om het gebied niet van de hele figuur te vinden, maar van zijn deel. Meestal hebben we het over het gebied van de sector - een deel van de cirkel. Vind het gebied van de sector van de straalcirkel , waarvan de booglengte gelijk is aan .

Op deze foto zien we een deel van een cirkel. De oppervlakte van de hele cirkel is gelijk aan , aangezien . Het blijft om uit te zoeken welk deel van de cirkel is afgebeeld. Aangezien de lengte van de hele cirkel is (sinds), en de lengte van de boog van deze sector is daarom is de lengte van de boog meerdere malen kleiner dan de lengte van de hele cirkel. De hoek waarop deze boog rust is ook keer kleiner dan een volledige cirkel (dat wil zeggen graden). Dit betekent dat het gebied van de sector meerdere keren kleiner zal zijn dan het gebied van de hele cirkel.

Kennis over het meten van de aarde verscheen in de oudheid en kreeg geleidelijk vorm in de wetenschap van de meetkunde. Vanuit de Griekse taal wordt dit woord vertaald als "landmeten".

De maat voor de lengte van een plat gebied van de aarde in lengte en breedte is het gebied. In de wiskunde wordt het meestal aangeduid met de Latijnse letter S (van het Engelse "vierkant" - "gebied", "vierkant") of de Griekse letter σ (sigma). S geeft het gebied van een figuur op een vlak of het oppervlak van een lichaam aan, en σ is het dwarsdoorsnedegebied van een draad in de natuurkunde. Dit zijn de belangrijkste symbolen, hoewel er andere kunnen zijn, bijvoorbeeld op het gebied van sterkte van materialen, A is het dwarsdoorsnede-oppervlak van het profiel.

In contact met

Berekeningsformules

Als u de gebieden van eenvoudige figuren kent, kunt u de parameters van meer complexe figuren vinden.. Oude wiskundigen ontwikkelden formules waarmee ze gemakkelijk kunnen worden berekend. Dergelijke figuren zijn een driehoek, een vierhoek, een veelhoek, een cirkel.

Om het gebied van een complexe platte figuur te vinden, wordt deze opgesplitst in veel eenvoudige vormen zoals driehoeken, trapezoïden of rechthoeken. Vervolgens leiden wiskundige methoden een formule af voor het gebied van deze figuur. Een vergelijkbare methode wordt niet alleen gebruikt in de geometrie, maar ook in wiskundige analyse om de oppervlakten van figuren te berekenen die worden begrensd door krommen.

Driehoek

Laten we beginnen met de eenvoudigste vorm - een driehoek. Ze zijn rechthoekig, gelijkbenig en gelijkzijdig. Neem een willekeurige driehoek ABC met zijden AB=a, BC=b en AC=c (∆ ABC). Om het gebied te vinden, laten we ons de stellingen van sinussen en cosinus herinneren die bekend zijn uit de schoolwiskundecursus. Als we alle berekeningen los laten, komen we tot de volgende formules:

S=√ - Heron's formule die iedereen kent, waarbij p=(a+b+c)/2 - halve omtrek van een driehoek;
S=a h/2, waarbij h de hoogte is verlaagd naar zijde a;
S=a b (sin γ)/2, waarbij γ de hoek is tussen zijden a en b;
S=a b/2 als ∆ ABC rechthoekig is (hier zijn a en b benen);
S=b² (sin (2 β))/2 als ∆ ABC gelijkbenig is (hier is b een van de “heupen”, β is de hoek tussen de “heupen” van de driehoek);
S=a² √¾ als ∆ ABC gelijkzijdig is (hier is a de zijde van de driehoek).

Vierhoek

Laat er een vierhoek ABCD zijn met AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Om de oppervlakte S van een willekeurige 4-hoek te vinden, is het nodig deze door een diagonaal in twee driehoeken te verdelen waarvan de oppervlakten S1 en S2 in het algemeen niet gelijk zijn.

Bereken ze vervolgens met behulp van de formules en tel ze op, d.w.z. S=S1+S2. Als de quad echter tot een bepaalde klasse behoort, kan het gebied worden gevonden met behulp van de eerder bekende formules:

S=(a+c) h/2=eh, als de quad een trapezium is (hier zijn a en c de basissen, e is de middelste lijn van het trapezium, h is de hoogte verlaagd tot een van de basissen van het trapezium ;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, als ABCD een parallellogram is (hier is φ de hoek tussen zijden a en b, h is de hoogte verlaagd naar zijde a, d1 en d2 zijn diagonalen);
S=a b=d²/2 als ABCD een rechthoek is (d is een diagonaal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 als ABCD een ruit is (a is de zijkant van de ruit, φ is een van zijn hoeken, P is de omtrek);
S=a²=P²/16=d²/2 als ABCD een vierkant is.

Veelhoek

Om het gebied van een n-gon te vinden, splitsen wiskundigen het op in de eenvoudigste gelijke driehoeken, vinden het gebied van elk van hen en tellen ze vervolgens op. Maar als de veelhoek tot de klasse van regelmatige behoort, wordt de formule gebruikt:

S=anh/2=a² n/=P²/, waarbij n het aantal hoekpunten (of zijden) van de veelhoek is, a is de zijde van de n-hoek, P is de omtrek, h is het apothema, dwz de segment getrokken vanuit het midden van de veelhoek naar een van zijn zijden onder een hoek van 90°.

Een cirkel

Een cirkel is een perfecte veelhoek met een oneindig aantal zijden.. We moeten de limiet berekenen van de uitdrukking aan de rechterkant in de formule van het polygoongebied met het aantal zijden n dat naar oneindig neigt. In dit geval zal de omtrek van de veelhoek veranderen in de lengte van een cirkel met straal R, die de grens van onze cirkel zal zijn, en gelijk zal worden aan P=2 π R. Vervang deze uitdrukking in de bovenstaande formule. We zullen krijgen:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Laten we de limiet van deze uitdrukking zoeken als n→∞. Om dit te doen, houden we er rekening mee dat lim (cos (180°/n)) voor n→∞ gelijk is aan cos 0°=1 (lim is het teken van de limiet), en lim = lim voor n→∞ is gelijk aan 1/π (we hebben de graadmaat vertaald naar radiaal, met de verhouding π rad=180°, en de eerste opmerkelijke limiet lim (sin x)/x=1 bij x→∞ toegepast). Door de verkregen waarden in de laatste uitdrukking voor S te vervangen, komen we tot de bekende formule:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Eenheden

Systeem- en niet-systeemmeeteenheden worden toegepast. Systeemeenheden worden SI (System International) genoemd. Dit is een vierkante meter (vierkante meter, m²) en daarvan afgeleide eenheden: mm², cm², km².

In vierkante millimeters (mm²) meten ze bijvoorbeeld het dwarsdoorsnede-oppervlak van draden in de elektrotechniek, in vierkante centimeters (cm²) - de dwarsdoorsnede van een balk in structurele mechanica, in vierkante meters (m² ) - een appartement of huis, in vierkante kilometers (km²) - een gebied in geografie.

Soms worden echter niet-systemische meeteenheden gebruikt, zoals: weven, ar (a), hectare (ha) en acre (ac). We geven de volgende verhoudingen:

1 weefsel \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 acres = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
1 ac = 4046.856 m² = 40,47 a = 40,47 acres = 0,405 ha.

De gebieden van geometrische figuren zijn numerieke waarden die hun grootte in een tweedimensionale ruimte karakteriseren. Deze waarde kan worden gemeten in systeemeenheden en niet-systeemeenheden. Een oppervlakte-eenheid buiten het systeem is bijvoorbeeld honderd, een hectare. Dit is het geval als het gemeten oppervlak een stuk land is. De systeemeenheid van oppervlakte is het kwadraat van lengte. In het SI-systeem is het gebruikelijk om te overwegen dat de oppervlakte-eenheid van een plat oppervlak een vierkante meter is. In de CGS wordt de oppervlakte-eenheid uitgedrukt in vierkante centimeters.

Geometrie en oppervlakteformules zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Dit verband ligt in het feit dat de berekening van de oppervlakten van vlakke figuren precies gebaseerd is op hun toepassing. Voor veel figuren worden verschillende opties afgeleid, volgens welke hun vierkante afmetingen worden berekend. Op basis van de gegevens uit de probleemstelling kunnen we bepalen wat de eenvoudigste manier is om het op te lossen. Dit vergemakkelijkt de berekening en reduceert de kans op rekenfouten tot een minimum. Om dit te doen, moet u rekening houden met het hoofdgebied van figuren in de geometrie.

Formules voor het vinden van het gebied van een driehoek worden op verschillende manieren gepresenteerd:

1) De oppervlakte van een driehoek wordt berekend uit de basis a en de hoogte h. De basis is de zijde van de figuur waarop de hoogte is verlaagd. De oppervlakte van de driehoek is dan:

2) Het gebied van een rechthoekige driehoek wordt op precies dezelfde manier berekend als de hypotenusa als de basis wordt beschouwd. Als echter het been als basis wordt genomen, is het gebied van de rechthoekige driehoek gelijk aan het product van de gehalveerde benen.

De formules voor het berekenen van het gebied van een driehoek eindigen daar niet. Een andere uitdrukking bevat de zijden a,b en de sinusoïdale functie van de hoek γ tussen a en b. De waarde van de sinus vindt u in de tabellen. Het kan ook worden gevonden met behulp van een rekenmachine. De oppervlakte van de driehoek is dan:

Volgens deze gelijkheid kun je er ook voor zorgen dat het gebied van een rechthoekige driehoek wordt bepaald door de lengtes van de benen. Omdat de hoek γ is een rechte hoek, dus het gebied van een rechthoekige driehoek wordt berekend zonder te vermenigvuldigen met de sinusfunctie.

3) Overweeg een speciaal geval - een regelmatige driehoek, waarvan zijde a bekend is door voorwaarde of de lengte ervan kan worden gevonden bij het oplossen. Er is niets meer bekend over de figuur in het geometrieprobleem. Hoe vindt u het gebied dan onder deze voorwaarde? In dit geval wordt de formule voor het gebied van een regelmatige driehoek toegepast:

Rechthoek

Hoe het gebied van een rechthoek te vinden en de afmetingen te gebruiken van de zijden die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben? De uitdrukking voor de berekening is:

Als je de lengtes van de diagonalen wilt gebruiken om de oppervlakte van een rechthoek te berekenen, dan heb je de sinusfunctie nodig van de hoek die wordt gevormd wanneer ze elkaar kruisen. De formule voor de oppervlakte van een rechthoek is:

Plein

De oppervlakte van een vierkant wordt gedefinieerd als de tweede macht van de zijdelengte:

Het bewijs volgt uit de definitie dat een rechthoek een vierkant wordt genoemd. Alle zijden die een vierkant vormen, hebben dezelfde afmetingen. Daarom wordt de berekening van het gebied van een dergelijke rechthoek teruggebracht tot vermenigvuldiging met elkaar, d.w.z. tot de tweede macht van de zijde. En de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een vierkant zal de gewenste vorm aannemen.

De oppervlakte van een vierkant kun je op een andere manier vinden, bijvoorbeeld als je een diagonaal gebruikt:

Hoe bereken je de oppervlakte van een figuur die wordt gevormd door een deel van een vlak dat wordt begrensd door een cirkel? Om de oppervlakte te berekenen, zijn de formules:

Parallellogram

Voor een parallellogram bevat de formule de lineaire afmetingen van de zijde, hoogte en de wiskundige bewerking - vermenigvuldiging. Als de hoogte onbekend is, hoe vind je dan het gebied van het parallellogram? Er is een andere manier om te berekenen. Er is een bepaalde waarde vereist, die wordt genomen door de trigonometrische functie van de hoek gevormd door aangrenzende zijden, evenals hun lengte.

De formules voor de oppervlakte van een parallellogram zijn:

Ruit

Hoe vind je het gebied van een vierhoek die een ruit wordt genoemd? Het gebied van een ruit wordt bepaald met behulp van eenvoudige wiskundige bewerkingen met diagonalen. Het bewijs berust op het feit dat de diagonale segmenten op d1 en d2 elkaar loodrecht snijden. De sinustabel laat zien dat deze functie voor een rechte hoek gelijk is aan één. Daarom wordt het gebied van een ruit als volgt berekend:

Het gebied van een ruit kan ook op een andere manier worden gevonden. Het is ook niet moeilijk om dit te bewijzen, aangezien de zijden even lang zijn. Vervang vervolgens hun product in een vergelijkbare uitdrukking voor een parallellogram. Een speciaal geval van deze specifieke figuur is tenslotte een ruit. Hierin is γ de binnenhoek van de ruit. Het gebied van een ruit wordt als volgt bepaald:

Trapeze

Hoe het gebied van een trapezium door de bases (a en b) te vinden, als hun lengte in het probleem wordt aangegeven? Hier, zonder een bekende waarde van de hoogtelengte h, is het niet mogelijk om de oppervlakte van zo'n trapezium te berekenen. Omdat deze waarde bevat de uitdrukking voor berekening:

De vierkante maat van een rechthoekig trapezium kan ook op dezelfde manier worden berekend. Tegelijkertijd wordt er rekening mee gehouden dat in een rechthoekig trapezium de concepten hoogte en zijkant worden gecombineerd. Daarom moet u voor een rechthoekig trapezium de lengte van de zijkant specificeren in plaats van de hoogte.

Cilinder en parallellepipedum

Overweeg wat nodig is om het oppervlak van de hele cilinder te berekenen. Het gebied van deze figuur is een paar cirkels, basen genoemd, en een zijoppervlak. Cirkels die cirkels vormen hebben een straallengte gelijk aan r. Voor de oppervlakte van een cilinder vindt de volgende berekening plaats:

Hoe vind je het gebied van een parallellepipedum dat uit drie paar vlakken bestaat? De metingen zijn consistent met een bepaald paar. Gezichten die tegenover elkaar liggen, hebben dezelfde parameters. Zoek eerst S(1), S(2), S(3) - vierkante afmetingen van ongelijke vlakken. Dan is het oppervlak van het parallellepipedum:

Ring

Twee cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt vormen een ring. Ze beperken ook het gebied van de ring. In dit geval houden beide berekeningsformules rekening met de afmetingen van elke cirkel. De eerste, die het gebied van de ring berekent, bevat grotere R- en kleinere r-stralen. Vaker worden ze extern en intern genoemd. In de tweede uitdrukking wordt het ringoppervlak berekend met behulp van de grotere D- en kleinere d-diameters. Het gebied van de ring volgens bekende stralen wordt dus als volgt berekend:

De oppervlakte van de ring wordt, aan de hand van de lengtes van de diameters, als volgt bepaald:

Veelhoek

Hoe het gebied van een veelhoek te vinden waarvan de vorm niet correct is? Er is geen algemene formule voor het gebied van dergelijke cijfers. Maar als het bijvoorbeeld op een coördinatenvlak is afgebeeld, kan het geruit papier zijn, hoe vind je dan het oppervlak in dit geval? Hier gebruiken ze een methode die niet vereist dat de figuur ongeveer wordt gemeten. Ze doen dit: als ze punten vinden die in de hoek van de cel vallen of gehele coördinaten hebben, dan worden alleen die punten in aanmerking genomen. Gebruik de formule die door Pick is bewezen om erachter te komen wat het gebied is. Het is noodzakelijk om het aantal punten binnen de polylijn op te tellen met de helft van de punten erop, en er één af te trekken, d.w.z. het wordt op deze manier berekend:

waarbij C, D - respectievelijk het aantal punten binnen en op de gehele polylijn.

Geometrisch gebied- een numeriek kenmerk van een geometrische figuur die de grootte van deze figuur aangeeft (deel van het oppervlak begrensd door een gesloten contour van deze figuur). De grootte van het gebied wordt uitgedrukt door het aantal vierkante eenheden dat het bevat.

Driehoeksgebied formules

Driehoeksgebiedsformule voor zijde en hoogte
Oppervlakte van een driehoek gelijk aan de helft van het product van de lengte van een zijde van een driehoek en de lengte van de hoogte die naar deze zijde wordt getrokken
De formule voor de oppervlakte van een driehoek gegeven drie zijden en de straal van de omgeschreven cirkel
De formule voor de oppervlakte van een driehoek gegeven drie zijden en de straal van een ingeschreven cirkel
Oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het product van de halve omtrek van de driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

Vierkante oppervlakte formules

De formule voor de oppervlakte van een vierkant gegeven de lengte van een zijde
vierkante oppervlakte gelijk is aan het kwadraat van de lengte van zijn zijde.
De formule voor de oppervlakte van een vierkant gegeven de lengte van de diagonaal
vierkante oppervlakte gelijk aan de helft van het kwadraat van de lengte van zijn diagonaal.
S= 1 2
2

Formule voor rechthoekig gebied

Rechthoekig gebied

Formules voor de oppervlakte van een parallellogram

Formule voor parallellogramgebied voor lengte en hoogte van de zijkant
Parallellogramgebied
De formule voor het gebied van een parallellogram met twee zijden en de hoek ertussen
Parallellogramgebied is gelijk aan het product van de lengtes van de zijden vermenigvuldigd met de sinus van de hoek ertussen.
a b sin

Formules voor de oppervlakte van een ruit

Rhombus gebied formule gegeven zijde lengte en hoogte
ruit gebied is gelijk aan het product van de lengte van zijn zijde en de lengte van de naar deze zijde verlaagde hoogte.
De formule voor de oppervlakte van een ruit gegeven de lengte van de zijde en de hoek
ruit gebied is gelijk aan het product van het kwadraat van de lengte van zijn zijde en de sinus van de hoek tussen de zijden van de ruit.
De formule voor het gebied van een ruit uit de lengtes van zijn diagonalen
ruit gebied gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van zijn diagonalen.

Formules voor trapeziumoppervlakken

Heron's formule voor een trapezium
Waar S het gebied van het trapezium is,
- de lengte van de basis van het trapezium,
- de lengte van de zijkanten van het trapezium,