Proprietăți triunghi dreptunghiular
Dragi elevi de clasa a VII-a, știți deja ce forme geometrice se numesc triunghiuri, știți cum să demonstrați semne ale egalității lor. Știi și despre cazuri speciale de triunghiuri: isoscel și dreptunghiular. Proprietățile triunghiurilor isosceli vă sunt bine cunoscute.
Dar triunghiurile dreptunghiulare au, de asemenea, multe proprietăți. Un lucru, evident, este legat de teorema privind suma unghiurilor interioare ale unui triunghi: într-un triunghi dreptunghic, suma unghiurilor acute este de 90 °. Cea mai uimitoare proprietate a unui triunghi dreptunghiular o veți învăța în clasa a 8-a atunci când veți învăța celebra teoremă pitagorică.
Și acum vom vorbi despre încă două proprietăți importante. Unul dintre ele se referă la triunghiuri unghiulare 30 ° și celălalt la triunghiuri unghiulare arbitrare. Să formulăm și să dovedim aceste proprietăți.
Știți bine că în geometrie este obișnuit să formulați afirmații inverse față de cele dovedite, când condiția și concluzia din afirmație sunt inversate. Afirmațiile opuse sunt departe de a fi întotdeauna adevărate. În cazul nostru, ambele afirmații inversă sunt adevărate.
Proprietatea 1.1 Într-un triunghi unghiular, piciorul care se află opus unui unghi de 30 ° este egal cu jumătate din hipotenuză.
Dovadă: Luați în considerare un rectangular ABC dreptunghiular, în care LA = 90 °, LB = 30 °, apoi LC = 60 ° .. gif "lățime =" 167 "înălțime =" 41 ">, prin urmare, ceea ce era necesar pentru a demonstra.
Proprietatea 1.2 (inversă proprietății 1.1) Dacă într-un triunghi unghiular piciorul este jumătate din hipotenuză, atunci unghiul opus este de 30 °.
Proprietatea 2.1 Într-un triunghi unghiular, mediana trasă către hipotenuză este jumătate din hipotenuză.
Luați în considerare un rectangular ABC dreptunghiular, în care LB = 90 °.
BD-mediană, adică AD = DC. Să dovedim asta.
Pentru a demonstra acest lucru, să facem o construcție suplimentară: continuați BD dincolo de punctul D astfel încât BD = DN și conectați N cu A și C..gif "width =" 616 "height =" 372 src = ">
Date: ∆ABC, ÐC = 90o, ÐA = 30o, ÐBEC = 60o, EC = 7cm
1.РEBC = 30o, deoarece în dreptunghiular ∆BCE suma unghiurilor acute este de 90o
2. BE = 14cm (proprietatea 1)
3. ÐABE = 30o, deoarece ÐA + ÐABE = ÐBEC (proprietatea colțului exterior al triunghiului), prin urmare thereforeAEB- isoscel AE = EB = 14cm.
BC = 2AN = 20 cm (proprietatea 2).
Obiectivul 3. Demonstrați că înălțimea și mediana unui triunghi unghiular, trasat către hipotenuză, formează un unghi egal cu diferența dintre unghiurile acute ale triunghiului.
Date: ∆ ABC, ÐBAC = 90 °, AM-mediană, AH-înălțime.
Dovediți că lMAN = lC-lB.
Dovezi:
1) РМАС = РС (după proprietatea 2 ∆ АМС-isosceles, АМ = СМ)
2) LMAN = LMAC-LNAC = LC-LNAC.
Rămâne să dovedim că lHAC = lB. Acest lucru rezultă din faptul că lB + lC = 90 ° (în ∆ ABC) și lHAC + lC = 90 ° (din ∆ ANS).
Astfel, lMAN = lC-lB, după cum este necesar.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif "width =" 194 "height =" 184 "> Date: ∆ABS, ÐBAC = 90 °, AH-height ,.
Găsiți: РВ, РС.
Soluție: Desenați AM mediană. Fie AH = x, apoi BC = 4x și
BM = MC = AM = 2x.
Într-un rectangular AMN dreptunghiular, hipotenuza AM este de 2 ori mai mare decât piciorul AH, deci LAMN = 30 °. Din moment ce VM = AM,
РВ = РВАМ100% ">
Să extindem AC dincolo de punctul A astfel încât AD = AC. Apoi ∆ABC = ∆ABD (pentru 2 picioare). BD = BC = 2AC = CD, deci ∆DBC este echilateral, ÐC = 60 ° și ÐABC = 30 °.
Problema 5
Într-un triunghi isoscel, unul dintre unghiuri este de 120 °, baza este de 10 cm. Găsiți înălțimea trasă lateral.
Soluție: pentru început, rețineți că unghiul de 120 ° poate fi doar la vârful triunghiului și că înălțimea trasă lateral va cădea pe continuarea acestuia.
AB - scări, K - pisoi.
În orice poziție a scării, până când a căzut în sfârșit la pământ, rectangularАВС - dreptunghiular. SC este ∆ABS mediană.
După proprietatea 2, SC = 1 / 2AB. Adică, în orice moment, lungimea segmentului CS este constantă.
Răspuns: punctul K se va deplasa de-a lungul unui arc al unui cerc cu centrul C și raza CK = 1 / 2AB.
Sarcini pentru o soluție independentă.
Unul din colțurile unui triunghi unghiular este de 60 °, iar diferența dintre hipotenuză și piciorul mai mic este de 4 cm. găsiți lungimea hipotenuzei. În rectangular ABC dreptunghiular cu hipotenuză BC și unghi B egal cu 60 °, se trasează înălțimea AD. Găsiți DC dacă DB = 2cm. В ∆АВС ÐС = 90о, СD - înălțimi, ВС = 2ВD. Dovediți că AD = 3BD. Înălțimea unui triunghi unghiular împarte hipotenuza în părți de 3cm și 9cm. Găsiți unghiurile triunghiului și distanța de la mijlocul hipotenuzei la piciorul mai mare. Bisectoarea împarte un triunghi în două triunghiuri isoscele. Găsiți colțurile triunghiului original. Mediana împarte triunghiul în două isosceli. Pot fi găsite colțurile
Triunghiul original?
Nivel mediu
Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.
În sarcini, un unghi drept nu este deloc necesar - stânga jos, deci trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi unghiular în această formă,
și în astfel de
și în asemenea 
La ce bun are un triunghi dreptunghiular? Ei bine ... în primul rând, există nume frumoase speciale pentru petrecerile sale.
Atenție la desen!
Amintiți-vă și nu confundați: picioare - două, iar hipotenuza - doar una(singurul și cel mai lung)!
Ei bine, numele au fost discutate, acum cel mai important lucru: teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora.
Această teoremă este cheia rezolvării multor probleme care implică un triunghi unghiular. A fost dovedit de Pitagora în vremuri complet imemoriale și de atunci a adus multe beneficii celor care o cunosc. Și cel mai bun lucru despre ea este că este simplă.
Asa de, Teorema lui Pitagora:
Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagorici sunt egali din toate părțile!”?
Să desenăm aceiași pantaloni pitagorici și să ne uităm la ei. 
Nu pare un fel de pantaloni scurți? Ei bine, pe ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact, de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și el a formulat-o după cum urmează:
"Cantitate pătrate construit pe picioare este egal cu suprafață pătrată construit pe ipotenuză ”.
Nu sună puțin diferit? Și așa, când Pitagora a trasat afirmația teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.
În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei, cineva înțelept și a inventat această glumă despre pantalonii pitagorici.
De ce formulăm acum teorema lui Pitagora
A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?
Vedeți, în antichitate nu exista ... algebră! Nu existau denumiri și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de îngrozitor a fost pentru bieții discipoli antici să memoreze totul cu cuvinte ??! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm din nou pentru a ne aminti mai bine:
Ar trebui să fie ușor acum:
| Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor. |
Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi unghiular. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri ale teoriei și acum să mergem mai departe ... în pădurea întunecată ... a trigonometriei! Cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular.
De fapt, nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definițiile „reale” ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui găsite în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva problemele legate de un triunghi unghiular, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:
De ce este totul despre colț? Unde este colțul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Uită-te, înțelege și amintește-ți!
1.
De fapt, sună așa:
Și ce zici de colț? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Desigur că ai! Acesta este un picior!
Dar ce zici de unghi? Uită-te atent. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Prin urmare, pentru unghi, piciorul este adiacent și
Acum, atenție! Uite ce avem:
Vedeți cât de grozav:
Acum să trecem la tangentă și cotangentă.
Cum o pot scrie acum în cuvinte? Care este piciorul în raport cu colțul? Opus, desigur - „se află” vizavi de colț. Și piciorul? Adiacent colțului. Deci, ce am făcut?
Vedeți că numeratorul și numitorul sunt inversate?
Și acum din nou colțurile și a făcut schimbul:
rezumat
Să notăm pe scurt tot ce am învățat.
 |
Teorema lui Pitagora: |
Teorema principală despre un triunghi unghiular este teorema lui Pitagora.
teorema lui Pitagora
Apropo, îți amintești bine ce sunt picioarele și hipotenuza? Dacă nu, uitați-vă la imagine - reîmprospătați-vă cunoștințele
Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar v-ați întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum o pot dovedi? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.
Vedeți cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!
Acum să conectăm punctele marcate
Totuși, aici am observat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.
Care este aria pătratului mai mare?
Dreapta, .
O zonă mai mică?
Sigur, .
Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginați-vă că le-am luat câte două și ne-am sprijinit unul de celălalt cu hipotenuze.
Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „resturilor” este egală cu.
Să punem totul împreună acum.
Să transformăm:
Așa că am vizitat Pitagora - i-am dovedit teorema într-un mod străvechi.
Triunghi dreptunghiular și trigonometrie
Pentru un triunghi unghiular, sunt valabile următoarele relații:
Sinusul unui unghi acut este egal cu raportul piciorului opus față de hipotenuză
Cosinusul unui unghi acut este egal cu raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză.
Tangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Cotangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.
Și încă o dată, toate acestea sunt sub forma unei farfurii:
Este foarte convenabil!
Teste de egalitate pentru triunghiuri unghiulare
I. Pe două picioare
II. Pe picior și hipotenuză
III. Prin hipotenuză și unghi acut
IV. Pe un picior și un colț ascuțit
A) 
b) 
Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:
ATUNCI TRIANGLELE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi acut.
Trebuie sa în ambele triunghiuri, piciorul era adiacent sau în ambele triunghiuri, opus.
Ați observat cum diferă semnele egalității triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite ale egalității triunghiurilor?
Uită-te la subiectul „și fii atent la faptul că pentru egalitatea triunghiurilor„ obișnuite ”este necesară egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi .
Dar pentru egalitatea triunghiurilor unghiulare, sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Super, nu-i așa?
Situația este aproximativ aceeași cu semnele similarității triunghiurilor dreptunghiulare.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare
I. Pe un colț ascuțit
II. Pe două picioare
III. Pe picior și hipotenuză
Mediană într-un triunghi dreptunghiular
De ce este așa?
Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi unghiular.
Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?
Și ce rezultă din aceasta?
Deci s-a dovedit că
- - mediană:
Amintiți-vă acest fapt! Ajută foarte mult!
Ceea ce este și mai surprinzător este că și conversația este adevărată.
La ce bun puteți obține din faptul că mediana atrasă către hipotenuză este egală cu jumătate din hipotenuză? Să ne uităm la imagine
Uită-te atent. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRUL CERCULUI DESCRIUT. Deci ce s-a întâmplat?
Să începem cu acest „pe lângă ...”
Să ne uităm la și.
Dar în astfel de triunghiuri toate unghiurile sunt egale!
Același lucru se poate spune despre și
Acum să-l desenăm împreună:
Ce beneficii se pot obține din această „triplă” similitudine.
Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghiular.
Să notăm relația părților respective:
Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghiular”:
Deci, să aplicăm similaritatea:.
Ce se intampla acum?
Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:
Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea mai convenabilă de aplicat.
Să le notăm din nou
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi unghiular, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor:.
Semne de egalitate ale triunghiurilor unghiulare:
- pe două picioare:
- pe picior și hipotenuză: sau
- de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
- de-a lungul piciorului și unghiul acut opus: sau
- prin hipotenuză și unghi acut: sau.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare:
- un colț ascuțit: sau
- din proporționalitatea celor două picioare:
- din proporționalitatea piciorului și a hipotenuzei: sau.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular
- Sinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză:
- Cosinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză:
- Tangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent:
- Cotangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul piciorului adiacent cu cel opus:.
Înălțimea unui triunghi dreptunghiular: sau.
Într-un triunghi unghiular, mediana trasă din vârful unghiului drept este jumătate din hipotenuză :.
Aria unui triunghi dreptunghiular:
- prin picioare:
- prin picior și unghiul acut :.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citiți aceste rânduri, atunci sunteți foarte mișto.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci te afli în acel 5%!
Acum vine cel mai important lucru.
Ai dat seama de teoria pe această temă. Și din nou, acesta este ... este super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient ...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pentru viață.
Nu te voi convinge de nimic, voi spune doar un lucru ...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Acestea sunt statistici.
Dar nici acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că există mult mai multe oportunități pentru ei și viața devine mai luminoasă? Nu știu...
Dar gândește-te singur ...
Ce este necesar pentru a fi sigur mai bine decât alții la examen și pentru a fi în cele din urmă ... mai fericiți?
OBȚINEȚI MÂNĂ SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMATIC.
La examen, nu vi se va cere teoria.
Vei avea nevoie rezolva problemele o vreme.
Și dacă nu le-ai rezolvat (MULȚI!), Sigur vei merge undeva prost greșit sau pur și simplu nu vei avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeti iar și iar pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție unde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliatăși decide, decide, decide!
Puteți utiliza sarcinile noastre (opțional) și noi, desigur, le recomandăm.
Pentru a vă umple mâna cu sarcinile noastre, trebuie să vă ajutați să prelungiți viața manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Distribuiți toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 r
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole ale tutorialului - RUB 499
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru, iar accesul pentru toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis simultan.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe întreaga durată de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri asupra teoriei.
„Înțeles” și „Sunt capabil să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Un triunghi în geometrie reprezintă una dintre formele de bază. Știți din lecțiile anterioare că un triunghi este o formă poligonală care are trei colțuri și trei laturi.
Triunghiul se numește dreptunghiular dacă are un unghi drept care este de 90 de grade.
Un triunghi unghiular are două laturi reciproc perpendiculare, numite picioare
; se numește terțul său ipotenuză
... Hipotenuza este cea mai mare parte a acestui triunghi.
- Conform proprietăților perpendiculare și oblice, hipotenuza este mai lungă decât fiecare dintre picioare (dar mai mică decât suma lor).
- Suma a două unghiuri acute ale unui triunghi unghiular este egală cu unghiul drept.
- Două înălțimi ale unui triunghi unghiular coincid cu picioarele sale. Prin urmare, unul dintre cele patru puncte remarcabile se încadrează în vârfurile unghiului drept al triunghiului.
- Centrul cercului circumscris al unui triunghi unghiular se află în mijlocul hipotenuzei.
- Mediana unui triunghi unghiular, trasat de la vârful unghiului dreptunghiular până la hipotenuză, este raza cercului circumscris în jurul acestui triunghi.
Proprietăți și caracteristici ale triunghiurilor dreptunghiulare
I - proprietatea. Într-un triunghi unghiular, suma unghiurilor sale acute este de 90 °. Împotriva laturii mai mari a triunghiului se află un unghi mai mare, iar împotriva unghiului mai mare se află partea mai mare. Într-un triunghi unghiular, cel mai mare unghi este colțul dreptunghiular. Dacă într-un triunghi cel mai mare unghi este mai mare de 90 °, atunci un astfel de triunghi încetează să mai fie dreptunghiular, deoarece suma tuturor unghiurilor depășește 180 de grade. Din toate acestea rezultă că hipotenuza este cea mai mare parte a triunghiului.
II - e proprietate. Piciorul unui triunghi unghiular, care se află opus unui unghi de 30 de grade, este jumătate din hipotenuză.
III - e proprietate. Dacă într-un triunghi unghiular piciorul este jumătate din hipotenuză, atunci unghiul care se află opus acestui picior va fi egal cu 30 de grade.
Nivel mediu
Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.
În sarcini, un unghi drept nu este deloc necesar - stânga jos, deci trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi unghiular în această formă,
și în astfel de
și în asemenea
La ce bun are un triunghi dreptunghiular? Ei bine ... în primul rând, există nume frumoase speciale pentru petrecerile sale.
Atenție la desen!
Amintiți-vă și nu confundați: picioare - două, iar hipotenuza - doar una(singurul și cel mai lung)!
Ei bine, numele au fost discutate, acum cel mai important lucru: teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora.
Această teoremă este cheia rezolvării multor probleme care implică un triunghi unghiular. A fost dovedit de Pitagora în vremuri complet imemoriale și de atunci a adus multe beneficii celor care o cunosc. Și cel mai bun lucru despre ea este că este simplă.
Asa de, Teorema lui Pitagora:
Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagorici sunt egali din toate părțile!”?
Să desenăm aceiași pantaloni pitagorici și să ne uităm la ei.
Nu pare un fel de pantaloni scurți? Ei bine, pe ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact, de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și el a formulat-o după cum urmează:
"Cantitate pătrate construit pe picioare este egal cu suprafață pătrată construit pe ipotenuză ”.
Nu sună puțin diferit? Și așa, când Pitagora a trasat afirmația teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.
În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei, cineva înțelept și a inventat această glumă despre pantalonii pitagorici.
De ce formulăm acum teorema lui Pitagora
A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?
Vedeți, în antichitate nu exista ... algebră! Nu existau denumiri și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de îngrozitor a fost pentru bieții discipoli antici să memoreze totul cu cuvinte ??! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm din nou pentru a ne aminti mai bine:
Ar trebui să fie ușor acum:
| Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor. |
Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi unghiular. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri ale teoriei și acum să mergem mai departe ... în pădurea întunecată ... a trigonometriei! Cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular.
De fapt, nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definițiile „reale” ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui găsite în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva problemele legate de un triunghi unghiular, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:
De ce este totul despre colț? Unde este colțul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Uită-te, înțelege și amintește-ți!
1.
De fapt, sună așa:
Și ce zici de colț? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Desigur că ai! Acesta este un picior!
Dar ce zici de unghi? Uită-te atent. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Prin urmare, pentru unghi, piciorul este adiacent și
Acum, atenție! Uite ce avem:
Vedeți cât de grozav:
Acum să trecem la tangentă și cotangentă.
Cum o pot scrie acum în cuvinte? Care este piciorul în raport cu colțul? Opus, desigur - „se află” vizavi de colț. Și piciorul? Adiacent colțului. Deci, ce am făcut?
Vedeți că numeratorul și numitorul sunt inversate?
Și acum din nou colțurile și a făcut schimbul:
rezumat
Să notăm pe scurt tot ce am învățat.
|
Teorema lui Pitagora: |
Teorema principală despre un triunghi unghiular este teorema lui Pitagora.
teorema lui Pitagora
Apropo, îți amintești bine ce sunt picioarele și hipotenuza? Dacă nu, uitați-vă la imagine - reîmprospătați-vă cunoștințele
Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar v-ați întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum o pot dovedi? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.
Vedeți cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!
Acum să conectăm punctele marcate
Totuși, aici am observat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.
Care este aria pătratului mai mare?
Dreapta, .
O zonă mai mică?
Sigur, .
Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginați-vă că le-am luat câte două și ne-am sprijinit unul de celălalt cu hipotenuze.
Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „resturilor” este egală cu.
Să punem totul împreună acum.
Să transformăm:
Așa că am vizitat Pitagora - i-am dovedit teorema într-un mod străvechi.
Triunghi dreptunghiular și trigonometrie
Pentru un triunghi unghiular, sunt valabile următoarele relații:
Sinusul unui unghi acut este egal cu raportul piciorului opus față de hipotenuză
Cosinusul unui unghi acut este egal cu raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză.
Tangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Cotangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.
Și încă o dată, toate acestea sunt sub forma unei farfurii:
Este foarte convenabil!
Teste de egalitate pentru triunghiuri unghiulare
I. Pe două picioare
II. Pe picior și hipotenuză
III. Prin hipotenuză și unghi acut
IV. Pe un picior și un colț ascuțit
A)
b)
Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:
ATUNCI TRIANGLELE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi acut.
Trebuie sa în ambele triunghiuri, piciorul era adiacent sau în ambele triunghiuri, opus.
Ați observat cum diferă semnele egalității triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite ale egalității triunghiurilor?
Uită-te la subiectul „și fii atent la faptul că pentru egalitatea triunghiurilor„ obișnuite ”este necesară egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi .
Dar pentru egalitatea triunghiurilor unghiulare, sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Super, nu-i așa?
Situația este aproximativ aceeași cu semnele similarității triunghiurilor dreptunghiulare.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare
I. Pe un colț ascuțit
II. Pe două picioare
III. Pe picior și hipotenuză
Mediană într-un triunghi dreptunghiular
De ce este așa?
Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi unghiular.
Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?
Și ce rezultă din aceasta?
Deci s-a dovedit că
- - mediană:
Amintiți-vă acest fapt! Ajută foarte mult!
Ceea ce este și mai surprinzător este că și conversația este adevărată.
La ce bun puteți obține din faptul că mediana atrasă către hipotenuză este egală cu jumătate din hipotenuză? Să ne uităm la imagine
Uită-te atent. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRUL CERCULUI DESCRIUT. Deci ce s-a întâmplat?
Să începem cu acest „pe lângă ...”
Să ne uităm la și.
Dar în astfel de triunghiuri toate unghiurile sunt egale!
Același lucru se poate spune despre și
Acum să-l desenăm împreună:
Ce beneficii se pot obține din această „triplă” similitudine.
Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghiular.
Să notăm relația părților respective:
Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghiular”:
Deci, să aplicăm similaritatea:.
Ce se intampla acum?
Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:
Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea mai convenabilă de aplicat.
Să le notăm din nou
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi unghiular, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor:.
Semne de egalitate ale triunghiurilor unghiulare:
- pe două picioare:
- pe picior și hipotenuză: sau
- de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
- de-a lungul piciorului și unghiul acut opus: sau
- prin hipotenuză și unghi acut: sau.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare:
- un colț ascuțit: sau
- din proporționalitatea celor două picioare:
- din proporționalitatea piciorului și a hipotenuzei: sau.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular
- Sinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză:
- Cosinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză:
- Tangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent:
- Cotangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul piciorului adiacent cu cel opus:.
Înălțimea unui triunghi dreptunghiular: sau.
Într-un triunghi unghiular, mediana trasă din vârful unghiului drept este jumătate din hipotenuză :.
Aria unui triunghi dreptunghiular:
- prin picioare:
- prin picior și unghiul acut :.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citiți aceste rânduri, atunci sunteți foarte mișto.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci te afli în acel 5%!
Acum vine cel mai important lucru.
Ai dat seama de teoria pe această temă. Și din nou, acesta este ... este super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient ...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pentru viață.
Nu te voi convinge de nimic, voi spune doar un lucru ...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Acestea sunt statistici.
Dar nici acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că există mult mai multe oportunități pentru ei și viața devine mai luminoasă? Nu știu...
Dar gândește-te singur ...
Ce este necesar pentru a fi sigur mai bine decât alții la examen și pentru a fi în cele din urmă ... mai fericiți?
OBȚINEȚI MÂNĂ SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMATIC.
La examen, nu vi se va cere teoria.
Vei avea nevoie rezolva problemele o vreme.
Și dacă nu le-ai rezolvat (MULȚI!), Sigur vei merge undeva prost greșit sau pur și simplu nu vei avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeti iar și iar pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție unde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliatăși decide, decide, decide!
Puteți utiliza sarcinile noastre (opțional) și noi, desigur, le recomandăm.
Pentru a vă umple mâna cu sarcinile noastre, trebuie să vă ajutați să prelungiți viața manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Distribuiți toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 r
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole ale tutorialului - RUB 499
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru, iar accesul pentru toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis simultan.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe întreaga durată de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri asupra teoriei.
„Înțeles” și „Sunt capabil să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Nivel mediu
Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.
În sarcini, un unghi drept nu este deloc necesar - stânga jos, deci trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi unghiular în această formă,
și în astfel de
și în asemenea
La ce bun are un triunghi dreptunghiular? Ei bine ... în primul rând, există nume frumoase speciale pentru petrecerile sale.
Atenție la desen!
Amintiți-vă și nu confundați: picioare - două, iar hipotenuza - doar una(singurul și cel mai lung)!
Ei bine, numele au fost discutate, acum cel mai important lucru: teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora.
Această teoremă este cheia rezolvării multor probleme care implică un triunghi unghiular. A fost dovedit de Pitagora în vremuri complet imemoriale și de atunci a adus multe beneficii celor care o cunosc. Și cel mai bun lucru despre ea este că este simplă.
Asa de, Teorema lui Pitagora:
Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagorici sunt egali din toate părțile!”?
Să desenăm aceiași pantaloni pitagorici și să ne uităm la ei.
Nu pare un fel de pantaloni scurți? Ei bine, pe ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact, de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și el a formulat-o după cum urmează:
"Cantitate pătrate construit pe picioare este egal cu suprafață pătrată construit pe ipotenuză ”.
Nu sună puțin diferit? Și așa, când Pitagora a trasat afirmația teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.
În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei, cineva înțelept și a inventat această glumă despre pantalonii pitagorici.
De ce formulăm acum teorema lui Pitagora
A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?
Vedeți, în antichitate nu exista ... algebră! Nu existau denumiri și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de îngrozitor a fost pentru bieții discipoli antici să memoreze totul cu cuvinte ??! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm din nou pentru a ne aminti mai bine:
Ar trebui să fie ușor acum:
| Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor. |
Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi unghiular. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri ale teoriei și acum să mergem mai departe ... în pădurea întunecată ... a trigonometriei! Cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular.
De fapt, nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definițiile „reale” ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui găsite în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva problemele legate de un triunghi unghiular, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:
De ce este totul despre colț? Unde este colțul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Uită-te, înțelege și amintește-ți!
1.
De fapt, sună așa:
Și ce zici de colț? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Desigur că ai! Acesta este un picior!
Dar ce zici de unghi? Uită-te atent. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Prin urmare, pentru unghi, piciorul este adiacent și
Acum, atenție! Uite ce avem:
Vedeți cât de grozav:
Acum să trecem la tangentă și cotangentă.
Cum o pot scrie acum în cuvinte? Care este piciorul în raport cu colțul? Opus, desigur - „se află” vizavi de colț. Și piciorul? Adiacent colțului. Deci, ce am făcut?
Vedeți că numeratorul și numitorul sunt inversate?
Și acum din nou colțurile și a făcut schimbul:
rezumat
Să notăm pe scurt tot ce am învățat.
|
Teorema lui Pitagora: |
Teorema principală despre un triunghi unghiular este teorema lui Pitagora.
teorema lui Pitagora
Apropo, îți amintești bine ce sunt picioarele și hipotenuza? Dacă nu, uitați-vă la imagine - reîmprospătați-vă cunoștințele
Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar v-ați întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum o pot dovedi? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.
Vedeți cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!
Acum să conectăm punctele marcate
Totuși, aici am observat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.
Care este aria pătratului mai mare?
Dreapta, .
O zonă mai mică?
Sigur, .
Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginați-vă că le-am luat câte două și ne-am sprijinit unul de celălalt cu hipotenuze.
Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „resturilor” este egală cu.
Să punem totul împreună acum.
Să transformăm:
Așa că am vizitat Pitagora - i-am dovedit teorema într-un mod străvechi.
Triunghi dreptunghiular și trigonometrie
Pentru un triunghi unghiular, sunt valabile următoarele relații:
Sinusul unui unghi acut este egal cu raportul piciorului opus față de hipotenuză
Cosinusul unui unghi acut este egal cu raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză.
Tangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Cotangenta unui unghi acut este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.
Și încă o dată, toate acestea sunt sub forma unei farfurii:
Este foarte convenabil!
Teste de egalitate pentru triunghiuri unghiulare
I. Pe două picioare
II. Pe picior și hipotenuză
III. Prin hipotenuză și unghi acut
IV. Pe un picior și un colț ascuțit
A)
b)
Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:
ATUNCI TRIANGLELE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi acut.
Trebuie sa în ambele triunghiuri, piciorul era adiacent sau în ambele triunghiuri, opus.
Ați observat cum diferă semnele egalității triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite ale egalității triunghiurilor?
Uită-te la subiectul „și fii atent la faptul că pentru egalitatea triunghiurilor„ obișnuite ”este necesară egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi .
Dar pentru egalitatea triunghiurilor unghiulare, sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Super, nu-i așa?
Situația este aproximativ aceeași cu semnele similarității triunghiurilor dreptunghiulare.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare
I. Pe un colț ascuțit
II. Pe două picioare
III. Pe picior și hipotenuză
Mediană într-un triunghi dreptunghiular
De ce este așa?
Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi unghiular.
Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?
Și ce rezultă din aceasta?
Deci s-a dovedit că
- - mediană:
Amintiți-vă acest fapt! Ajută foarte mult!
Ceea ce este și mai surprinzător este că și conversația este adevărată.
La ce bun puteți obține din faptul că mediana atrasă către hipotenuză este egală cu jumătate din hipotenuză? Să ne uităm la imagine
Uită-te atent. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRUL CERCULUI DESCRIUT. Deci ce s-a întâmplat?
Să începem cu acest „pe lângă ...”
Să ne uităm la și.
Dar în astfel de triunghiuri toate unghiurile sunt egale!
Același lucru se poate spune despre și
Acum să-l desenăm împreună:
Ce beneficii se pot obține din această „triplă” similitudine.
Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghiular.
Să notăm relația părților respective:
Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghiular”:
Deci, să aplicăm similaritatea:.
Ce se intampla acum?
Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:
Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea mai convenabilă de aplicat.
Să le notăm din nou
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi unghiular, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor:.
Semne de egalitate ale triunghiurilor unghiulare:
- pe două picioare:
- pe picior și hipotenuză: sau
- de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
- de-a lungul piciorului și unghiul acut opus: sau
- prin hipotenuză și unghi acut: sau.
Semne ale similitudinii triunghiurilor unghiulare:
- un colț ascuțit: sau
- din proporționalitatea celor două picioare:
- din proporționalitatea piciorului și a hipotenuzei: sau.
Sinus, cosinus, tangent, cotangent într-un triunghi dreptunghiular
- Sinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză:
- Cosinusul unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză:
- Tangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent:
- Cotangenta unui unghi acut al unui triunghi dreptunghi este raportul piciorului adiacent cu cel opus:.
Înălțimea unui triunghi dreptunghiular: sau.
Într-un triunghi unghiular, mediana trasă din vârful unghiului drept este jumătate din hipotenuză :.
Aria unui triunghi dreptunghiular:
- prin picioare:
- prin picior și unghiul acut :.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citiți aceste rânduri, atunci sunteți foarte mișto.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci te afli în acel 5%!
Acum vine cel mai important lucru.
Ai dat seama de teoria pe această temă. Și din nou, acesta este ... este super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient ...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pentru viață.
Nu te voi convinge de nimic, voi spune doar un lucru ...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Acestea sunt statistici.
Dar nici acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că există mult mai multe oportunități pentru ei și viața devine mai luminoasă? Nu știu...
Dar gândește-te singur ...
Ce este necesar pentru a fi sigur mai bine decât alții la examen și pentru a fi în cele din urmă ... mai fericiți?
OBȚINEȚI MÂNĂ SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMATIC.
La examen, nu vi se va cere teoria.
Vei avea nevoie rezolva problemele o vreme.
Și dacă nu le-ai rezolvat (MULȚI!), Sigur vei merge undeva prost greșit sau pur și simplu nu vei avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeti iar și iar pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție unde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliatăși decide, decide, decide!
Puteți utiliza sarcinile noastre (opțional) și noi, desigur, le recomandăm.
Pentru a vă umple mâna cu sarcinile noastre, trebuie să vă ajutați să prelungiți viața manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Distribuiți toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 r
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole ale tutorialului - RUB 499
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru, iar accesul pentru toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis simultan.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe întreaga durată de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri asupra teoriei.
„Înțeles” și „Sunt capabil să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
